《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案

《矩阵分析》(第3版)北京理工大学出版社,课后习题答案,整理出来的,比较实用。

第1章 线性空间和线性变换（详解）

1-1 证：用Eii表示n阶矩阵中除第i行，第i列的元素为1外，其余元素全为0的矩阵.用

第j列元素与第j行第i列元素为Eij(i j,i 1,2, ,n 1)表示n阶矩阵中除第i行，1外，其余元素全为0的矩阵.

n(n 1)

个.不难证明Eii，Eij是线性无关的，2

n(n 1)n(n 1)

且任何一个对称矩阵都可用这n+=个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成

22

n(n 1)

维线性空间. 2

n(n 1)

同样可证所有n阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为.

2

n(n 1)

评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个维线性空间，只需找出

2

n(n 1)n(n 1)

个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这个向量线性表示即22

显然，Eii，Eij都是对称矩阵，Eii有可.

1-2解: 令 x1 1 x2 2 x3 3 x4 4 解出x1,x2,x3,x4即可.

1-3 解：方法一 设A x1E1 x2E2 x3E3 x4E4

即 故

12 11 11 11 10

x x x x1 2 3 4

03 11 10 00 00

12 x1 x2 x3 x4 x1 x203

于是

x1 x2 x3

x1

x1 x2 x3 x4 1,x1 x2 x3 2

x1 x2 0,x1 3

解之得

x1 3,x2 3,x3 2,x4 1

即A在E1,E2,E3,E4下的坐标为(3, 3,2, 1).

T

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方法二 应用同构的概念，R

2 2

是一个四维空间，并且可将矩阵A看做(1,2,0,3)T，

E1,E2,E3,E4可看做(1,1,1,1)T,(1,1,1,0)T,(1,1,0,0)T,(1,0,0,0)T.于是有

11111 0003 11102 1

0100 3 11000 0102

1

000

3 0 0

00

1 1

因此A在E1,E2,E3,E4下的坐标为(3, 3,2, 1)T.

1-4 解：证：设k1 1 k2 2 k3 3 k4 4 0

即

k 11 11 k 11 2 01 k 11 3 10 k 10 1 4 11

k1 k

2 k3 k4k1 k2 k3 k1 k3 k4

k kk 0

12 4 于是

k1 k2 k3 k4 0,k1 k2 k3 0 k1 k3 k4 0,k1 k2 k4 0

解之得

k1 k2 k3 k4 0

故α1,α2,α3,α4线性无关. 设

ab cd x 11 1 11 x 11 2 01 x 11 13 10 x4 1 x1 x2 x3 x4x1 x2 x3 x1 x3 x4

x

1 x2 x4 于是

x1 x2 x3 x4 0,x1 x2 x3 0 x1 x3 x4 0,x1 x2 x4 0

解之得

x1 b c d 2a,x2 a c

0 1

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x3 a d,x4 a b

x1,x2,x3,x4即为所求坐标.

1-5 解：方法一 （用线性空间理论计算）

1

323 0 p(x) 1 2x 1,x,x,x 0

2

y1 y

23 2 1,x 1,(x 1),(x 1) y

3 y4

又由于

23

1,x 1,(x 1),(x 1)

111 1 223 0 1,x,x,x 001

000

1 3 3 1

23

于是p(x)在基1,x 1,(x 1),(x 1)下的坐标为

y1 1 y 0 2 y3 0 y4 0

3

111 1 3

0 6 1 23

01 3 0 6

001 2 2

1

方法二 将p(x) 1 2x根据幂级数公式按x 1展开可得

p(x) 1 2x3

p (1)p (1)

(x 1)2 (x 1)3 2!3!

3 6(x 1) 6(x 1)2 2(x 1)3 p(1) p (1)(x 1)

23

因此p(x)在基1,x 1,(x 1),(x 1)下的坐标为 3,6,6,2 .

T

评注：按照向量坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更简单一些.

