第16章二次根式-教案

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16.1 (1) 二次根式

教学目标：

1. 知道二次根式与数的开平方运算之间的联系，体会二次根式是数、代数式及其运算的发展；

2. 理解a有意义的条件，理解a?a；

3．会根据二次根式有意义的条件确定二次根式里被开方数中字母的取值范围. 教学重点和难点：理解a有意义的条件，掌握a?a. 教学流程设计：回顾数的开由复习提问引出通过练习使学方中所学知二次根式的概生掌握如何求识，归纳得念，并理解二次二次根式中字出二次根式根式有意义所必母的取值范围. 的性质. 须满足的条件.

教学过程设计：

一、新课引入：

1、上学期学习了开平方运算，正数a的平方根可表示为?a 2、练习：当a?0时，化简a2和(a)2

二、学习新课： 1、观察思考：

a（a?0）是一个代数式，叫做二次根式，a是被开方数.

举例说明：2、

22最后通过习题进一步巩固和运用二次根式的性质. 2、a2?1、b2?4ac(b2?4ac?0)等都是二次根式.在实数范围内，负数没有平方3根，所以象?2，b(b?0)这样的式子没有意义，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数.

二次根式的两个性质：1）a2?a(a?0)；2）(a)2?a(a?0)

?a(a?0)?2通过填表，由学生归纳出当a为任意实数时，a2与a的关系，即a?a??0(a?0)

??a(a?0)?2、例题分析：

例1 设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意义？

1）2x?1； 2）2?x； 3）

1； 4）1?x2 x2例2 求下列二次根式的值：1）(3??) 2）x2?2x?1，其中x??3.

例3 设a、b、c分别是三角形三边的长，化简：(a?b?c)?(b?c?a)

三、课堂小结：

1、要使二次根式有意义，被开方数必须为非负数，同时还要特别注意当分母含有字母时分母要不等于0.

2、能根据a2与a的关系求出被开方数是完全平方数的二次根式的值，在计算时可先将其整理，尤其注意符号.

四、作业布置：练习册习题16.1 (1) 教学设计说明：

1.本节课是在学生学习了数的开方后的延续，因此在教学设计中，重点放在认识二次根式和二次根式有意义所必须满足的条件上，采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的严谨的思维品质.

2.本节课还要求学生掌握二次根式的性质，特别是掌握a2与a的关系，并能够在计算时熟练运用，这是本节课的重点也是难点，在教学设计中安排了形式多样的课堂练习，例2和例3的讲解可以在老师的引导下，师生共同分析和解答，使学生当堂能够掌握运用二次根式的性质进行解题. 教学反思：

掌握a2与a的关系是本堂课的重点及难点，不仅是二次根式的一个重要性质，同时也渗透了分类思想；另外，要使二次根式有意义，不仅要满足被开方数为非负数，还要注意分母不能为0.

2216.1 (2) 二次根式

教学目标：掌握二次根式的性质3、4，会根据二次根式的性质化简二次根式. 教学重点和难点：根据二次根式的性质化简二次根式. 教学流程设计：掌握如何运用由复习提通过二次根式的性二次根式的性问引出二质运用，探索得出质和分数基本次根式的形式不同的两个二性质化简二次另两个性次根式可能相等. 根式. 质.

教学过程设计：

一、复习提问：

1、什么叫二次根式？二次根式有意义所要满足的条件是什么？ 2、我们学了哪些二次根式的性质？ 3、回忆另外两个二次根式的性质：

最后通过习题进一步巩固化简二次根式. ab?a?b(a?0,b?0)；

二、学习新课： 1、观察思考：

提问1：18与32相等吗？为什么？

aa?(a?0,b?0) bb利用二次根式的性质很容易把18化成9?2，从而得到32。一般来说，如果二次根式里被开方数是几个因式的乘积，其中有的因式是完全平方式，则可用它的非负平方根代替后移到根号外面，即：

ab2?a?b2?ba(a?0,b?0)

提问2：

36与相等吗？为什么？

48利用分数的基本性质以及二次根式的性质能证明它们相等，如果二次根式中被开方数是分式（或分数）则要化去分母.把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”，通常把形如ma(a?0)的式子也叫做二次根式，如32，2ab2?1等.

