《数值计算方法》课后题答案（湖南大学-曾金平）

习题一

1

1．设x>0相对误差为2%，求x，x4的相对误差。 解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：

?(f(x))??(f(x))f(x)?xf(x)f'(x)?(x)得

（1）f(x)?x时

?(x)?xx(x)'?(x)?12?(x)?12*2%?1%；

（2）f(x)?x4时

?(x4)?xx4(x4)'?(x)?4?(x)?4*2%?8%

2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。

（1）x??12.1；（2）x??12.10；（3）x??12.100。 解：由教材P9关于?x??a1a2?am.b1b2?bn?型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，5

3．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）

哪个较精确？

解：（1）31.97+2.456+0.1352 ?fl(fl(0.3197?102?0.2456?101)?0.1352) =fl(0.3443?102?0.1352)

=0.3457?102

（2）31.97+（2.456+0.1352）

?fl(0.3197?102?fl(0.2456?101)) = fl(0.3197?102?0.2591?101) =0.3456?102

易见31.97+2.456+0.1352=0.345612?102，故（2）的计算结果较精确。

2

4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？

解：设该正方形的边长为x，面积为f(x)?x2，由?(f(x))??(f(x))f(x)?xf(x)f'(x)?(x)

解得?(x)??(f(x))f(x)=

?(f(x))x2(f(x))xf'(x)x?2x??2=0.5%

5．下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？

（1）已知x??1，（A）y?11?2x21?2x?x1?x，（B）y?(1?2x)(1?x)； （2）已知x??1，（A）y?2，（B）y?x?1x(x?1x?x?1x； x?x?1x)（3）已知x??1，（A）y?2sin2xx，（B）y?1?cos2xx；

（4）（A）y?9?80，（B）y?19?80 解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。

（1）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。 （2）（B）中两个相近数相减，而（A）中避免了这种情况。故（A）算得准确些。 （3）（A）中sin2x使得误差增大，而（B）中避免了这种情况发生。故（B）算得准确些。 （4）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。

6．用消元法求解线性代数方程组

??x151?10x2?1015?x ?x12?2假定使用十进制三位浮点数计算，问结果是否可靠？ 解：使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为

???0.100?101x?0.100?1016x1612?0.100?10????(1)? ?0.100?101x?101x11?0.1002?0.200?10?????(2)（1）（-2）得10.10?10.6110x612??，即x2?10.10?1，把x2的值代入（1）得x1?00.；

3

把x2的值代入（2）得x1?0.100?101

解???x1?0.100?101??x1?0.100?1??x2?0.000?101不满足（2）式，解?10不满足（1）式，故在十进制三位浮??x2?0.100?101点数解该方程用消元法计算结果不可靠。

7．计算函数f(x)?x3?3x2?3x?1和g(x)?((x?3)x?3)x?1在x?2.19处的函数值（采用

十进制三位浮点数计算）。哪个结果较正确？

解：f(2.19)?0.480?101?0.219?101?3?0.480?101?0.657?101?1 ?0.105?102?0.144?102?0.657?101?1 =0.167?101

g(2.19)?((?0.81)?0.219?101?3)?0.219?101?1

?0.123?101?0.219?101?1=0.169?101

即f(x)?0.167?101，g(x)?0.169?101

而当x?2.19时x3?3x2?3x?1的精确值为1.6852，故g(x)的算法较正确。

8．按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算）：

61（1）?11?13i；(2)?i?63i。

i解：（1）?61?13?1133?111i?13i2?334?35?36=0.333?0.111?0.037?0.012?0.004?0.001

?0.489

?1 （2）1?11?111?1i?63i36?3534?33?323=0.001?0.004?0.012?0.037?0.111?0.333

?0.489

9．已知三角形面积S?12absinC，其中0?C??2。 证明：?(S)??(a)??(b)??(C)。 证

明

：

由

自

变量的误差对函数值的影响公式：

?n?(f(xxi?f(x1,x2,?,xn)1,x2,?,xn))?f(xx?(xi)。 得

i?11,x2,?,xn)?i?(S(a,b,C))?a?S(a,b,C)S(a,b,C)?a?(a)?b?S(a,b,C)C?S(a,b,C)S(a,b,C)?b?(b)?S(a,b,C)?C?(C)

4

?(S)?aabsinC?bsinC??(a)?babsinC?asinC??(b)?CabsinC?abcosC??(C)

=?(a)??(b)?CtgC?(C)

??(a)??(b)??(C)

（当0?C??2时，C?tgC），命题得证。

习题二

5

1．找出下列方程在x?0附近的含根区间。 （1）x?cosx?0；（2）3x?cosx?0； （3）sin(x)?e?x?0；

（4）x2?e?x?0； 解：（1）设f(x)?x?cosx，则f(0)1?，f(?1)?-0.4597，

由f(x)的连续性知在x???1,0?内，f(x)=0有根。

同题（1）的方法可得：（2），（3），（4）的零点附近的含根区间分别为?0,1?；??0,???2??；?0,1?

