数字图像处理

1 灰度直方图

在数字图象处理中，一个最简单和最有用的工具是灰度直方图。该函数概括了一幅图象的灰度级内容。任何一幅图象的直方图都包括了可观的信息，某些类型的图象还可由其直方图完全描述。直方图的计算是简单的，特别是当一幅图从一个地方被复制到另一个地方时，直方图的计算可以用非常低的代价来完成。

1.1 定义

灰度直方图是灰度级的函数，描述的是图象中具有该灰度级的象素的个数：其横坐标是灰度级，纵坐标是该灰度出现的频率（象素个数）。

1.2 直方图的性质

1.2.1 性质1

当一幅图象被压缩为直方图后，所有的空间信息都丢失了。直方图描述了每个灰度级具有的象素的个数，但不能为这些象素在图象中的位置提供任何线索。因此，任一特定的图象有唯一的直方图，但反之并不成立——极不相同的图象可以有着相同的直方图。无法解决目标形状问题。 1.2.2 性质2

具有可加性。如果一图象由两个不连接的区域组成，并且每个区域的直方图已知，则整幅图象的直方图是该两个区域的直方图之和。

1.3 直方图的用途

1.3.1 数字化参数

直方图给出了一个简单可见的指示，用来判断一幅图象是否合理地利用了全部被允许的灰度级范围。一般一幅数字图象应该利用全部或几乎全部可能的灰度级。否则等于增加了量化间隔。一旦被数字化图象的级数少于256，丢失的信息（除非重新数字化）将不能恢复。 用于确定图像二值化的阈值

如果图象具有超出数字化器所能处理的范围的亮度，则这些灰度级将被简单地置为0或255，由此将在直方图的一端或两端产生尖峰。数字化时对直方图进行检查是一个好的做法。对直方图的快速检查可以使数字化中产生的问题及早暴露出来，以免浪费大量时间。 1.3.2 边界阈值选择

轮廓线提供了一个确立图象中简单物体的边界的有效的方法。使用轮廓线作为边界的技术被称为阈值化。假定一幅图背景是深色的，其中有一个浅色的物体。图3.3为这类图象的直方图。物体中的浅色象素产生了直方图上的右峰，而背景中大量的灰度级产生了直方图上的左峰。物体边界附近具有两个峰值之间灰度级的象素数目相对较少，从而产生了两峰之间的谷。选择谷作为灰度阈值将得到合理的边界。对应于两峰之间的最低点的灰度级作为阈值来确定边界是最适宜的。由直方图的定义式可知，直方图是面积函数的导数。在谷底的附近，直方图的值相对较小，意味着面积函数随阈值灰度级的变化很缓慢。如果我们选择谷底处的灰度作为阈值，将可以使其对物体的边界的影响达到最小。如果我们试图测量物体的面积，选择谷底处阈值将使测量对于阈值灰度变化的敏感降低到最小。 1.3.3统计图像中物体的面积

当物体部分的灰度值比其他部分灰度值大时，可利用直方图统计图像中物体的面积

A?nvi i?T1.3.4 综合光密度 给出直方图后，我们可以在没有看到图象的情况下确定物体的最佳灰度阈值以便计算物体的面积。另外，一种可以从简单图象的直方图直接计算的量是综合光密度（IOD）。它是

?反映图象中“质量”的一种有用度量，对于数字图象，其定义为

IOD?k?K1?kH(k)

K2 其中，K1和K2是所划定的图象区域的最小和最大灰度值。H(k)代表灰度级为k时所对应的象素的个数。该式为灰度级加权的直方图之和。

2 图像增强

图像增强的目的：(1)采用一系列技术改善图像的视觉效果，提高图像的清晰度； (2)将图像转换成一种更适合于人或机器进行分析处理的形式。 不以图像保真度为原则有选择地突出便于人或机器分析某些感兴趣的信息，抑制一些无用的信息，以提高图像的使用价值。 图像增强方法从增强的作用域出发，可分为空间域增强和频率域增强两种。空间域增强是直接对图像各像素进行处理；频率域增强是对图像经傅立叶变换后的频谱成分进行处理，然后逆傅立叶变换获得所需的图像。

? ??灰度变换????均衡化 ??点运算?直方图修正法?? ?空间域??规定化???? ?局部统计法?? ??局部运算??高通滤波 ?图象增强??频率域?低通滤波 ??同态滤波增强? ?? ?假彩色增强? ?彩色增强??伪彩色增强??彩色变换增强

?? ??代数运算

2.1 图像增强的点运算

在图像处理中，点运算是一种简单而又很重要的技术。对于一幅输入图像，经过点运算将产生一幅输出图像，输出图像上每个像素的灰度值仅由相应输入像素的值决定。主要处理方法：灰度级校正；灰度变换；直方图修正 2.1.1 灰度级校正

灰度级校正的目的：在成像过程中，扫描系统、光电转换系统中的很多因素，如光照强弱、感光部件灵敏度、光学系统不均匀性、元器件特性不稳定等均可造成图像亮度分布的不均匀，导致某些部分亮．某些部分暗。灰度级校正就是在图像采集系统中对图像像素进行修正，使整幅图像成像均匀。 灰度级校正的过程：

令理想输入系统输出的图像为f (i, j),实际获得的降质图像为g (i, j)，则有 g (i, j) = e (i, j) f (i, j) ，e (i, j)为降质函数或观测系统的灰度失真系数。标定系统失真系数的常用方法是采用一幅灰度级为常数C的图像成像，若经成像系统的实际输出为gc (i, j)，则有gc (i, j) = e (i, j) C，从而可得降质函数e (i, j) = gc (i, j) C-1可得降质图像e (i, j)经校正后所恢复的原始图像f (i, j) = C g (i, j) / gc (i, j)

