高数第四版第七章（人民大学出版社）

第七章空间解析几何与向量代数

习题7-1

★★1．填空：

（1） 要使（2） 要使

★2．设ua?b?a?b成立，向量a , b应满足a?b

a?b?a?b成立，向量a , b应满足a//b ，且同向

?a?b?2c , v??a?3b?c，试用a , b , c表示向量2u?3v

知识点：向量的线性运算

解：2u?3v?2a?2b?4c?3a?9b?3c?5a?11b?7c

★3．设P , Q两点的向径分别为r1 , r2，点R在线段PQ上，且

PRRQ?m，证明点R的向径为 nr?n r1?m r2m?n

知识点：向量的线性运算

证明：在?OPQ中，根据三角形法则OQ?OP?PQ，又PR?mmPQ?(r2?r1)，

m?nm?n∴OR?OP?PR?r1?nr?mr2m(r2?r1)?1m?nm?n

★★4．已知菱形

ABCD的对角线AC?a , BD?b，试用向量a , b表示AB , BC , CD , DA。

知识点：向量的线性运算

解：根据三角形法则， AB?BC?AC?a , AD?AB?BD?b，又ABCD为菱形，

AD?BC（自由向量），

????????????????a?b????????????b?a?CD??DC??AB?∴2AB?AC?BD?a?b?AB? 22?a?b???a?b∴AD?BC?，DA??

22∴

★★5．把?ABC的BC边五等分，设分点依次为D1 , D2 , D3 , D4，再把各分点与点

A连接，试以

AB?c , BC?a表示向量D1A , D2A , D3A 和D4A。

知识点：向量的线性运算

解：见图7-1-5，

A c B a D1 D2 图7-1-5 C D3D4

11BC?D1A??AD1??(c?a) 55234同理：D2A??((c?a), D3A??(c?a), D4A??(c?a)

555根据三角形法则，

AB?BD1?AD1, BD1?习题7-2

★1在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？

A(2 ,?2 , 3)； B(3 , 3 , ?5)； C(3 , ?2 , ?4)； D(?4 , ?3 , 2)

答：A(2 ,?2 , 3)在第四卦限，B(3 , 3 , ?5)在第五卦限，C(3 , ?2 , ?4)在第八卦限，

D(?4 , ?3 , 2)在第三卦限

★2．在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？并指出下列各点的位置：

A(2,3,0); B(0,3,2); C(2,0,0); D(0,?2,0)

知识点：空间直角坐标

答：在各坐标面上点的坐标有一个分量为零，坐标轴上点的坐标有两个分量为零，

∴点

A在xoy坐标面上；B在yoz坐标面上；C在x轴上；D在y轴上。

★3．求点(a,b,c)关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标。

答：（1）(a,b,c)关于xoy面的对称点的坐标为(a,b,?c)；关于xoz面的对称点的坐标为(a,?b,c)；

关于yoz面的对称点的坐标为(?a,b,c)。

（2）(a,b,c)关于x轴的对称点的坐标为(a,?b,?c)；关于y轴的对称点的坐标为(?a,b,?c)；

关于z轴的对称点的坐标为(?a,?b,c)

（3）(a,b,c)关于原点的对称点的坐标为(?a,?b,?c)

★★4．过点

P(x,y0,z0)分别作平行于z轴的直线和平行于xoy坐标面的平面，问在它们上面的点的坐00标各有什么特点？

答：过点P(x,y0,z0)平行于z轴的直线上的点x、y坐标一定为x0,y0，因此坐标为(x0,y0,z)；00过点P(x,y0,z0)平行于xoy坐标面的平面上的点的竖坐标一定为z0，因此坐标为(x,y,z0) 00★5．求点M(5,?3,4)到各坐标轴的距离。

22解：∵M(x,y,z)到x轴的距离为z?y

∴M(5,?3,4)到x轴的距离为同理M(5,?3,4)到y轴的距离为

z2?y2?9?16?5；

x2?z2?25?16?41；

M(5,?3,4)到z轴的距离为x2?y2?25?9?34★★6．在yoz面上，求与三点

A(3,1,2),B(4,?2,?2),C(0,5,1)等距离的点。

知识点：空间两点的距离

解：∵所求点在yoz面上，∴设所求点的坐标为(0,y,z)，由条件可知：

9?(y?1)2?(z?2)2?16?(y?2)2?(z?2)2?(y?5)2?(z?1)2

?3y?4z??5?y?1，∴所求点为(0,1,?2) ?????4y?z?6?z??2??????????????★7．已知两点M(0,1,2),M2(1,?1,0)，试用坐标表示式表示向量M1M2,?2M1M2。 1知识点：空间两点的距离、向量的坐标表示及代数运算

解：M1M2?{1,?2 , ?2}；?2M1M2??2{1,?2 , ?2}?{?2, 4, 4}

★8．求平行于向量a?{6,7,?6}的单位向量

知识点：向量的坐标表示及代数运算

解：平行于向量a?{6,7,?6}的单位向量有和a同向和反向两个，

∴a0??a1676??{6,7,?6}??{, , ?} a11111136?49?36???????★★9．已知两点M(4,2,1),M(3,0,2)，计算向量MM的模、方向余弦、方向角。 1212知识点：向量的坐标表示及代数运算

解：根据向量模、方向余弦、方向角的计算公式可得：

M1M2?{?1 , ?2 , 1}?M1M2?1?2?1?2 , cos???1?2,cos??22cos??12?3????? , ?? , ??2343

★★10．已知向量

a的模为3，且其方向角????60?,??45?，求向量a。

知识点：向量的坐标表示及相关概念

解：根据向量、向量的模、方向余弦之间的关系可得：

???3323a?a{cos?,cos?,cos?}?3{cos,cos,cos}?{,,}

343222★★11．设向量

a的方向余弦分别满足

(1)cos??0,(2)cos??1,(3)cos??cos??0

问这些向量和坐标轴或坐标面的关系如何？

知识点：向量的方向余弦

解：（1）cos??0表示向量和x轴正向夹角为

（2）cos?（3）cos?于z轴

★12．已知

?，因此该向量和x轴垂直，或平行于yoz面 2?1表示向量和y轴正向夹角为零，因此该向量和y轴平行且方向相同 ?cos??0表示向量和x、y轴正向夹角都为

?，说明该向量和x、y轴都垂直，因此平行2r?4,r与轴?的夹角是60，求Prj?r。

?知识点：向量在轴上的投影

解：根据投影公式Prj?r?rcos(r,μ)?2?