2．用二分法求方程xsinx?1?0在?0,2?内的根的近似值并分析误差。 解

：

令

f(x?)xs?ix，n则有f(0)??1?0，f(2)?0.8186?0，

f'(x)?sinx?xcosx?0，x??0,2?

所以函数f(x)在?0，2?上严格单调增且有唯一实根x?。 本题中求根使得误差不超过10?4，则由误差估计式

|??xb?ak|?2k?1，所需迭代次数k满足2?02k?1?10?4，即取k?13.28便可，因此取k?14。 用二分法计算结果列表如下：

k ak bk xk f(xk) 0 0 2 1 -0.1585 1 1 2 1.5 0.4962 2 1 1.5 1.25 0.1862 3 1 1.25 1.125 0.015051 4 1 1.125 1.0625 -0.0718 5 1.0625 1.125 1.09375 -0.02835 6 1.09375 1.125 1.109375 -0.00664 7 1.109375 1.125 1.1171875 0.004208 8 1.109375 1.1171875 1.11328125 -0.001216 9 1.11328125 1.1171875 1.115234375 0.001496 10 1.11328125 1.115234375 1.1142578125 0.001398 11 1.11328125 1.1142578125 1.11376953125 -0.000538

6

12 1.11376953125 1.1142578125 1.114013671875 -0.000199 13 1.114013671875 1.1142578125 1.1141357421875 -0.0000297 14 1.1141357421875 1.1142578125 1.11419677734375 0.000055 由上表可知原方程的根??x14?1.11419677734375

该问题得精确解为??1.114157140871?，故实际误差为0.0000396?

3．判断用等价方程x??(x)建立的求解的非线性方程f(x)?x3?x2?1?0在1.5附近的根的简单迭代法xk?1??(xk)的收敛性，其中

（A）?(x)?1?1/x2；（B）?(x)?31?x2；（C）?(x)?1x?1 解：取1.5附近区间?1.3,1.6?来考察。（A）?(x)?1?1x2，显然当x?0时，?(x)单调递减，而?(1.3)?1.59171596，

?(1.6)?1.390625，

因此，当x??1.3,1.6?时， ?(x)??1.3,1.6?。 又当x??1.3,1.6?时，?'(x)??2x3?21.33?0.92?1， 由迭代法收敛定理，对任意初值x??1.3,1.6?，迭代格式x1k?1?1?x2， (k?0,1,2,?)收敛。 k1（B）?(x)?(1?x2)3，则?(1.3)?1.390755416，

?(1.6)?1.526921344，

?'(x)?12x32?0 (x?0)，

(1?x2)3所以当x??1.3,1.6?时， ?(x)??1.3,1.6?。

又当x??1.3,1.6?时，?'(x)?2x32?21.6(1?x2)332?0.552?1，

(1?1.32)31由迭代法收敛定理，对任意初值x??1.3,1.6?，迭代格式x2k?1?(1?xk)3，(k?0,1,2,?)收敛。 （C）?(x)?1x?1，由于当x??1.3,1.6?时，有

7

?'(x)??113?3?1.075828706?1，

2(x?1)22(1.6?1)2所以对任意初值x??1.3,1.6?（原方程的根除外），迭代格式x1k?1?x (k?0,1,?2,发k?1散。

4．确定x??(x)的简单迭代法xk?1??(xk)的收敛区间?a,b?。如果收敛，试估计使精度达到

10?4时所需的迭代次数并进行计算。

（A）?(x)?2?ex?x23； （B）?(x)?5sinx?cosxx2?2； （C）?(x)?2

解：（A）方程为2?ex?x2?3x?0，设f(x)?2?ex?x2?3x，则f(0)?1?0， f(0.5)?-0.8987?0，故有根区间为[0,0.5]，题中?(x)?2?ex?x23， |?'(x)|?|2x?ex3|?|2?0?e03|?0.3333

故迭代公式?(x)?2?ex?x23在含根区间[0,0.5]内收敛。

（B）方程为x3?2x2?5?0，设f(x)?x3?2x2?5，则f(2.5)?-1.875?0，

f(3)?4?0，故有根区间为[2.5,3]，题中?(x)?5x2?2，|?'(x)|?|?1010x3|?|2.53|?0.64?1故迭代公式?(x)?5x2?2在含根区间[2.5,3]内收敛。

（C）方程为sinx?cosx?2x?0，设f(x)?sinx?cosx?2x，则f(0)?1?0，

f(1)?-0.6182?0，故有含根区间[0,1]，题中?(x)?sinx?cosx2，

|?'(x)|?|cosx?sinx2|?|cos0?sin02|?0.5?1

5．对下点列用埃特金方法加速。

8

x0?0.54030,x1?0.87758,x2?0.94496,x3?0.96891, x4?0.98007,x5?0.98614,x6?0.98981.解：由埃特金加速公式x~?x(xk?1?x2k)kk?x计算，结果列下表：

k?2?2xk?1?xkk xk k ~xk 0 0.54030 0 0.96178128343831 1 0.87758 1 0.98211751784481 2 0.94496 2 0.98980773260360 3 0.96891 4 0.98007 5 0.98614 6 0.98981