2、例题分析：

例3 化简二次根式：1）72 2）12a3 3）18x2(x?0)

5ab2例4 化简二次根式：1） 2） 3）(b?0)

2x39a三、课堂小结：

1、注意掌握化简二次根式的两个基本步骤，即先将二次根式中的分母化去，再把二次根式中所含的完全平方因式移到根号外.

2、在化简二次根式时，要注意判断根号内字母的取值范围，从而正确化简.

四、作业布置：练习册习题16.1 (2) 教学设计说明：

1．通过比较两对二次根式的大小，顺利引出“化简二次根式”的概念，尤其对于化去二次根式中的分母要着重讲解，并多加练习，是本节课的一个难点.

2．本节课的教学设计，力求体现出在教师引导下，师生共同讨论、分析、归纳，掌握化简二次根式的一般步骤，并通过课堂练习让学生在课堂上达到巩固所学知识的目的．教学反思：

在化简二次根式时，除了养成规范的解题步骤外，还应特别注意学会判断题目中字母的符号.

16.2 (1) 最简二次根式和同类二次根式

教学目标：

1.经历最简二次根式概念的形成过程，理解最简二次根式的概念, 通过化简二次根式,体会研究二次根式的方法. 2.会判别最简二次根式，会化最简二次根式.

教学重点和难点：会判别最简二次根式，会把不是最简的二次根式化为最简二次根式. 教学流程设计：通过例题学会由复习提问化最后通过例题学观察后通过并掌握如何判简三个二次根会并掌握把不是归纳小结引断一个二次根式，并观察化最简二次根式的出最简二次

式是否为最简简前后根式内二次根式化简为根式的概念. 二次根式. 有何变化. 最简二次根式.

教学过程设计：

一、复习提问： 1、如何化简二次根式？ 2、化简下列二次根式：

18? 32；

a ? 33a； 3bab2(b?0) (b?0) ?3a9a二、学习新课：

1、观察思考：

观察每组两个二次根式里的被开方数前后发生了什么变化,化简后的被开方数是由那些共同的特征。师生共同讨论总结：1）被开方数中各因式的指数都为1；

2）被开方数不含分母.

师生共同总结：同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 举例说明：如3ab、

12x?y、6m(a2?b2)等都是最简二次根式. 32、例题分析：

例1 判断下列二次根式是不是最简二次根式：

1）

5a2 2）42a 3）24x3 4）3(a?2a?1)(a??1) 3例2 将下列二次根式化成最简二次根式：

32221）4xy(y?0) 2）(a?b)(a?b)(a?b?0) 3）

m?n(m?n?0) m?n三、课堂小结：

（1）掌握判断最简二次根式的依据：二次根式里被开方数中各因式的指数都为1且被开方数不含分母. （2）化简二次根式时，要特别注意判断根号内字母的取值范围，从而正确化简. 四、作业布置：练习册习题16.2 (1) 教学设计说明：

1．通过观察三个二次根式的化简结果，顺利引出“最简二次根式”的概念，并通过举例学会判断一个二次根式是否为最简二次根式.

2．本节课的教学设计，力求体现出在教师引导下，师生共同讨论、分析、归纳，掌握化成最简二次根式的一般步骤，并通过课堂练习让学生在课堂上达到巩固所学知识的目的．教学反思：

在化简二次根式时，如果要将被开方数中某个完全平方式的因式用它的正的平方根（即算术平方根）代替后移到根式外，那么这个正的平方根（即算术平方根）必须是“非负”的.因此，要根据二次根式有意义以及已给定的条件，判断字母或因式的取值范围.

16.2 (2) 最简二次根式和同类二次根式

教学目标：理解同类二次根式的含义，会判别几个二次根式是否是同类二次根式；通过与同类项类比，体会类比思想.

教学重点和难点：合并同类二次根式. 教学流程设计：最后通过类通过例题学会由复习提问化简观察后通过比合并同类并掌握如何判两个二次根式，并归纳小结引项，学会并掌断几个二次根观察化简后两个出同类二次

握把合并同式是否为同类最简根式中的被根式的概念. 类二次根式. 二次根式. 开方数有何特点.

