《材料力学》第3章 扭转 习题解

第三章

扭转 习题解

[习题3-1] 一传动轴作匀速转动，转速n?200r/min，轴上装有五个轮子，主动轮II输入的功率为60kW，从动轮，I，III，IV，V依次输出18kW，12kW，22kW和8kW。试作轴的扭图。 解：（1）计算各轮的力偶矩（外力偶矩） Te?9.55Nk n 外力偶矩计算(kW换算成kN.m) 题目编号 习题3-1 轮子编号 I II III IV V 轮子作用 从动轮 主动轮 从动轮 从动轮 从动轮 功率(kW) 18 60 12 22 8 转速r/min 200 200 200 200 200 Te（kN.m） 0.859 2.865 0.573 1.051 0.382

(2) 作扭矩图

T图(kN.m)

[习题3-2] 一钻探机的功率为10kW，转速n?180r/min。钻杆钻入土层的深度l?40m。如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求分布力偶的集度m，并作钻杆的扭矩图。 解：（1）求分布力偶的集度m

Me?9.549Nk10?9.549??0.5305(kN?m) n180设钻杆轴为x轴，则：

?Mx?0

ml?Me

m?Me0.5305??0.0133(kN/m) l401

（2）作钻杆的扭矩图 T(x)??mx??Mex??0.0133x。x?[0,40] l(kN?m) T(0)?0； T(40)?Me??0.5305扭矩图如图所示。

[习题3-3] 圆轴的直径d?50mm，转速为120r/min。若该轴横截面上的最大切应力等于

60MPa，试问所传递的功率为多大？ 解：（1）计算圆形截面的抗扭截面模量：

Wp?11?d3??3.14159?503?24544(mm3) 1616T?60N/mm2 Wp （2）计算扭矩

?max?T?60N/mm2?24544mm3?1472640N?mm?1.473(kN?m)

（3）计算所传递的功率 T?Me?9.549Nk?1.473(kN?m) n Nk?1.473?120/9.549?18.5(kW)

[习题3-4] 空心钢轴的外径D?100mm，内径d?50mm。已知间距为l?2.7m的两横截面的相对扭转角??1.8，材料的切变模量G?80GPa。试求： （1）轴内的最大切应力；

（2）当轴以n?80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率。 解；（1）计算轴内的最大切应力

o11?D4(1??4)??3.14159?1004?(1?0.54)?9203877(mm4)。 323211Wp??D3(1??4)??3.14159?1003?(1?0.54)?184078(mm3)

1616式中，??d/D。 Ip???T?l， GIpT??GIpl1.8?3.14159/180?80000N/mm2?9203877mm4?2700mm

?8563014.45N?mm

2

?8.563(kN?m)

?max?T8563014.45N?mm??46.518MPa 3Wp184078mm（2）当轴以n?80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率 T?Me?9.549NkN?9.549?k?8.563(kN?m) n80Nk?8.563?80/9.549?71.74(kW)

[习题3-5] 实心圆轴的直径d?100mm，长l?1m，其两端所受外力偶矩Me?14kN?m，材料的切变模量G?80GPa。试求：

（1）最大切应力及两端面间的相对转角；

（2）图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向； （3）C点处的切应变。 解：（1）计算最大切应力及两端面间的相对转角 ?max?式

MT?e。 WpWp中

，

Wp?11?d3??3.11616?13?1 94(mm3)。故：01065?maxMe14?106N?mm???71.302MPa Wp196349mm3T?l GIp??式中，Ip?11?d4??3.14159?1004?9817469(mm4)。故： 3232??T?l14000N?m?1mo??0.0178254(rad)?1.02 GIp80?109N/m2?9817469?10?12m4（2）求图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向

MPa ?A??B??max?71.302 由横截面上切应力分布规律可知：

?C??B?0.5?71.302?35.66MPa

A、B、C三点的切应力方向如图所示。

（3）计算C点处的切应变

12 3

?C??CG?35.66MPa?4.4575?10?4?0.446?10?3 380?10MPao[习题3-6] 图示一等直圆杆，已知d?40mm，a?400mm，G?80GPa，?DB?1。试求：

（1）最大切应力；

（2）截面A相对于截面C的扭转角。 解：（1）计算最大切应力

从AD轴的外力偶分布情况可知：

TAB?TCD?Me，TBC?0。

?DB??TiliTDC?lDCTCB?lCBMe?a0?aMea ?????GIpGIpGIpGIpGIpGIp

Me?GIp?a 式中，Ip? Me?11?d4??3.14159?404?251327(mm4)。故： 323280000N/mm2?251327mm43.14159???877296N?mm