灰度变换可使图像动态范围增大，图像对比度扩展，图像变清晰，特征明显，是图像增

强的重要手段之一。包括三类灰度级变换方法：1. 线性变换；2. 分段线性变换； 3. 非线性变换。 线性变换

在曝光不足或过度的情况下，图像灰度可能会局限在一个很小的范围内。这时在显示器上看到的将是一个模糊不清、似乎没有灰度层次的图像。采用线性变换对图像每一个像素灰度作线性拉伸，将有效地改善图像视觉效果。原图像 f (i, j) 的灰度范围为[a, b]，变换后图像 g (i, j) 的范围为[a’, b’]，则 g (i, j) 与f (i, j)之间的关系式为：

g(i,j)?a??b??a?(f(i,j)?a) b?aGST函数f(D)为线性，即DB=f(DA)=αDA+b，显然，若a=1，b=0，图像像素不发生变化；若a=1，b≠0，图像所有灰度值上移或下移；若a>1，输出图像对比度增强；若0

为了突出感兴趣的目标或灰度区间，相对抑制那些不感兴趣的灰度区间，可采用分段线性变换。常用的是三段线性变换。

?(c/a)f(i,j)0?f(i,j)?a ?g(i,j)??[(d?c)/(b?a)][f(i,j)?a]?ca?f(i,j)?b ?[(M?d)/(M?b)][f(i,j)?b]?db?f(i,j)?Mgff?

通过细心调整折线拐点的位置及控制分段直线的斜率，可对任一灰度区间进行拉伸或压缩。

非线性变换

当用某些非线性函数如对数函数、指数函数等作为映射函数时，可实现图像灰度的非线性变换。

① 对数变换：对数变换的一般表达式为 g(i,j)?a?ln[f(i,j)?1]

b?lnc 这里a, b, c是为了调整曲线的位置和形状而引入的参数。当希望对图像的低灰度区进行较大的拉伸而对高灰度区压缩时，可采用这种变换，它能使图像灰度分布与人的视觉特性相匹配。

②指数变换：指数变换的一般表达式为 g(i,j)?bc[f(i,j)?a]?1

这里参数a,b,c用来调整曲线的位置和形状。这种变换能对图像的高灰度区给予较大的拉伸。

2.1.2 直方图修正法

灰度直方图反映了数字图像中每一灰度级与其出现频率间的关系,它能描述该图像的概貌。通过修改直方图的方法增强图像是一种实用而有效的处理技术。直方图修整法包括直方图均衡化及直方图规定化两类。 直方图均衡化

直方图均衡化是将原图像通过某种变换，得到一幅灰度直方图为均匀分布的新图像的方法。下面先讨论连续变化图像的均衡化问题，然后推广到离散的数字图像上。0≤r，s≤1。在[0,1]区间内的任一个r值，都可产生一个s值，且s=T(r)。T(r)作为变换函数，满足下列条件：①在0≤r≤1内为单调递增函数，保证灰度级从黑到白的次序不变；②在0≤r≤1内，

有0≤T(r)≤1，确保映射后的像素灰度在允许的范围内。反变换关系为r=T-1(s)，T-1(s)对s

同样满足上述两个条件。假定随机变量s的分布函数用Fs(s)表示，根据分布函数定义,有：

Fs(s)??s??ps(s)ds??pr(r)dr

??r利用密度函数是分布函数的导数的关系，等式两边对s求导，有：

drdrd[?pr(r)dr]?pr?pr[T?1(s)] Ps(s)?ds??dsds 可见，输出图像的概率密度函数可以通过变换函数T(r)控制原图像灰度级的概率密度函

数得到,从而改善原图像的灰度层次,这就是直方图修正技术的基础。 从人眼视觉特性来考虑，一幅图像的直方图如果是均匀分布的，即Ps(s)=k(归一化时k=1)时，该图像色调给人的感觉比较协调。因此将原图像直方图通过T(r)调整为均匀分布的直方图，这样修正后的图像能满足人眼视觉要求。因为归一化假定：Ps(s)=1，则有：ds?pr(r)dr 两边积分得s?T(r)??r0pr(r)dr

上式表明，当变换函数为r的累积直方图函数时，能达到直方图均衡化的目的。对于离散的数字图像，用频率来代替概率,则变换函数T(rk)的离散形式可表示为： sk?T(rk)??pr(rj)??j?0j?0kknjn

上式表明，均衡后各像素的灰度值sk可直接由原图像的直方图算出。 直方图均衡化实质上是减少图像的灰度级以换取对比度的加大。在均衡过程中，原来的直方图上频数较小的灰度级被归入很少几个或一个灰度级内，故得不到增强。若这些灰度级所构成的图像细节比较重要，则需采用局部区域直方图均衡。 直方图规定化

在某些情况下，并不一定需要具有均匀直方图的图像，有时需要具有特定的直方图的图像，以便能够增强图像中某些灰度级。直方图规定化方法就是针对上述思想提出来的。直方图规定化是使原图像灰度直方图变成规定形状的直方图而对图像作修正的增强方法。可见，它是对直方图均衡化处理的一种有效的扩展。直方图均衡化处理是直方图规定化的一个特例。

2.2 图像的空间域平滑

任何一幅原始图像，在其获取和传输等过程中，会受到各种噪声的干扰，使图像恶化，质量下降，图像模糊，特征淹没，对图像分析不利。为了抑制噪声改善图像质量所进行的处理称图像平滑或去噪。它可以在空间域和频率域中进行。本节介绍空间域的几种平滑法：（1）图像局部平滑法；（2）超限像素平滑法；（3）灰度最相近K个邻点平均法；（4）梯度倒数加权平滑法；（5）最大均匀性平滑法；（6）有选择保边缘平滑法；（7）空间低通滤波法；（8）多幅图像平均法；（9）中值滤波法 2.2.1 局部平滑法

局部平滑法是一种直接在空间域上进行平滑处理的技术。假设图像是由许多灰度恒定的小块组成，相邻像素间存在很高的空间相关性，而噪声则是统计独立的。因此，可用邻域内各像素的灰度平均值代替该像素原来的灰度值，实现图像的平滑。也叫邻域平均法。 设有一幅N×N的图像f(x,y)，若平滑图像为g(x,y)，则有：g(x,y)?1Mi,j?s?f(i,j)

式中x,y=0,1,?,N-1；s为（x,y）邻域内像素坐标的集合；M表示集合s内像素的总数。可见邻域平均法就是将当前像素邻域内各像素的灰度平均值作为其输出值的去噪方法。 例如，对图像采用3×3的邻域平均法，对于像素（m,n)，其邻域像素如下：

则有：g(m,n)?

