2015中考数学试题分类 多边形与平行四边形（含解析）

多边形与平行四边形

1．（2015?衡阳, 第9题3分）下列命题是真命题的是（ ） A． 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B． 对角线相等的四边形是矩形 C． 对角线互相垂直的四边形是菱形 D． 对角线互相垂直的四边形是正方形 考点： 命题与定理． 专题： 计算题．

分析： 根据平行线四边形的判定方法对A进行判定；根据矩形的判定方法，对角线相等的平行四边形是矩形，则可对B进行判定；根据菱形的判定方法，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则可对C进行判定；根据正方形的判定方法，对角线互相垂直的矩形是正方形，则可对对D进行判定． 解答： 解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以A选项为真命题； B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题； D、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以D选项为假命题． 故选A．

点评： 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果?那么?”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3．（2015?宜昌，第8题3分）下列图形具有稳定性的是（ ） A． 正方形 B． 矩形 C． 平行四边形 D． 直角三角形 考点：三 角形的稳定性；多边形．. 分析：根 据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断． 解答：解 ：直角三角形具有稳定性． 故选：D． 点评：此 题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键． 4. （2015江苏常州第5题2分）如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是

AOBD

A．AO＝OD B．AO⊥OD C．AO＝OC D．AO⊥AB

5. （2015江苏连云港第5题3分）已知四边形ABCD，下列说法正确的是 A．当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形 B．当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形

C

C．当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形 D．当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形

【思路分析】平行四边形的判定，分别有两组对边分别平行，两组分别相等，一组对边平行且相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以B选项是正确的 【答案】B

【点评】本题考查平行四边形及特殊的平行四边形的判定.

6、(2015年陕西省,9,3分)在?ABCD中，AB=10，BC=14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为（ ） A． 7 B． 4或10 C． 5或9 D． 6或8 考点：平 行四边形的性质；勾股定理；正方形的性质．. 专题：分 类讨论． 分析：设 AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可得到AE的长． 解答：解 ：如图： 设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x， 222在△ABE中，根据勾股定理可得x+（14﹣x）=10， 解得x1=6，x2=8． 故AE的长为6或8． 故选：D． 点评：考 查了平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是根据勾股定理得到关于AE的方程． 7.（2015?山东莱芜,第9题3分）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（ ）

A． 27 B． 35 C． 44 D． 54

考点： 多边形内角与外角．.

分析： 设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法

，即可解答．

解答： 解：设这个内角度数为x，边数为n， ∴（n﹣2）×180°﹣x=1510， 180n=1870+x， ∵n为正整数， ∴n=11，

∴=44，

故选：C．

点评： 此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识． 8．（2015?怀化，第6题4分）一个多边形的内角和是360°，这个多边形是（ ） A． 三角形 B． 四边形 C． 六边形 D． 不能确定 考点： 多边形内角与外角．

分析： 本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于360°，列出方程，解出即可． 解答： 解：设这个多边形的边数为n， 则有（n﹣2）180°=360°， 解得：n=4，

故这个多边形是四边形． 故选：B．

点评： 本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题． 9．（2015?娄底，第5题3分）下列命题中错误的是（ ） A． 平行四边形的对角线互相平分 B． 菱形的对角线互相垂直 C． 同旁内角互补 D． 矩形的对角线相等 考点： 命题与定理．

分析： 根据平行四边形的性质对A进行判断；根据菱形的性质对B进行判断；根据平行线的性质对C进行判断；根据矩形的性质对D进行判断．

解答： 解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A选项为真命题； B、菱形的对角线互相垂直，所以B选项为真命题； C、两直线平行，同旁内角互补，所以C选项为假命题； D、矩形的对角线相等，所以D选项为真命题． 故选C．

点评： 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果?那么?”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 10．（2015?长沙，第5题3分）下列命题中，为真命题的是（ ） A． 六边形的内角和为360度 B． 多边形的外角和与边数有关 C． 矩形的对角线互相垂直 D． 三角形两边的和大于第三边

考点： 命题与定理．

分析： 根据六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系判断即可． 解答： 解：A、六边形的内角和为720°，错误；

B、多边形的外角和与边数无关，都等于360°，错误； C、矩形的对角线相等，错误；

D、三角形的两边之和大于第三边，正确； 故选D．

点评： 本题考查命题的真假性，是易错题．

注意对六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系的准确掌握 11．（2015?本溪，第8题3分）如图，?ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE=2cm，则AB的长度是（ ）

A． 10cm B． 8cm C． 6cm D． 4cm

考点： 平行四边形的性质．.

