小学数学数与代数 2

小学数学数与代数 2

问题框架：

1. 如何在方程教学中帮助学生经历从算术思维向代数思维过渡？

2. 如何在正反比例教学中体现函数思想？

3. 如何处理好 “ 问题解决 ” 教学中生活情境具体和数量关系抽象的关系？

4. 如何在教学中凸显问题解决的策略？

具体内容：

“数与代数”部分是义务教育阶段数学课程的重要内容。这部分的内容包括数的概念、数的运算、数量的估计；字母表示数，代数式及其运算；方程、方程组、不等式，函数等。

数的概念是学生认识和理解数学的开始，从自然数逐步扩展到有理数、实数，学生将不断增加对数的理解和运用。数的运算伴随着数的形成与发展不断丰富，从最基本的自然数四则运算，扩展到有理数的运算。伴随着字母的引入，代数式和方程的出现是数及其运算的进一步抽象。 本专题中，我们和您交流的内容主要涉及后面两部分，下面我们结合新课标，聚焦几个老师们实践中的问题，进行深入的交流。

一、在方程教学中帮助学生经历从算术思维向代数思维过渡

1. 方程教学的目标

对式与方程这部分内容，课标有如下具体要求：

1．在具体情境中能用字母表示数。

2．结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。

3. 能用方程表示简单情境中的等量关系（如 3x+2 ＝ 5 ， 2x-x ＝ 3 ），了解方程的作用。

4．了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。

在每个学生数学学习的历程中，“字母” 的出现都是一次认识上的飞跃。在“字母表示数”以及“方程”教学中，要肩负着帮助学生从算术思维向代数思维进行过渡。学习“字母表示数”的过程是帮助学生建立数感与符号意识的重要过程，是学习和认识数学的一次飞跃，同时也是学生今后继续学习代数式、整式、分式和根式等一系列概念及相关运算的重要基础，具有非常重要的意义，需要引起高度重视，并贯穿于学习数与代数的始终。

在小学的第二学段 中就安排了“式与方程”的内容，就是要引导学生在具体情境中会用字母表示数；结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。从第一学段过渡到第二学段，随着学生年龄的增长，思维水平和理解能力也在逐渐提高。这一时期的学生正处在

由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡阶段。在第一学段的基础上，第二学段不仅扩大了数的认识和运算的范围，同时在较为抽象的水平上初步认识代数知识和渗透函数思想。

引入简易方程的价值在于，为学生提供用代数方法解决问题的途径。小学阶段解决问题的基本方式是算术方法。基本的数量关系模型一是求和的关系（部分 + 部分 = 整体），二是求积的关系（每份数 × 份数 = 总量）。具体的表现为加、减、乘、除的意义。算术方法解决问题基本上是根据加减乘除四则运算的含义，分析问题中的数量关系，列出一个算式。这个算式的基本特征是将已知的数量构成的算术式使其结果等于所求的数量。

例如： 小明原来有一些铅笔，爸爸和妈妈又分别给他买 10 枝新铅笔，这时他一共有 38 枝铅笔，原来小明有几只铅笔？

用算术方法列出的算式是： 38-10 × 2=

而用方程来解要先用字母 x 表示原来铅笔的数量。按照数量关系，可以列出方程： X+10 × 2=38

后者是直接用部分 + 部分 = 总体的思路，未知数 X 和其它已知数一起进行运算。而前者是求和逆运算，即已经和与一个部分，求另一个部分。在解决较为复杂的问题时，方程与算术方法的区别会更为明显。

对于解方程， 《标准》明确指出“用等式的性质解简单的方程”。等式的性质反映了方程的本质，将未知数和已知数同等看待。这正是代数思维与算术思维的基本区别。

开始从算术方法到代数方法可能显得比较繁琐，特别是对于简单的数量关系，用算术方法操作起来更为容易，但在解简单方程时仍倡导老师们关注用等式性质的思路，一方面它体现着代数 方法的本质，另一方面也是与第三学段方程学习的重要衔接。

2．从算术思维向代数思维过渡，是学生认知发展的飞跃。

【片段 1 】赵震 —— 《用字母表示数》

赵老师通过“神奇的魔盒”，让学生充分经历输入数与输出数的游戏，发现规律、验证规律、总结规律、概括规律，从“图形 ( △ → □ ) ” 到“字母”、从无关系的字母（ a→b ）到揭示规律的字母（ a→a+10 ），引导学生产生简明表达规律的内需 —— “用字母表示数”，真正理解字母表示数的价值。