(2,?1,7)，它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4,?4,7，求该向量的起★★13．一向量的终点为B点

A的坐标。

知识点：向量在坐标轴上的投影

解：∵向量的坐标分量即为它在x轴、y轴和z轴上的投影，设起点A为A(x,y,z)，则：

AB?{2?x, ?1?y, 7?z}?{4, ?4, 7}?(x,y,z)?(?2, 3, 0)

★★14．求与向量a?{16,?15,12}平行，方向相反，且长度为75的向量b。

知识点：向量的坐标表示及代数运算

解：由条件可得：b??a，b长度为75，∴ ??162?152?122?75????3

∵b和a反向，∴???3?b??a={?48,45,?36}，

习题7-3

★★1．设

a?3 , b?5，且两向量的夹角???/3，试求(a?2b)?(3a?2b)。

知识点：向量的数量积及其运算规律

解：根据数量积的运算规律：(a?2b)?(3a?2b)?3a2?2a?b?6b?a?4b2

?3a?4a?b?4b22，∵a?b?abcos(a?b)??15?(a?2b)?(3a?2b)??103 2★★2．已知M1(1,?1, 2), M2(3,3,1), M3(3,1,3)，求同时与M1M2 , M2M3垂直的单位向量

知识点：向量的向量积

解：∵由向量积性质：a?b?a, a?b?b，M1M2?{2,4,?1} , M2M3?{0,?2, 2}

i∴M1M2 ? M2M3j4k?1?6i?4j?4k为同时与M1M2 , M2M3垂直的向量 2?20?2∴所求单位向量为?13?2?2222{3,?2, ?2}??{317,?217 , ?217}

★3．设力

f?2i?3j?5k作用在一质点上，质点由M1(1,1,2)沿直线移动到M2(3,4,5)，求此力

所做的功（设力的单位为N，位移的单位为m）

知识点：数量积的物理意义

解：数量积的物理应用之一：力沿直线作功。位移为M1M2?{2,3,3}，

∴W?f?M1M2?(2i?3j?5k)?(2i?3j?3k)?10(N?m)

?{4,?3,4)在向量b?{2,2,1}上的投影。

★4．求向量a知识点：向量在轴上的投影

解：根据公式Prjba?acos(a,b)?a★★5．设a?a?ba?b??2。

a?bb有怎样的关系能使?a??b与z轴垂直？

?{3,5,?2} , b?{2,1,4}，问?与?知识点：两向量垂直的充要条件

解：根据两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为零，取z轴的单位向量{0,0,1)，则

(?a??b)?{0,0,1}??2??4??0???2?

★★★6．在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为

x1的点P有一与OP在O1处，1成角?1的力F1作用着，

的另一侧与点O的距离为x2的点P2处，有一与OP2成角?2的力F2作用着，如图，问?1，?2，x1，

x2，F1

，

F2符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？

图7-3-6 F2 F1?2 x2 x1 ?1 o

知识点：向量积的物理应用

解：P1处F1作用产生的力矩M1?OP2处F2作用产生的力矩M2?OP1?F1，P2?F2，要使杠

杆平衡，只要

★★7．设aM1?M2?x1F1sin?1?x2F2sin?2

?2i?3j?k , b?i?j?3k , c?i?2j，求

（1）(a?b)c?(a?c)b； （2）(a?b)?(b?c)； （3）(a?b)?c

知识点：向量运算的坐标表示

解（1）(a?b)c?(a?c)b?8c?8b?{0 , ?8, ?24}

i （2）(ajk?b)?(b?c)?{3,?4, 4}?{2,?3, 3}?3?44??j?k

2?33ijk （3）(a?b)?c?(2?31)?c?{?8, ?5, 1}?{1,?2, 0}?2

1?13★★★8．直线L通过点A(?2,1,3)和B(0,?1,2)求点C(10,5,10)到直线L的距离。

知识点：向量积

思路：在A,B,C为顶点组成的三角形中，AB边上的高即为所求距离。 解：设所求的距离值为h，?????1????AB?ACAB?3，又根据向量积的性质：S?ABC2

iAB?AC?212?S?ABC?j4k7

?2?1??10i?26j?32k?AB?AC?30211AB?AC??3h?h?10222★★★★9．试证向量

ab?baa?b表示向量a与b夹角的平分角线向量的方向。

思路：按题意，只要证该向量在a方向上的投影和它在b方向上的投影相同。 解：设c?ab?baba?aab?abaa?cb?a????, ，Prjac?aa(a?b)a(a?b)a?ba?ba?b而Prjbc?bb?aab?bbab?cb?a?????Prjac bb(a?b)b(a?b)a?ba?b?ka?(1?k)b , (k?ba?b)∴c和a、b在同一平面上，

又c?ab?baa?b∴c表示向量a与b夹角的平分角线向量的方向

★★10．设m?2a?b , n?ka?b，其中a?1 , b?2，且a?b。

?n？

知识点：向量的数量积、向量积及其性质

（1）k为何值时，m解：m?n?m?n?0，由m?n?0?(2a?b )?(ka?b)?2k?(2?k)a?b?4?0

∵a?b，∴a?b?0?k??2

（2）k为何值时，m与n为邻边的平行四边形面积为6。

解：m与n为邻边的平行四边形面积S?m?n?(2a?b )?(ka?b)?(2?k)a?b

∵a?b，∴a?b?ab?2?S?22?k?6?k??1或k?5

★★★11．设a,b,c均为非零向量，其中任意两个向量不共线，但a?b与c共线，c?b与a共线，试

证

a?b?c?0。

证明：∵a?b与c共线，c?b与a共线，∴可设?1(a?b)?c, c?b??2a ,(?1?0,?2?0)

代入可推得?(?2零向量，可得：

??1)a?(1??1)b，又∵其中任意两个向量不共线，则由a,b不共线且为非

?2??1?1??1?0??2??1??1?a?b?c?0

★★★12．试证向量a??i?3j?2k , b?2i?3j?4k , c??3i?12j?6k在同一平面上，并沿

a和b分解c。

知识点：向量的混合积及其几何意义

解：根据向量混合积的几何意义：a,b,c共面?(a?b)?c?0，

?1又(a?b)?c326?2?3?4??30?3?0?2?15?0，∴a,b,c共面

?312设c=?1a??2b，将a,b,c代入?2?2??1??3, 3(?1??2)?12, 2?1?4?2?6

??1?5, ?2?1? c?5a?b

★★★13．设点

A,B,C的向径分别为r1?2i?4j?k , r2?3i?7j?5k , r3?4i?10j?9k，

试证：

A,B,C三点在一直线上。

思路：只要证：向量AB和AC平行

???????????证明：AB?OB?OA?{3,7,5}?{2,4,1}?{1,3,4}；

???????????AC?OC?OA?{4,10,9}?{2,4,1}?{2,6,8} ????????????????∵AC?2AB?AB//AC

★★★14．已知a?{a1,a2,a3} , b?{b1,b2,b3} , c?{c1,c2,c3}，试利用行列式的性质证明：

(a?b)?c?(b?c)?a?(c?a)?b

a1证明：(a?b)?c?b1a2b2c2a3b3c3， (b?c)?ab1?c1a1b2c2a2b3c3a3，

c1b1而行列式

b2c2a2b3c3a3是行列式

a1b1c1a2b2c2a3b3c3交换两次两行得到，

c1a1∴(a?b)?c∴(a?b)?c?(b?c)?a。同理可证：(b?c)?a?(c?a)?b， ?(b?c)?a?(c?a)?b

★★★15．试用向量证明不等式：

222a1?a2?a3?b1?b2?b3?a1b1?a2b2?a3b3222222。

思路：a1?a2?a3可看作向量a?{a1,a2,a3}的模；

b1?b2?b3222是向量b?{b1,b2,b3}的模，而a1b1?a2b2?a3b3是a?b的值。

a1?a2?a3,b?b1?b2?b3222222证明：设a?{a1,a2,a3}，b?{b1,b2,b3}，则a?