分析： 根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，AD∥BC，推出∠DAE=∠BAE，求出∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，得出方程x+x+2=10，求出方程的解即可． 解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC， ∴∠DAE=∠BAE， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE=∠BAE， ∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE，

设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm， ∵?ABCD的周长为20cm， ∴x+x+2=10， 解得：x=4， 即AB=4cm， 故选D．

点评： 本题考查了平行四边形的在，平行线的性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是能推出AB=BE，题目比较好，难度适中． 12．（2015?营口，第4题3分）?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD是（ ）

A． 61° B． 63° C． 65° D． 67°

考点： 平行四边形的性质．

分析： 由平行四边形的性质可知：AD∥BC，进而可得∠DAC=∠BCA，再根据三角形外角和定理即可求出∠COD的度数．

解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCA=42°，

∴∠COD=∠CBD+∠BCA=65°， 故选C．

点评： 本题考查了平行四边形的性质以及三角形的外角和定理，题目比较简单，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，将四边形的问题转化为三角形问题．

13. （2015年浙江衢州第4题3分）如图，在YABCD中，已知AD?12cm, AB?8cm, AE平分?BAD交BC于点E，则CE的长等于【 】

A. 8cm B. 6cm C. 4cm D. 2cm 【答案】C．

【考点】平行线分线段成比例的性质．

【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC, AD?BC.∴?DAE??AEB. 又∵AE平分?BAD，∴?DAE??EAB. ∴?EAB??AEB. ∴AB?BE.

∵AD?12cm, AB?8cm，∴BC?12cm, BE?8cm.∴CE?BC?CE?4cm.

故选C.

5. （2015江苏连云港第5题3分）已知四边形ABCD，下列说法正确的是 A．当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形 B．当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形 C．当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形 D．当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形

【思路分析】平行四边形的判定，分别有两组对边分别平行，两组分别相等，一组对边平行且相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以B选项是正确的 【答案】B

【点评】本题考查平行四边形及特殊的平行四边形的判定.

6、(2015年陕西省,9,3分)在?ABCD中，AB=10，BC=14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为（ ） A． 7 B． 4或10 C． 5或9 D． 6或8 考点：平 行四边形的性质；勾股定理；正方形的性质．. 专题：分 类讨论． 分析：设 AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可得到AE的长． 解答：解 ：如图：

设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x， 222在△ABE中，根据勾股定理可得x+（14﹣x）=10， 解得x1=6，x2=8． 故AE的长为6或8． 故选：D． 点评：考 查了平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是根据勾股定理得到关于AE的方程． 7.（2015?山东莱芜,第9题3分）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（ ）

A． 27 B． 35 C． 44 D． 54

考点： 多边形内角与外角．.

分析： 设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法

，即可解答．

解答： 解：设这个内角度数为x，边数为n， ∴（n﹣2）×180°﹣x=1510， 180n=1870+x， ∵n为正整数， ∴n=11， ∴

=44，

故选：C．

点评： 此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识． 3．（2015?江苏镇江，第8题，2分）如图，?ABCD中，E为AD的中点，BE，CD的延长线相交于点F，若△DEF的面积为1，则?ABCD的面积等于 4 ．

考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．.

分析： 通过△ABE≌△DFE求得△ABE的面积为1，通过△FBC∽△FED，求得四边形BCDE的面积为3，然后根据?ABCD的面积=四边形BCDE的面积+△ABE的面积即可求得． 解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC， ∵AB∥CD， ∴∠A=∠EDF，

在△ABE和△DFE中，

，

∴△ABE≌△DFE（SAS）， ∵△DEF的面积为1， ∴△ABE的面积为1， ∵AD∥BC，

∴△FBC∽△FED， ∴

=（

）

2

∵AE=ED=AD． ∴ED=BC，

∴=，

∴四边形BCDE的面积为3，

∴?ABCD的面积=四边形BCDE的面积+△ABE的面积=4． 故答案为4．

点评： 本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形全等的性质和三角形相似的性质是解题的关键．

2

4．（2015?营口，第14题3分）圆内接正六边形的边心距为2，则这个正六边形的面积为 24 cm．

考点： 正多边形和圆．

分析： 根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决． 解答： 解：如图，

连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G． 在Rt△AOG中，OG=2，∠AOG=30°，

∵OG=OA?cos 30°， ∴OA=

=

=4，

∴这个正六边形的面积为6××4×2=24cm．

2

故答案为：24．

点评： 此题主要考查正多边形的计算问题，根据题意画出图形，再根据正多边形的性质即锐角三角函数的定义解答即可．

5. （2015江苏连云港第5题3分）已知四边形ABCD，下列说法正确的是 A．当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形 B．当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形 C．当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形 D．当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形

【思路分析】平行四边形的判定，分别有两组对边分别平行，两组分别相等，一组对边平行且相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以B选项是正确的 【答案】B

【点评】本题考查平行四边形及特殊的平行四边形的判定.