1f(m?i,n?j) ??9i?jj?z?111?1? 其作用相当于用这样的模板同图像卷积。 H??1119????111?? 邻域的选取有两种方式：以单位距离为半径或单位距离的倍为半径取一个窗口。设有一

)若变换后的图像为 g幅N×N的图像 f ( x , y ( x , y ) 则有：

式中x,y=0,1,?,N-1；s为（x,y）邻域内像素坐标的集合；M表示集合s内像素的总数。可见邻域平均法就是将当前像素邻域内各像素的灰度平均值作为其输出值的去噪方法。 设图像中的噪声是随机不相关的加性噪声，窗口内各点噪声是独立同分布的，经过上述平滑后，信号与噪声的方差比可望提高M倍。这种算法简单，但它的主要缺点是在降低噪声的同时使图像产生模糊，特别在边缘和细节处。而且邻域越大，在去噪能力增强的同时模糊程度越严重。

为克服简单局部平均法的弊病，目前已提出许多保边缘、细节的局部平滑算法。它们的出发点都集中在如何选择邻域的大小、形状和方向、参加平均的点数以及邻域各点的权重系数等，下面简要介绍几种算法。 2.2.2 超限像素平滑法

对邻域平均法稍加改进，可导出超限像素平滑法。它是将f(x,y)和邻域平均g(x,y)差的绝对值与选定的阈值进行比较，根据比较结果决定点（x,y）的最后灰度g′(x,y)。超限像素平滑时，顺序检测每一个像素，如果某个像素的幅度大于其邻域平均值，且达到一定的程度，则判定该像素为噪声，继而用其邻域平均值来代替该像素。其数学表达式为：

?g(x,y),当f(x,y)?g(x,y)?T? g(x,y)??

?f(x,y),否则 这算法对抑制椒盐噪声比较有效，对保护仅有微小灰度差的细节及纹理也有效。可见随着邻域增大，去噪能力增强，但模糊程度也大。同局部平滑法相比，超限像元平滑法去椒盐噪声效果更好。

2.2.3 灰度最相近的K个邻点平均法

该算法的出发点是：在n×n的窗口内，属于同一集合体的像素，它们的灰度值将高度相关。因此，可用窗口内与中心像素的灰度最接近的K个邻像素的平均灰度来代替窗口中心像素的灰度值。这就是灰度最相近的K个邻点平均法。

较小的K值使噪声方差下降较小，但保持细节效果较好；而较大的K值平滑噪声较好，但会使图像边缘模糊。实验证明，对于3×3的窗口，取K=6为宜。 2.2.4 梯度倒数加权平滑法

相邻像素灰度差的绝对值称为梯度。在一个N×N的窗口内，若把中心像素与其各相邻像素之间梯度倒数定义为各相邻像素的权，则在区域内部的相邻像素权大，而在一条边缘近旁的和位于区域外的那些像素权小。那么采用加权平均值作为中心像素的输出值可使图像得到平滑，又不至使边缘和细节有明显模糊。为使平滑后像素的灰度值在原图像的灰度范围内，应采用归一化的梯度倒数作为权系数。 2.2.5 最大均匀性平滑

为避免消除噪声引起边缘模糊，该算法先找出环绕图像中每像素的最均匀区域，然后用这区域的灰度均值代替该像素原来的灰度值。具体可选任一像素 ( x , y ) 的5个有重叠的3×3邻域，用梯度衡量它们灰度变化的大小。

最大均匀性平滑经多次迭代可增强平滑效果，在消除图像噪声的同时保持边缘清晰性。但对复杂形状的边界会过分平滑并使细节消失。 2.2.6 有选择保边缘平滑法

( x , y对图像上任一像素 ) 的5×5邻域，采用9个掩模：一个3×3正方形、4个五边形

和4个六边形。计算各个掩模的均值和方差，对方差进行排序，最小方差所对应的掩模的灰度均值就是像素 ( x , y ) 的输出值。

有选择保边缘平滑法既能够消除噪声，又不破坏区域边界的细节。 2.2.7 空间低通滤波法

邻域平均法可看作一个掩模作用于图像f(x,y)的低通空间滤波，掩模就是一个滤波器，它的响应为H(r,s)，于是滤波输出的数字图像g(x,y)用离散卷积表示为： g(x,y)?常用的掩模有

r??ks??l??f(x?r,y?s)H(r,s)

kl?010??111??111??121??111?4??1??1??1?1? H??101? 1?11? H1??111121242 H2? H3?H?145??910??16?8??2?44???????010??111??111???121???111??4??掩模不同，中心点或邻域的重要程度也不相同，因此，应根据问题的需要选取合适的掩模。

但不管什么样的掩模，必须保证全部权系数之和为单位值，这样可保证输出图像灰度值在许可范围内，不会产生“溢出”现象。 2.2.8 多幅图像平均法

对获取的同一景物的多幅图像相加取平均来消除噪声。设理想图像 f ( x , y ) 所受到的噪

)为加性噪声，则产生的有噪声图像 g ( x , y ) 可表示成：g声 n ( x , y (x,y)?f(x,y)?n(x,y)若图像噪声是互不相关的加性噪声，且均值为0，则 f(x,y)?E{g(x,y)}E式中， { g ( x , y )} 是g ( x , y )的期望值。对M幅有噪声的图像经平均后得到