∵a?b即：

?abcos(a?b)?ab?a?b

222222?a1?a2?a3?b1?b2?b3?a1b1?a2b2?a3b3

内容概要 主要内容（7-4，7-5，7-8） 曲面及其方程 柱面 （2） 常见旋转曲面 xoz面上曲线yoz面上曲线旋转曲面 xoy面上曲线f(x,y)?0绕x轴旋转的旋转曲面方程：f(x,?y2?z2?0 f(y,z)?0绕z轴旋转的旋转曲面方程：f(?x2?y2,z)?0 f(x,z)?0绕z轴旋转的旋转曲面方程：f(?x2?y2,z)?0 2（1） 圆锥面：z?a2(x2?y2)（yoz面上曲线z?y绕z轴旋转而成） x2z2面上的曲线2?2?1绕aczx2?y2z2?2?1（zox旋转单叶双曲面：a2c轴旋转而成） ?f(x,y)?0f(x,y)?0表示准线为：?母线平行于z轴的柱面 z?0??f(y,z)?0f(y,z)?0表示准线为：?母线平行于x轴的柱面 x?0??f(x,z)?0f(x,z)?0表示准线为：?母线平行于y轴的柱面 ?y?0柱面方程特点：缺少某个变量 常见柱面 （1）抛物柱面：y2?ax?b表示母线平行于z轴的抛物柱面 x2z2（2）椭圆柱面：2?2?1表示母线平行于y轴的椭圆柱面 aby2z2（3）双曲柱面：2?2?1表示母线平行于x轴的双曲柱面 ab 二次曲面 空间曲线椭球面、抛物面、双曲面 L的一般方程 L的参数方程 ?F(x,y,z)?0 ??G(x,y,z)?0x??(t) , y??(t) , z??(t) 及其方程 L在坐标面上的投影 消去L方程中的变量z得到的H(x,y)?0即为L在xoy面上的投影柱面， ?H(x,y)?0就是L在xoy面上的投影曲线（以此类推） ??z?0习题7-4

★1．求以点O(1,?2, 2)为球心，且通过坐标原点的球面方程。

知识点：空间两点的距离

解：设球面上点的坐标为(x,y,z)，则根据两点距离公式：(x?1)2?(y?2)2?(z?2)2?R2，

∵原点在球面上，∴R?12?(?2)2?22?3,∴球面方程：(x?1)2?(y?2)2?(z?2)2?9。

★2．一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，求该动点的轨迹方程。

解：设动点的坐标为（x,y,z），则根据等距离的条件：

(x?2)2?(y?3)2?(z?1)2?(x?4)2?(y?5)2?(z?6)2

∴动点的轨迹方程为：4x?4y?10z?63?0

★3．方程

x2?y2?z2?2x?4y?4z?7?0表示什么曲面？

解：方程可化为：(x?1)2?(y?2)2?(z?2)2?16∴该方程表达的是以(1,?2, 2)为球心、半径

为4的球面。

★★4．将xoz坐标面上的抛物线

z2?5x绕x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程。

知识点：旋转曲面

解：∵xoz坐标面上的抛物线z?5x是绕x轴旋转

∴旋转曲面方程为(?2y2?z2)2?5x?y2?z2?5x

★★5．将xoz坐标面上的抛物线

2x2?z2?9绕z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程。

2解：∵xoz坐标面上的抛物线x?z?9是绕z轴旋转

∴旋转曲面方程为(?x2?y2)2?z2?9?x2?y2?z2?9。

★★6．指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？

（1）x?0； （2）y?x?1； （3）x2?y2?4； （4）x2?y2?1

答：（1）x?0在平面解析几何中表示y轴，在空间解析几何中表示yoz坐标面

（2）y影为

?x?1在平面解析几何中表示一条直线，在空间解析几何中表示平行于z轴，在xoy坐标面上投

y?x?1的一个平面。

（3）x2?y2?4在平面解析几何中表示xoy面上，原点为心、半径为2的圆线，在空间解析几何中表

2示准线为xoy面上的圆线x（4）x2?y2?4，母线平行于z轴的圆柱面。

?y2?1在平面解析几何中表示xoy面上的双曲线，在空间解析几何中表示准线为xoy面上的

2双曲线x?y2?1，母线平行于z轴的双曲柱面。

★★7．说明下列旋转曲面是怎样形成的：

x2y2z2y22???1； （2）x??z2?1； （3）x2?y2?z2?1。 （1）4994知识点：旋转曲面

222x2y2z2x2(?y?z)???1可变化为解：方程??1，∴方程表达的是：xoy坐标面上的49949x2y2??1绕x轴旋转一周所得的旋转曲面 曲线49x2y2z2x2z2???1也可看作是：xoz坐标面上的曲线??1绕x轴旋转一周所得的旋注：方程49949转曲面

★★8．指出下列各方程表示哪种曲面：

（1）x2?y2?2z?0； （2）x2?y2?0； （3）x2?y2?0

2x2y2??1 （4）y?3z?0； （5）y?4y?3?0； （6）

916y2?1； （8）x2?4y； （9）z2?x2?y2?0 （7）x?92答：（1）方程表达开口向着z轴正向的圆抛物面（或旋转抛物面）

（2）x（3）x2?y2?0?x?y或x??y，∴表达两个垂直于xoy面的平面：x?y；x??y ?y2?0?x?0,y?0∴表示z轴

2（4）平行于x轴且经过yoz面上的直线（5）

y?3z?0的平面

y?3和y?1这两个平行于xoz坐标面的平面

x2y2??1，母线平行于z轴的椭圆柱面 （6）准线为xoy坐标面上的椭圆

916y2?1，母线平行于z轴的双曲柱面 （7）准线为xoy坐标面上的双曲线x?92（8）准线为xoy坐标面上的抛物线x2?4y，母线平行于z轴的抛物柱面

（9）yoz坐标面上的直线

y?z绕z轴旋转一周所得的圆锥面

习题7-5

★★★1．画出下列曲线在第一象限内的图形：

（1）??x?2 ； （2）??z?9?x2?y2； ?y?4???x?y?0解（1）

z4y2x7-5-1-（1） （2） z z?9?x2?y2 y 0 x?y x 7-5-1-（2）

）??x2?y2?a23?x2?z2?a2（

（3）

z 0 xy x7-5-1-（3）

?y?5x?2★★2．方程组?在平面几何与空间解析几何中各表示什么？

y?2x?5?答：方程组??y?5x?2在平面几何中表示两条直线的交点，在空间解析几何中表示垂直于

?y?2x?5xoy坐标面

的两平面的交线。

?x2y2???1在平面几何与空间解析几何中各表示什么？

★★3．方程组?49??x?2?x2y2???1在平面几何中表示一个点（2，0），在空间解析几何中表示椭圆柱面

答：方程组?49??x?2?x?2x2y2??1和平面x?2的交线：?。 49?y?0★★4．求曲面

x2?9y2?10z与yoz平面的交线。

?x2?9y2?10z?9y2?10z解：yoz平面方程为x?0，∴交线为? ??x?0??x?0?2x2?y2?z2?16★★5．分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线?的柱面方程。