【片段 2 】赵震 —— 《用字母表示数》

对，我也听过 赵 老师这节课，唱儿歌 —— 《数青蛙》：

一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿。

两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿。

三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿。

让学生边拍手边有节奏地哼唱，与此同时课件不断显示更多的青蛙，直到多得数不清，这 时赵 老师问：还能唱吗？学生感到有困难了，于是教师发给学生每人一个小条，试着写一写。

学生在练习纸上填：

生 1 ：无数只青蛙无数张嘴，无数只眼睛无数条腿。

生 2 ： a 只青蛙 b 张嘴， c 只眼睛 d 条腿。

生 3 ： a 只青蛙 a 张嘴， b 只眼睛 c 条腿。

生 4 ： a 只青蛙 a 张嘴， aa 只眼睛 aaaa 条腿。

生 5 ： a 只青蛙 a 张嘴， 2a 只眼睛 4a 条腿。

通过倾听学生的发言与交流，展现了学生不同的结论及不同的思维层次：

例如：生 1 还没有达到“用字母表示数”的水平，停留在用语言来描述数量及关系； 生 2 虽然达到了“用字母表示数”的水平，但没有表示出数量关系；

生 3 走近了“用字母表示数”，有了一定的数量关系，但是不全面；

生 4 走近了“用字母表示数”，明白数量关系，但是表示不准确，有待教师的引导； 生 5 真正走进了“用字母表示数”，既用字母表示出了数，又准确地表示出了数量之间的关系。

赵 老师在课堂上，通过学生喜欢的、生动的“说儿歌”活动，让学生在数的过程中感受到“数”的具体，并由此产生寻求更简洁、更概括的表示方法的心理需求。这为“字母表示数”的引出奠定了积极而充分的情感基础。这个过程既是新知识的学习过程，更是学生由原有的算术思维水平不断向代数思维水平迈进的过程。孩子们在一句句诵读儿歌的过程中，完成了思维水平的提升，完成了从数的具体到字母抽象的过渡。 从数字运算到字母运算。在此过程中，教师要紧紧把握好符号意识。

绝大多数学生，经历认识上的这个过渡时，都不会自然而然、简简单单就完成的。需要教师精心地设计活动，让每个学生都有机会经历，有机会感悟，才可能慢慢地完成从算术思维向代数思维的过渡。

的确，小学生在相当长的时间里是以算术思维为主的，但伴随着学习的不断深入，从算术思维过渡到代数思维是每一个学生必须面对的。这个飞跃对于大多数学生而言都会存在不同程度的困难，都将是一次挑战。这个过渡是个过程，而且这个过程的长短对不同的学生而言也会存在差异，教师在教学中首先应重视对学生代数思维的培养。应对不同的学生给予不同的关注和辅导，允许一部分学生在经历一段时间的学习和积累渐渐达到要求，完成过渡。

与此同时，教师还应着眼于学生的发展，整体把握目标的达成。也就是说，“字母表示数”及“方程”相关内容的学习是在第二学段高年级出现的，但对学生代数思维的培养，不一定也不应该等到这个时候才开始。在前面的很多内容教学中应该有意识地孕伏，让学生有机会在不同内容的学习中“找感觉”，积累经验，不断地为完成好认识上的重要飞跃打基础。

3．在低、中年级孕伏代数思维

这是北京小学杜雪飞老师执教的“找算式中的数朋友”一课。这是二年级“表内除法”单元中的练习课，源于对教材中的一道练习题。

既然学生从算术思维向代数思维过渡需要孕伏，那么这样的孕伏就不能，也不应该仅仅是高年级老师的教学任务。各年段的教师都应该善于捕捉恰当的内容，善于寻找恰当的时机，选择恰当的方式，及时训练代数思维，让学生在活动中有所感，有所悟。本课内容的开发，便抓住了学生认知中的这个困难点，通过一系列活动使之变得形象，易于学生接受。