M1 f?(x,y)?g(x,y)?gi(x,y)Mi?1

2.2.9 中值滤波

中值滤波是对一个滑动窗口内的诸像素灰度值排序，用中值代替窗口中心像素的原来灰度值，因此它是一种非线性的图像平滑法。它对脉冲干扰及椒盐噪声的抑制效果好，在抑制随机噪声的同时能有效保护边缘少受模糊。但它对点、线等细节较多的图像却不太合适。

对中值滤波法来说，正确选择窗口尺寸的大小是很重要的环节。一般很难事先确定最佳的窗口尺寸，需通过从小窗口到大窗口的中值滤波试验，再从中选取最佳的。离散阶跃信号、

?斜升信号没有受到影响。离散三角信号的顶部则变平了。对于离散的脉冲信号，当其连续出现的次数小于窗口尺寸的一半时，将被抑制掉，否则将不受影响。一维中值滤波的概念很容易推广到二维。一般来说，二维中值滤波器比一维滤波器更能抑制噪声。二维中值滤波器的窗口形状可以有多种，如线状、方形、十字形、圆形、菱形等。不同形状的窗口产生不同的滤波效果，使用中必须根据图像的内容和不同的要求加以选择。方形或圆形窗口适宜于外轮廓线较长的物体图像，而十字形窗口对有尖顶角状的图像效果好。

2.3 图像空间锐化

在图像的判读或识别中常需要突出边缘和轮廓信息。图像锐化的目的就是增强图像的边缘或轮廓。图像平滑通过积分过程使得图像边缘模糊，那么图像锐化通过微分而使图像边缘突出、清晰。

图像锐化的处理方法有基于一阶微分的梯度法，和基于二阶微分的拉普拉斯算子法。一阶微分处理通常会产生较宽的边缘，二阶微分处理对细节有较强的响应，如细线和孤立点。对于图像增强来说，二阶微分处理比一阶微分要好，因为形成增强细节的能力要好一些。 2.3.1 梯度锐化法

)处的梯度定义为： 图像锐化法最常用的是梯度法。对于图像 f ( x , y )在 ( x , y

梯度是一个矢量，其大小和方向分别为:

梯度的方向是 f ( x , y ) 在该点灰度变化率最大的方向。

对于离散图像处理而言，常用到梯度的大小，因此把梯度的大小习惯称为“梯度”。并且一阶偏导数采用一阶差分近似表示，即: fy??f(x,y?1)?f(x,y)fx??f(x?1,y)?f(x,y) 为简化梯度的计算，经常使下面的近似表达式：

) 或： grad grad ( x , y ) ? max( f x? , f y ? (x,y)?fx??fy?对于一幅图像中突出的边缘区，其梯度值较大；对于平滑区，梯度值较小；对于灰度级为常数的区域，梯度为零。 2.3.2 Roberts 算子法

Roberts 梯度就是采用对角方向相邻两像素之差，故也称为四点差分法。对应的水平和垂直方向的模板为：

·表示当前像素位置，计算公式如下：

用4点进行差分，以求得梯度，方法简单。其缺点是对噪声较敏感，常用于不含噪声的图像边缘点检测。

2.3.3 Prewitt 算子法（平均差分法）

因为平均能减少或消除噪声，Prewitt 梯度算子法就是先求平均，再求差分来求梯度。水平和垂直梯度模板分别为：

利用检测模板可求得水平和垂直方向的梯度，再通过梯度合成和边缘点判定，就可得到检测结果。

2.3.4 Sobel 算子法（加权平均差分法）

Sobel 算子就是对当前行或列对应的值加权后，再进行平均和差分，也称为加权平均差分。水平和垂直梯度模板分别为：

Sobel算子和Prewitt算子一样，都在检测边缘点的同时具有抑制噪声的能力，检测出的边缘宽度至少为二像素。由于它们都是先平均后差分，平均时会丢失一些细节信息，使边缘有一定的模糊。但由于Sobel算子的加权作用，其使边缘的模糊程度要稍低于程度要稍低于Prewitt算子。

2.3.5 Laplacian增强算子

Laplacian 算子是线性二阶微分算子。 ?2f(x,y)?2f(x,y)2?f(x,y)?? ?x2?y2对离散的数字图像而言，二阶偏导数用二阶差分近似，由此可推导出Laplacian算子表

2?达式为： f(x,y)?f(x?1,y)?f(x?1,y)?f(x,y?1)?f(x,y?1)?4f(x,y)Laplacian增强算子为：g (x,y)?f(x,y)??2f(x,y) ?5f(x,y)?[f(x?1,y)?f(x?1,y)?f(x,y?1)?Laplacian 算子和Laplacian 增强算子对应的模板分别为：

0 -1 0 0 1 0

-1 5 -1 1 -4 1

0 -1 0 0 1 0

Laplacian增强 Laplacian算子 算子 Laplacian 算子的特点是：

2(x, y ) 为0，增强图像上像元灰度不变； 1、在灰度均匀的区域或斜坡中间 ? f

2、在斜坡底或低灰度侧形成“下冲”；而在斜坡顶或高灰度侧形成“上冲”。 2.3.6 高通滤波法

高通滤波法就是用高通滤波算子和图像卷积来增强边缘。常用的算子有： 1 -2 1 -1 –1 –1 H1= -2 5 –2 H2= -1 9 –1 1 -2 1 -1 –1 –1

f(x,y?1)]3 图像增强（补充）

3.1概述

图像增强是数字图像处理的基本内容之一，一般情况下，经过增强处理后，图像的视觉效果会得到改善，某些特定信息得到了增强。也就是说图像增强处理只是突出了某些信息，增强了对某些信息的辨识能力，其他信息则被压缩了。因此，图像增强处理并不是一种无损处理，更不能增加原图像的信息，而是通过某种技术手段有选择地突出对某一具体应用“有用”的信息，削弱或抑制一些无用信息。

根据图像处理过程所在的空间不同，可分为基于空间域的增强方法和基于频率域的增强方法两类。前者直接在图像所在的二维空间进行处理，即直接对每一个像素的灰度值进行处理；后者则是首先经过傅里叶变换将图像从空间域变换到频率域，然后在频率域对频谱进行操作和处理，再将其反变换到空间域，从而得到增强后的图像。