6、(2015年陕西省,9,3分)在?ABCD中，AB=10，BC=14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为（ ） A． 7 B． 4或10 C． 5或9 D． 6或8 考点：平 行四边形的性质；勾股定理；正方形的性质．. 专题：分 类讨论． 分析：设 AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可得到AE的长． 解答：解 ：如图： 设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x， 222在△ABE中，根据勾股定理可得x+（14﹣x）=10， 解得x1=6，x2=8． 故AE的长为6或8． 故选：D． 点评：考 查了平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是根据勾股定理得到关于AE的方程．

7.（2015?山东莱芜,第9题3分）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（ ）

A． 27 B． 35 C． 44 D． 54

考点： 多边形内角与外角．.

分析： 设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法

，即可解答．

解答： 解：设这个内角度数为x，边数为n， ∴（n﹣2）×180°﹣x=1510， 180n=1870+x， ∵n为正整数， ∴n=11， ∴

=44，

故选：C．

点评： 此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识． 14．（2015?湖北, 第17题3分）在?ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，则∠A的度数为 55°或35° ．

考点： 平行四边形的性质．

分析： 首先求出∠ADB的度数，再利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，得出∠A的度数． 解答： 解：情形一：当E点在线段AD上时，如图所示，

∵BE是AD边上的高，∠EBD=20°， ∴∠ADB=90°﹣20°=70°， ∵AD=BD， ∴∠A=∠ABD=

=55°．

情形二：当E点在AD的延长线上时，如图所示，

∵BE是AD边上的高，∠EBD=20°， ∴∠BDE=70°， ∵AD=BD，

∴∠A=∠ABD=∠BDE=

70°=35°．

故答案为：55°或35°．

点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质等知识，得出∠ADB的度数是解题关键． 解答：解 ：（1）如图①，过A作AE⊥BC， ∴四边形AECD为矩形， ∴EC=AD=8，BE=BC﹣EC=12﹣8=4， 在Rt△ABE中，∠ABE=60°，BE=4， ∴AB=2BE=8，AE=则S△BMC=BC?AE=24； =4， 故答案为：24； （2）如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B交AD于点N′，连接CN′，则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′， ∴△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC， ∵AD∥BC，AE⊥BC，∠ABC=60°， ∴过点A作AE⊥BC，则CE=AD=8， ∴BE=4，AE=BE?tan60°=4， ∴CC′=2CD=2AE=8， ∵BC=12， ∴BC′==4， ∴△BNC周长的最小值为4+12； （3）如图③所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小， 作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上， ∵AD∥BC， ∴圆O与AD相切于点P， ∵PQ=DC=4＞6， ∴PQ＞BQ， ∴∠BPC＜90°，圆心O在弦BC的上方， 在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC， ∴∠BPC=∠BMC≥∠BP′C， ∴∠BPC最大，cos∠BPC的值最小， 连接OB，则∠BON=2∠BPN=∠BPC， ∵OB=OP=4﹣OQ， 222在Rt△BOQ中，根据勾股定理得：OQ+6=（4﹣OQ），

解得：OQ=∴OB=， ， =， ∴cos∠BPC=cos∠BOQ=则此时cos∠BPC的值为． 点评：此 题属于四边形综合题，涉及的知识有：勾股定理，矩形的判定与性质，对称的性质，圆的切线的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键． 3、(2015年四川省广元市中考，5,3分)一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为（ ） A． 5 B． 6 C． 7 D． 8 考点：多 边形内角与外角．. 分析：多 边形的外角和是360°，则内角和是2×360=720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）?180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值． 解答：解 ：设这个多边形是n边形，根据题意，得 （n﹣2）×180°=2×360， 解得：n=6． 即这个多边形为六边形． 故选：B． 点评：本 题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．

4、(2015年四川省广元市中考，18,7分)求证：平行四边形的对角线互相平分（要求：根据题意先画出图形并写出已知、求证，再写出证明过程）． 考点：平 行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．. 专题：证 明题． 分析：首 先根据题意画出图形，再写出命题的已知和求证，最后通过证明三角形全等即可证明命题是正确的． 解答：已 知：平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， 求证：OA=OC，OB=OD

证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠1=∠2， 在△AOD和△COB中， ∴△AOD≌△COB（AAS）， ∴OA=OC，OB=OD． 点评：此 题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟记平行四边形的各种性质以及全等三角形的各种判定的各种方法． 5、(2015年浙江省义乌市中考,24,14分)在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点B关于PQ的对称点。