可以说，在相当长的时间里，对于很多学生而言“ = ”更像一个从左向右的单方向箭头（

），因为算式总是先知道数据和符号，通过运算得出结果。今天这节练习课中，杜老师将为学生们创造“倒着想”的机会，把“逆向”思考作为突破口，让“ = ”在孩子们的头脑中变成“双向”的。这是对等式左右两边“相等”关系的更深入的理解，同时也是孩子们迈向代数思维的重要启蒙。这是教师在低年级教学中为学生长远发展奠定基础的有益尝试。

长期以来，在小学阶段教学简易方程，方程变形即解方程的主要依据是四则运算各部分间的关系。而新课程标准指导下的教材中更强调了“等式性质”的教学，这样设计的意义又是什么呢？

这是一个老师们普遍存在的问题。其实，如果仅以“解方程”为目标的话，也能用四则运算各部分关系及等式性质都是可以的，也就是都能够让学生顺利地找到方程的解，进而解决实际问题。但运用四则运算各部分关系的思路实际上是用算术思路求未知数。这样的教学利用了学生已有的知识，因而易于理解，但是却不易与中学的教学衔接，也不易于学生更好地代数思维的形成。根据《标准》的要求，从小学起就引入等式的基本性质，并以此为基础导出解方程的方法。不仅有利于加强中小学数学教学的衔接，而且有利于学生逻辑思维能力的发展，为今后学生更好地把握方程的实质奠定基础。总的来说，在小学阶段，只要达到能用方程表示简单情境中的等量关系（如 3x+2 ＝ 5 ， 2x-x ＝ 3 ），了解方程的作用，了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。并在这个过程中，了解等量关系、方程、等式与方程的解等与方程有关的常识，以及解简单方程的方法。对于方程作为刻画现实情境中数量关系，沟通已知数和未知数的一种数学模型提供了一些素材，留下了初步的印象；进而通过解方程求得未知数的值，对实际问题做出合理解答，初步领会方程的意义。

在教学这部分内容时，教师首先要把握好内容的定位，正确理解它的意义。不能仅仅把“方程”当作知识点，把“解方程”和“列方程解决问题”当作技能，仅为达成知识目标，心中要装着学生在数学学习中的长远发展，以不同的形式、在不同的年段为学生代数思维的建立创造空间，以丰富而有层次的活动帮助学生顺利地完成认识上的飞跃。总之就是教师的心中要装着“知识技能”、“数学思考”、“问题解决”和“情感态度”四维目标。

二、 在正、反比例教学中体现函数思想

在六年级的教学内容中正比例和反比例一直是一个重要的内容，这部分内容同样肩负了帮助学生完成一次认识上飞跃的重要任务。学生将从大量对“常量”的认识经验中逐步过渡到认识“变量”，这是函数思想渗透的重要契机。

1．正、反比例教学的目标

在课标中，对这部分内容的要求是：

在实际情境中理解比及按比例分配的含义，并能解决简单的问题。

通过具体情境，认识成正比例的量和成反比例的量。

会根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图，并会根据其中一个量的值估计另一个量的值。

能找出生活中成正比例和成反比例关系量的实例，并进行交流。

从“数与代数”内容的发展来看，本质上可以从两个角度理解：第一，从数的扩充角度，从常量到变量；第二，从关系的角度，从数量关系到等量、不等、变化关系。

2. 在教学中渗透函数思想

在有关正反比例的教学中，我们常说要渗透函数思想，但“函数”并不是小学的学习内容，那在小学学习正比例和反比例的价值是什么呢？

函数是一种具有普遍意义的数学模型，在分析和解决一些实际问题中有着广泛的应用。函数是“数与代数”的重要内容，也是义务教育阶段学生比较难理解和掌握的数学概念之一，本标准在三个学段中均安排了与函数相关联的内容目标，希望学生能够逐渐加深对函数的理解。因此，教材对函数内容的编排应体现螺旋上升的原则，分阶段逐渐深化。

在第二学段中，引入正比例与反比例，它们 是一类常用的数量关系，这部分内容的学习是函数思想在小学的体现。

在现实中，有许多数量关系可以表示为成正比例的量和成反比例的量，其本质是两个量按一定的比例关系发生变化。

如果一个量增加（减少），另一个量按一定的比例增加（减少），两个量是成正比例的量；如果一个量增加（减少），另一个量按一定的比例减少（增加），两个量是成反比例的量、如