6．令初值x0?1，分别用牛顿迭代法，双点弦割法和单点弦割法求解方程f(x)?x2?6?0的解。

解：牛顿迭代法

f'(1)?2?0，f''(2)?2?0，满足f'(1)f''(1)?0，由牛顿迭代法的收敛条件知当取初值为

x0?1时迭代法收敛。

牛顿迭代格式为：xk?xf(x)x2kk?6xk3?1k?f'(x?xk???

k)2xk2xkk xk 0 1 1 3.5 2 2.60714285714286 3 2.45425636007828 4 2.44949437160697 5 2.44948974278755 6 2.44948974278318

9

7 2.44948974278318 在第6部迭代后，迭代点得小数点后14位已无变化，故可取??x6?2.44948974278318

双点弦割法

双点弦割法迭代格式为：x?xf(xk)xk?1xk?6k?1k?f(x(xk?1?xk)?

k?1)?f(xk)xk?1?xkk xk 0 1 1 3.5 2 2.11111111111111 3 2.38613861386139 4 2.45425636007828 5 2.44942735725712 6 2.44948968214144 7 2.44948974278395 8 2.44948974278318 9 2.44948974278318 在第8部迭代后，迭代点得小数点后14位已无变化。

单点弦割法

单点弦割法迭代格式为：xk?1?xxk)f(x(xx0xk?6k?f(0?xk)?

0)?f(xk)x0?xkk xk 0 1 1 3.5 2 2.11111111111111 3 2.60714285714286 4 2.38613861386139 5 2.47660818713450 6 2.43818334735072 7 2.45425636007828 8 2.44748955456412 9 2.45033071771908 10 2.44913644779691 11 2.44963821399228

10

12 2.44942735725712 13 2.44951595791130 14 2.44947872716250 15 2.44949437160696 16 2.44948779773504 17 2.44949056010085 18 2.44948939934302 19 2.44948988709816 20 2.44948968214143 21 2.44948976826509 22 2.44948973207557 23 2.44948974728256 24 2.44948974089252 25 2.44948974357764 26 2.44948974244934 27 2.44948974292346 28 2.44948974272423 29 2.44948974280795 30 2.44948974277277 31 2.44948974278755 32 2.44948974278134 k?31以后，迭代点得小数点后11位已无变化，因收敛速度较慢，故只精确到小数点后11位

7．建立利用方程x3?c?0求3c(c?0)的Newton迭代格式，并讨论算法的收敛性。 解：牛顿迭代格式为：xk?1?xf(x)f'(x)?xx33kk?c2xk?ck?k?3x2?2 kk3xk令f(x)?x3?c，因为当x?0时，f'(x)?3x2?0，f''(x)?6x?0，

故对于任何满足f(x)?x30?c?0，

即x30?c的初值x0，上述Newton迭代产生的迭代序列收敛于3c。

8．建立利用方程x?cx2?0求3c(c?0)的Newton迭代格式，并讨论算法的收敛性。

16

??1???0???其中:L??a(1)21a(1)???11?1??????? 显然, L1非奇异;对任何??x ?0, 有: L1x?0

?a(1)???n1?a(1)?????1?11??? A正定,

? ?LT1x?A?L1x??xT(LT1AL)1x?0，? LT1AL1正定;

又: LT??a(1)110?1AL1=?0A(2)?? 而 a(1)11?0 故A(2)正定; (1)n(1) 当A对角占优时, |aii|??|a(1)ij| i?jn |a(2)(2)(1(1)(1)(1n)ii|??a|ij?||aii?)ai1a1i/a11|?a(ij?aia1j/1a|1 1i?ji??|1)(1)j,j?2 ?1?a(1)?|a(1)(1)(1)(1)n(1)(1)(1)(1)?11?iia11?ai1a1i|??|aija11?ai1a1j|?

i?j,j?2?

?1??|a(1)(1)(1)(1)n(1)(1)(1)?a(1)11?iia11|?|ai1a1i|??(|aija11|?|ai1a(1)1j|)? i?j,j?2??1?nn

a(1)?|a(1)11|(a(1)(1)(1)(1)|??ii??|aij|)??|ai1a1j?

11i?j,j?2i?j,j?1??1?a(1)?|a(1)|(a(1)n?|a(1)|)?(1)n

(1)?11?11ii??ij|ai1|j,j?2i??|a1j|? ij,j?1??1?a(1)?|a(1)(a(1)n

(1)|a(1)(1)?11?11|ii??|aij|)?i1||a11|?

i?j,j?2? ?1?na(1)?|a(1)|?|a(1)?11?11?ij|??0 i?j,j?1?故 A(2对角占优)

17

4.证明 (1)两个单位上(下)三角形矩阵的乘积仍为单位上(下) 三角形矩阵;

(2)两个上(下)三角形矩阵的乘积仍为上(下) 三角形矩阵.