（1）若四边形OABC为矩形，如图1， ①求点B的坐标；

②若BQ:BP=1:2，且点B1落在OA上，求点B1的坐标；

（2）若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B1作B1F∥x轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、点F。若B1E: B1F=1:3，点B1的横坐标为m，求点B1的纵坐标，并直接写出m的取值范围。

考点：四边形综合题．. 分析：（1）①根据OA=4，OC=2，可得点B的坐标；②利用相似三角形的判定和性质得出点的坐标； （2）根据平行四边形的性质，且分点在线段EF的延长线和线段上两种情况进行分析解答． 解答：解：（1）∵OA=4，OC=2， ∴点B的坐标为（4，2）；

②如图1，过点P作PD⊥OA，垂足为点D，

∵BQ：BP=1：2，点B关于PQ的对称点为B1， ∴B1Q：B1P=1：2，

∵∠PDB1=∠PB1Q=∠B1AQ=90°， ∴∠PB1D=∠B1QA， ∴△PB1D∽△B1QA， ∴

，

∴B1A=1，

∴OB1=3，即点B1（3，0）；

（2）∵四边形OABC为平行四边形，OA=4，OC=2，且OC⊥AC， ∴∠OAC=30°， ∴点C（1，）， ∵B1E：B1F=1：3，

∴点B1不与点E，F重合，也不在线段EF的延长线上，

①当点B1在线段FE的延长线上时，如图2，延长B1F与y轴交于点G，点B1的横坐标为m，B1F∥x轴，

B1E：B1F=1：3， ∴B1G=m， 设OG=a， 则GF=∴CF=∴EF=

，OF=

， ，B1E=

，

，

，即B1的纵坐标为

，

，

∴B1G=B1E+EF+FG=∴a=

m的取值范围是；

②当点B1在线段EF（除点E，F）上时，如图3，延长B1F与y轴交于点G，点B1的横坐标为m，F∥x

轴，

B1E：B1F=1：3， ∴B1G=m， 设OG=a， 则GF=∴CF=∴FE=

∴B1G=B1F﹣FG=∴a=

故m的取值范围是

，OF=

， ，B1F=

，

， ，

，即点B1的纵坐标为

．

，

点评：此题考查四边形的综合题，关键是利用平行四边形的性质，分点在线段EF的延长线和线段上两种情况进行分析． 6．（2015?通辽,第21题5分）如图，在平行四边形ABCD中，若AB=6，AD=10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．

考点： 平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质．

分析： 首先根据平行四边形的性质可得AB=DC=6，AD=BC=10，AB∥DC，再根据平行线的性质与角平分线的性质证明∠2=∠3，根据等角对等边可得BC=CF=10，再用CF﹣CD即可算出DF的长． 解答： 解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=DC=6，AD=BC=10，AB∥DC． ∵AB∥DC， ∴∠1=∠3，

又∵BF平分∠ABC，

∴∠1=∠2， ∴∠2=∠3， ∴BC=CF=10，

∴DF=BF﹣DC=10﹣6=4．

点评： 此题主要考查了平行线的性质，以及平行线的性质，关键是证明∠2=∠3推出BC=CF． 7．（2015?乌鲁木齐,第19题10分）如图，?ABCD中，点E，F在直线AC上（点E在F左侧），BE∥DF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AB⊥AC，AB=4，BC=2，当四边形BEDF为矩形时，求线段AE的长．

考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．.

分析： （1）通过全等三角形△BEC≌△DFA的对应边相等推知BE=DF，则结合已知条件证得结论； （2）根据矩形的性质计算即可．

解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠DAF=∠BCE． 又∵BE∥DF， ∴∠BEC=∠DFA． 在△BEC与△DFA中，

，

∴△BEC≌△DFA（AAS）， ∴BE=DF． 又∵BE∥DF，

∴四边形BEDF为平行四边形；

（2）连接BD，BD与AC相交于点O，如图：

∵AB⊥AC，AB=4，BC=2， ∴AC=6， ∴AO=3，

∴Rt△BAO中，BO=5， ∵四边形BEDF是矩形， ∴OE=OB=5，

∴点E在OA的延长线上，且AE=2．

点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

8.（2015?山东莱芜,第21题9分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F． （1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由． （2）求证：BE=CD，BE⊥CD．

考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的判定．. 专题： 证明题．

分析： （1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，因为G为BD的中点，可得BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四边形ACGD为平行四边形；

（2）利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性质得BE=CD；首先证得四边形ABCE为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．