教学过程设计：

一、复习提问：

1、最简二次根式必须满足的条件是什么？ 2、把8a和

1化成最简二次根式：8a?22a； 2a11?2a. 2a2a

二、学习新课： 1、观察思考：

观察化简后的有何特征？

师生共同归纳总结：二次根式里两个被开方数都是2a，完全相同.

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 上述8a和

1就是同类二次根式. 2a在多项式中，同类项是可以合并的，类似的，同类二次根式也可以合并，它的依据是提取公因式.

2、例题分析：

例3 下列二次根式，那些是同类二次根式：

12，24，

1，a4b，2a3b(a?0)，?ab3(a?0) 27例4 合并下列各式中的同类二次根式：

1）22?113?2?3 2）3xy?axy?bxy 23

三、课堂小结：

（1）掌握判断同类二次根式的依据：即先化成最简二次根式，再看被开方数是否相同. （2）合并同类二次根式时，可类比合并同类项. 四、作业布置：练习册习题16.2 (2) 教学设计说明：

1．通过化简两个二次根式，进一步观察得出化简后的被开方数完全相同，从而顺利引出“同类二次根式”的概念，并通过举例学会判断几个二次根式是否为同类二次根式.

2．例4的教学，只是被开方数相同的二次根式的加减，不涉及二次根式的化简；同时与整式加减时的合并同类项类比，体会其中的数学思想. 教学反思：

最简二次根式和同类二次根式是进一步研究二次根式运算的的知识基础，所以在教学中要注重这两个基本概念的形成过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般的思考方法.

16.3 (1) 二次根式的加法和减法

教学目标：

1、掌握二次根式的加减法运算法则；

2、在二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和学习兴趣.

教学重点和难点：掌握二次根式的加减法运算法则. 教学流程设计：

二次根式加减法的例题讲解：通过复习引入：回顾最巩固二次根式

应用：通过二次根例题1总结出二简二次根式、同类加减法：通过例

式的加减法解含二次根式的加减的二次根式等概念，题2、3巩固二

次根式的一元一次一般步骤：先化从而引入二次根次根式加减法

方程、不等式. 简后合并. 式加减法. 的运算能力.

教学过程设计：

一、复习引入： 1、复习提问：

问题1：如何化简二次根式？

问题2：什么是同类二次根式？如何合并同类二次根式？

二、学习新课： 1、新课引入：

通过整式的加减归结为合并同类项，类比得到二次根式的加减也归结为合并同类二次根式. 2、例题分析：

例题1 （师生共同完成）怎样计算a28a?50a3?a2?2a？ 2a解原式=2a22a?5a2a?2a1???2a=?2a2?5a??2a?2a 22??由此可见，二次根式的相加减的一般过程是：

先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并. 例题2 计算：（1）375?1148 （2）(0.5?2)?(?75) 238例题3 计算：（1）

231x19m?16m?2m （2） 36x?6?2x3424x（3）50(p?q)?8（先判断出(p-q)大于零） p?q例题4 解方程和不等式：（1）

3277555 （2）2x? ??x??4x?28249三、课堂小结：

1、二次根式的加减归结为合并同类项； 2、二次根式的相加减的一般过程.

四、作业布置：练习册习题15.3 (1) 教学设计说明：

这是八年级第十六章第五节，学生是在已掌握最简二次根式以及合并同类二次根式的基础上进一步学习二次根式的加减法，同时为以后学习二次根式的乘除法作准备.首先让学生回顾最简二次根式、同类二次根式等概念，从而引入二次根式加减法.其次通过例题1让学生自己总结出二次根式的加减的一般步骤：先化简后合并巩固二次根式加减法；接着通过例题2、3巩固二次根式加减法的运算能力.通过二次根式的加减法解含二次根式的一元一次方程、不等式。

总之，在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和学习兴趣。教学反思：

此节教学的难点是正确化简二次根式尤其是被开方数比较复杂的二次根式的化简.解含二次根式的一元一次方程、不等式也容易出错。

16.3 (2) 二次根式的乘法和除法

教学目标：

1、掌握二次根式的乘法和除法运算；

2、在二次根式的乘法和除法运算法则的学习中，渗透类比、化归等数学思想方法，提高学生的思维品质和学习兴趣.