222?x?z?y?0知识点：曲线在坐标面上的投影柱面及投影曲线

?2x2?y2?z2?16解：要求过曲线?2且母线平行于x轴的柱面方程，只要方程组消去变量x

22?x?z?y?0∴所求柱面方程为3y2?z2?16

?2x2?y2?z2?16要求过曲线?且母线平行于y轴的柱面方程，只要方程组消去变量y

222x?z?y?0?∴所求柱面方程为3x2?2z2?16

★★6．求曲线?x?z?1 在xoy面上的投影方程。 222x?y?z?9??x?z?1 在xoy面上的投影方程，只需方程组消去变量z 222?x?y?z?9?2知识点：曲线在坐标面上的投影柱面及投影曲线 解：要求曲线?∴所求柱面方程为：x?y2?(1?x)2?9?2x2?y2?2x?8

★★7．求曲线?y?z?1?0 在xoz面上的投影方程。 22?x?z?3yz?2x?3z?3?0?y?z?1?0 在xoz面上的投影方程，只需方程组消去变量y 22?x?z?3yz?2x?3z?3?0?解：要求曲线??x2?4z2?2x?3?0∴所求投影方程为：?

y?0??x2?y2?z2?9★★★8．将曲线? 化为参数方程。

y?x?22222思路：若将y?x代入x?y?z?9，可得2x?z?9，因此可通过椭圆方程的参数式求出曲

线的参数式。

22222解：将y?x代入x?y?z?9，可得2x?z?9，该方程可用参数式表达为：

?32x?cos??2??22232?x?cos?，∴曲线?x?y?z?9的参数式为?y?32cos????22y?x????z?3sin??z?3sin???

?(x?1)2?y2?(z?1)2?4★★★9．将曲线的一般方程? 化为参数方程。

z?0?解：将z?0代入(x?1)2?y2?(z?1)2?4，?可得：(x?1)2?y2?3，

?x?1?3cos?该圆方程的参数式为：??y?3sin?222，

?x?1?3cos??(x?1)?y?(z?1)?4?∴曲线? 的参数方程为：?y?3sin?z?0??z?0?★★10．指出下列各方程组表示什么曲线：

。

?x2?y2?z2?20?x2?4y2?9z2?36?x?2?0（1）? （2）? （3）?

z?2?0y?1?y?3?0???x2?4y2?4z?x2?4y2?8z（4）? （5）?

y??2z?8??答：（1）两平面的交线，该直线平行于z轴

（2）表示球面x2?y2?z2?20与平行于xoy面的平面z?2的交线，为一在z?2平面上的圆线：

?x2?y2?16 ??z?2（3）表示单叶双曲面

x2?4y2?9z2?36和y?1平面的交线，为一在y?1平面上的椭圆线：

?x2?9z2?40 ?y?1?（4）表示双曲抛物面（即马鞍面）x2?4y2?4z与y??2平面的交线，为一在y??2平面上的抛

?x2?16?4z物线：?

?y??2（5）表示双曲抛物面（即马鞍面）x2?4y2?8z与z?8平面的交线，为一在z?8平面上的双曲线：

?x2?4y2?64 ?z?8?★★★11．求旋转抛物面

z?x2?y2(0?z?4)在三坐标面上的投影。

知识点：曲面的投影和空间区域的投影

解：见图7-5-11，

z z yyo x 图7-5-11

o x ?z?x2?y2（1）由于旋转抛物面z?x?y(0?z?4)投影到xoy面上时，它的边界线是??z?422，

?x2?y2?4∴在xoy面上的投影为：?；

?z?0（2）由于旋转抛物面z?x2?y2(0?z?4)投影到yoz面上时，它的边界线是：

?z?x2?y2,(0?z?4)?y2?z?4∴在yoz面上的投影为：? ?x?0??x?0?x2?z?4（3）同理，旋转抛物面z?x?y(0?z?4)在xoz面上的投影为：?

?y?022★★★12．假定直线

L在

yoz平面上的投影方程为??2y?3z?1，而在

?x?0zox平面上的投影方程为

?x?z?2，求直线L在xoy面上的投影方程。 ?y?0?解：∵直线L在yoz平面上的投影方程为??2y?3z?1，∴直线L一定在投影柱面2y?3z?1上，

?x?0z得到直线L在

同理，直线L也一定在投影柱面x??2y?3z?1z?2上，∴直线L方程为?，消去

?x?z?2?3x?2y?7xoy面上的投影方程：?

z?0?

内容概要 主要内容（7-6，7-7） 空间平面及其方程 平面的截距式方程 平面的一般方程 平面的点法式方程 过M0(x0,y0,z0)，法矢为n?{A,B,C}的平面方程： A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0 Ax?By?Cz?D?0 xyz???1 abc点M0(x0,y0,z0)到平面Ax?By?Cz?D?0的距离：d?Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222 两平面的夹角?：cos??A1A2?B1B2?C1C2A?B?C212121 （?1：空间直线及其方程 参数方程 一般方程 对称式方程 A1x?B1y?C1z?D1?0，?2：A2x?B2y?C2z?D2?0） ?{m,n,p}的直线方程： 对称式方程和一般方程的关系： 过M0(x0,y0,z0)，方向矢为sx?x0y?y0z?z0??mnp is?A1A2jB1B2kC1C2 ?A1x?B1y?C1z?D1?0 ??A2x?B2y?C2z?D2?0x?mt?x0 , y?nt?y0 , z?pt?z0 ?s1?s2s1s2?m1m2?n1n2?p1p2m?n?p212121两直线的夹角?： cos?m?n?p222222 （L1的方向矢s1直线和平面的夹角?：sin??{m1,n1,p1}，L2的方向矢s2?{m2,n2,p2}） ?mA?nB?pCm?n?p222?n?snsA?B?C222 （直线L： x?x0y?y0z?z0??mnp，L的方向矢为s?{m,n,p}； 平面?：Ax?By?Cz?D?0），?的法矢为n?{A,B,C} 平面束方程（L为一般方程式）：