解答： （1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°， ∴AB=BC，

∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形， ∴BD==BC=2BC， ∵G为BD的中点，

∴BG=BD=BC，

∴△CBG为等腰直角三角形， ∴∠CGB=45°， ∵∠ADB=45°， AD∥CG，

∵∠ABD=45°，∠ABC=45° ∴∠CBD=90°， ∵∠ACB=90°，

∴∠CBD+∠ACB=180°， ∴AC∥BD，

∴四边形ACGD为平行四边形；

（2）证明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°， ∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°， ∴∠EAB=∠CAD， 在△DAC与△BAE中，

，

∴△DAC≌△BAE， ∴BE=CD；

∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC， ∴四边形ABCE为平行四边形， ∴CE=AB=AD，

在△BCE与△CAD中，

，

∴△BCE≌△CAD，

∴∠CBE=∠ACD，∵∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠CBE+∠BCD=90°， ∴∠CFB=90°， 即BE⊥CD．

点评： 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各

种定理是解答此题的关键．

9.（2015?山东泰安,第28题10分）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证： （1）DF=AE； （2）DF⊥AC．

考点： 全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．. 专题： 证明题．

分析： （1）延长DE交AB于点G，连接AD．构建全等三角形△AED≌△DFB（SAS），则由该全等三角形的对应边相等证得结论；

（2）设AC与FD交于点O．利用（1）中全等三角形的对应角相等，等角的补角相等以及三角形内角和定理得到∠EOD=90°，即DF⊥AC． 解答： 证明：（1）延长DE交AB于点G，连接AD． ∵四边形BCDE是平行四边形， ∴ED∥BC，ED=BC．

∵点E是AC的中点，∠ABC=90°， ∴AG=BG，DG⊥AB． ∴AD=BD，

∴∠BAD=∠ABD． ∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°． 又BF=BC， ∴BF=DE．

∴在△AED与△DFB中，∴△AED≌△DFB（SAS）， ∴AE=DF，即DF=AE；

（2）设AC与FD交于点O． ∵由（1）知，△AED≌△DFB， ∴∠AED=∠DFB，

，

∴∠DEO=∠DFG．

∵∠DFG+∠FDG=90°， ∴∠DO+∠EDO=90°，

∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．

点评： 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 10．（2015?怀化，第17题8分）已知：如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．求证：

（1）△CDE≌△DBF； （2）OA=OD．

考点： 全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理． 专题： 证明题．

分析： （1）根据三角形中位线，可得DF与CE的关系，DB与DC的关系，根据SAS，可得答案； （2）根据三角形的中位线，可得DF与AE的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得答案． 解答： 证明：（1）∵DE、DF是△ABC的中位线， ∴DF=CE，DF∥CE，DB=DC． ∵DF∥CE， ∴∠C=∠BDF． 在△CDE和△DBF中

，

∴△CDE≌△DBF （SAS）；

（2）∵DE、DF是△ABC的中位线， ∴DF=AE，DF∥AE，

∴四边形DEAF是平行四边形， ∵EF与AD交于O点， ∴AO=OD

点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，（1）利用了三角形中位线的性质，全等三角形的判定；（2）利用了三角形中位线的性质，平行四边的性的判定与性质．

2

11.（2015?温州第23题10分）23．（12分）（2015?温州）如图，抛物线y=﹣x+6x交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B．过点C（2，0）作射线CD交MB于点D（D在x轴上方），OE∥CD交MB于点E，EF∥x轴交CD于点F，作直线MF． （1）求点A，M的坐标．

（2）当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？ （3）当BD=1时

①求直线MF的解析式，并判断点A是否落在该直线上．

②延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，△FPG，四边形DEGP，四边形OCDE的面积分别记为S1，S2，S3，则S1：S2：S3= 3：4：8 ．

考点： 二次函数综合题．.

分析： （1）在抛物线解析式中令y=0，容易求得A点坐标，再根据顶点式，可求得M点坐标；

（2）由条件可证明四边形OCFE为平行四边形，可求得EF的点，可求得F点坐标，可得出BE的长，再利用平行线的性质可求得BD的长；

（3）①由条件可求得F点坐标，可求得直线MF的解析式，把A点坐标代入其解析式可判断出A点在直线MF上；②由点的坐标结合勾股定理求得OE、GE、CD、DM、MF的长，再结合面积公式可分别表示出S1，S2，S3，可求得答案． 解答： 解：