果分别用 X 和 Y 表示两个量，前者可以表示成 Y=aX(a>0); 后者可以表示成 Y=a/X ，或 XY=a(a>0) 。

正比例和反比例的关系本质上是函数关系，小学阶段并不出现函数的概念，但要让学生感知两个量之间的关系。一是使学生对数量关系的认识和理解更加丰富，二是为第三学段进一步学习正比例函数和反比例函数，以及学习一般的函数知识做准备。教学中应与实际情境紧密联系，用学生可以理解的具体的方式呈现这些内容，引导学生从数量关系的角度，以及两个量之间变化的规律的角度来理解并掌握这个内容。

3．图像在正、反比例教学中的价值

学生对“正反比例”的学习，就是从简单的数量关系过渡到对“变化关系”的认识和学习。与以往的教材和教学要求相比，在方格纸上画图是个新的要求，教材中也出现了“正比例”及“反比例”的图像，它的价值是什么？教师该如何发挥好“图像”的作用，更好地体现和渗透函数思想呢？

下面结合具体的案例来回答这个问题。北京实验一小 郭雯砚 老师执教的《成正比例的量》，这节课上 郭 老师紧紧抓住了“图像”作为帮助学生认识和理解正比例的重要素材。

郭老师在学生根据表格、算式等熟悉的方式表示出正比例关系之后，教师地引出了“图像”，把它作为新朋友非常隆重介绍给了学生。让学生通过初步的猜想和分析，对图像有初步的感知，为后面深入而细致的探究奠定了基础。

的确，正比例教学是从常量数学到变量数学学习的启蒙阶段；图像教学能够直观地呈现两个变量之间的相依关系，使学生加深对正比例意义的理解。通过此课的教学，可以渗透函数思想，促进中小衔接，能够为学生今后的学习奠定基础。

因为学生有折线统计图的学习基础，描点连线对学生而言并不困难，可以自然地迁移。因此，在课堂上让学生认识正比例图像是有认知基础的。但同时也会存在困难，例如，该不该从 0 开始画呢？这个学生在学习正比例图像是普遍存在的问题，这个问题对于学生理解正比例有怎样的意义呢？让我们带着这个问题看看当时课堂上的情况吧。

可以看出，课堂上 虽然学生能画出图像，但他们大都是依据画折线统计图时的经验，这其实是错误的。在教学中， 郭 老师及时抓住了学生生成的问题，逐步进行深入的剖析，使学生明确这条直线是由无数个处在同一条直线上的点形成的。

从刚才的教学片段来看， 学生在探究的过程中，虽然会描点连线，甚至能找到变化规律，但是并没能够顺利地有在图像、表格和规律之间建立有机的联系。对于数学的认识还是比较孤立，比较静止的，缺乏运动的观点和变量的意识。这正是函数的核心所在，是引导学生深入理解正比例关系的要害所在，也正是发挥 “图像”作用的重要契机。课堂上，郭老师准确

而巧妙地捕捉到了这一点，借助直观的课件，帮助学生进一步展开了分析，对图像的补充过程，恰恰是学生对正比例关系认识的完善过程。

函数有三种数学表示方法：表格、关系式和图像，这就是人们通常所说的函数的多重表示。多重表示的方法不仅可以加强概念的理解，也是解决问题的重要策略。图像对于理解变量之间的关系具有十分重要的意义，函数关系用图像来表示，以其直观性有着其他表示方式所不能替代的作用，它是“看见”两种量之间的关系和变化情况的途径之一。学生在现阶段学习正比例图像，是十分困难的，这是他们第一次接触函数图像。在学习的过程中，重在让学生认识图像，感受图像的作用、价值和美，为将来继续学习函数和图像做好心理准备。

看来在课堂上发挥好“图像”的作用，可以有效地帮助学生更加深入地理解概念，感受变化关系，悄然地就实现了对函数思想的感悟。这一观点，在郭老师设计的这节课后面的练习中仍有很好的体现。