A1x?B1y?C1z?D1??(A2x?B2y?C2z?D2)?0 习题7-6

★ 1． 求通过点(2,4,?3)且与平面2x?3y?5z?5平行的平面方程。

知识点：平面及其方程

思路：已知平面上的一点和平面的法矢，可求出平面方程

解：∵所求平面?与已知平面2x?3y?5z?5平行，∴?的法矢n?{2,3,?5}，

由平面的点法式方程可得?：2(x?2)?3(y?4)?5(z?3)?0?2x?3y?5z?31

★2．求过点M0(2,9,?6)且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程。

知识点：平面及其方程

??????解：∵所求平面?与OM0垂直，∴?的法矢n?OM0?{2,9,?6}，又?过点M0(2,9,?6)，

∴?：2(x?2)?9(y?9)?6(z?6)?0?2x?9y?6z?121

★★3．求过点M1(1,1,2) , M2(3,2,3) , M3(2,0,3)三点的平面方程。

思路：根据条件，平面过已知点，若能求出平面的法矢就可得平面方程。

解：∵所求平面?过三点M1(1,1,2) , M2(3,2,3) , M3(2,0,3)，∴平面?的法矢n应满足：

n?M1M2 , n?M1M3∴可选择n，M1M2?{2,1,1} , M1M3?{1,?1 , 1}；

j1k1?2i?j?3k，

i?M1M2?M1M3?21?11∴?：2(x?1)?(y?1)?3(z?2)?0?2x?y?3z?5?0

注：三点M1(1,1,2) , M2(3,2,3) , M3(2,0,3)组成的任意两个向量的向量积都可作为平面?的法矢n

★★4．平面过原点O，且垂直于平面?1:x?2y?3z?2?0，?2: 6x?y?5z?2?0求此

平面方程。

思路：根据条件，已知平面过原点，若能求出平面的法矢就可得平面方程。 解：设所求平面?和已知平面?1、?2的法矢分别为n、n1、n2，

i∵?jk??1，???2，∴n?n1，n?n2?n?n1?n2?123?13i?13j?13k

6?15?{1,1,?1}，∴?：x?y?z?0

可选择?的法矢n★★5．指出下列各平面的特殊位置：

（1）x（5）

?1； （2）3y?2?0； （3）2x?3y?6?0； （4）x?3y?0；

y?z?2； （6）x?2z?0； （7）6x?5y?z?0。

答：（1）该平面平行于yoz面；（2）该平面平行于xoz面；（3）该平面平行于z轴；

（4）该平面平行于z轴且过原点，即过z轴；（5）该平面平行于x轴；（6）该平面平行于y轴且过原点，即过y轴（7）该平面过原点

★★6．求平面2x?2y?z?5?0和各坐标轴的夹角余弦

知识点：平面及向量的方向余弦

解：∵平面2x?2y?z?5?0的法矢n?{2,?2, 1}，∴和x、y、z轴的夹角余弦分别为：

221cos?? , cos??? , cos??

333★★★7．已知

A(?5,?11 ,3) , B(7,10,?6)和C(1,?3 ,?2)，求平行于?ABC所在的平面且与它的距

离等于2的平面方程。

思路：可先借鉴本单元的习题3，求出过A,B,C的平面的法矢，也是所求平面的法矢。

解：设所求平面?的法矢为n，n?(AB)?AC?413ijk7?3??11i?2j?10k

68?5D?0，有条件?ABC所在的平面与?的距离等于2

?2?D??27 or 33

∴设?的平面一般方程为：11x?2y?10z?∴点C 到平面的距离d?11?2?(?3)?10?(?2)?D11?2?10222∴?的方程为：11x?2y?10z?33?0 或 11x?2y?10z?27?0

★★8．确定k的值，使平面

x?ky?2z?9适合下列条件之一：

?3垂直； （3）与3x?7y?6z?1?0平行；

（1）经过点(5,?4 , ?6)； （2）与2x?4y?3z（4）与2x?3y?z?0成

?角； （5）与原点的距离等于3； （6）在y轴上的截距为?3。 4解：（1）平面x?ky?2z?9经过点(5,?4 , ?6)，∴点代入平面方程可得：k?2

（2）平面x?ky?2z ∴n1?9与平面2x?4y?3z?3垂直，∴两平面的法矢n1 ,n2垂直，

?n2?2?4k?6?0?k?1

?9与平面3x?7y?6z?1?0平行，两平面的法矢n1 ,n2平行

（3）平面x?ky?2z∴n1//n2?3??767??k?? k23（4）平面x?ky?2z??9与平面2x?3y?z?0成

2?3k?25?k?142??角，两平面的法矢n1 ,n2夹角为 44

2?∴cos(n1,n2)?2（5）平面x?ky?2z?270?k??22?9与原点的距离等于3，∴

95?k2?3?k??2

（6）平面x?ky?2zxyz?9在y轴上的截距为?3，根据平面的截距式方程：???1

99/k9/(?2)?9/k??3?k??3

★9．求点(1,2,1)到平面

x?2y?2z?10?0的距离。

解：根据点到平面的距离公式：d?1?2?2?2?101?2?222?1

★★★10．求平行于平面

x?y?z?100且与球面x2?y2?z2?4相切的平面方程。

思路：所求平面?//平面x?y?z?100，所以可知?的法矢，由?与球面相切的条件又可知球心

到平面的距离。

解：∵所求平面?//平面x?y?z?100，∴?的法矢n?{1,1,1}，设?的方程为：

x?y?z?D?0，∵?与球面相切，∴球心到平面的距离为球半径10，

∴d?D3?2?D??23??：x?y?z?23?0

x?2y?2z?21?0与7x?24z?5?0的夹角的平分面的方程。

★★★11．求平面

知识点：平面与平面的夹角、点到平面的距离

思路：两平面的夹角平分面上的点应满足到两平面的距离相等

解：设所求平面?上的动点坐标(x,y,z)，∵?是平面x?2y?2z?21?0与平面

7x?24z?5?0的夹角的平分面，∴(x,y,z)到两平面的距离相等，于是：

x?2y?2z?213?7x?24z?525?25(x?2y?2z?21)??3(7x?24z?5)，

?2x?25y?11z?270?0, or 23x-25y?61z?255?0

习题7-7

, 2)且平行于直线★1．求过点(3,?1知识点：直线的对称式方程

x?3z?1?y?的直线方程。 43x?3z?1?y?，∴L的方向矢s?{4,1,3}，又已知L过点(3,?1 , 2) 43x?3y?1z?2??∴L： 413解：所求直线L//直线

★2．求过两点M1(2,?1 , 5)和M2(?1 , 0,6)的直线方程。

知识点：直线的对称式方程

解：∵所求直线L过两点M1(2,?1 , 5)和M2(?1 , 0,6)，L的方向矢s可取为

s?M1M2?{?3, 1, 1}，∴L：

x?2y?1z?5?? ?311★★3．用对称式方程及参数方程表示直线??2x?y?3z?2?0。

?x?2y?z?6?0?2x?y?3z?2?0，则L的方向矢s和两平面的法

?x?2y?z?6?0知识点：直线的各种表达式之间的转换 解：∵直线L表达为两平面交的一般方程形式：?矢都垂直，∴s?2x?y?2?0?2?1?3?7i?j?5k，取L上的一点：令z?0??