1-6 解：①设

β1,β2,β3,β4 α1,α2,α3,α4 P

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将α1,α2,α3,α4与β1,β2,β3,β4代入上式得

2 1 1 1

故过渡矩阵

03105321

6 100

1106

1 0 11

3 00 10

1

1 0 P 0 1

1 1P

0 0 1 2 3 2 1 2 3 2

②设

01 10 2112

1 2

100

10 1

11 11 2 2

5

4 2

9

5 2

11

8 2

056

336 121

013

y1 1

y 0

ξ (β1,β2,β3,β4) 2

y3 1

0 y4

将β1,β2,β3,β4坐标代入上式后整理得

y1 2 y 1 2 y3 1 y4 1

03105321

7 9

1

6 1 8

6 0 27

1 1 1

3 0 3

2 27

评注：只需将αi,βi代入过渡矩阵的定义 β1,β2,β3,β4 α1,α2,α3,α4 P计算出

P.

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1-7 解：因为

span{α1,α2} span{β1,β2} span{α1,α2,β1,β2}

由于秩span{α1,α2,β1,β2} 3，且α1,α2,β1是向量α1,α2,β1,β2的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为α1,α2,β1.

方法一 设ξ span{α1,α2} span{β1,β2}，于是由交空间定义可知

1 1 2 1 2 1 1 1

k1 k2 k3 k4 0 1 1 0 3 011 7

解之得

k1 l2,k2 4l2,l1 3l2(l2为任意数)

于是

ξ k1α1 k2α2 l2[ 5,2,3,4]T(很显然ξ l1 1 l2 2)

所以交空间的维数为1，基为[ 5,2,3,4]T. 方法二 不难知

span{α1,α2} span{α1,α 2},span{β1,β2} span{β1,β2}

其中α 2 [ 2, 2,0,1],β2 [

T

13

,2,1,0]T.又span{α1,α 2}也是线性方程组 3

x1 x3 2x4

x 2x x34 2

的解空间.span{β1,β 2}是线性方程组

13 x x3 2x4 1

3

2x3 x4 x2

的解空间，所以所求的交空间就是线性方程组

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x3 2x4 x1

x 2x3 x42

13

x1 3x3 2x4

2x3 x4 x2

的解空间，容易求出其基础解系为[ 5,2,3,4]T，所以交空间的维数为1，基为

[ 5,2,3,4]T.

评注：本题有几个知识点是很重要的.(1)span{α1,α2, ,αn}的基底就是

α1,α2, ,αn

的极大线性无关组.维数等于秩

{α1,α2, ,αn}.(2)span{α1,α2} span{β1,β2} span{α1,α2,β1,β2}.(3)方法

一的思路，求交span{α1,α2} span{β1,β2}就是求向量ξ，既可由α1,α2线性表示，又可由β1,β2线性表示的那部分向量.(4)方法二是借用“两个齐次线性方程组解空间的交空间就是联立方程组的解空间”，将本题已知条件改造为齐次线性方

程组来求解.

1-8解:

x1 2x2 x3 x4 0

(1):解出方程组的基础解系,即是V1的基, （Ⅰ）

5x 10x 6x 4x 0234 1

解出方程组（Ⅱ）x1 x2 x3 2x4 0的基础解系,即是V2的基;

x1 2x2 x3 x4 0

(2): 解出方程组 5x1 10x2 6x3 4x4 0的基础解系,即为V1 V2的基;

x x x 2x 0

4 123

(3):设V1 span 1, , k ,V2 span 1, , l ,则 1, , k, 1, , l的极大无关组即是V1 V2的基. 1-9解:仿上题解.

1-10解: 仿上题解.