证明:

(1) 不妨考虑证单位下三角矩阵,单位上三角矩阵证明方法相同

?0，j?i?0，设 AB=C 其中:A???1，j?i;B??j?i?1，j?i;C?(cij)n?n

??aij,j?i??bij,j?ii当ij时

nic

ij??aikbkj??1?aikbkjkk?j n当i=j时， cii??aikbki?aiibii?1

k?1当i>j时

nicij??a，所以,C为单位上三角矩阵

ikbkj??1?aikbkjkk?j(2) 证明方法类似(1)

5．证明单位上(下)三角形矩阵的逆矩阵仍为单位上(下)三角形矩阵; 非奇异上(下)三角形矩阵的逆矩阵仍为非奇异的上(下)三角形矩阵; 证明:……………………………………………………………………

6.用矩阵的三角分解求解下列线形代数方程组

???2?235?1?2????x1???1?（1）?12??x???2??253?2??x??4? 3??7??1323????x???4??0?

?1???1?2解：L???1??13???2?2??5??11??2)? X(0U?31?3???2??5???1?????2?1?7?????12??2? y? x???

?9??2?3???????2?2????1?18

???2211????

??1234??x1??2?（2）?14916?????x???2???10? ?182764??11681256????x3??44??x???4??190?解：

??1??1234?L??11????? U??2612? ?131?? ?1761???624??24??

??81?3627?18????x1??252?（3）??36116?6268x???2148??????? ?27?6298?44??x3???1868?4490????74??x???4??134?解：

??9??28??4?L???410???? y??26???? x??3? ?3?58??15??2???26?17????7????1??

??42.423?（4） ?2.45.4445.8??x1??12.280?????x????216.928?245.217.45??x??? 3??22.957?35.87.4519.66????x????4??50.945?解

3????2?y??8???18?? ?24?????3?????1?? x??1?? ??1??1?? 19

??2?L??1.22?????6.14????1.2? y??4.78?0.8??11.41.5??6.7??5 x???1.7?? ?1.522.13????6????2??

?7．求解矩阵方程?123??41?2??4710??X???144?6??。 ??142231????4514?17???123??1?41?2?111?解； X=??4710???144?6?=??000?

????142231???????4514?17????10?1??

8．用追赶法解线性代数方程组

??21??131??3???111????X??5?3??。

?21????3??解：b1?2 b2?3 b3?1 b4?1

a2?1 a3?1 a4?2 c1?1 c2?1 c3?1 l51?b1?2 u1?c1/l1?1/2 l2?b2?a2u1?2

u22?c2/l2?5 ， l?35 ， u573?b3?a3u23?c3/l3?3，l4?b4?a4u3??3 y31?2 yd782?(2?y1a)2/l2?5 y3?(d3?y2a)3/l3?3，y4?(d4?y3a4)/l4?1x4?y4?1 x3?y3?u3x4?1 x2?y2?u2x3?1 x1?y1?u1x2?1 ??1???? x?1??

?1??1??

10证明等价关系：

1n||x||1?||x||??||x||2?||x||1

20

证明：?||x||??max1?i?n|xi|??n|x2i|?||x||2

i?1nnn又||x||xx||||x||11??|i|??max|xi|??||x||??n||?，所以

i?1i?11?i?ni?1n?||x||? 由Cauchy不等式知： ?nn|x2i|?i，所以：||x||1?||x||2

i?1?|x|i?1综上说述，即证。

11证明由 ||A|m|a|Axp|?x|p||x|定义的||?||是Rn?n中的范数。 |x|?||0|p|||?A||||(A?B)x||pp?max||x||?0证明：显然：

||x||p||AX||||A||p?0 且 ||A|p|??0A??P||x||?||||maxx||?0p||maxBx||px||?0||x||||B||p||A||pp任意常数? ||?A|p|?||?Ax|p||?|x|m?||a0x||x|p| ?m|x|?a||x||Ax|p|0||x| |p|

?|?|max||Ax||p||x||?0||x||=|?|||A||

p||A+B||=

max||(A?B)x||p||AX?Bx||p||AX||P?||Bx||p||x||?0||x||=

maxp||x||?0||x||?p||maxx||?0||x||p?||max||AX||Px||?0||x||?max||Bx||p||=||A||p+||B||p p||x||?0||xp

n12 证明||A||1?max1?j?n?|aij|

i?1证明：对任何||x||1?1 由于||xi||1?1 故

nnnn||Ax||1?max1?j?n?|aijxj|?maxi?11?j?n?|aij||xj|?maxi?11?j?n?|aij|，因此，||A||1?maxi?11?j?n?|aij|

i?1

0

nn21

另一方面：设指标jo满足：

?|aiji?1o|?max1?j?n?|aij|

i?1定义x*如下：x*???1a?ijo?0 显然，*?||x||=1

??1aijo?0而且，?nAx?*nnjo??aijimaxi?1ox??|aij1o|?1?j?n?|aij|

i?i?1n从而，||Ax*||*1?||Ax||jo?max1?j?n?|aij|

i?1即成立：||A||1?max||x||||Ax||1?||Ax*||1?max11?j?n?n|aij|

i?1综上得命题成立

13研究线形代数方程组??1.0001.001??1.0001.000????x1???x???2.001?2??2.000?的性态，并求精确解，设近似解

??x~???2??||x?x||?0?，计算余量r?b?Ax以及近似解的相对误差?||x||

解：因为该线性方程组的系数矩阵的逆矩阵为：?? -1000 1001?? 1000 -1000??