基于空间域的增强方法按照所采用的技术不同可分为灰度变换和空域滤波两种方法。灰度变换是基于点操作的增强方法，它将每一个像素的灰度值按照一定的数学变换公式转换为一个新的灰度值，如增强处理中常用的对比度处理，直方图均衡化等方法。空域滤波是基于邻域处理的增强方法，它应用某一模板对每个像素及其周围邻域的所有像素进行某种数学运算，得到该像素的新的灰度值，输出值的大小不仅与该像素的灰度值有关，而且还与其邻域内的像素的灰度值有关，常用的图像平滑和图像锐化技术就属于空域滤波的范畴。

3.2 直方图规定化

直方图均衡化的优点是能增强整个图像的对比度，提升图像的亮度，从而得到的直方图是在整个灰度级动态范围内近似均匀分布的直方图。直方图均衡化处理方法是行之有效的增强方法之一。但是，由于它的变换函数采用的是累积分布函数，因此它只能产生近似均匀分布的直方图的结果，这样就必然会限制它的效能。也就是说，在实际应用中，并不是总需要具有均匀直方图的图像，有时需要具有特定直方图的图像，以便能够有目的地对图像中的某些灰度级分布范围内的图像增强。换句话说，，希望可以认为地改变直方图的形状，使之成为某个特定的形状。直方图规定化方法就是针对上述思想提出来的一种直方图修正增强方法，它可以按照预先设定的某个形状来调整图像的直方图。

假设Pr(r)和Pz(z)分别表示原始图像和目标图像（即希望得到的图像）灰度分布的概率密度函数，直方图规定化的目的就是调整图像的直方图，是指具有Pz(z)所表示的形状。如何建立Pr(r)和Pz(z)之间的联系是直方图规定化处理的关键。

首先对原始图像进行直方图均衡化处理，即求变换函数：s?T(r)??r0Pr(?)d?

假定已经得到了目标图像，并且它的概率密度函数是Pz(z)。对这幅图像也可用同样的变换函数进行均衡化处理，即：u?G(r)??z0Pz(?)d?

r因为对两幅图像（注意，这两幅图像只是灰度分布概率密度不同）同样做了均衡化处理，所以Ps(s)和Pu(u)具有同样的均匀密度。其中式s?T(r)??0Pr(?)d?的逆过程为

z?G?1(u)这样，如果用从原始图像中得到的均匀灰度级s来代替逆过程中的u，其结果灰

度级将是所要求的概率密度函数Pz(z)的灰度级。z?G(u)?G(s)

?1?13.3 频域增强

变换域增强是首先经过某种变换（如傅里叶变换）将图像从空间域变换到变换域，然后

在变换域对频谱进行操作和处理，再将其反变换到空间域，从而得到增强后的图像。在变换域处理中最为关键的预处理便是变换处理。这种变换一般是线性变换，其基本线性运算式是严苛的，并且满足一定的正交条件。在图像增强处理中，最常用的政教变换是傅里叶变换。当采用傅里叶变换进行增强时，把这种变换域增强称为频域增强。 3.3.1 傅里叶变换 连续傅里叶变换

设f(x)为实变量x的连续可积函数，则f(x)的傅里叶变换定义为：

F(u)??f(x)e?????j2?uxdx f(x)??F(u)ej2?uxdu

????式中，j为虚数单位；x为时域变量；u为频域变量。如果令??2?u则有：

F(?)??f(x)e?j?xdx f(x)?????12??????F(?)ej?xd?

函数f(x)的傅里叶变换一般是一个复数，它可由式F(u)?R(u)?jI(u)

R(u)，I(u)分别为F(u)的实部和虚部。F(u)为复平面上的向量，它有幅度和相角：

幅度：F(u)?R2(u)?I2(u) 相角：?(u)?arctanI(u) R(u)而?(u)称为相位谱。谱的平方称为f(x)的能量谱，即： F(u)称为f(x)的傅里叶谱，

E(u)?F(u)?R2(u)?I2(u)

离散傅里叶变换

设f(x)用N个互相间隔?x单位的采样方法来离散化，成为一个序列，即： {f(x0),f(x0??x),?,f(x0?(N?1)?x)}

若规定f(x)?f(x0??x)，这样可把x作为离散值x=0,1,2，?，N-1，就可以用

2{f(0),f(1),?,f(N?1)}表示等间隔的采样值序列

{f(x0),f(x0??x),?,f(x0?(N?1)?x)} 用这种表示方法，则采样函数的离散傅里叶变换对为：

1F(u)?Nx?N?1x?0?f(x)exp(?j2?ux/N) f(x)??F(u)exp[j2?ux/N]

u?0N?1?u，2?u,?,(N?1)?u，式中，u=0,1,2，?，N-1，也类似于x，相应为0，即F(u)?F(u?u)且?u?1/N?u

3.3.2频域滤波增强

频域滤波增强技术是在频域空间对图像进行滤波，因此需要将图像从空间域变换到频率

域，一般通过傅里叶变换即可实现。

假定原图像为f(x，y)，经傅立叶变换为F(u，v)。频率域增强就是选择合适的滤波器H(u,v)对F(u,v)的频谱成分进行处理，然后经逆傅立叶变换得到增强的图像g(x,y)。该过程可以通过下面的流程描述：

DFT H(u，v) IDFT

f(x，y) F(u，v) F(u，v)H(u，v) g(x，y) 滤波

式中，H(u，v) 称为传递函数或滤波器函数。在图像增强中，待增强的图像f(x，y)是已知的，因此F(u，v)可由图像的傅里叶变换得到。在实际应用中，首先要确定的是H(u，v)，然后就可以求得F(u，v)H(u，v)，对F(u，v)H(u，v)求傅里叶反变换即可得到增强的图像g(x，y)。g(x，y)可以突出f(x，y)的某一方面的特征，如利用传递函数H(u，v)突出F(u，v)的高频分量，以增强图像的边缘信息，即高通滤波；反之，如果突出F(u，v)的低频分量，就可以使图像显得比较平滑，即低通滤波。

