体能测试时间安排的数学模型设计研究

2010年第1期九江学院学报(自然科学版)

No11,2010　JournalofjiujiangUniversity(naturalsciences)(总第88期)

(SumN088)

体能测试时间安排的数学模型设计研究

邱红军　谭毓澄　张艳红　罗建林

(九江学院理学院　江西九江　332005)

摘要:针对体能测试时间安排的要求,.,建立了模

型一(网络模型),,(0-1规划模型),;以及模型三(约束优化模型),。从而使整个测试所需时间段数最少,。　　关键词:时间安排;网络模型;0-1规划模型;约束优化模型

文献标识码:A　文章编号:1006-3838(2010)01-0034-(05)　　中图分类号:O14114　1　问题背景

3

30秒.每个学生测试每个项目前要录入个人信息,

某校按照教学计划安排各班学生进行体能测试,以了解学生的身体状况.测试包括身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验共5个项目,均由电子仪器自动测量、记录并保存信息.该校引进身高与体重测量仪器3台,立定跳远、肺活量测量仪器各1台,握力和台阶试验测量仪器各2台.

身高与体重、立定跳远、肺活量、握力4个项目每台仪器每个学生的平均测试(包括学生的转换)时间分别为10秒、20秒、20秒、15秒,台阶试验每台仪器一次测试5个学生,需要3分

班号人数班号人数班号人数班号人数

141164431414642

245172032334743

344183033514841

444193934394942

526203535205045

644213836205142

742223837445219

即学号,平均需时5秒.仪器在每个学生测量完毕后学号将自动后移一位,于是如果前后测试的学生学号相连,就可以省去录入时间,而同一班学生的学号是相连的.

学校安排每天的测试时间为8∶00-12∶10与13∶30-16∶45两个时间段.5项测试都在最多容

纳150个学生的小型场所进行,测试项目没有固定的先后顺序.参加体能测试的各班人数见表1.学校要求同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试,并且在整个测试所需时间段数最少的条件下,尽量节省学生的等待时间

820232838375339

920242539385475

1038253040395517

1137263641425617

122527204240

134528244337

144529324450

[1]

.

154530334550

表1　参加体能测试的各班人数

2　问题提出211分析一　由已知,在所有测量仪器中,台阶

3基金项目:江西省高校省级教改重点资助项目(JXJG-07-17-47)收稿日期:2009-11-05

作者简介:邱红军(1978-),男,湖南娄底人,九江学院理学院教师。研究方向:图论。

邱红军,等:体能测试时间安排的数学模型设计研究

35

试验每次测试需要210秒,耗时最长,我们视其为关键测试,则其它测试为非关键测试.由关键路的思想

[2]

(2)学生在测量仪之间的转换时间为零;(3)同一个班的学生同时到达测试场地;(4)在测班级中未测人数不足20时,立即通

,当全部测量仪器同时开始工作,最

早完成时间由关键测试决定.又由表1易得全校学生总数为2036,设想台阶试验测量仪从不空闲,所有学生完成测试至少需要2036/10×(210+5)=43774(秒).按照学校每天安排的测试时间,

知下一个班级到场.4　定义和符号说明

定义1　已测测量仪:对某人来说,其已在该类测量仪上测试过;未测测量仪:对某人来说,其未在该类测量仪上测试过.

　:未测测量;非关键测试中的可.

定义3　状态矩阵1,2,3,4,511,12,13,14,15

16,17,18,19,

6,7,8,9,10

:

上午有15000秒,下午有11700秒,简单运算即知整个测试至少需要三个上午,这时所需时间段数最少.由此提出问题一:如何安排非关键测试,使得关键测试从不间断,三个上午完成.