条件数为4.0020e+003，远大于1。所以其为病态的，其精确解为：x???1???1?

余量为：r=??2.001????2.000????1.0001.001??2??1.0001.000????0????0.001??0?? ||?x?x||?||??1??1?||~x?1??||?1.4142，||x||?||?x||?1??||?1.4142，所以：

??||x||?100%

14．计算Hilbert矩阵

??1??1121??????1311n122

Hn???234n?1??????? ???1111??nn?1n?2?2n?1??解：先求出H?113,H4,H5,H6的逆矩阵H3,H?14,H?15,H?6

然后，计算||H?13||, ||H3|| , ||H4|| , ||H?1?14|| , ||H5||, ||H5||||H?16||,得出：cond(H3)?748 cond(H4)?3?103 cond(H5)?9?105 cond(H6)?6?107

15．求用雅克比迭代解下列线性代数方程组的两次迭代解（取初始向量X(0)＝0）。??3x1?x2?x3?1,?10x1?5x2?6,5x?10x?4x?25,(1)??3x?6x

(2)?23?12?2x3?0, ?1??4x2?8x3?x4??11,

?3x1?3x2?7x3?4;???x3?5x4??11;解：（1）雅可比迭代式为：

??x(k?1)1?1(1?x(k)?(k)?32x3)??0??x(k?1)1(k)(k)(0)???2?6(?x1?2x3)，取x??0?

??0???x(k?1)1?3x(k)(k)??3?7(41?x2)??1???1?3??7??则 x(1)???0?? x(2)??5????14

?4????7????3??7???

||H6||, ,

?(k?1)?x1??x(k?1)?2（2）雅可比迭代式为 ??x(k?1)?3?(k?1)?x41(k)(6?5x2)101(k)?(25?5x1(k)?4x3)10 1(k)(k)?(?11?4x2?x4)81(k)?(?11?x3)?23

?5??3??1??5???3??0???5??20?取x(0)??0?，则 x(1)????33??2???20???0??? (2)? ?0????11 x?????2?8????11??5???5?????99?40??

16．若要求精度x(k)?x??10?3，仍用雅克比迭代求解15题，至少需迭代多少次？解：1） 雅可比迭代矩阵为：

??01?3?1?3?B1J????0?1??3? ||BJ||? 0.8084 ?2?????37?370???由公式K????ln??1?||BJ||???||x(1)?x(0)||ln(||BJ||)知，需要10次迭代 ?（2）雅可比迭代矩阵为：

24

??0100??2???102?B??250??J??11?，同上，需要22次迭代。 ?00?28???1?0050???

17．求用高斯－塞德尔迭代求解15题的两次迭代解（取初始向量X(0)＝0）。（1）高斯赛德迭代式

??x(k?1)1?1(1?x(k)(k)2?x3)?3??x(k?1)?1(?x(k?1)(k)21?2x3)

?6??(k?1)1(k?1)(k?1)?x3?7(4?3x1?x2)?1??1??0???3????9??取x(0)??1 x(2)2?0???，则 x(1)????? ????

?0???6?????9???1??13??2????21??（2）高斯赛德迭代式

??x(k?1)?11?10(6?5x(k)2)?x(k?1)?2?1(25?5x(k?1)(k)?101?4x3)?x(k?1)?3?1

8(?11?4x(k?1)(k)2?x4)??(k?1)?x4?15(?11?x(k?1)3)??0??0.6000???0.500?0取x(0)??0??(1)2.2000????? x(2)2.6400?0?? 则x????2.7500?????0.336??9 ?0?????2.2550?????2.267??4

25

18．求用SOR迭代（??1.1）求解15题的两次迭代解（取初始向量X(0)＝0）。 解：（1）

??x(k?1)(k)1.1(1?x1?(?3xk)1?1?x(k)?x(k))?323??x(k?1)?x(k)?1.1(?6x(k)?1)(k)2?x(k1?2x3) k=0,1, ?226???x(k?1)3?x(k)3?1.17(?7x(k)(k?1)(k?1)3?4?3x1?x2)?取x(0)??0??0??0.3333????，则 x(1)????0.1833?? x(2)??0.0492???0.192??0????0.5007???0.5880?3 ?????x(k?1)?x(k)1.111?10(?10x(k)(k)1?6?5x2)??x(k?1)?x(k)1(k)(k)2?2）?2（?10(?10x2?25?5x(k?1)1?4x3) k=0,1,

