九年级数学下册2.5二次函数与一元二次方程导学案(新版)北师大版

二次函数与一元二次方程

学习目标:

体会二次函数与方程之间的联系；掌握用图象法求方程的近似根；理解二次函数图象与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数h y =（h 是实数）图象交点的横坐标． 学习重点:

本节重点把握二次函数图象与x 轴（或h y =）交点的个数与一元二次方程的根的关系．掌握此点，关键是理解二次函数c bx ax y ++=2图象与x 轴交点，即0=y ，即02

=++c bx ax ，从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可，二次函数图象与x 轴的交点是二次函数的一个重要内容，在其考查中也有重要的地位．

学习难点:

应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解．此点一定要结合二次函数的图象加以记忆．

学习过程:

一、实例讲解：

我们已经知道,竖直上抛物体的高度()m h 与运动时间()s t 的关系可用公式0025h t v t h ++=表示,其中()m h 0是抛出时的高度,()s m v /0是抛出时的速度.一个小球从地面以s m /40的速度竖直向上抛出起,小球的高度()m h 与运动时间()s t 的关系如图所示,那么

(1).h 和t 的关系式是什么？

(2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.

二、议一议：

在同一坐标系中画出二次函数x x y 22+=,122+-=x x y ,222+-=x x y 的图象并回答下列问题：

(1).每个图象与x 轴有几个交点？

(2).一元二次方程 022=+x x ,0122=+-x x 有几个根?验证一下一元二次方程0222=+-x x 有根吗?

(3).二次函数c bx ax y ++=2的图象和x 轴交点的坐标与一元二次方程02=++c bx ax 的根有什么关系?

三、例题：

【例1】已知二次函数772--=x kx y 的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为 ．

【例2】抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于点()0,3-A ，对称轴为1-=x ，顶点C 到x 轴的距离为2，求此抛物线表达式．

【例5】有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：

甲：对称轴是直线4=x ；

乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3．

请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式

．

四、随堂练习：

1．求下列二次函数的图象与x 轴交点坐标，并作草图验证．

（1）x x y 22-=；（2）322--=x x y ．

2．你能利用a 、b 、c 之间的某种关系判断二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴何时有两个交点、一个交点，何时没有交点？

五、课后练习：

1．抛物线()()52+-=x x a y 与x 轴的交点坐标为 ．

2．已知抛物线的对称轴是1-=x ，它与x 轴交点的距离等于4，它在y 轴上的截距是6-，则它的表达式为 ．

3．若0>a ，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线c bx ax y ++=2经过 象限． 4．抛物线322+-=x x y 的顶点坐标是 ．

5．若抛物线()7322+-+-=m x m x y 的对称轴是1=x ，则=m

． 6．抛物线m x x y ++=822与x 轴只有一个交点，则=m ． 7．已知抛物线c bx ax y ++=2的系数有0=+-c b a ，则这条抛物线经过点

． 8．二次函数432-+=x kx y 的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围

． 9．抛物线222a x a x y +-=的顶点在直线2=y 上，则a 的值是

． 10．抛物线x x y 532+=与两坐标轴交点的个数为（ ）

A ．3个

B ．2个

C ．1个

D ．无 11．如图1所示，函数c bx ax y +-=2的图象过()0,1-，则b a c a c b c b a +++++的值是（ ）

A ．3-

B ．3

C ．21

D ．2

1-

12．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，则下列关系正确的是（ ）

A ．0＜－a b 2＜1

B ．0＜－a b 2＜2

C ．1＜－a b 2＜2

D ．－a b 21= 13．已知二次函数22-++=m mx x y ．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点．

14．已知二次函数2222-++-=k k kx x y ．

（1）当实数k 为何值时，图象经过原点？

（2）当实数k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？

15．已知抛物线()()02232

≠-+-+=m m x m mx y 与x 轴有两个不同的交点． （1）求m 的取值范围；

（2）判断点()1,1P 是否在抛物线上；

（3）当1=m 时，求抛物线的顶点Q 及P 点关于抛物线的对称轴对称的点'P 的坐标，并过'P 、Q 、P 三点，画出抛物线草图．

16．已知二次函数()m x m x y ---=32

的图象是抛物线，如图2-8-10． （1）试求m 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点间的距离是3？

（2）当m 为何值时，方程()032=---m x m x 的两个根均为负数？

（3）设抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点p 、Q ，求当PQ 最短时△MPQ 的面积．

17．在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度()m y 与飞行时间()s x 的关系满足x x y 105

12+-=． （1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？

（2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？

18．已知抛物线()k x k x y ++-=12

．（1）试求k 为何值时，抛物线与x 轴只有一个公共点；（2）如图，若抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴的负半轴交于点C ，试问：是否存在实数k ，使△AOC 与△COB 相似？若存在，求出相应的k 值；若不存在，请说明理由．

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