400mm180GIp?a ?m?axMe Wp11?d3??3.14159?403?12566(mm3)。故： 1616式中，Wp? ?max?Me877296N?mm ??69.815MPa3Wp12566mmTiliTAB?lABTBC?lBCMe?2a0?a2Mea??????2?DB?2o GIpGIpGIpGIpGIpGIp（2）计算截面A相对于截面C的扭转角

?AC??[习题3-7] 某小型水电站的水轮机容量为50kW，转速为300r/min，钢轴直径为75mm，若在正常运转下且只考虑扭矩作用，其许用切应力[?]?20MPa。试校核轴的强度。 解：（1）计算最大工作切应力 ?max?MeT ?WpWpNk50?9.549??1.592(kN?m)； n3004

式中，Me?9.549

Wp?故：?max?11?d3??3.14159?753?1256(mm63)。 1616Me1592000N?mm??19.219MPa Wp82835mm3（2）强度校核

因为?max?19.219MPa，[?]?20MPa，即?max?[?]，所以轴的强度足够，不会发生破坏。

[习题3-8] 已知钻探机钻杆（参看题3-2图）的外径D?60mm，内径d?50mm，功率P?7.355kW，转速n?180r/min，钻杆入土深度l?40m，钻杆材料的G?80GMPa，许用切应力[?]?40MPa。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求： （1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m；

（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核； （3）两端截面的相对扭转角。 解：（1）求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m

Me?9.549Nk7.355?9.549??0.390(kN?m) n180设钻杆轴为x轴，则：

?Mx?0

ml?Me

m?Me0.390??0.00975(kN/m) l40（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核

①作钻杆扭矩图

T(x)??mx??0.39x??0.00975x。x?[0,40] 40 T(0)?0； T(40)?Me??0.390(kN?m)

扭矩图如图所示。 ②强度校核

?max?Me Wp1150?D3(1??4)??3.14159?603?[1?()4]?21958(mm3) 161660式中，Wp??max?Me390000N?mm??17.761MPa 3Wp21958mm因为?max?17.761MPa，[?]?40MPa，即?max?[?]，所以轴的强度足够，不

5

会发生破坏。

（3）计算两端截面的相对扭转角

???400T(x)dx GIp式中，Ip?1150?D4(1??4)??3.14159?604?[1?()4]?658752(mm4) 323260???400|T(x)|dx1?GIpGIp0?4000.00975x2400.00975xdx?[]062?12480?10kN/m?658752?10m2(rad)?8.5 ?0.148[习题3-9] 图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力F均为0.2kN，已知轴材料的许用切应力[?]?40MPa，试求： （1）AB轴的直径；

（2）绞车所能吊起的最大重量。 解：（1）计算AB轴的直径

AB轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶 矩相等：

Me左?Me右?0.2?0.4?0.08(kN?m) Me主动轮?2Me右?0.16(kN?m) 扭矩图如图所示。

由AB轴的强度条件得： ?max?Me右16Me右??[?] 3Wp?dd?316Me右16?80000N?mm?3?21.7mm 2?[?]3.14159?40N/mm（2）计算绞车所能吊起的最大重量

主动轮与从动轮之间的啮合力相等：

Me主动轮0.2?Me从动轮0.35

Me从动轮?0.35?0.16?0.28(kN?m) 0.20 由卷扬机转筒的平衡条件得：

P?0.25?Me从动轮

P?0.25?0.28

P?0.28/0.25?1.12(kN)

6

[习题3-10] 直径d?50mm的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶Me?6kN?m，而在圆杆表面上的A点将移动到A1点，如图所示。已知?s?AA1?3mm，圆杆材料的弹性模量E?210GPa，试求泊松比?（提示：各向同性材料的三个弹性常数E、G、?间存在如下关系：G??E。

2(1??)解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩：

T?Me?6kN?m。设O,O1两截面之间的相对对转

角为?，则?s??? ??d2??s，?? 2dT?l2?s? GIPd式中，Ip?11?d4??3.14159?504?613592(mm4) 3232

T?l?d6?106N?mm?1000mm?50mmG???81487.372MPa?81.4874GPa 42Ip?s2?613592mm?3mm由G?EE210得：???1??1?0.289

2(1??)2G2?81.4874[习题3-11] 直径d?25mm的钢圆杆，受轴向拉60kN作用时，在标距为200mm的长度内伸长了0.113mm。当其承受一对扭转外力偶矩Me?0.2kN?m时，在标距为200mm的长度内相对扭转了0.732的角度。试求钢材的弹性常数G、G和?。 解：（1）求弹性模量E ?l?oNl EANl60000N?200mmE???216447.8MPa?216.448GPaA??l0.25?3.14?252mm2?0.113mm11?d4??3.14159?254?38349(mm4) 3232T?l得： GIP （2）求剪切弹性模量G

Ip?由??T?l0.2?106N?mm?200mmG???81684.136MPa?81.7GPa 4??Ip(0.732?3.14/180)?38349mm 7

（3）泊松比?