??x(k?1)3?x(k)1(k)(k?1)(k)3??8(?8x3?11?4x2?x4)??x(k?1)4?x(k)1(k)(k?1)4?5(?5x4?11?x3)??0??0.6000???0.653?5取x(0)??0??? 则x(1)2.1700????? x(2)??2.5625? ?0?????0.1815???0.255??0???4??2.2399?????2.032??2

19．设有线性代数方程组

??2x1?x2?x3??1,?2x1?2x2?2x3?4, ???x1?x2?2x3??5;（1） 判断雅克比迭代的收敛性； （2） 判断高斯—塞德尔迭代的收敛性。 解：（1）雅克比迭代矩阵

26

?B?01?1???20?2??? |?I?B???11??2J?J|??2?2??????5??0

??110?????1?1??????BJ??52?1 故雅克比迭代发散 （2） 高斯—塞德尔迭代矩阵

?00??200??1?01??12??01?1???01?1???22??BG?S???220???1??00?2??110???00?21???=?0??1???1?12????000?=???????222? ??11????042??000???2?????00?1?2???2|?I?BG?S|???????1?2???0 ，???B1G?S??2?1，故高斯—塞德尔迭代收敛

20．设矩阵A＝??a11a12??aa?为二阶矩阵，且a11a12?0。证明雅克比迭代和高斯－塞德尔迭代2122?同时收敛或发散。

证明： 因为a11a12?0，所以a11?0,a12?0 雅克比迭代矩阵

??10???a12?Ba11a11?J???1???? |?I?BJ|???????2?a12a21???0???a21?0a??????aa 1122?22?a22????BJ??|a21a12a| 11a22高斯－塞德尔迭代矩阵

?10????1?a12?B?a0??0?a?21?a11?G?S??11?a12a??0???a1122??01??????0?a??021???00?????a?? 21a12??a21a11a22a?022??a?11a22?

27

|?I?B?aa?aaG?S|??????2112aa??0，???BG?S??|2121a|

1122?11a22所以，雅克比迭代和高斯－塞德尔迭代同时收敛或发散。

21．设线性代数方程组为??63??32????x1??0??x????.

2???1?(1) 试用最速下降法求解（取初始向量X(0)＝?0,0?T，计算到X(4)）；

(2) 试用共轭梯度法求解（取初始向量X(0)＝?0,0?T）。 解：（1）最速下降法 T由p?k??b?Ax(k) t(k)??p(k)?(p(k))(k?1)k)?Ap(k)?T 和(p(k))x?x(k)?t(p(k)

K=0,1,2,3 得p(0)? ?? 0?? -1?? t?0?? 0.5000 x?1???? 0?? -0.5000??p(1)? ??1.500?0? 0?? t?1??0.1667 x?2???? 0.2500?? -0.5000??

p(2)? ?? 0?? -0.75?? 0 0 t?2?? 0.5000 x?3???? 0.2500?? -0.8750??

p(3)? ??1.125?0? 0?? t?3?? 0.1667 x?4????0.4375??-0.8750??

（2）共轭梯度法 (k)T(k)由x(k?1)?x(k)?t(k)p(k) t(k)??r?(p)? r?k??b?Ax(k) r?0??p(0)

Ap(k)?T(p(k))(k?1k)p(k?1)?r(k?1)?a(k)p(k) a(k)???Ar,)p(???Ap(k),p(k) K=0,1 得r?0? =??0???? p?0? =?? 0??-1?? t?0? = 0.5000 x?1?? 0?-1 =?? -0.5000??

r?1? =??1.5000?? 0?? a?0? = 2.2 5 0 0 p?1? =?? 1.5000?? -2.2500?? t?1?= 0.6667 x?2? =?? 1?-2?，即为精确解

??

习题四

28

1.已知ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0.8329, 试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差 解：线形插值：取 x0?2.0 y0?0.693 1 x1?2.2 y1?0.788 5 x2?2.3 y2?0.832 9L?x1x?x1?xx0?x1f(x0)?0x1?x0f(x1)?2.1?2.32.0?2.30.6931?2.1?2.02.3?2.00.8329=0.7410

抛物线插值：

l(x?x1)(x?x2)20?(x l(x?x0)(x?x2)(x?x0)(x?x1)21?0?x1)(x0?x2)(x l22?

1?x0)(x1?x2)(x2?x0)(x2?x1)L2?l20y0?l21y1?l22y2=0.742

2.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值 解：解：取x0?0 x1?2 x2?3 x3?5 l(x?x1)(x?x2)(x?x)330?(x?x?x l(x?x0)(x?x2)(x?x3)31?

01)(x0?x2)(x03)(x1?x0)(x1?x2)(x1?x3)l(x?x0)(x?x1)(x?x3)(x?x0)(32?(x?x lx?x1)(x?x)233?