1-11 证：设

l0ξ l1A(ξ) l2A2(ξ) lk 1A

k 1

(ξ) 0 ①

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用A

k 1

从左侧成①式两端，由A

k

(ξ) 0可得

l0A

因为A

k 1

k 1

(ξ) 0

(ξ) 0，所以l0 0，代入①可得

k 1

l1A(ξ) l2A2(ξ) lk 1A

用A

k 2

(ξ) 0 ②

从左侧乘②式两端，由A

k

(ξ) 0可得l0 0，继续下去，可得(ξ)线性无关.

l2 lk 1 0，于是ξ,A(ξ),A2(ξ), ,A

k 1

1-12 解：由1-11可知，n个向量ξ 0,A(ξ),A

一个基.又由

2

(ξ), ,A

n 1

n 1

(ξ)线性无关，它是V的

A[ξ,A(ξ),A2(ξ), ,A [A(ξ),A2(ξ), ,A [A(ξ),A2(ξ), ,A

n 1n 1

(ξ)]

(ξ)](ξ),0]

0 00

0 00

1 00

0 00

0 10 n n

0 1 0

[ξ,A(ξ),A2(ξ), ,An 1(ξ)]

0 0

所以A在ξ,A(ξ),A

2

(ξ), ,A

0 1 0 0 0

n 1

(ξ)下矩阵表示为n阶矩阵

0 00 0 00 1 00

0 00

0 10

评注：n维线性空间V中任何一组n个线性无关的向量组都可以构成V的一个基，

因此ξ,A(ξ),A

1-13证: 设 1, , r, , s 1, , m A,A 1, , r, , s 设 1, , r是 1, , r, , s的极大无关组，

2

(ξ), ,A

n 1

(ξ)是V的一个基.

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则可以证明 1, , r是 1, , r, , s的极大无关组. 1-14 解：(1)由题意知

A[α1,α2,α3] [α1,α2,α3]A

111

[β1,β2,β3] [α1,α2,α3] 011

001

设A在基β1,β2,β3下的矩阵表示是B，则

1

B P 1AP 0

0 2 3 2

11

11 01 4 43

1

123 111 103 011 215 001 4 6 8

(2)由于A 0，故AX 0只有零解，所以A的核是零空间.由维数定理可知

A的值域是线性空间R3.

1-15解:已知A

1, 2, 3 1, 2, 3 A

1

(1) 求得式 1, 2, 3 1, 2, 3 P中的过渡矩阵P,则B PAP即为所求; (2)仿教材例1.5.1.(见<矩阵分析>史荣昌编著.北京理工大学出版社.)

1-16解:

设A 1, 2, 3 ,则R(A) span 1, 2, 3 ;N(A)就是齐次方程组Ax 0 的解空间. 1-17证:

由矩阵的乘法定义知AB与BA的主对角线上元素相等,故知AB与BA的迹相等;再由1-18 题可证. 1-18证:

对k用数学归纳法证。

1-19证：设A ,则A

1-20证：设A ,则A

2

2

2

2

,即 = 2 ,即 =1或-1。

,即A = 2 ,即 =1或0。

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1-21解：设A ,其中 0，则A

1 1 1

1-22证：设B PAP,则 E-B E-PAP=P E AP E A。

-1

1

。

1-23解：仿线性代数教材例题。

1-24 证：若

10 01 00 00 k1 k k k 2 00 3 10 4 01 0

00

即

k1

k3k2

0 k4

所以 k1 k2 k3 k4 0 因此满足

k1E11 k2E12 k3E21 k4E22 0

的k1,k2,k3,k4只能全为零，于是E11,E12,E21,E22线性无关.

1-25 证：容易验证等式

α1 α2 α3=0

所以α1,α2,α3线性相关.

1-26 证：先证：R x n中的元素

1,x,x2, ,xn 1

是线性无关的.设

k0 1 k1 x k2 x2 kn 1 xn 1 0

由于R x n中x是变量，所以欲使上式对于任何x都成立的充分必要条件是

k0 k1 kn 1 0

于是1,x,x, ,x

2

n 1

线性无关.

对于R x n中任何一个向量（多项式）

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f(x) a0 a1x a2x2 an 1xn 1 R x n

均可由1,x,x2, ,xn 1线性表出，这表明：1,x,x2, ,xn 1是R x n的基，于是R x n

是n维的.