由G?EE216.448得：???1??1?0.325

2(1??)2G2?81.684[习题3-12] 长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者的材料相同，受力情况也一样。实心轴直径为d；空心轴的外径为D，内径为d0，且

d0?0.8。试求当D空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力（?max?[?]），扭矩T相等时的重量比和刚度比。 解：（1）求空心圆轴的最大切应力，并求D。

?max?T Wp式中，Wp?1?D3(1??4)，故： 16?max,空?D3?16T27.1T??[?] 343?D(1?0.8)?D27.1T ?[?]（1）求实心圆轴的最大切应力

?max?T Wp 式中，Wp??max,实d3?1?d3 ，故： 1616T16T?3?3?[?] ?d?d16T ?[?]D27.1T?[?]()3???1.69375 d?[?]16TD?1.192 d（3）求空心圆轴与实心圆轴的重量比

W空0.25?(D2?d02)?l??D2D222 ??()(1?0.8)?0.36()?0.36?1.192?0.5122W实dd0.25?d?l?? 8

（4）求空心圆轴与实心圆轴的刚度比

Ip空?Ip实1?D4(1?0.84)?0.01845?D4 321??d4?0.03125?d4 32GIp空GIp实0.01845?D4D44??0.5904()?0.5904?1.192?1.192 4d0.03125?d[习题3-13] 全长为l，两端面直径分别为d1,d2的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩Me ，如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。

解：如图所示，取微元体dx，则其两端面之间的扭

转角为：

d??Medx GIP式中，Ip?1?d4 32r?r1x?

r2?r1lr?r2?r1d?d1d?x?r1?2x?1 l2l2d2?d1x?d1 ld?2r?d4?(d2?d1x?d1)4?u4 ldu?d2?d1dx lldu

d2?d1：

dx? 故

MdxM???e?e0GIGpldxMe?0Ip?Gl32dx32Me?0?d4??Glldu32Mel1l?0u4?d2?d1du??G(d2?d1)?0u4 l 9

????ldu32Mel32Mel32Ml1l1e?? ??[?]??0433??G(d2?d1)0u?G(d2?d1)3u3?G(d2?d1)??d2?d1????x?d1???????l?032?1?d13?d2?32Mel?d12?d1d2?d2?32Mel32Mel1???????=???3?3????33??33?? 3?G(d2?d1)?d2d1?3?G(d1?d2)?d1d2?3?G?d1d2?l[习题3-14] 已知实心圆轴的转速n?300r/min，传递的功率p?330kW，轴材料的许用切应力[?]?60MPa，切变模量G?80GPa。若要求在2m长度的相对扭转角不超过1o，试求该轴的直径。 解：??T?lMel? ??1?GIPGIp180Nk3301?9.549??10.504(kN?m)；Ip??d4。故： n30032式中，Me?9.549Ip?180Mel ?G180Mel1??d4? 32?G632?180Ml32?180?10.504?10N?mm?2000mme4d?4??111.292mm 222?G3.14?80000N/mm取d?111.3mm。

[习题3-15] 图示等直圆杆，已知外力偶MA?2.99kN?m，MB?7.20kN?m，

MC?4.21kN?m，许用切应力[?]?70MPa，许可单位长度扭转角[?']?1o/m，切变模

量G?80GPa。试确定该轴的直径d。

解：（1）判断危险截面与危险点

作AC轴的扭矩图如图所示。因最大扭矩出出在BC 段，所以危险截面出现在BC段，危险点出现在圆周上。

（2）计算危险点的应力（最大工作切应力），并代入剪 切强度条件求d。 ?max?TBC16TBC??[?] 3Wp?d116TBC316?4.21?106N?mm??67.42mm d1?32?[?]3.14?70N/mm

10

（3）计算最大单位长度扭转角(出现在BC段)，并代入扭转刚度条件求d。

（4）确定d值

d?max(d1,d2)?74.4(mm)