20)(x2?x1)(x2?x3)(x3?x0)(x3?x1)(x3?x2)L3?l30y0?l331y1?l32y2?l33y3=

10x3?132626x?15x?1

3.设函数f(x)在[a,b]上具有直到二阶的连续导数,且f(a)=f(b)=0, 求证:max|1a?x?bf(x)|?8(b?a)2maxa?x?b|f\(x)|

解：取xx?a0?a;x1?b，L1?a?bf(a)?x?bb?af(b)?0 ? Rf''(?)1?|f(x)?L1(x)|?|2x?a)(x?b)|?|f''(?)(b?a)2(2||4| ?|f(x)|?|Lf''(?)(b?a)2f''1(x)|?|2||4|?|L(?)8?a)|?|f\(?)1(x)|?|||(b8||b?a|

4.证明n次Lagrange插值多项式基函数满足

?nxkkiln,i(x)?x, 0?k?n

i?0

29

解：取f(x)?xkn 则Ln??lni(x)xki

i?0 f(x)?Ln?Rn?f(n?1()x)n(xk)(n?1)nn!?(x?xi)?(x?xi)=0 i?0n!?i?0所以f(x)?Ln(x) 即证

5.证明

ln,i(x)??n(x)(x?x

i)?'n(xi)证明：、lni?(x?x0)(x?x1)?(x?xi?1)(x?xi?1)?(x?xn)(x)?(x

i?x0)(xi?x1)?(xi?xi?1)(xi?xi?1i?xn) ?(x?x0)(x?1x?)(?xi?x1)?(x?ix1?)?(xnx?)(xix)(xi?x0)(xi?1x?)(i?x?xi)?(

1ix?ix1?)?(ixnx?)(xix)取 ?n?(x?x0)(x?1x?)(?x?ix1)?(xix?)(x?i1?x)?(xn x)?'n(x)?(x?1x?)(?xnx?)?(x（0x?)x2?x)?(xn?x)则 (x?x0)(x?1x?)(?xi?x1)?(x?ix1?)?(xn?x?)

?(x?x0)(x?1x?)(?xn?x1)?'n(xi)?(xi?x0)(xi?x1)?(xi?xi?1)(xi?xi?1)?(xi?xn)

所以，lni??n(x)(x?x' i)?n(xi)

6.设f(x)?a0?a1x??anxn有n个不同的实根x1,x2,?xn.

n证明:

?xki?0,i?1f'(x???1

i)?an证明：取?(x)?xk ?n?(x?x1)?x(?xn ) 而，f(x)?an0???anx 有n个不同的实根。可以写成f(x)?an?n(x)?nxki?1f'(x?ni?(xi)1n??(x'i)i?1an?n(xi)?i)a?i?1(xi?x1)?(xi?xi?1)(xi?xi?1)?(xi?xn) ?1a?[x?00?k?n?21,x2,?xn]????1 nank?n?1

30

7.分别求满足习题1和习题2 中插值条件的Newton插值 (1)

xi f[xi] f[xi?1,xi] f[xi?2,xi?1,xi] 2.0 0.6931 2.2 0.7885 0.477 2.3 0.8329 0.444 -0.11 N2(x)?f[x0]?f[x0,x1])(x?x0)?f[x0,x1,x2])(x?x0)(x?x1)

=0.693+0.477(x-2)-0.11(x-2)(x-2.2)

N2(2.1)?0.693+0.0477-0.0011=0.7419

(2)

xi f[xi] f[xi?1,xi] f[xi?2,xi?1,xi] f[xi?3,xi?2,xi?1,xi] 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 3/10 N233(x)?1?x?3x(x?2)?10x(x?2)(x?3)

8.给出函数f(x)的数表如下,求四次Newton插值多项式,并由此计算f(0.596)的值

xi 0.40 0.55 0.65 0.80 0.90 1.05 f(xi) 0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652 1.25382 解：

xi f[xi] F2 F3 F4 F5 F6 0.4 0.41075 0.55 0.57815 1.11600 0.65 0.69675 1.18600 0.28000 0.8 0.88811 1.27573 0.35893 0.19733 0.9 1.02652 1.38410 0.43347 0.18634 -0.02200 1.05 1.25382 1.51533 0.52492 0.22863 0.08846 0.16394 f(x)=0.41075+1.11600(x-0.4)+0.28(x-0.4)(x-0.55)+0.19733(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)

习题五

1．求最小二乘拟合直线拟合如下数据。 (a) 36

xk -2 -1 0 1 2 yk 1 2 3 3 4 mxk?x)(yk?y)解：由b??(k?1a?y?b*x。其中x?1?m(xm?mx?1?m，k，yyk。

k?x)2k?1mk?1k?1?0mm计算可得x，y?2.6，

?(xk?x)(yk?y)?7，(x?x)2?10。 k?1?kk?1?　b?0.7，a?y?b*x?2.6，该组数据的最小二乘拟合直线为：y?2.6?0.7x

(b)