?x?2y?6?012?1ijk214x?2/5y?14/5z?( , , 0)，∴L的对称式方程：??，

557?15x?2/5y?14/5z214L的参数方程：???t?x?7t?,y??t?,z?5t

7?1555★★4．证明两直线??x?2y?z?7?3x?6y?3z?8与?平行。

?2x?y?z?72x?y?z?0??ijk?x?2y?z?72?1?3i?j?5k 证明：根据上一题解答可知直线L1?的方向矢s1?1??2x?y?z?7?211直线L2?3x?6y?3z?82?1??3i?j?5k ?s1??s2， 的方向矢s2?1?2x?y?z?0?2?1?1ijk∴L1//L2

★★★5．求过点(1,2 , 1)且与两直线??x?2y?z?1?0?2x?y?z?0和?都平行的平面方程。

?x?y?z?1?0?x?y?z?0?x?2y?z?1?0?2x?y?z?0和L2：?的方向矢

x?y?z?1?0x?y?z?0??思路：所求平面?和两直线平行，则说明?的法矢和两直线的方向矢都垂直。 解：设所求平面?的法矢为n；两直线L1：?分别为s1,s2。 ∵?//L1，?//L2?n?s1, n?s2?n?s1?s2，其中

ijkis1?1j2k1ij1k1?1?i?2j?3k , s2?2?11??j?k，

1?111?1∴n?s1?s2?1?2?3?i?j?k，

0∴?：(x?1)?(y?2)?(z?1)★★6．求过点(0, 2 , 4)且与两平面

?0?x?y?z?0

x?2z?1和y?3z?2平行的直线方程。

思路：所求直线L与两已知平面平行，所以L的方向矢和两平面的法矢都垂直。

解：设所求直线L的方向矢为s，两平面?1：x?2z?1和?2：y?3z?2的法矢分别为n1,n2

i∵L//?1 , L//?2jk2??2i?3j?k，

?s?n1,s?n2?s?n1?n2?1001?3∴L：

xy?2z?4?? ?231x?4y?3z??的平面方程。 521x?4y?3z??的方向矢s，s?{5,2,1} 5211 , ?2)且通过直线★★★7．求过点(3, 思路：易知：已知点不在直线上，所以通过点和直线的平面方程和通过三点的平面方程的求法相似。 解：设所求的平面?的法矢为n，直线L：

∵L在?上，∴n?s；

取直线上的一点M(4,?3, 0)，和已知点M0(3, 1 , ?2)组成向量MM0?{?1, 4,?2}，

i易知：njk?MM0?n?s?MM0?521??8i?9j?22k， ?14?2∴?：?8(x?3)?9(y?1)?22(z?2)?0??8x?9y?22z?59?0

★8．求直线??x?y?3z?0与平面x?y?z?1?0的夹角。

?x?y?z?0?x?y?3z?0的方向矢为s，平面?：x?y?z?1?0的法矢为n，直线L与

?x?y?z?0k3?2i?4j?2k , n?{1,?1, ?1} ，可取s?{1,2,?1}

知识点：直线与平面的夹角 解：设直线L：?平面?的夹角为?。

i则sj1?11?1?1∴sin??cos(n,s)??n?sns?0???0?L//?

★★9．试确定下列各组中的直线和平面间的关系：

x?3y?4zxyz??和4x?2y?2z?3； （2）??和3x?2y?7z?8； ?2?733?27x?2y?2z?3??（3）和x?y?z?3。 31?4（1）

思路：通过直线和平面的夹角即可确定它们的关系

解：在每道小题中都设直线L的方向矢为s，平面?的法矢为n，直线L与平面?的夹角为?。

则（1）s?{?2, ?7, 3},n?{2,?1, ?1}?sin??cos(s,n)??s?nsn?0?L//?，

又L上的点(?3, ?4, 0)不满足4x?2y?2z?3，∴L不在?上，∴L//?

?（2）s?{3, ?2, 7},n?{3,?2, 7}?sin??cos(s,n)??s?nsn?1?L??

（3）s?{3, 1, ?4},n?{1,1, 1}?sin??cos(s,n)?s?nsn?0?L//?

又L上的点(2, ?2, 3)满足x?y?z?3，∴L在?上。

, 2, 0)在平面★★★10．求点(?1x?2y?z?1?0上的投影。

思路：根据点在平面上的投影的定义可知求投影点的过程：（1）过点作平面的垂线；（2）垂线和平面的

交点（即投影点）

解：过点M(?1 , 2, 0)作平面?：x?2y?z?1?0的垂线L，设L的方向矢为s，平面?的法

?x?t?1x?1y?2z????t??y?2t?2， 矢为n，则可选s?n，∴L：12?1?z??t?将L的参数方程代入?求出L和?的交点（即投影点）M0：

(t?1)?2(2t?2)?(?t)?1?0?t??★★★11．设M0是直线

2522?M0?(? , , ) 3333?L外一点，M是直线L上任意一点，且直线的方向向量为s，试证：点M0到

直线L的距离d?MM0?ss。

知识点：向量积和空间直线及其方程

思路：画简图可知：距离d是由M、M0以及当把s的起点放在M时的终点坐标M1三点组成的三角

形底边MM1上的高，见图7-7-11

M0 dM LsM1 图7-7-11

解：设当把s的起点放在M时s的终点坐标为M1，d即为?M0MM1底边MM1上的高

根据向量积的性质可知?M0MM1的面积S??MM0?s，又S?1sd2

∴d?MM0?ss ★★★12．求直线L:??x?y?z?1?0在平面?:x?y?z?0上的投影直线方程。

?x?y?z?1?0方法一：可根据求投影直线的过程逐步求得：（1）求过直线L垂直于?的平面?1；（2）?与?1的

交线即为L在?上的投影直线。

解：过L的平面束方程为x?y?z?1??(x?y?z?1)?0

?(1??)x?(1??)y?(??1)z???1?0，此平面束中和?垂直的平面应满足：

(1??)?(1??)?(??1)?0????1，

∴过直线L垂直于?的平面?1：x?y?z?1?(x?y?z?1)?0?y?z?1，

∴L在平面?上的投影直线方程为：??x?y?z?0

y?z?1?方法二：可通过求L和?的交点以及L的方向矢写出所求投影直线的对称式方程

?x?y?z?1?011?解：L和?的交点M0(x,y,z)满足：?x?y?z?1?0?M0(0, , ?)

22?x?y?z?0?iL的方向矢s?1jk1?1??2j?2k，设?的法矢为n， 1?11则L和它的投影直线组成平面的法矢n1满足：n1投影直线的方向矢s1应满足：s1∴投影直线方程：

?s且n1?n?n1?n?s??j?k

?s且s1?n1?s1?n1?s?2i?j?k

xy?0.5z?0.5?? 21?113．已知直线L:??2y?3z?5?0，求：

?x?2y?z?7?0?y?3z?8?0上的投影直线方程。

★（1）直线在yoz平面上的投影方程； ★（2）直线在xoy平面上的投影方程； ★★★（3）直线在平面?:x解：（1）由曲线在坐标面上投影知识可知：L:??2y?3z?5?0 中消去x，

?x?2y?z?7?0可得L在yoz面上的投影：??2y?3z?5?0

x?0?注：也可参照习题12的方法做

（2）L:??2y?3z?5?0?3x?4y?16?0中消去在，可得L在xoy面上的投影：?