2

（1）令y=0，则﹣x+6x=0，解得x=0或x=6， ∴A点坐标为（6，0），

22

又∵y=﹣x+6x=﹣（x﹣3）+9， ∴M点坐标为（3，9）； （2）∵OE∥CF，OC∥EF，

∴四边形OCFE为平行四边形，且C（2，0）， ∴EF=OC=2， 又B（3，0）， ∴OB=3，BC=1，

∴F点的横坐标为5，

2

∵点F落在抛物线y=﹣x+6x上，

∴F点的坐标为（5，5）， ∴BE=5， ∵OE∥CF， ∴

=

，即

=，

∴BD=；

（3）①当BD=1时，由（2）可知BE=3BD=3， ∴F（5，3），

设直线MF解析式为y=kx+b， 把M、F两点坐标代入可得∴直线MF解析式为y=﹣3x+18， ∵当x=6时，y=﹣3×6+18=0， ∴点A落在直线MF上； ②如图所示，

，解得

，

∵E（3，3），

∴直线OE解析式为y=x，

联立直线OE和直线MF解析式可得，解得，

∴G（，）， ∴OG=∴EG=OG﹣OE=∵

=，

，

﹣3

==

，OE=CF=3，

，

∴CD=OE=

∵P为CF中点， ∴PF=CF=

，

﹣

﹣

=

，

∴DP=CF﹣CD﹣PF=3

∵OG∥CF，

∴可设OG和CF之间的距离为h， ∴S△FPG=PF?h=×

h=

h，

++

）h=）h=2

h， h，

S四边形DEGP=（EG+DP）h=×（S四边形OCDE=（OE+CD）h=（3∴S1，S2，S3=

h：

h：2

h=3：4：8，

故答案为：3：4：8．

点评： 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及二次函数的性质、一元二次方程、平行四边形的判定和性质、平行线分线段成比例、待定系数法、勾股定理等知识点．在（1）中注意抛物线顶点式的应用，在（2）中求得F点的坐标是解题的关键，在（3）①中，求得直线MF的解析式是解题的关键，在②中利用两平行线间的距离为定值表示出S1，S2，S3是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性质较强，难度较大．

12.（2015?宁夏第21题6分）在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点．连结AE． （1）若AB=AE，求证：∠DAE=∠D；

（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：FA的值．

考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．.

分析： （1）根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EAD，根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB，即可得证；

（2）由四边形ABCD是平行四边形，可证得△BEF∽△AFD，即可求得EF：FA的值． 解答： 证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠AEB=∠EAD， ∵AE=AB，

∴∠ABE=∠AEB， ∴∠B=∠EAD， ∵∠B=∠D， ∴∠DAE=∠D；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC， ∴△BEF∽△AFD， ∴

，

∵E为BC的中点， ∴BE=BC=AD，

∴EF：FA=1：2．

点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．

13.（2015?四川遂宁第19题9分）如图，?ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，求证： （1）AE=CF；

（2）四边形AECF是平行四边形．

考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．. 专题： 证明题．

分析： （1）根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，然后可证明∠ABE=∠CDF，再利用SAS来判定△ABE≌△DCF，从而得出AE=CF．

（2）首先根据全等三角形的性质可得∠AEB=∠CFD，根据等角的补角相等可得∠AEF=∠CFE，然后证明AE∥CF，从而可得四边形AECF是平行四边形． 解答： 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD． ∴∠ABE=∠CDF． 在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△DCF（SAS）． ∴AE=CF．

（2）∵△ABE≌△DCF， ∴∠AEB=∠CFD， ∴∠AEF=∠CFE， ∴AE∥CF，

∵AE=CF，

∴四边形AECF是平行四边形．

点评： 此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

14.（2015?四川凉山州第24题8分）阅读理解

材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有以下性质：

梯形的中位线平行于两底和，并且等于两底和的一半． 如图（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC ∵E、F是AB、CD的中点 ∴EF∥AD∥BC EF=（AD+BC）

材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 如图（2）：在△ABC中： ∵E是AB的中点，EF∥BC ∴F是AC的中点

请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题．

如图（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分别为AB、CD的中点，∠DBC=30° （1）求证：EF=AC；

（2）若OD=3，OC=5，求MN的长．

考点： 四边形综合题．.