频域滤波的主要步骤：

（1）对原始图像f(x，y)进行傅里叶变换得到F(u，v)；

（2）将F(u，v)与传递函数H(u，v)进行卷积运算得到F(u，v)H(u，v)； （3）将F(u，v)H(u，v)进行傅里叶逆变换得到增强图像g(x，y)。 低通滤波

图像从空间域变换到频率域后，其低频分量对应了图像中灰度值变化比较缓慢的区域，而高频分量则表征了图像中物体的边缘和随机噪声等信息。低通滤波是指保留低频分量，而通过滤波器函数H(u，v) 减弱或抑制高频分量的过程。因此，低通滤波与空域中的平滑滤波器一样可以消除图像中的随机噪声，减弱边缘效应，起到平滑图像的作用。常用的低通滤波器有四种： ①理想低通滤波器

?1,D(u,v)?D0一个二维的理想低通滤波器的传递函数如下：H(u.v)??

0,D(u,v)?D0?式中，D0是一个非负整数；D是从点(u.v)到频率平面原点的距离，即： D(u,v)?u2?v2 ②巴特沃斯（Butterworth）低通滤波器

巴特沃斯低通滤波器的传递函数为：H(u.v)?1 2n1?[D(u,v)/D0]式中，D0为截止频率，n为函数的阶。一般情况下，取使H(u，v)最大值下降至原来的

1时的D(u,v)为截止频率D0。实际应用中，有时也取使H(u，v)最大值下降至原来的12的D(u,v)为截止频率D0。其传递函数为：H(u.v)?1(2?1)[D(u,v)/D0]2n

2与理想低通滤波器不同，巴特沃斯低通滤波器的特点是在通过频率域截止频率之间没有明显的不连续性，不会出现“振铃”现象，其效果好于理想低通滤波器。 ③指数低通滤波器

指数低通滤波器的传递函数为：H(u.v)?e?[D(u,v)n]D0

一般情况下，取使H(u，v)最大值下降至原来的

1时的D(u,v)为截止频率D0。与巴特2沃斯低通滤波器一样，指数低通滤波器从通过频率到截止频率之间没有明显的不连续性，而是存在一个平滑的过渡带。指数低通滤波器的实用效果比巴特沃斯低通滤波器稍差，但仍无明显的振铃现象。 ④梯形低通滤波器

梯形低通滤波器的传递函数为：

?1,D(u,v)?D0? H(u.v)??[D(u,v)?D1]/(D0?D1),D0?D(u,v)?D1

?0,D(u,v)?D0?由梯形滤波器的剖面图可以看出，在D0尾部包含；有一部分高频分量(D1?D0)，因而，结果图像的清晰度较理想低通滤波器有所改善，振铃效应也有所减弱。应用时可调整D1值，既能达到平滑图像的目的，又可以使图像保持足够的清晰度。

低通滤波

图像的边缘、细节主要在高频部分得到反映，而图像的模糊是由于高频成分比较弱产生的。为了消除模糊，突出边缘，可以采用高通滤波的方法，使低频分量得到抑制，从而达到增强高频分量，使图像的边沿或线条变得清晰，实现图像的锐化。常用的高通滤波器有： ①理想高通滤波器

理想高通滤波器的传递函数为：H(u.v)???0,D(u,v)?D0

?1,D(u,v)?D0式中，D0为截止频率；D(u,v)?u2?v2是点(u.v)到频率平面原点的距离。 ②巴特沃斯（Butterworth）高通滤波器

n阶高通具有D0截止频率的巴特沃斯高通滤波器滤波函数定义如下：

H(u.v)?1{1?[D0/D(u,v)]2n}

与低通滤波器一样，D(u,v)定义从点(u.v)到频率平面原点的距离，即： D(u,v)?u2?v2

同样，对截止频率的定义有两种：一种是在D0点H(u，v)降至常用11，另一种是降至122。

2半功率点的定义，则：H(u.v)?1{1?(2?1)[D0/D(u,v)]2n}

?[D0n]D(u,v)③指数高通滤波器

具有截止频率为D0的指数高通滤波器的传递函数定义为：H(u.v)?e

同样，n可控制指数函数H(u，v)的增长率。当H(u，v)降至1?[D0n]D(u,v)2时为D0，则

H(u.v)?e?1 2④梯形高通滤波器

梯形高通滤波器的滤波函数由下式给出：

?0,D(u,v)?D0? H(u.v)??[(D0?D1)/D(u,v)?D1],D1?D(u,v)?D0

?1,D(u,v)?D0?式中，设D1?D0，把第一个转折点定义为D0，而D1只要小于D0即可。

以上四种滤波函数的选用类似于低通。理想高通有明显振铃，从而使图像的边缘模糊不

清。而巴特沃斯高通效果较好，但计算复杂，其优点是有少量的低频通过，故H(u，v)是渐变的，振铃不明显；指数高通效果比巴特沃斯差些，但振铃也不明显；梯形高通的效果是微有振铃，但计算简单，故较常用。

3.4 彩色图像增强

人的视觉系统对色彩非常敏感，人眼一般能区分的灰度等级只有二十多个，但是能区分有不同亮度、色度和饱和度的几千种颜色。根据人的这个特点，可将彩色用于增强中，以提高图像的可鉴别性。因此如果能将一幅灰度图像变成彩色图像，就可以达到增强图像的视觉效果。常用的彩色增强方法有真彩色增强技术、假彩色增强技术和伪彩色增强技术三种。前两种方法着眼于对多幅图像的合成处理，一般是将三幅图像分别作为红、绿、蓝三个通道进行合成。伪彩色增强技术与前两者不同，它是对一幅灰度图像的处理，通过一定的方法，将一幅灰度图变换成彩色图像。 3.4.1伪彩色增强