不难验证：1,x a,(x a)2, ,(x a)n 1也是R x n的一组基.因为

f (a)f(n 1)(a)2

f(x) f(a) f (a)(x a) (x a) (x a)n 1

2!(n 1)!

故f(x)在这组基下的坐标为

f (a)f(n 1)(a) f(a),f (a),, ,

2!(n 1)!

1-27 解：A的核空间就是Ax 0的解空间，所以Ax 0的基础解系就是核空间的基.对A

作初等行变换后得

10

12A

12

2 2

因此Ax 0的解为

21 1

013

55 0

1 2 0

210000

1 2 0 0

x1 2x3 x4

3

x2 x3 2x4 2

其中x3,x4为自由变量.不难知Ax 0的基础解系可以取为

α1 ( 4, 3,2,0)T ( 4, 3,2,0)T α1

或 TT

α2 ( 1, 2,0,1) α 2 ( 6, 7,2,2)

它们都可以作为A的核空间的基，核空间是二维的.

1-28 解：设α (1,2,1,1)在所给基α1,α2,α3,α4下的坐标为k1,k2,k3,k4，故

T

α k1α1 k2α2 k3α3+k4α4

即

(1,2,1,1)T k1(1,1,1,1)T k2(1,1, 1, 1)T k3(1, 1,1, 1)T k4(1, 1, 1,1)T

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(k1 k2 k3 k4,k1 k2 k3 k4,k1 k2 k3 k4,k1 k2 k3 k4)

于是有

k1 k2 k3 k4 1 k k k k 2 1234

k k k k 1 1234 k1 k2 k3 k4 1

解之得

5111

k1 ,k2 ,k3 ,k4

4444

5111T

所以α在所给基α1,α2,α3,α4下的坐标为(,, , ).

4444

1-29 解：设

12 11 11 11 10

k k k k 10 1 11 2 10 3 01 4 11

k1 k2 k3 k4

k1 k2 k4

于是有

k1 k2 k3

k1 k3 k4

k1 k2 k3 k4 1

k k k 2 123

k k k 14 12 k3 k4 0 k1

解之得

k1 1,k2 1,k3 0,k4 1

所以A在已给基下的坐标为(1,1,0, 1).

1-30 解：因为

T

x a ( a) 1 1 x

(x a)2 ( a)2 1 2a x 1 x2 (x a)3 ( a)3 1 3a2 x 3a x2 x3

(x a)n 1 ( a)n 1 1 (n 1)( a)n 2 x

故由1,x,x, ,x

2

n 1

2

(n 1)(n 2)

( a)n 3 x2 xn 1

2

n 1

到1,x a,(x a), ,(x a)

的过渡矩阵为

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1 a( a)2( a)3 2012( a)3( a)

13( a) 00

00 00

1-31 解：将矩阵 α1,α2,α3,α4

(n 1)( a)n 2

(n 1)(n 2)n 3

( a)

2

1

( a)n 1

β1,β2,β3,β4 作初等行变换得

α1,α2,α3,α4β1,β2,β3,β4

2

1010 2112122

1 1

03 01 2 0

100001000011100011000111 1 1 0

11 1 1 2 12 1

1110

0111

上式表明由基α1,α2,α3,α4到基β1,β2,β3,β4的关系为（为什么？）

1 1

(β1,β2,β3,β4) (α1,α2,α3,α4)