212分析二　,10人

进行,,即也有10人同时完成所有非关键测试,则将其互换后接着测试,可使关键测试不间断.因此,将到达测试场所的学生分成20人一组:若20人同属一个班,则耗时425秒;若20人分属两个班,则耗时430秒;若20人分属三个班(而这种情况显然不多,因为它要求某一个班的人数至多为18,由表1,只有55班、56班符合要求),则耗时435秒.因此,

表示学生1—5号、11—15号分别做关键测试,6—10号、16—20号分别做非关键测试;状态矩

166

177

188

199

阵

:表示学生6、16分别

在点②、③上,7、17分别在两个点④上,8、18分别在两个点⑤上,9、10、19、20在等待。并且,不妨假定矩阵中每一行的学生从前到后学号相连.

定义4　总必等时间:一组人员在测试,而另一组人员的等待时间;总可等时间:一组人员在测试,而不足20人的那部分人员(不妨称之为零头人数)的等待时间.

①、②、③、④、⑤:图1中网络各节点,分别表示台阶试验、立定跳远、肺活量、握力、身高与体重测量仪;

xij:等于1时表示第i班参加第j天上午的测试,

忽略微小差别,视每组完成整个测试平均耗时430秒.每个上午可测试15000/430=34188(组),取整后即34组,合计学生680人,则全校学生完成整个测试需要2036/680≈2199(个)上午.因此,每个上午应挑选这样一些班级,其人数和尽量接近680.由此提出问题二:如何在56个班级中挑选符合人数要求的班级.

213分析三　每个上午参加测试的班级选定后,

其先后次序是否会影响学生的等待时间?答案是肯定的.举一个简单的例子,甲班41人,乙班22人,若甲先乙后,则总等待时间为(21+1+3)×215(秒);若乙先甲后,则总等待时间为(2+23+3)

等于0时表示第i班不参加第j天上午的测试;

pi:第i班的人数;

{i1,i2,…,ik}:是{1,2,…,k}的一个排列,k为

×215(秒),孰多孰少是显然的.需要补某天上午参加测试的班级数;

is:某天上午第s个到场参加测试的班级号,s=

充说明的是:这里的等待时间很明显是指等待关键测试的时间,因为如果将非关键测试看作一个系统,其内部也包含一些学生的等待时间,但由非关键测试的安排,这些等待时间已不能调整.由此提出问题三:如何安排每个上午选定班级的测试顺序.3　模型假设

(1)测量仪无故障,确保正常使用;

1,2,…,k;

T:总可等时间。由分析三知,T为班级排序的

函数,即T=T({i1,i2,…,ik}).5　问题一的模型及解答

[3]

511模型一(网络模型)　在如图1所示的网络

中,弧表示任两类测量仪之间有路相连.每个点旁有一对数据,第一个数表示容量,即该测量仪

36 九江学院学报(自然科学版)　　　　　　　　　　　　　2010年第1期

每次测试所能容纳的人数;

第二个数为费用,表示完成每次测试的时间.所有弧的容量相同,总和为150,费用均为0,表示测试场所容纳的人数为150,学生转换测量仪的时间为

0.为清晰起见,图中只在一条弧上给出了标注.现有20人要在430秒内完成所有测试,即要遍历①、②、③、④、⑤这五类点,问应沿怎样的测试路线行走?(图1中虚线表示将关键测试和非关键测试分开的

16171819682077968

33389689

33

79

→→→→6

171819207978

33

68008968

33

1079

33

→→→→

181920

7

1920

101610161718

33

10161718161719102091020

1718

1919

意思,以下同)

00→

0200011,12,13,14,1,2,3,4,5

7,8,9,1016,17,18,19,20

做同样的测试步骤,20人的全部测试在430秒内完成。

据此,笔者用图2以更清楚地给出问题一的

图1　测试路线行走图

解答:

512模型一的求解　根据第2节的分析二,20人(假定学号相连,且不妨设为1—20号)要在430

秒内完成所有测试,必须是10人完成关键测试耗时215秒,也有10人在215秒内完成所有非关键测试.为保证学号相连以减少登录时间,自然想到让1—5号、11—15号分别做关键测试,而同时让6—10号、16—20号分别做非关键测试.主要问题在于如何减少非关键测试中的可等时间,保证10人完成所有非关键测试的时间不超出215秒.由非关键测试中测量仪的耗时特点,同样自然地想到,让6—10号、16—20号学生排成两队,得初始状态矩阵状态转换:

在上述转换过程中,7表示7号学生在做虚拟测试,即其已经做过该类测试从而不需再测.8,9,10,17,18,19,20的意义类

3

3

3

3

3

3

3

3

图2　测试状态转换图

对模型一的注:

注1:因为每个上午可测试34188组,若测试34组,时间还会剩余34188×430=378(秒),等

于说每组有10秒的机动时间;注2:连号优先原则下的小号优先原则,即在非关键测试中,若学号相连,则从小号到大号依次测试,若学号不相连,则先保证连号优先,在保证小号优先.比如,6号做完点②的测试后来到点⑤,按此原则,必须

166

177

188

199

,作如下

排在20号后面等待.6　问题二的模型及解答

[3]

模型二(0-1规划模型):

56

似,0表示虚拟人员在做测试或等待.

由已知,初始状态需要一次登录,耗时25秒,其余状态均只需20秒,故共耗时205秒.等关键测试结束后,再互换做关键测试和做非关键测试的人员,即作如下状态转换:

1,2,3,4,511,12,13,14,15

16,17,18,19,6,7,8,9,10

s.t.

minz=680-3

∑px

i

i=1

ij

∑x

j=1

ij

=1(i=1,…,56)

56

∑px

i

i=1

ij

≤680(j=1,2,3)

→

xij=0或1pi≥0且为整数

邱红军,等:体能测试时间安排的数学模型设计研究

37

模型二的求解:由LINGO编程

(见表2):

表2　各班参加测试的时间段安排

时间段第一天上午

参加测试的班级

3,7,8,9,10,11,16,17,20,21,22,26,30,31,38,40,43,48,531,2,5,12,18,19,23,24,25,28,29,33,34,36,42,45,46,52,54,564,6,13,14,15,27,33,35,37,39,41,44,47,49,50,51,55

[4]

求得最优解,即问题2的解答

后剩余零头人数的等待时间,即总可等时间.当然这个零头应尽量小,才能使总的等待时间少.因为在测班级的零头人数必然要合并到下一个待测班级的人数里面,所以除了第一个班以外,每个班应接纳上一个班的零头人数,将这看成一批,再以每20人为一组分组,又会有一个零头人数,当然也应尽量小.具体地说:

首先,应有pi1(mod20)=

i∈{1,2,…,k}

总人数

679

minpi(mod20),

第二天上午680

,r1;接下来,应有(r1

r1+pi)(mod20),+pi)=∈{1,,,k}{i1}

第三天上午7[模型三():

,记为r2;依此类推,应有(rk-1+pik)(mod20)=(rmin1+

i∈{1,2,…,k}\{i1,i2,…,ik-1}

pi)(mod20),这时最后一批零头人数最少,记为rk;

(2)算法步骤:

minT=T({i1,i2,…,ik})

s.t.{i1,i2,…,ik}是{1,2,…,k}的一个排列,k

第一步:置I:={1,2,…,k},求pi1(mod20)=min{pi(mod20)|i∈I},记r1=pi1(mod20);

为某天上午参加测试的班级数;

is表示某天上午第s个到场参加测试的班级号,s=1,2,…,k.

对模型三的注:设某天上午参加测试的班级数为k,按班号从小到大排列依次为新的1班、2班、…、k班.

模型三的求解:

笔者通过设计一个简单的算法来求得最优解.(1)算法思想:笔者不考虑总必等时间,因为每一组的人员总是20人,人数不能减少,总的等待时间也不能减少.因而只考虑每一个班测完若干组

第二步:置I:=I-{i1}且s:=2,求(rs-1+pis)(mod20)=min{(rs-1+pi)(mod20)|i∈I},记

rs=(rs-1+pis)(mod20);

第三步:若I=<,停止,已得最优解;否则,置I:=I-{is}且s:=s+1,转第二步.