伪彩色增强是把一幅灰度图像的各个不同灰度级按照线性或非线性的映射函数变换成不同的彩色，得到一幅彩色图像的技术。使原图像细节更易辨认，目标更容易识别。

伪彩色增强的方法主要有密度分割法、灰度级一彩色变换和频率域伪彩色增强三种。 密度分割法

密度分割法也称强度分割法，是伪彩色增强中最简单而又最常用的一种方法，它是对图像的灰度动态范围进行分割，使分割后的每一度灰度值区间甚至每一度值本身对应某一种颜色。具体而言，假定把一幅图像看作一个二维的强度函数，用一个平行于图像坐标平面的平面区切割图像的强度函数，这样强度函数在分割处被分为上、下两部分，即两个灰度值区间。如果再对每一个区间赋予某种颜色，就可以将原来的灰度图像变换成只有两种颜色的图像。更进一步，如果用多个密度切割平面对图像函数进行分割，那么就可以将图像的灰度值动态范围切割成多个区间，每一个区间赋予某一种颜色，则原来的一幅灰度图像就可以变成一幅彩色图像。

空间域灰度级—彩色变换

空间域灰度级—彩色变换是一种更为常用、比密度分割更有效的彩色增强法。变换过程是根据色度学原理，将原图像f(x,y)的灰度范围分段，经过红、绿、蓝三种不同变换TR(?)、TG(?)和TB(?)，变成三基色分量IR(x,y)、IG(x,y)、IB(x,y)，然后用它们分别去控制彩色显示器的红、绿、蓝电子枪，便可以在彩色显示器的屏幕上合成一幅彩色图像。 .频率域伪彩色增强

频率域伪彩色增强首先把黑白图像经傅立叶变换到频率域，在频率域内用三个不同传递特性的滤波器分离成三个独立分量；然后对它们进行逆傅立叶变换，便得到三幅代表不同频率分量的单色图像，接着对这三幅图像作进一步的处理（如直方图均衡化）最后将它们作为三基色分量分别加到彩色显示器的红、绿、蓝显示通道，得到一幅彩色图像。 3.4.2 假彩色增强

假彩色增强是对一幅自然彩色图像或同一景物的多光谱图像，通过映射函数变换成新的三基色分量，彩色合成使感兴趣目标呈现出与原图像中不同的、奇异的彩色。 假彩色增强目的：一是使感兴趣的目标呈现奇异的彩色或置于奇特的彩色环境中，从而更引人注目；一是使景物呈现出与人眼色觉相匹配的颜色，以提高对目标的分辨力。

多光谱图像的假彩色增强可表示为 R?fg,g,...,g,...?

?12i??GF?fG?g1,g2,...,gi,...??BF?fB?g1,g2,...,gi,...???FR(4.5?1)4 图像分割

1图像分析的概念：对图像中感兴趣的目标进行检测和测量，以获得它们的客观信息，从而建立对图像的描述。把图像分成互不重叠的区域并提取感兴趣目标的技术。

2图像分析的步骤：把图像分割成不同的区域或把不同的对象分开；找出分开的各区域的特征；识别图像中要找的对象或对图像进行分类；对不同区域进行描述或寻找出不同区域的相互联系，进而找出相似结构或将相关区域连成一个有意义的结构。

3图像分割的基本策略：分割算法基于灰度值的两个基本特性：不连续性和相似性。检测图像像素灰度级的不连续性，找到点、线（宽度为1）、边（不定宽度）。先找边，后确定区域。检测图像像素的灰度值的相似性，通过选择阈值，找到灰度值相似的区域，区域的外轮廓就是对象的边

4图像分割的方法：

基于边缘的分割方法：先提取区域边界，再确定边界限定的区域。 区域分割：确定每个像素的归属区域，从而形成一个区域图。 区域生长：将属性接近的连通像素聚集成区域

分裂－合并分割：综合利用前两种方法，既存在图像的划分，又有图像的合并。 5边缘的定义：图像中像素灰度有阶跃变化或屋顶变化的那些像素的集合 边缘的分类：阶跃状、屋顶状

6边缘检测算子：一阶微分：用梯度算子来计算

特点：对于亮的边，边的变化起点是正的，结束是负的。对于暗边，结论相反。常数部分为零。 用途：用于检测图像中边的存在。 二阶微分：通过拉普拉斯来计算

由于梯度算子和Laplace算子都对噪声敏感，因此一般在用它们检测边缘前要先对图像进行平滑。

7由于噪音的原因，边界的特征很少能够被完整地描述，在亮度不一致的地方会中断。 因此典型的边检测算法后面总要跟随着连接过程和其它边界检测过程，用来归整边像素，成为有意义的边。

边缘跟踪的概念：将检测的边缘点连接成线就是边缘跟踪；线是图像的一种中层符号描述。

由边缘形成线特征的两个过程：可构成线特征的边缘提取，将边缘连接成线。 连接边缘的方法：光栅跟踪，全向跟踪。

5 纹理

1特点：在局部区域内呈现不规则性，而在整体上表现出某种规律性。把这种局部不规则而宏观有规律的特性称之为纹理特性；以纹理特性为主导的图像，常称为纹理图像，以纹理特性为主导特性的区域，常称为纹理区域。纹理作为一种区域特性，在图像的一定区域上才能反映或测量出来。

2纹理标志的两个基本要素：

1）某种局部的序列性在该序列更大的区域内不断重复 2）区域内任何地方都有大致相同的结构尺寸 3图像纹理的分类（1） 自然纹理、人工纹理 自然纹理：种子、草地（无规则性）

人工纹理：织物、砖墙（有规则性，它的灰度分布具有周期性，即使灰度变化是随机的，它也具有一定的统计特性）

（2）确定性纹理：构成纹理的规律是确定的。 随机型纹理：构成纹理的规律是随机的。

4纹理分析是指通过一定的图像处理技术抽取出纹理特征，从而获得纹理的定量或定性描述的处理过程。纹理特征是从图像中计算出来的值，它对区域内部灰度级变化的特征进行量化。 当图象中大量出现同样的或差不多的基本图象元素（模式）时，纹理分析是研究这类图象的最重要的手段之一。