0 0

01100011

1 1 1 0

所以由α1,α2,α3,α4到β1,β2,β3,β4的过渡矩阵为

1 1 0 0

01100011

1 1 1 0

设ξ=(x1,x2,x3,x4)T在β1,β2,β3,β4下的坐标为y1,y2,y3,y4，即

x1 y1 xy2

ξ (ε1,ε2,ε3,ε4) (β1,β2,β3,β4) 2

x3 y3 x 4 y4

其中ε1 (1,0,0,0),ε2 (0,1,0,0),ε3 (0,0,1,0),ε4 (0,0,0,1)则

T

T

T

T

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x1 2 1x2

ξ (ε1,ε2,ε3,ε4) (β1,β2,β3,β4)

x3 0

1 x4

于是

0 21 y1

y113 2

211 y3

222 y4

y1 2 y2 1 y3 0 y4 1

0 21 x1

x113 2

211 x3

222 x4

6811 6811 4 4 x x x 13 13113213313x4 131313

x

123912391 x1 x2 x3 x4

13131313 x2 13131313

x327832783 x1 x2 x3 x4

13131313 x4 13131313 1 1826 826 x1 x2 x3 x4

1313 131313 1313 13

1

1-32 解：(1)由定理知

V1 V2 span{α1,α2,β1,β2}

α1,α2,β1是向量组α1,α2,β1β,的2极大无关组，故它是V1 V2的基，

dim(V1 V2) 3.

(2)设α V1 V2，即α V1且α V2，于是

α k1α1 k2α2 k3β1 k4β2 将α1,α2,β1,β2的坐标代入上式，解之得 k1 0,k2 于是

α k1α1 k2α2 k4( ,, 5,) 所以V1 V2的基为( ,, 5,)，维数为1.

52

k4,k3 k4 33

55

33

53

T

553353

T

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又解交空间V1 V2的向量实质上就是求在V2中向量k1β1 k2β2也能由α1,α2线

性表示的这部分向量，即确定k1,k2使得

秩(α1,α2,k1β1, k2β2) 秩(α1,α2) 此即

15k1 5k2 12k1 3k2 03k1 2k2

00

2

于是 3k1 2k2 0,k1 k2

3

代入

2 14k1 k2 1 115k 5k 0

12

3 33k1 3k2 0 11 k1 k2 0

2

k1β1 k2β2 k2( β1 β2)

3

555T

k2( ,, 5,)

333

所以V1 V2的基为( ,, 5,)，dim(V1 V2) 1.

55

3353

T

（Ⅰ）（Ⅱ）1-33 解：方程组与的交空间就是这两个方程组的所有公共解所构成的空间，此

即方程组

3x4 x5 0 x1 x2

x x 2x 4x 0 1234

4x1 2x2 6x3 3x4 4x5 0 2x1 4x2 2x3 4x4 7x5 0

的解空间.容易求得该方程组的基础解系为( 1,1,1,0,0),(12,0, 5,2,6)，它就是所求V1 V2的基，dim(V1 V2) 2.

T

T

（Ⅰ）1-34 解：(1)不难看出α1,α2是线性齐次方程组

x3 2x1 x2

（Ⅰ）

x x 42

（Ⅰ）（Ⅱ）的基础解系，方程组的解空间为V1.而β1,β2是线性齐次方程组

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x2 2x1 3x4

（Ⅱ）

x3 3x4

（Ⅱ）的基础解系，方程组的解空间为V2.

（Ⅰ）（Ⅱ）交空间V1 V2实质上是与公共解的空间，即方程组

x3 2x1 x2

x x 42

（Ⅲ）

x2 2x1 3x4 x3 3x4

（Ⅲ）的解空间.不难求得方程组的基础解系为( 1, 1, 3,1)，此即V1 V2的基，

维数为1.

T

(2)

V1 V2 span{α1,α2,β1,β2} span{α1,α2,β1}

span{α1,α2,β2} span{α2,β1,β2}

所以dim(V1 V2) 3，基为α1,α2,β1.