这幅图像反应的是我们学校给住宿的同学买苹果的情况。给出数据和具体的情境。

给出数据后，你又能从图中发现哪些信息？（ 12 千克苹果 48 元。）

你怎么看出来的？

生 1 ：从横轴上找到 12 千克 ，向上找到直线上对应的点，再向左找到纵轴上的值。 生 2 ：还能看出 40 元可以买 10 千克 苹果。

生 3 ：还有每千克苹果 4 元。

学校又买来一些香蕉，哪个更贵呢？

学生觉得两幅图像分开画不太容易观察，利用电脑把两个图像合在一起。

这时，学生都认为香蕉更贵，表示香蕉购买情况的这条直线更陡一些。

为什么直线越陡，价格就越贵？

生 1 ：同样的数量，比如都是 6 千克 ，从横轴上 6 千克 的位置向上看，香蕉的黄线在苹果的上面，说明香蕉的总价比苹果的多，所以香蕉更贵。

生 2 ：同样的总价，比如都是 40 元，向右看可以买 10 千克 香蕉或 12 千克 苹果，买的苹果比香蕉多，所以香蕉比苹果贵。

如果还买了一些橙子，我们已经知道橙子的价格比苹果还贵，你觉得这条直线应该画在哪里？ ( 画在香蕉的上面。 )

由此可以看出，图像已经成为了学生分析变化关系，理解变化关系，呈现变化关系的重要工具了。的确，图像让抽象的变化关系变得直观，变得让学生有更容易有“感觉”了。

这是学生第一次接触函数图像，在此之前他们甚至都没有见过图像，不知道图像是什么样的。教师应在这部分内容的教学中，大胆地为学生设计猜想、探究、实验和验证的活动，让学生有机会将已有的旧知识与新形式建立联系，在图像的观察、绘制和分析中丰富对变化的认识，让零散的连起来，让静止的动起来，让具体数变得抽象起来，这个过程就是函数思想渗透的重要过程。

看来多维教学目标的达成离不开教师对数学核心概念有清晰的认识和准确的把握，这就需要教师对教学中每个内容有深入的分析，挖掘其背后的价值，为学生长远发展奠定重要的基础。

三、问题解决：从解题到建模

对于应用题教学，我们都熟悉它的结构、类型以及解题思路、方法等。新课标把“应用题”改为“解决问题”，现在又改为“问题解决”， 这不仅仅是名称上的变化， 更为重要的是使应用题教学的教育价值定位更加准确，教育理念更加明确，课程体系更加宽泛，呈现形式更加灵活。

现在的“问题解决”和计算教学紧密融合；也不再单独的安排一些单元，而是把问题解决贯穿到“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”和“综合与应用”四个领域的学习中；

问题解决的呈现方式有了新的拓展：文字、图表、图文并茂、多余信息等。教材的这些变化给教师的教学实践带来了新的挑战。

课标关于“问题解决”的总体目标：

初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。

获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。

学会与他人合作交流。

初步形成评价与反思的意识。

具体到每一个学段，目标有是什么呢？

第一学段问题解决

1．能在教师的指导下，从日常生活中发现和提出简单的数学问题，并尝试解决。

2．了解分析问题和解决问题的一些基本方法，知道同一个问题可以有不同的解决方法。

3．体验与他人合作交流解决问题的过程。

4．尝试回顾解决问题的过程 。

第二学段问题解决

1．尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运用一些知识加以解决。

2．能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性。

3．经历与他人合作交流解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程。

4．能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性。

在(标准)提出的上述目标中，发展应用意识和形成解决问题的策略是重点。其中课标修订版一大变化就是“ 双能”变成“四能”：由原来的分析问题能力和解决问题能力，变成了四能：发现问题、提出问题、分析问题和解决问题能力。 提高学生解决问题的能力作为基本目标；

第二就是帮助学生形成一些基本的策略，通过求解问题获得更好的概念理解，包括促进学生的交流，并能积极地从事数学证明等；

第三就是帮助学生学会数学地思维。这也是问题解决的最高目标；

第四反思也必不可少的环节之一；

过去在小学教学中，教师们非常重视“应用题”的教学，目的是要通过培养学生运用数学知识来解决实际问题的能力。新课程改革以来，虽然应用题不再成为独立单元，反而是对解决问题能力的加强。

新的数学课程标准将问题解决作为一个重要目标，这是课程改革和发展的需要。

请吴老师说一说 问题解决与传统“应用题”的区别。

（一）问题解决与传统“应用题”的区别

1. 重视过程的教学：应用题更多的强调尽快获得答案；而问题解决是强调一个过程，就是寻求解决问题方式方法的过程。重视问题解决的过程，寻求问题解决的方法和策略比获得一个结论本身来的更重要。