xk -4 -2 0 2 4 yk 1.2 2.8 6.2 7.8 13.2 m解：解法同上题。用matlab计算得x?0，y?6.24，

?(xk?x)(yk?y)?58，

k?1?m(x2k?x)?40。?　b?1.45，a?y?b*x?6.24

k?1该组数据的最小二乘拟合直线为：y?6.24?1.45x （c）

xk 0.0 0.25 0.50 0.75 1.00 yk 1.0000 1.2840 1.6487 2.1170 2.7183 解：解法同上题。

mm用matlab计算得x?0.5，y?1.7536，

?(xk?x)(yk?y)?1.0674，k?1?(xk?x)2?0.625。

k?1?　b?1.7078，a?y?b*x?0.8997

该组数据的最小二乘拟合直线为：y?0.8997?1.7078x

2．求最小二乘拟合一次、二次和三次多项式，拟合如下数据并画出数据点以及拟合函数的图形。(a)

xk 1.0 1.1 1.3 1.5 1.9 2.1 yk 1.84 1.96 2.21 2.45 2.94 3.18 解：（1）一次最小二乘拟合多项式，做法如题一

mm37

x?1.4833，y?2.4300，?(x2k?x)?0.9683，?(xk?x)(yk?y)?1.1810，

k?1k?1?m(xk?x)(yk?y)b?k?1=1.2196，a?y?bx?0.6209

?m(xk?x)2k?1?该一次最小二乘拟合多项式为：p(x)?a?bx?0.6209?1.2196x

3.2离散点(*表示)和一次拟合多项式32.82.6y2.42.221.811.21.41.6x1.822.22.4

（2）二次最小二乘拟合多项式，设二次最小二乘拟合多项式为：p(x)?a0?a1x?a22x，由教材分析知，系数满足如下正规方程组：

??m??mx?m2??mkxkk?1k?1??m??a??y?k?0??k?1??xk?mx2k?mx3???m?ka??yx?，把表中的数值代入得： ?k?1k?1k?1??1???kk?mm?2???xkx3kk?1?k?1?x2??ak?1m?2???mk??k?1?????y2?kxk?k?1????68.914.17??a0??8.9??a0??0.5965807??8.914.1724.023?1724.02342.8629????a???22.808??a???1.253293?1?，解得????1??? ??14.???a2???38.0962????a2?????0.01085343???该二次最小二乘拟合多项式为：

38

p(x)?a0?a1x?a22x?0.5965807?1.253293x?0.1085343x2

3.2离散点(*表示)和二次拟合多项式32.82.6y2.42.221.811.21.41.6x1.822.22.4

3）三次最小二乘拟合多项式，设三次最小二乘拟合多项式为：

p(x)?a0?a1x?a2x2?a3x3，由教材分析知，系数满足如下正规方程组：

??m?m3??mxky???mmx2kk?1?xkk?1k?1??m????kk?1??mx23??xkkk?m?a?m?x4k??0?k?1k?1?mxk?1k?1?a???ykxk?m?1??k?1???x2?m3mx4?kkk?m??a???mx?，把表中的数值代入得：

5k??k?1k?1?xk?1k?1m??2???yx2kk??a3??k?1?3??xkk?1?mmx45kxkk?1?k?1?mm?x6??k???y3?kxkk?1??k?1????68.914.1724.023???8.914.1724.02342.8629??a0??8.9?a??22.8080???14.1724.02342.862979.5192???1?a????，

2???24.02342.862979.5192151.8010????a??38.0962??3??67.1883?（

39

??a0????0.6290193?a1.185010?解得：?1??a???? 2??0.03533252??a??3???0.001004723???该三次最小二乘拟合多项式为：

p(x)?a0?a1x?a2x2?a3x3?0.6290193?1.185010x?0.03533252x2?0.001004723x33.6离散点(*表示)和三次拟合多项式3.43.232.8y2.62.42.221.811.21.41.6x1.822.22.4

(b)

xk 4.0 4.2 4.5 4.7 5.1 5.5 5.9 6.3 6.8 7.1 yk 102.56 113.18 130.11 142.05 167.53 195.14 224.87 256.73 299.50 326.72 解：（1）一次最小二乘拟合，做法如题一

?mmx?5.4100，y?195.8390，(x2k?x)?10.7090，?(xk?x)(yk?y)?771.9531，

k?1k?1?m(xk?x)(yk?y)b?k?1m?72.0845，a?y?bx?-194.1382

?(xk?x)2k?1?该一次最小二乘拟合多项式为：p(x)?a?bx??194.1382?72.0845x

离散点(*表示)和一次拟合多项式40

350300250y2001501005044.555.5x66.577.5

（2）二次最小二乘拟合多项式，设二次最小二乘拟合多项式为：p(x)?a0?a1x?a2x2，由教材分析知，系数满足如下正规方程组：

?m?m2k??mxk?1?x??1??mk??y?kk??m2??xk?mx?m??a0?k?1x3??m?kk??a1??yx?，把表中的数值代入得： ?k?1k?1k?1?????kk?m?m?m????x2kx3x4???a2???k?1mkk??k?1k?1k?1?????yx2?kk?k?1????1054.1303.39??a0??54.1??a0??1.23556??54.1309.391759.8????a?1??11367?，解得

?a????1.14352???????1??6.61821? ?303.391759.810523???a2????68007????a2???????该二次最小二乘拟合多项式为：

p(x)?a0?a1x?a2x2?1.123556?1.14352x?6.61821x2

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