教学重点和难点：掌握二次根式的乘除法运算法则. 教学流程设计：

二次根式乘除例题讲解：通过例情景引入：通过将大正方利用乘除法

法的应用：通题1利用总结出二形中已知两小正方形的关系引入二

过二次根式的次根式的乘除法面积，求剩下的长方形面次根式的除

乘除法来解决则进行计算同时积的问题引入二次根式法法则并用

实际问题. 注意结果要化简. 的乘法及乘法法则. 之计算.

教学过程设计：

一、情景引入： 1、引例：

如图，将一个正方形分割成面积为s（平方单位）和2s（平方单位）的两个小正方形和两个长方形，求图中每个长方形（阴影部分）的面积.

二、学习新课： 1、概念引入：

通过引例的计算，让学生说明运算的依据：二次根式的性质3：a?b?ab，据此

2s s 总结归纳出二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变. 2、例题分析：例题1 计算：（1）24?32 （2）ab?4b （3）abc?2abc2 解：（1）

方法1：　24?32　　　?24?32方法2：　24?32方法3：　24?32?26?42 　　　?23?2?42 　　　　　　?82?3?2　　　?23?3?25　　　?83?2?2　　　?163　　　?163　　　?163说明三种解法每一运算步骤的依据，讨论三种解法的异同。注意：结果必须化为最简二次根式. （2）原式=2ba （3）原式=2abcc

思考：两个二次根式相除，怎样进行运算？依据是什么？

二次根式除法法则：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.

例题2 计算：（1）2a?3b （2）6u2?10u3v(u>0) （3）a?b?a2c?b2c（a>b>0）注意：结果必须化为最简二次根式. 解：（1）原式=

6ab15uv （2）原式=（思考为什么要注明u>0？） 3b5uvc(a?b)（3）原式=

c(a?b)（思考为什么要注明a>b>0？）

例题3 探索：如果圆的面积与正方形的面积相等，那么圆的周长与正方形的周长的比值是多少？

三、课堂小结：

1、二次根式的乘除法法则；

2、运用二次根式的乘除法法则的注意事项. 四、作业布置：练习册习题16.3 (2) 教学设计说明：

这是八年级第十六章第三节，学生是在已掌握最简二次根式、合并同类二次根式以及二次根式的加减法的基础上进一步学习二次根式的乘除法，同时为以后学习二次根式的混合运算作铺垫.首先，情景引入：通过将大正方形中已知两小正方形的面积，求剩下的长方形面积的问题引入二次根式的乘法及乘法法则；其次，通过例题1利用总结出二次根式的乘除法则进行计算同时注意结果要化简；再次，利用乘除法关系引入二次根式的除法法则并用之计算；最后，通过二次根式的乘除法来解决实际问题。

总而言之：在二次根式的乘除法运算法则的学习和应用的过程中，渗透分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和学习兴趣。教学反思：

此节教学过程中要注意：在学生学习过程中对二次根式的乘除法法则理解上问题不大，但常常忘记运算结果需要化简，此外被开方数是多项式的乘除法运算上容易出错。

16.3 (3) 二次根式的乘法和除法

教学目标：进一步掌握二次根式的乘除法，理解分母有理化的概念，初步掌握分母有理化的方法，会解系数或常数项含二次根式的一元一次方程和一元一次不等式。

教学重点和难点：掌握分母有理化的方法，解系数或常数项含二次根式的一元一次方程（不等式）。教学流程设计：例题讲解：通例题讲解：复习引入：过例题7、8通过例题6二次根式的运用分母有理练习巩固乘除法引入化的法则解决分母有理分母有理化

实际问题. 化的法则. 的概念. 教学过程设计：一、复习引入： 1、问题思考：两个根式相除，2a?3b可以写为化为3b？二、学习新课： 1、新课引入：

把

2a3b，而2a?3b化简的结果是

6ab.怎样把分母中的3b3b2a3b的分数上、下两式看作两个数相除，利用除法的性质以及根式乘法法则可得：

2a2a?3b6ab6ab. ???23b3b3b?3b(3b)把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

分母有理化的方法，一般是把分子和分母乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号. 归纳：3b?3b?3b，这个过程称为分母有理化3b称为3b的有理化因式. 思考：（1）如果二次根式是9a,12m,x?y，怎样对他们进行分母有理化？

思考：（2）如果二次根式是a?b,2x?3y,…….，他们的有理化因式又是怎样的？（留待课后或下节课思考）