2．不仅仅依附一个知识点：应用题往往是结合某一个具体的知识点，例如今天讲加法， 就是加法应用题，明天学乘法是乘法应用题，原来的应用题常常是依附在某一个知识点的背景下；而问题解决是强调针对具体的一个真实的情景，它更多的强调综合解决问题的过程。例如今天讲完加法后，问题解决的情景它可能不局限于用加法，也不局限于用减法，它要调动学生已有的知识来解决问题。它是不仅仅依附于某一个知识点的。

3．具体问题具体分析：应用题教学把应用题归成类，集中一类问题进行思考，强调速度和技巧；而问题解决强调的是具体问题具体分析，换句话说就是在一种新的情境中如何运用所学知识解决问题，使问题更具挑战性，可能一个问题跟着一个问题。它更具有挑战性，更具有新意。

4．问题的开放性和多元性：应用问题强调广泛性，即从生活中来、从儿童已有的经验出发、从现在的科技、社会发展的过程中发现问题和提炼问题。问题本身的开放性和多元性也是其很重要一个特征。

（二）解决生活情景具体与数量关系抽象之间的矛盾

数学问题解决，指的是按照一定的思维对策进行的一个思维过程，一步一步地接近目标，最终达到目标。也就是说，数学领域中的解决问题，不只是关心问题的结果，更重要的是关心求得结果的过程——探索、思考解决数学问题的过程，一般说来，是一个较为复杂。艰苦的历程。学生除需要运用抽象、归纳、类比。演绎等逻辑形式外，还需要运用直觉、灵感或顿悟等非逻辑形式。

问题解决的过程

要能够把握“问题解决”的问题，要准确迅速地把握问题的关键，揭示问题的本质属性，搞清问题的求解目标和已知条件、未知条件，是问题解决的第一步。

问题解决的第二步是设计求解计划，这要求大量的分析综合，尝试与猜测、类比与联想，问题解决的最后一步，就是对所得结果作检验和回顾。

小结：理解题意 ( 分析数量关系 )------ 求解作答——检验反思

在日常教学过程中，我们发现有些孩子自己独立读题就不会做，老师或家长给读完题后，

就能顺利解题了。我感觉学生在做应用问题时最大的困难是读不懂题意。吴老师您能不能给我们说说怎样帮助学生读懂题？

对于解决问题，学生的困难，一是读懂题，二是分析数量关系。

1. 如何读懂题意

怎样是读题，我们可以采用如下方法：

一遍读，搞清楚是什么事；盘点数学信息，从题中获得哪些数学信息？（力求不遗漏） 二遍读，进行筛选，捕捉有用的数学信息，谁和谁有关系，有什么关系。（力求无偏差） 三遍读，告诉我们解决什么问题。让学生梳理“有用信息”及“目标问题”，进一步明确解题指向。这样只有我们读懂了题，才能更好地进行解决问题。

怎样帮助学生读懂题

·手势理解。

·情景再现。

·边读题边记录。画批的方法，给思维以方向，给思维以范围。

·抽象出问题的骨架，可以是画出图表示关系。

·从数学的角度观察、思考，提取数量关系，提出并解答数学问题。

2. 分析数量关系

我们要重视对运算意义的教学。加、减、乘、除运算的意义是核心概念，要让学生积累原型，在什么时候用加、减、乘、除运算。

积累数学原型

加法可以作为合并、移入、增加、继续往前数等的模型；

减法可以作为剩余、比较、往回数、减少或加法逆运算等的模型；

乘法可以作为相等的数的和、面积计算、倍数、组合等的模型；

除法可以作为平均分配、比率或乘法逆运算等的模型。

除此之外，还要 在具体情境中，了解常见的数量关系：总价 = 单价×数量、路程 = 速度×时间，并能解决简单的实际问题。

注重对数量关系的分析。

在解决具体问题时，教师要鼓励学生通过实际操作、思考讨论，寻找问题中所隐含的数量关系，强调对问题实际意义和数学意义的真正理解。例如，教师要鼓励学生首先看懂问题情境，用自己的语言或者熟悉的符号表达问题情境和需要解决的问题；根据所求的问题和情境中的条件，运用图、表格等多种形式分析数量关系；回忆所学运算及其他内容的数学意义，将数量关系表达出来，这就是 关注题目的大逻辑 ：