z?0?x?2y?z?7?0??0

注：也可参照习题12的方法做

（3）过L的平面束方程为2y?3z?5??(x?2y?z?7)??x?(2?2?)y?(3??)z?7??5?0，此平面束中和?垂直的平面应满足：

??(2?2?)?3(3??)?0?无解，说明这些平面都不垂直于?，过L且不在平面束方程中的平

面只有一个：x?2y?z?7?0，此平面设为?1，确有：?1??，?1即为过直线L且垂直于?的平面∴L在平面?上的投影直线方程为：??x?y?3z?8?0

?x?2y?z?7?0★★★14．证明直线

x?1y?1z?3x?1y?2z?3????与直线相交，并求它们交角的平分381473线方程。

知识点：直线及其方程 证：将直线L1：

直线L2 （题有问题？）

x?1y?1z?3??化为参数式：x?3t?1,y?8t?1,z?t?3，代入 381习题7-8

1． 画出下列方程所表示的曲面：

zx2y2?（1）4x?y?z?4； （2）x?y?4z?4； （3）?349222222。

z

o y

x 图7-8-1-1 y

x

z图7-8-1-2

z yo x 图7-8-1-3

★★2．指出下列方程所表示的曲线：

?x2?y2?z2?25?x2?4y2?9z2?36（1）?； （2）?；

x?3y?1???x2?4y2?z2?25?y2?z2?4x?8?0（3）?； （4）?。

x??3y?4??22答：（1）x?3平面上的圆y2?z2?16；（2）y?1平面上的椭圆x?9z?32；

（3）x??3平面上的双曲线z2?4y2?16；（4）y?4平面上的抛物线z2?4x?24?0

★★★3．画出下列各曲面所围成的立体的图形：

（1）x?0, y?0, z?0, x?2, y?1, 3x?4y?2z?12?0；

z z y y x

图7-8-3-1 x 图7-8-3-1 （2）xy?0, z?0, x?1, y?2, z?

4z y x （3） z图7-8-3-2

?0, z?3, x?y?0, x?3y?0 , x2?y2?1，在第一卦限内。

y x 图7-8-3-3

（4） x

0 ?0, y?0,z?0, x2?y2?R2,y2?z2?R2，在第一卦限内。

z xy

x 图7-8-3-4 总习题七

★★★1．已知a , b , c为单位向量，且满足a ? b? c?0，计算a?b ? b?c? c?a。

知识点：向量的数量积

解：∵a ? b? c?0，∴(a ? b? c)?a?0?b?a ? c?a??a同理可得：a?b ? c?b2??1 （1）

??b??1 （2）

22b?c ? a?c??c??1 （3）

（a , b , c为单位向量）

∵向量的数量积满足交换律，将（1）、（2）、（3）式相加?a?b ? b?c? c?a??3 2★★★2．设三角形的三边

BC?a , CA?b , AB?c，三边中点依次为D、E、F

，试证明

AD ? BE? CF?0

知识点：向量及其线性运算

1BC, AC??CA??b 2111?AD ??b?a，同理可得：BE ??c?b , CF ??a?c ；

2223∴AD ? BE? CF??(a?b?c)，∵a?b??c

2证明：根据向量线性运算的三角形法则，AD ? DC? AC, DC?∴

AD ? BE? CF?0

?(7a ?5 b),(a ?4 b)?(7a ?2 b)，求(a,b)。

?★★★3．设(a ?3 b)知识点：向量的数量积及其性质

解：∵(a ?3 b)?(7a ?5 b),(a ?4 b)?(7a ?2 b)

∴(a ?3 b)?(7a ?5 b)?0?7a ?16 a?b ?15 b?0；

2222(a ?4 b)?(7a ?2 b)?0?7a ?30 a?b ?8 b?0

??12a?b1?22 b? a?b ? b, a? b?cos(a,b)???(a,b)?∴ 46 a?b ?232 a b232?。

★★★4．已知

a?2 , b?5 , (a,b)?2?3，问：系数?为何值时，向量m??a ?17 b与n?3a ? b垂直

知识点：向量的数量积及其性质

解：根据两向量垂直的充要条件，要使向量m??a ?17 b与n?3a ? b垂直，必须

m?n?0?(?a ?17 b)?(3a ? b)?0?3?a?(51??)a?b?17b?0，

?2?由已知条件a?2 , b?5 , (a,b)??a?b?abcos(a,b)??5，

3?22∴3?a2?(51??)a?b?17b?12??5(51??)?17?25?0???40

2★★★5．求与向量a?{2,?1 , 2}共线且满足方程a?x??18的向量x。

知识点：向量的线性运算以及向量的数量积

解：根据已知条件：x与a共线，可设x??a??{2,?1 ,2}，

由a?x??18?a??a??a??18????2?x?{?4, 2,?4}

2★★★6．设a?{?1 , 3,2}，b?{2, ?3 , ?4}，c?{?3, 12 , 6}，证明三向量a , b , c共面，并用a 和 b 表示 c

知识点：向量的混合积

解：根据向量混合积的性质：三个向量宫面的充要条件是它们的混合积为零

i∵a ? b ?j3k2??6i?3k?(a ? b)?c?6?3?3?6?0

?12?3?4∴a , b , c共面 若设c?x1a?x2b?{?3,12,6}?{?x1?2x2, 3x1?3x2, 2x1?4x2}，

??x1?2x2??3, 3x1?3x2?12, 2x1?4x2?6?x1?5,x2?1

∴c?5a?b

★★★7．证明点

M0(x0,y0,z0)到一通过点

A(a,b,c)、方向平行于向量s的直线的距离为

d?r?ss，其中r?AM0。

证明：该题类似于习题7-7的11题，把向量s的起点放在A(a,b,c)，设此时s的终点坐标为M1，d即为?M0AM1底边AM1（即s）上的高，根据习题7-7的11题的结论：d???a ? b，?是实数，证明：c最小的向量 c。

AM0?ss

★★★8．已知向量a , b 非零，且不共线，作c最小的向量 c垂直于a ，

并求当a?{1 , 2,?2}，b?{1, ?1 , 1}时，使c知识点：向量的数量积及其性质、一元函数的最值

解：c??a ? b?c?c?(?a ? b)?(?a ? b)?c设

2??2a?2?(a?b)?b222

f(?)??2a?2?(a?b)?b22，则由

f?(?)?2?a?2(a?b)?0

????a?ba2（唯一驻点），∴

c最小的向量 c??a?ba2a?b，

∵ c?a?(?a?ba2a?b)?a??a?b?b?a?0?c?a，

a?b411a?b?{ , ? , } 2333a当a?{1 , 2,?2}，b?{1, ?1 , 1}时，使c2最小的向量 c??★★9．将xoy坐标面上的双曲线4x?9y2?36分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方

程。

知识点：旋转曲面及其方程

解：当xoy坐标面上的双曲线4x2?9y2?36绕x轴旋转时旋转曲面方程为：

4x2?9(?y2?z2)2?36?4x2?9y2?9z2?36。

x2?z2)2?9y2?36?4x2?4z2?9y2?36

绕y轴旋转时旋转曲面方程为：4(?★★★10．求直线L：

x?1yz?1??绕z轴旋转所得旋转曲面方程。 121x?1yz?1??上的某一点121知识点：求旋转曲面方程的原理

解：设所求旋转曲面上的动点坐标为(x,y,z)，且它是由直线L：

(x0,y0,z0)绕z轴旋转得到，所以，(x,y,z)和 (x0,y0,z0)满足：

（1）z22?y0?x2?y2?z0；（2）x0，

将

x0?1y0z0?12222??代入（2）可得：x?y?z?4(z?1) 121?z?2?x2?y2★★11．求曲线L:?在三个坐标面上的投影曲线方程。

22?z?(x?1)?(y?1)?z?2?x2?y2解：（1）方程组?消去z，

22?z?(x?1)?(y?1)?x2?y2?x?y?0可得L在xoy面上的投影曲线方程?