1-35 解：A(α1) (1,1,0)T β1 β2,A(α2) (2,1,1)T 2β1 β2 β3于是所求矩阵为

12

A 11

01 3 2

2nn 1

1-36 解：D (1) 0，D (x) 1，D (x) 2x， ，D (x) nx，于是所

求矩阵为

0 010

002 0 D 000 n n (n 1)

注 对于线性映射D：R[x]n 1 R[x]n D(f(x)) 在基1,x,x, ,x与基1,x,x, ,x

2

n

2

n 1

d

f(x) dx

下的矩阵表示为

《矩阵分析》(第3版)北京理工大学出版社,课后习题答案,整理出来的,比较实用。

0 0 D

0 0

1-37 解：

10 0

02 0

00 n 00 0 (n 1) (n 1)

xx1

S(1) dt x,S(x) tdt x2,

002x1

S(x2) t2dt x3, ,

03S(x

n 1

xn 11) tdt xn

0n

于是所求矩阵为

0 1 0S

0

0 0 0 0

1

0

2

1 0

n (n 1) n

3

3

1-38 解：(1)核子空间就是求X R满足A(x) 0，由于X R.故

x1

,3 )x X (α1,α2α 2

x3

于是

x1 x1

A(x) A(α1,α2,α3)x2 (β1,β2)Ax2 x3 x3

所以所求X的坐标x1,x2,x3应是齐次方程组

x1

11 1

x2 0

012 x

3

的解空间，求的它的基础解系为

《矩阵分析》(第3版)北京理工大学出版社,课后习题答案,整理出来的,比较实用。

x1 3,x2 2,x3 1

因此核子空间N(A)的基是x1α1 x2α2 x3α3 3α1 2α2 α3 ( 5,4,4)T, dimN(A) 1.

注：N(A)的基不是(3, 2,1)T.而是3α1 2α2 α3.为什么？N(A)的基是 (3, 2,1)T. (2)A的值域

R(A) span{A(α1),A(α2),A(α3)}

span{β1,β1 β2, β1 2β2} span{β1,β1 β2} span{β1,β2} R2

1-39 解：(1)不难求得

A(α1) α1 α1 α2

A(α2) α2 α1 α2 α3 A(α3) α3 α1 2α2 α3

因此A在α1,α2,α3下矩阵表示为

1 1 1

2 A 11

011 k1

(2)设ξ (α1,α2,α3) k2 ，即

k 3

1 101 k1

20 k2 2 1

3 1 1 1 k 3

解之得

k1 10,k2 4,k3 9 所以ξ在基α1,α2,α3下坐标为(10, 4, 9).

T

《矩阵分析》(第3版)北京理工大学出版社,课后习题答案,整理出来的,比较实用。

y1 x1 yx22

A(ξ)在基α1,α2,α3下坐标可由式 A 得

y n xn y1 1 1 1 10 23

2 4 32 y2 11

y 011 9 13 3 (3)ξ在基α1 ,α2 ,α3 下坐标为

10 101 10 1

1 20 4 15 A 4 1

9 1 1 1 9 6 A(ξ)在基α1 ,α2 ,α3 下坐标为

23 101 23 10

A 1 32 120 32 4

13 1 1 1 13 9

1-40 解：R

2 2

是4维线性空间，利用同构的概念，可把题中矩阵写成向量形式

α1 (1,0,1,1)T,α2 (0,1,1,1)T,

α3 (1,1,0,2)T,α4 (1,3,1,0)T

A(α1) (1,1,0,0),A(α2) (0,0,0,0),A(α3) (0,0,1,1)T,A(α4) (0,1,0,1)T,

T

T

于是

A(α1,α2,α3,α4) (A(α1),A(α2),A(α3),A(α4))

1

1 0 0 1 0 1 1

于是

000 001 (α1,α2,α3,α4)A010

011 011 113 A101

120

《矩阵分析》(第3版)北京理工大学出版社,课后习题答案,整理出来的,比较实用。

1 0A

1 1

011 113 101

120

3 10 48

307 48

10 1 48 11 0 24

1

1

1 0 0 1 1 1 0

2 2

000 001 010

011

注 根据同构映射的定义，R

中矩阵

a11a1 24

R可以看做中向量

a21a2 2

(a11,a12,a2,1aT2. )2

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