如：三年级植树 20 棵，六年级植树的棵树是三年级的 3 倍，三年级和六年级一共植树多少棵？

此题的大逻辑：三年级种的棵树＋六年级种的棵树 = 总数

小桶装水 8 千克，大桶装水的质量比小桶多 5 千克， 4 个大桶可以装水多少千克？ 此题的大逻辑：一个大桶的质量× 4= 总质量

还可以让学生画枝形图：从条件入手画枝形图，表示题中的数量关系，这就是用综合法来分析题中的信息。

也可以从结论入手画枝形图，表示题中的数量关系，这就是用分析法来诠释题中的数量之间的关系。

看来分析数量关系的方法：从条件入手、从问题入手这些分析方法该告诉学生还得告诉学生，那什么从问题解决情景中逐步抽象出模型呢？

从众多情景中抽象出模型

建立数学模型；向别人解释自己所列模型的实际意义。在学习了一段时间后，教师还可以鼓励学生自己总结一些数学模型的典型实例。

一辆客车 3 小时行 270 千米，照这样计算， 6 小时行多少千米？

3 瓶饮料花 27 元， 5 瓶这样的饮料花多少元？

王师傅 2 小时生成 18 个机器零件，照这样计算， 9 小时可以生产多少个机器零件？ 这三道题全部是归一问题，传统的基于题型的训练也是建模；为什么这样说呢？

一是从众多例证中抽取共性的东西：都是先求单一量，这一步是中间问题，也是解决问题的关键所在；二是在选取素材时选取了基本的数量关系：如速度×时间 = 路程；单价×数量 = 总价；补充了工作效率×工作时间 = 工作总量。这就是建立模型的过程。

教学中也有一些老师经常问这样的问题：实际问题解决之后，用不用给学生总结归纳基本的数量关系：每份数×份数 = 总数，单价×数量 = 总价 似乎老师给总结了就有灌输

的嫌疑。

其实，这些基本的数量关系在学生充分感悟的基础上，需要教师总结提炼，这也是抽象概括的过程。学生可以运用这几个基本的数量关系去解决其它类似的问题。当然不要过早地揭示，更不能强加给学生。

从模型出发引发新的问题情景

像“植树问题”在新课标教材中，不论哪个版本都有涉及。植树问题分三种情况：

第一种是两端种树，第二种是一端种树，第三种是两端都不种。

在四年级的一次调研测试时，有几道题目从不同角度诠释了植树问题：

（ 1 ）小明早晨去学校时，气温是零下 3 ℃， 中午休息时，气温是 5 ℃。那么气温上升了 ( ) ℃。

这是属于一端种树的问题，学生可以根据直观图数段数，也可以进行计算。

(2) 从 20 数到 50 ，两个两个地数，一共数（ ）次。

这是一年级学过的 100 以内数的数数问题，到了四年级呈现此题时，目的时让学生不断把学过的知识进行分类、归类和建构。这道题就是四年级学过的植树问题，两端都种的情况。

换成解决问题的题目：一条 30 米长的路，每 2 米栽 1 棵月季花，从头到尾一共栽多少棵？这就是模型思想。需要教学中经常变化情景，做到变中抓不变。

什么是“好”的问题？

对于教材编写和教学，一个首要的方面是提出“好”的问题。对于“好”的标准也许并不统一，这里只是谈一谈我们的思考。“好”的问题绝不等同于简单的练习，解决问题也决不能简单地理解为在一般的公式中对某个参数赋以具体的数值，也不能仅仅理解为会解决一些“人造”的问题。当然，知识的简单应用是必要的，但不能仅仅停留于此，而是应努力使学生经历从现实情境中“抽取”数学模型的数学化过程，以及把数学模型放到现实中加以使用的过程。