z?0??z?2?x2?y2?z?2?x2?y2（2）方程组???22z?(x?1)?(y?1)??z?2?x?y消去x

?2y2?2yz?z2?4y?3z?2?0可得L在yoz面上的投影曲线方程?

x?0??z?2?x2?y2?z?2?x2?y2（3）方程组???22z?(x?1)?(y?1)??z?2?x?y消去y

?2x2?2xz?z2?4x?3z?2?0可得L在yoz面上的投影曲线方程?

y?0??6x?6y?z?16?0★★12．求曲线L:?在三个坐标面上的投影方程。

2x?5y?2z?3?0?解：（1）方程组??6x?6y?z?16?0消去z，

?2x?5y?2z?3?0?2x?y?5?0可得L在xoy面上的投影曲线方程?

z?0?（2）方程组??6x?6y?z?16?0消去x

?2x?5y?2z?3?0?3y?z?1?0

x?0?可得L在yoz面上的投影曲线方程?（3）方程组??6x?6y?z?16?0消去y

?2x?5y?2z?3?0?6x?z?14?0

y?0?可得L在yoz面上的投影曲线方程?★★★13．求螺旋线

x?acos? , y?asin? , z?b?在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。

解：（1）螺旋线x?acos? , y?asin? , z?b?消去z，可得螺旋线在xoy面上的投影曲线方程：

?x2?y2?a2 ∵x,y总是满足：x?y?a∴投影方程为?

z?0?222 （2）螺旋线x?acos? , y?asin? , z?b?消去x，可得螺旋线在yoz面上的投影曲线方程：

z?z?y?asin222 ∵x?acos ，代入x?y?a，∴投影方程为?b

b??x?0 （3）螺旋线x?acos? , y?asin? , z?b?消去y，可得螺旋线在xoz面上的投影曲线方程：

z?z?x?acos222 ∵y?asin ，代入x?y?a，∴投影方程为?b

b??y?0★★★14．求由上半球面

z?a2?x2?y2，柱面x2?y2?ax?0及平面z?0所围成的立体在

xoy面和xoz面上的投影。

解：（1）上半球面z?a2?x2?y2含在柱面x2 ?y2?ax?0内的立体在xoy面上的投影就是：

?x2?y2?ax?0 ?z?0?（2）当投影到xoz面上，该立体投影的边界为xoz面上的：x2?z2?a2,(x?0,z?0)，

?x2?z2?a2,(x?0,z?0) ∴立体在xoz面上的投影为：?

y?0?★★★15．求与已知平面2x?y?2z?5?0平行且与三坐标面构成的四面体体积为1的平面方程。

知识点：平面及其方程

解：所求平面?和2x?y?2z?5?0平行，所以设?的方程为2x?y?2z?D，化为截距式方

程：

xyz???1， D/2DD/2D1D?D??1?D??233 ∵?与三坐标面构成的四面体体积为1，∴?622∴?：2x?y?2z?233?0

?2x?3y?z?5?0垂直的平面方程。

?3x?y?2z?4?0★★★16．求通过点(1, 2 , ?1)且与直线?思路：所求平面和已知直线垂直，则直线的方向矢即为平面的法矢 解：设直线L??2x?3y?z?5?0的方向矢s，所求平面?的法矢n，

3x?y?2z?4?0?ijks?2?31?5i?7j?11k，∵??L，∴取n?s?5i?7j?11k

31?2∴?：5(x?1)?7(y?2)?11(z?1)?0?5x?7y?11z?8

?2x?y?2z?1?0★★17．求过直线L:?且在y轴和z轴有相同的非零截距的平面方程。

x?y?4z?2?0?思路：所求平面?过直线L，而L又表达为一般方程，因此可用平面束方程表示? 解：过已知直线L的平面束方程：2x?y?2z?1??(x?y?4z?2)?0

此方程化为：(2??)x?(??1)y?(4??2)z?2??1，

?1?4??2???1 3 其中在y轴和z轴有相同的非零截距的平面应满足：? 代入得所求平面?：7x?2y?2z?1?0

★★★18．在平面2x?y?3z?2?0和平面5x?5y?4z?3?0所确定的平面束内，求两个相互

A(4,?3 , 1)。

垂直的平面，其中一个平面经过

解：过?将

?2x?y?3z?2?0的平面束方程：2x?y?3z?2??(5x?5y?4z?3)?0，

?5x?5y?4z?3?0A(4,?3 , 1)代入：4?4??0????1

A(4,?3 , 1)的平面?1：3x?4y?z?1?0

?0????1 3∴经过

平面束中和?1垂直的?2应满足：3(2?5?)?4(1?5?)?(3?4?)∴?2：x?2y?5z?3?0

★★19．用对称式方程及参数方程表示直线??x?y?z?1。

?2x?y?z?4知识点：直线三种方程形式之间的转换 解：设直线L：??x?y?z?1的方向矢为s，平面?1x?y?z?1的法矢n1，平面

2x?y?z?4??22x?y?z?4的法矢n2

i∵sjk?n1 , s?n2 ∴s?n1?n2?1?11??2i?j?3k，

211xy?3/2z?5/2??， ?213再取L上的一点(0, 3/2, 5/2)，得L的对称式方程：

L的参数方程：x??2t, y?★★★★20．求与两直线L135?t, z??3t 22?x?3z?1和L2:??y?2z?3?y?2x?5垂直且相交的直线方程。 :??z?7x?2方法一：所求直线L（公垂线）应该既在过L、L1的平面上，又在过L、L2的平面上，所以L是两平

面的交线。

i解：L1的方向矢：s1?1jk0?3?3i?2j?k， 01?2ijkL2的方向矢：s2?2?10?i?2j?7k，

70?1i公垂线L的方向矢sjk?321?12i?20j?4k?4{3,?5,1} 127过L1的平面束方程：x?3z?1??1(y?2z?3)其中垂直于L的平面应满足：3?5?1得到过L1、L的平面?1：x?3z过L2的平面束方程：2x??0?x??1y?(2?1?3)z?3?1?1?0，

?(2?1?3)?0??1?0，

?1?0

y?5??2(7x?z?2)?0?(7?2?2)x?y??2z?2?1?5?0

?2)?5??2?0??2??11 20其中垂直于L的平面应满足：3(7?2得到过L2、L的平面?1：37x?20y?11z?122?0

x?3z?1?0?∴L：?

37x?20y?11z?122?0?方法二：所求直线L?L1, L?L2，因此可求得L的方向矢，再求L、L2（或L、L1）的交点就可

求出L的对称式方程或参数式方程

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