分析： （1）由直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半，可得OA=AD，OC=BC，即可证明； （2）直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半，得出OA=3，利用平行线得出ON=MN，再根据AN=AC=4，得出ON=4﹣3=1，进而得出MN的值． 解答： （1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADO=∠DBC=30°，

∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=AD，OC=BC， ∴AC=OA+OC=（AD+BC），

∵EF=（AD+BC）， ∴AC=EF；

（2）解：∵AD∥BC， ∴∠ADO=∠DBC=30°，

∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=AD，OC=BC， ∵OD=3，OC=5， ∴OA=3， ∵AD∥EF，

∴∠ADO=∠OMN=30°， ∴ON=MN，

∵AN=AC=（OA+OC）=4，

∴ON=AN﹣OA=4﹣3=1， ∴MN=2ON=2．

点评： 此题主要考查四边形的综合题，关键是根据梯形中位线的性质和直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半进行分析． 15．（6分）（2015?宁夏）（第21题）在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点．连结AE． （1）若AB=AE，求证：∠DAE=∠D；

（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：FA的值．

考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 分析： （1）根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EAD，根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB，即可得证； （2）由四边形ABCD是平行四边形，可证得△BEF∽△AFD，即可求得EF：FA的值． 解答： 证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠AEB=∠EAD， ∵AE=AB， ∴∠ABE=∠AEB， ∴∠B=∠EAD， ∵∠B=∠D， ∴∠DAE=∠D； （2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC， ∴△BEF∽△AFD， ∴， ∵E为BC的中点， ∴BE=BC=AD， ∴EF：FA=1：2． 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 16．（8分）（2015?桂林）（第21题）如图，在?ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点． （1）求证：四边形EBFD为平行四边形；

（2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM．

考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定． 专题： 证明题．

分析： （1）根据平行四边形的性质：平行四边的对边相等，可得AB∥CD，AB=CD；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案；

（2）根据平行四边的性质：平行四边形的对边相等，可得AB∥CD，AB=CD，∠CDM=∠CFN；根据全等三角形的判定，可得答案．

解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD．

∵E、F分别是AB、CD的中点， ∴BE=DF， ∵BE∥DF，

∴四边形EBFD为平行四边形；

（2）证明：∵四边形EBFD为平行四边形， ∴DE∥BF，

∴∠CDM=∠CFN．

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD．

∴∠BAC=∠DCA，∠ABN=∠CFN，

∴∠ABN=∠CDM， 在△ABN与△CDM中，

，

∴△ABN≌△CDM （ASA）．

点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定，根据条件选择适当的判定方法是解题关键．

17．（12分）（2015?毕节市）（第24题）如图，将?ABCD的AD边延长至点E，使DE=AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD．

（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；

（2）若AB=3，AD=4，∠A=60°，求CE的长．

考点： 平行四边形的判定与性质．

分析： （1）利用平行四边形的性质得出AD=BC，AD∥BC，进而利用已知得出DE=FC，DE∥FC，进而得出答案；

（2）首先过点D作DN⊥BC于点N，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出DF的长，进而得出答案． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC，

∵DE=AD，F是BC边的中点，

∴DE=FC，DE∥FC，

∴四边形CEDF是平行四边形；

（2）解：过点D作DN⊥BC于点N，

∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=60°， ∴∠BCD=∠A=60°， ∵AB=3，AD=4， ∴FC=2，NC=DC=，DN=∴FN=，则DF=EC=

， =

．

点评： 此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键．

18.（2015·湖北省潜江市、天门市、仙桃市、江汉油田第17 题5分）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD，请你写出与筝形ABCD的角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论．

考点：全 等三角形的判定与性质．. 专题：计 算题． 分析：A C与BD垂直，理由为：利用SSS得到三角形ABD与三角形CBD全等，利用全等三角形对应角相等得到BD为角平分线，利用三线合一性质即可得证． 解答：解 ：AC⊥BD，理由为： 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SSS）， ∴∠ABO=∠CBO， ∵AB=CB， ∴BD⊥AC． 点评：此 题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 19．（2015?青岛,第21题8分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．

（1）求证：△ABD≌△CAE；

（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．

考点： 分析： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质． （1）运用AAS证明△ABD≌△CAE； （2）易证四边形ADCE是矩形，所以AC=DE=AB，也可证四边形ABDE是平行四边形得到

解答： AB=DE． 证明：（1）∵AB=AC， ∴∠B=∠ACD， ∵AE∥BC， ∴∠EAC=∠ACD， ∴∠B=∠EAC， ∵AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∵CE⊥AE， ∴∠ADC=∠CEA=90° 在△ABD和△CAE中 ∴△ABD≌△CAE（AAS）； （2）AB=DE，如右图所示， ∵AD⊥BC，AE∥BC， ∴AD⊥AE， 又∵CE⊥AE， ∴四边形ADCE是矩形， ∴AC=DE， ∵AB=AC， ∴AB=DE． 点评： 本题主要考查了三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质，难度不大，比较灵活． 20．（2015?枣庄,第23题8分）如图，?ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O． （1）求证：BO=DO；