[习题3-16] 阶梯形圆杆，AE段为空心，外径D?140mm，内径d?100mm；BC段为实心，直径d?100mm。外力偶矩MA?18kN?m，MB?32kN?m，MC?14kN?m，许用切应力[?]?80MPa，许可单位长度扭转角[?]?1.2/m，切变模G?80GPa。试校核该轴的强度和刚度。 解：（1）AB段的强度与刚度校核 TAB??MA??18kN?m ?max,AB?'oTAB Wp11100?D3(1??4)??3.14159?1403?[1?()4]?398533(mm3) 1616140 式中，Wp??max,AB|TAB|18?106N?mm???45.166MPa?[?]?80MPa 符合度条件。 Wp398533mm3?'AB?式中，Ip??l?|TAB|180 ?GIp?11100?D4(1??4)??3.14159?1404?[1?()4]?27897319(mm4) 3232140 11

?'AB??l?|TAB|18018000N?m?180o'o???0.462(/m)?[?]?1.2/mGIp?80?109N/m2?27897319?10?12m4?3.14 符合刚度条件。

（2） BC段的强度与刚度校核 TBC?MC?14kN?m ?max,BC?TBC Wp11?d3??3.14159?1003?196349(mm3) 1616 式中，Wp??max,ABTBC14?106N?mm???71.302MPa?[?]?80MPa 符合度条件。 3Wp196349mm?'BC?式中，Ip??'BC??l??l?TBC180 ?GIp?11?d4??3.14159?1004?9817469(mm4) 3232TBC18014000N?m?180o'o???1.02(/m)?[?]?1.2/mGIp?80?109N/m2?9817469?10?12m4?3.14 符合刚度条件。

综合（1）、（2）可知，该轴符合强度与刚度条件。

[习题3-17] 习题3-1中所示的轴，材料为钢，其许用切应力[?]?20MPa，切变模

G?80GPa，许可单位长度扭转角[?']?2.5o/m。试按强度条件及刚度条件选择圆轴的

直径。 解：（1）由强度条件选择直径

轴的扭矩图如图所示。因为最大扭矩出现在II、III轮之间，所以危险截面出现在

此段内，危险点在此段的圆周上。 ?max?TII?III16TII?III??[?] 3Wp?d16TII?III316?2.006?106N?mm??80mm d?32?[?]3.14?20N/mm （2）由刚度条件选择直径

12

T1800T?32?1800 ?????[?']

4GIp?G?d??'2.006?103?32?1800?[?'] ??94?1280?10??d??10'

故选用

。

[习题3-18] 一直径为d的实心圆杆如图所示，在承受扭转力偶Me后，测得圆杆表面与纵向线成45的方向上的线应变为?。试导出以Me，d和?表示的切变模量G的表达式。 解：圆杆表面贴应变片处的切应力为

0

圆杆扭转时处于纯剪切状态，图（a）。 切应变 1）

对角线方向线应变：

（

图（a）

（2）

式（2）代入（1）：

13

[习题3-19] 有一薄壁厚为25mm、内径为250mm的空心薄壁圆管，其长度为1m，作用在轴两端面内的外力偶矩为180kN?m。试确定管中的最大切应力，并求管内的应变能。已知材料的切变模量G?80GPa。 解：（1）求管中的最大切应力 ?max?T?r：

Ip

[习题3-20] 一端固定的圆截面杆AB，承受集度为m的均布外力偶作用，如图所示。试求杆内积蓄的应变能。已矩材料的切变模量为G。

T2(x)dx?解：dV??2GIpm2x2dx16m2x2dx? 41?dG2?G??d432m2l3m2l3?

16GIp6??d4G3216m2l216m2l3V??xdx??44?0?dG3?dG[习题3-21] 簧杆直径d?18mm的圆柱形密圈螺旋弹簧，受拉力F?0.5kN作用，弹簧的平均直径为D?125mm，材料的切变模量G?80GPa。试求： （1）簧杆内的最大切应力；

（2）为使其伸长量等于6mm所需的弹簧有效圈数。

解：

，

14

故

因为

故 圈

[习题3-22] 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力F如图，簧丝直径d?10mm，材料的许用切应力[?]?500MPa，切变模量为G，弹簧的有效圈数为n。试求： （1）弹簧的许可切应力；

（2）证明弹簧的伸长??解：（1）求弹簧的许可应力

用截面法，以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离

体。由平衡条件可知，在簧杆横截面上：

剪力Q?F 扭矩T?FR

最大扭矩：Tmax?FR2

16Fn22(R?R)(R?R1212)。 4Gd?max??'??\?QTmax4F16FR216FR2d??2??(1?)?[?]， 33AWp?d4R2?d?d3.14?103mm3?500N/mm2[F]???957.3N

d10mm16R2(1?)16?100mm(1?)4R24?100mm因为D/d?200/10?20?10，所以上式中小括号里的第二项，即由Q

所产生的剪应力可以忽略不计。此时

?d3[?]3.14?103mm3?500N/mm2[F]???981.25N

d16?100mm16R2(1?)4R2?d3[?] 15

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