放缩法讲解

放缩法有详细答案

1 已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，求证：

证明：﹥∵=为增函数，又∵∴。

2 求证：对于一切大于1的自然数n ，恒。

证明： 原不等式变形为 ，

令 则

，所以 。

即 是单调增函数（n=2，3，…），所以 。故原不等式成立。

3 、设)1(433221+++?+?+?=n n a n 求证：2

)1(2)1(2

+<<+n a n n n 证明：∵ n n n n =>+2)1( 2

12)21()1(2+=+<+n n n n ∴ 2

12)1(+<+<n n n n ∴ 2)12(31321++++<<++++n a n n ， ∴2

)1(2)1(2

+<<+n a n n n 4求证：2222111171234n ++++< 5（湖南省理16）求证：)N n (1n 212n 11n 121∈<+++++≤

证明：因为,21n n n n n 1n n 1n n 1n n 12

n 11n 1=+=+++++≥++++++ 又,1n n n 1n 1n 1n n 12n 11n 1==+++<++++++ 所以原不等式成立。

6 求证：.2n 321132112111<????++??+?+

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++-+-+-+=-++?+?+

≤ )4131()3121()211(1n )1n (13212111,2n 12)n 11n 1(<-=--证毕。

7 求证)N n (1!n 1!41!31!21∈<++++ 证明：因为,2122211k 3211!k 11k -=????<????= 所以左边 +++=32212121.1)21(1211n 1n <-=+-- 8.若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<c

a d d

b d

c c a c b b

d b a a 【巧证】：记m =c

a d d

b d

c c a c b b

d b a a +++++++++++ ∵a , b , c , d ∈R +

∴1=+++++++++++++++>

c

b a d d b a d

c c a c b a b

d c b a a m 2=+++++++<c d d d c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立

9 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证143

＜＋＜a b 。 证明：由题设得a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，于是（a ＋b ）2＞a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，又a ＋b ＞0，得a ＋b ＞1，又ab ＜

14（a ＋b ）2，而（a ＋b ）2＝a ＋b ＋ab ＜a ＋b ＋14（a ＋b ）2，即34（a ＋b ）2＜a ＋b ，所以a ＋b ＜43，故有1＜a ＋b ＜43

。

10 ．已知x ln x

b ax )x (f 2--=，且2--=e a be )e (f （e 为自然对数的底数）。 （1）求a 与b 的关系；（2）若)x (f 在其定义域内为增函数，求a 的取值范围；

（3）证明：)n ,N n ()

n (n n n n ln ln ln 2141233222222≥∈+--<+???++(提示：需要时可利用恒等式：1-≤x x ln ) 解：（1）由题意

（2）由（1）知：（x>0）

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令h (x )=x 2－2x +.要使g(x )在（0，+∞）为增函数，只需h(x )在（0，+∞）满足： h(x )≥0恒成立. 即x 2－2x +≥0

上恒成立 又所以

（3）证明：证：ln x －x +1≤0 (x >0)， 设.

当x ∈（0，1）时，k ′(x )>0，∴k (x )为单调递增函数；

当x ∈（1，∞）时，k ′(x )<0，∴k (x )为单调递减函数；

∴x =1为k(x )的极大值点，

∴k(x )≤k(1)=0.

即ln x －x +1≤0，∴ln x ≤x －1.

②由①知ln x ≤x －1,又x >0，

11． 已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+，

（1）求函数()f x 的单调区间；

（2）若()0f x ≤ 恒成立，试确定实数k 的取值范围；

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（3）证明：ln 2ln 3ln 4ln (1)34514

n n n n -+++<+（*n N ∈且1n >） 解:（1）0k ≤当时()()1,f x +∞在上为增函数； 0k >当时1()1,1f x k ?

?+ ???在上为增函数；在11,k ??++∞ ???

上为减函数； （2）易知k>0,则max 1

()(1)0f x f k =+≤即1k ≥；

（3）令1k =则ln(1)2x x -≤-对()1,x ∈+∞恒成立 即：ln 1x x ≤-对()0,x ∈+∞恒成立 取2x n =，则22ln 1n n ≤-即ln 112n n n -≤+，(2)n ≥ln 2ln 3ln (1)3412n n n n -∴++<+ 12.（2008辽宁卷）

在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. ⑴求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论; ⑵证明:

1122111512

n n a b a b a b +++<+++. 解析：

（Ⅰ）由条件得21112n n n n n n b a a a b b +++=+=， 由此可得

2233446912162025a b a b a b ======，，，，，． ·

·················································· 2分 猜测2(1)(1)n n a n n b n =+=+，． ······················································································· 4分 用数学归纳法证明：

①当n =1时，由上可得结论成立．

②假设当n =k 时，结论成立，即

2(1)(1)k k a k k b k =+=+，，

那么当n =k +1时，

22

221122(1)(1)(1)(2)(2)k k k k k k a a b a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，． 所以当n =k +1时，结论也成立．

由①②，可知2(1)(1)n n a n n b n =++，对一切正整数都成立． ········································· 7分 （Ⅱ）11115612

a b =<+． n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+． ·············································· 9分

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故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??+++<++++ ?+++??+??

…… 111111116223341n n ??=+-+-++- ?+??

… 111111562216412n ??=

+-<+= ?+?? 综上，原不等式成立． ······································································································ 12分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/86ti.html