（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长．

考点：平 行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．. 分析：（ 1）通过证明△ODF与△OBE全等即可求得． （2）由△ADB是等腰直角三角形，得出∠A=45°，因为EF⊥AB，得出∠G=45°，所以△ODG与△DFG都是等腰直角三角形，从而求得DG的长和EF=2，然后等腰直角三角形的性质即可求得． 解答：（ 1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC=AB，DC∥AB， ∴∠ODF=∠OBE， 在△ODF与△OBE中 ∴△ODF≌△OBE（AAS） ∴BO=DO； （2）解：∵BD⊥AD， ∴∠ADB=90°， ∵∠A=45°， ∴∠DBA=∠A=45°， ∵EF⊥AB， ∴∠G=∠A=45°， ∴△ODG是等腰直角三角形， ∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴DF⊥OG， ∴OF=FG，△DFG是等腰直角三角形， ∵△ODF≌△OBE（AAS） ∴OE=OF， ∴GF=OF=OE， 即2FG=EF， ∵△DFG是等腰直角三角形， ∴DF=FG=1，∴DG==DO， ∴在等腰RT△ADB 中，DB=2DO=2=AD ∴AD=2， 点评：本 题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质以及平行线分行段定理． 21. （2015·江苏连云港，第22题10分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．

(1）求证；∠EDB=∠EBD；

(2）判断AF与DB是否平行，并说明理由．

考点： 翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质． 分析： （1）由折叠和平行线的性质易证∠EDB=∠EBD；

(2）AF∥DB；首先证明AE=EF，得出∠AFE=∠EAF，然后根据三角形内角和与等式性质可证明∠BDE=∠AFE，所以AF∥BD． 解答： 解：（1）由折叠可知：∠CDB=∠EDB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，

∴∠CDB=∠EBD， ∴∠EDB=∠EBD； (2）AF∥DB； ∵∠EDB=∠EBD， ∴DE=BE，

由折叠可知：DC=DF，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC=AB， ∴DF=AB， ∴AE=EF，

∴∠EAF=∠EFA，

在△BED中，∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°， ∴2∠EDB+∠DEB=180°，

同理，在△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°， ∵∠DEB=∠AEF， ∴∠EDB=∠EFA， ∴AF∥DB．

点评： 本题主要考查了折叠变换、平行四边形的性质、等腰三角形的性质的综合应用，运用三角形内角和定理和等式性质得出内错角相等是解决问题的关键．

22. （2015?江苏南通，第25题8分）如图，在?ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD． （1）求证：△AED≌△CFB；

（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF．

考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．. 专题： 证明题．

分析： （1）由四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用ASA即可得证；

（2）过D作DH垂直于AB，在直角三角形ADH中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到AD=2DH，在直角三角形DEB中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到EB=2DH，易得四边形EBFD为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到EB=DF，等量代换即可得证． 解答： 证明：（1）∵平行四边形ABCD， ∴AD=CB，∠A=∠C，AD∥CB， ∴∠ADB=∠CBD， ∵ED⊥DB，FB⊥BD， ∴∠EDB=∠FBD=90°， ∴∠ADE=∠CBF， 在△AED和△CFB中，

，

∴△AED≌△CFB（ASA）； （2）作DH⊥AB，垂足为H， 在Rt△ADH中，∠A=30°， ∴AD=2DH，

在Rt△DEB中，∠DEB=45°， ∴EB=2DH，

∴四边形EBFD为平行四边形， ∴FD=EB， ∴DA=DF．

点评： 此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．

23. （2015?江苏宿迁，第23题8分）如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F． （1）求证：四边形BDFC是平行四边形；

（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．

考点： 平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．. 分析： （1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可； （2）分①BC=BD时，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解；②BC=CD时，过点C作CG⊥AF于G，判断出四边形AGCB是矩形，再根据矩形的对边相等可得AG=BC=3，然后求出DG=2，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四边形的面积列式计算即可得解；③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾． 解答： （1）证明：∵∠A=∠ABC=90°， ∴BC∥AD，

∴∠CBE=∠DFE， 在△BEC与△FED中，

，

∴△BEC≌△FED， ∴BE=FE，

又∵E是边CD的中点， ∴CE=DE，

∴四边形BDFC是平行四边形；

（2）①BC=BD=3时，由勾股定理得，AB=

=

=2

，

所以，四边形BDFC的面积=3×2=6；

②BC=CD=3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形， 所以，AG=BC=3，

所以，DG=AG﹣AD=3﹣1=2， 由勾股定理得，CG=

=

=

，

所以，四边形BDFC的面积=3×=3；

③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成了； 综上所述，四边形BDFC的面积是6或3．

点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）确定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论．

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