5纹理分析的统计方法：从图像有关属性的统计分析出发；用于木纹、纱地、草地等不规则物体；自然纹理，具有重复性排列现象的自然景象，无规则

数学手段：自相关函数、灰度共生矩阵、灰度行程模型、分形分维方法、马尔可夫随机场方法等。

纹理分析的结构方法：着力找出纹理基元，然后从结构组成上探索纹理的规律；通过纹理的元素及其排列规则来描述纹理的结构。

人工纹理：是由自然背景上的符号排列组成、有规则的

6灰度直方图的定义：反映一幅图像中各灰度级与各灰度级像素出 现的频率之间的关系。 它反应了图像的灰度分布，纹理区域的灰度直方图可以作为纹理特征。如果限定对象，则采用这样简单的方法也能够识别纹理。但是灰度直方图不能得到纹理的二维灰度变化，即使作为一般性的纹理识别法，其能力是很低的。

7若有一幅图像f(i，j)，i，j=0，1，?，N-1，则该图像的自相关函数定义为 N?1N?1N?1

?f(j)f(j?x)??f(i,j)f(i?x,y?j)j?0 ?(x,y)?i?0j?0(x)?N?1N?1N?12f(i,j) 一维信号： ??f(j)2?i?0j?0j?0

自相关函数ρ(x，y)随x，y大小而变化，其变化与图像中纹理粗细的变化有着对应的关系，因而可描述图像纹理特征。

定义d=（x2+y2）1/2，d为位移矢量，r(x,y)可记为r(d)。

在x＝0，y＝0时，从自相关函数定义可以得出，ρ(d)＝1为最大值。

随着d 的继续增加，ρ(d)则会呈现某种周期性的变化，其周期大小可描述纹理基元分布的疏密程度。

不同的纹理图像，ρ(x,y)随d变化的规律是不同的。

? 当纹理较粗时，ρ(d)随d的增加下降速度较慢； 当纹理较细时，ρ(d)随着d的增加下降速度较快。

6 数学形态学

1形态学运算是针对二值图象的图象处理方法，近年来在数字图象处理和模式识别领域中得到了广泛的应用。 通常形态学图象处理表现为一种邻域运算形式，定义一个“结构元素” ，在每个象素位置上它与二值图象对应的区域进行特定的逻辑运算。形态学运算的效果取决于结构元素的大小、内容以及逻辑运算的性质。 2映象：A的映象（也称映射），即旋转180?。 二值图象用集合A表示。

作为结构元素的二值模板用集合B表示，B具有原点。

通常情况下，在膨胀之后，集合A包含于膨胀结果A?B； 通常情况下，在腐蚀之后，腐蚀结果AΘB包含于集合A。 形态学处理类似于卷积操作，后面的步骤由逻辑运算替代。

3用B膨胀A的过程是：先对B做关于原点的映象，再将其映象平移。 A与B映象的交集不为空集，则原点处元素属于输出集合。

用B腐蚀的结果：若B平移x后仍包含于A中，则原点位置的元素属于输出集合。原点既可以包含于结构元素中，也可以处于结构元素之外，其运算结果不同。 4结构元素应当比所有的噪声孔和块都要大。

设有一个集合A，先用一个结构元素B腐蚀A，再求取腐蚀结果和A的差集就可得到边界。 注意当B的原点处于A的边缘时，B的一部分将会在A的外边，此时一般设A之外都为0。 5区域和其边界可以互求。已知区域可求得其边界，反过来已知边界通过填充也可得到区域。1、首先给边界内一个点赋“1”（如图中深色所示），该点作为一颗“种子”，用结构元素对其进行膨胀，膨胀的结果与A的补集的交集作为新的种子保留。2、然后，对这些新的种子进行同样的操作，直到没有新的种子产生，填充过程停止。这时最终的种子和边界A的并集就包括填充了的区域内部和它的边界

当纹理较粗时，ρ(d)随d的增加下降速度较慢； 当纹理较细时，ρ(d)随着d的增加下降速度较快。

6 数学形态学

1形态学运算是针对二值图象的图象处理方法，近年来在数字图象处理和模式识别领域中得到了广泛的应用。 通常形态学图象处理表现为一种邻域运算形式，定义一个“结构元素” ，在每个象素位置上它与二值图象对应的区域进行特定的逻辑运算。形态学运算的效果取决于结构元素的大小、内容以及逻辑运算的性质。 2映象：A的映象（也称映射），即旋转180?。 二值图象用集合A表示。

作为结构元素的二值模板用集合B表示，B具有原点。

通常情况下，在膨胀之后，集合A包含于膨胀结果A?B； 通常情况下，在腐蚀之后，腐蚀结果AΘB包含于集合A。 形态学处理类似于卷积操作，后面的步骤由逻辑运算替代。

3用B膨胀A的过程是：先对B做关于原点的映象，再将其映象平移。 A与B映象的交集不为空集，则原点处元素属于输出集合。

用B腐蚀的结果：若B平移x后仍包含于A中，则原点位置的元素属于输出集合。原点既可以包含于结构元素中，也可以处于结构元素之外，其运算结果不同。 4结构元素应当比所有的噪声孔和块都要大。

设有一个集合A，先用一个结构元素B腐蚀A，再求取腐蚀结果和A的差集就可得到边界。 注意当B的原点处于A的边缘时，B的一部分将会在A的外边，此时一般设A之外都为0。 5区域和其边界可以互求。已知区域可求得其边界，反过来已知边界通过填充也可得到区域。1、首先给边界内一个点赋“1”（如图中深色所示），该点作为一颗“种子”，用结构元素对其进行膨胀，膨胀的结果与A的补集的交集作为新的种子保留。2、然后，对这些新的种子进行同样的操作，直到没有新的种子产生，填充过程停止。这时最终的种子和边界A的并集就包括填充了的区域内部和它的边界

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