(3)由此算法用MATLAB编程

[5]

,并利用表1

和表2中的数据,计算得到模型三的最优解,亦即问题三的解答,见表3。

表3　各班到达测试场地的时间安排表

第一天上午(8:00—12:10)班级(人数)

8班(20人)9班(20人)17班(20人)31班(41人)40班(39人)48班(41人)53班(39人)7班(42人)10班(38人)3班(44人)26班(36人)16班(44人)11班(37人)30班(33人)20班(35人)

第二天上午(8:00—12:10)班级(人数)

36班(20人)42班(40人)1班(41人)52班(19人)46班(42人)19班(39人)34班(39人)28班(24人)56班(17人)12班(25人)54班(75人)24班(25人)2班(45人)18班(30人)5班(26人)

第三天上午(8:00—12:10)班级(人数)

27班(20人)35班(20人)41班(42人)39班(38人)49班(42人)51班(42人)55班(17人)47班(43人)4班(44人)6班(44人)44班(50人)37班(44人)13班(45人)33班(51人)14班(45人)

时间

08:0008:0708:1408:2108:3508:4909:0309:1709:3109:4509:5910:1310:2710:4110:48

时间

08:0008:0708:2108:3508:4208:5609:1009:2409:3109:3809:4510:1310:2010:3410:48

时间

08:0008:0708:1408:2808:4208:5609:1009:1709:3109:4509:5910:2010:3410:4811:09

38

第一天上午(8:00—12:10)

38班(37人)43班(37人)21班(38人)22班(38人)

11:0211:1611:3011:44

九江学院学报(自然科学版)　　　　　　　　　　　　　2010年第1期第二天上午(8:00—12:10)

33班(33人)23班(28人)29班(32人)25班(30人)45班(50人)

10:5511:0911:1611:3011:37

第三天上午(8:00—12:10)

15班(45人)50班(45人)

11:2311:37

由分析二,视每组完成其测试平均耗时430秒,再由表3不难算出每天上午各班零头人数的等待时间,从而得到Tmin.

至此,整个体能测试时间安排得到较好的解决.

8　模型的评价

模的问题来讲,手工即可操作,所以它的意义在于它更适合大规模的问题.模型三从缩短总可等时间,,得出,使测,并有效地缩短了学生的总等待时间,有利于工作人员提高工作效率和维持测试现场的秩序.

另外,从整个测试安排来看,有一台身高与体重测量仪始终没有使用,如果学校在购置仪器时需要节约经费,这是值得参考的.再者,因为测试时测试场地最多有两个班,最多人数为75+51,即126人,因此,测试场地还可以适当减小,对于大规模问题来讲,这也是有一定意义的.

进行,,并使全部测试所需时间段达到最少,线图(图2),使得现场工作人员易于操作.但其所作的非关键测试安排并不一定是最好的,因为它出现了多次的虚拟测试和测量仪空闲,这意味着人员等待时间的增加.模型二解决了人数的凑配,给出了各班参加测试的时间段安排表,其实对于中小规

参考文献:

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79.

AResearchofMathematicalModelonArrangement

ofTimeforPhysicalFitnessTesting

QIUHong-jun　TANYu-cheng　ZHANGYan-hong　LUOJian-lin

(CollegeofScience,JiujiangUniversity,Jiujiang,Jiangxi332005,China)

ABSTRACT　Tothedemandonarrangementoftimeforphysicalfitnesstesting,authorsposedthreequestions.

Withthoughtofkeypath,authorsbuiltmodelone(networkmodel)andsolvedtheproblemabouttestingrouteofpeopleintesting.Onthebasisofthis,builtmodeltwo(0-1programmingmodel)andsolvedtheproblemaboutclassesselectiontakingpartintestingeveryperiod,andauthorsalsobuiltmodelthree(constraintoptimizationmodel)andsolvedtheprob2lemaboutpresentsequenceofclassestakingpartintestingeveryperiod.Therefore,periodsneededforalltestingwereleast,thatisthreemornings,andwaitingtimesofstudentswereefficientlysaved.

KEYWORDS　Arrangementoftime;Networkmodel;0-1programmingmodel;Constraintoptimizationmodel

(责任编辑　陈平生)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8284.html