在内容上，它的内容更具有现实性，更贴近孩子生活实际，从形式方面新颖活泼，从单一的文字形式到了图文并茂的形式；

从思维价值上看更具有挑战性，让学生在解决这个问题的过程当中就获得了思维的发展，换一句话说就是要用数学本身的魅力来吸引学生；

从趣味性层面看要能够激发孩子的兴趣，激发学生学习欲望。

概括起来说，一个好问题具有以下四个特点：

（1）具有较强的探究性（或创造精神）

（2）具有一定的启发性和发展空间

（3）具有一定的开放性

（4）具有给定信息的现实性和简易性

四、教学中凸显问题解决的策略

问题解决活动的价值不只是获得具体问题的解，更多的是学生在问题解决过程中获得的发展。其中重要的一点在于使学生学习一些问题解决的基本策略，体验问题解决策略的多样性，并在此基础上形成自己解决问题的某些策略。

下面我们就来介绍几种常用的解题问题的策略。

1．画图的策略。

把画图作为一种解决问题的策略。由于孩子年龄的局限，他们对符号、运算性质的推理可能会发生一些困难，如果适时的。让孩子们自己在纸上涂一涂、画一画，可以拓展学生解决问题的思路，帮助他们找到解决问题的关键。因此我们认为，画图应该是孩子们掌握的一种基本的解决问题的策略。为什么说画图很重要呢？主要是比较直观，通过画图能够把一些抽象的数学问题具体化，把一些复杂的问题简单化。下面我们来介绍几种常用的画图的方法。

画图包括画线段图、 树图 、 集合图 、 示意图

除了刚才介绍的几种图以外，孩子们有的时候是没有任何框框的，他们根据自己的经验，自己的思维的特点，可能画出一些让我们老师意想不到的、他所明白的一些图。就是孩子们在解决问题的过程中，自己画的图。因此我们特别提出来，作为教师要尊重孩子们，特别是当孩子们的示意图画出来的时候，可能是非常的嫩稚的，可能是非常不成熟的，但是我们要很好地、认真地去挖掘他的思维价值，保护孩子们创造的积极性。

多样化方法的呈现，让学生的交流成为可能，实现了 “经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法。” 这样的课程目标。

鼓励学生画图分析问题和解决问题，发展学生的画图意识。尤其是学生自己画的富有个性的示意图，是学生认知风格的具体体现。

画图，不仅让学生思维外显，而且让教师了解学生的思维水平，为学生间的相互交流提供了有力的支撑；画图在具体形象和抽象数量关系之间架起了桥梁。

2．列表尝试

列表的策略，有时候我们也叫列举信息的策略。在解决问题的过程当中，我们将问题的条件信息用表格的形式把它列举出来，往往能对表征问题和寻求问题解决的方法，起到事半功倍的效果。

尝试的策略，简单的说就是不知道该从哪开始的时候，可以先猜一猜来进行尝试。但是猜测的结果，应该是比较合理的，并且要把猜测的结果，放到问题中去进行调整。

多数情况下这两种策略同时使用。《鸡兔同笼》问题也是运用列表的方法，在尝试与调整中逐步逼近正确答案。

问题与策略之间不应该是一一对应的，解决同一个问题应该有多种策略，一种策略也应该能解决多种问题。

3．模拟操作。

模拟操作是通过探索性的动手操作活动，来模拟问题情境，从而获得问题解决的一种策略。学生是通过自己探索的过程，将需要解决的问题，转化为一个已知的问题来进行推导性的研究。通过这种开发性的操作的策略的训练，不仅能够使学生获得问题的解决，而且在这个过程当中，也能培养学生的创造性思维。

如：甲乙两地相距 360千米 客车和货车同时从甲开出。客车每小时行 60千米 ，货车每小时行 40千米 ，客车到达甲地后立刻返回，几小时与乙相遇？

用手势进行模拟；或动作模拟。学生明白做的路程是2个 360千米 ；

4. 逆推

逆推也叫还原，就是说从反面去思考，从问题的结果一步一步地反面去思考。在解决某一个问题的过程当中，当你从正面进行思考遇到了阻碍，碰到困难的时候，可以换个思路从相反的方向，即从问题的结果一步一步的往前推。

小结解决问题的策略：

“列表”； “ 假设” ；“猜想尝试”； “模拟操作”；“画图”； “逆推”；“简化”等都是学生常用的解决问题的策略。

问题解决的建议：

1．理解运算意义的基础上，学会分析数量关系。

2．注重恰当选择解决问题的策略。

3．鼓励学生主动发现问题提出问题的意识，提高学生问题解决的能力。

4．反思问题解决的过程及策略，逐步形成评价与反思的意识。

5. 尝试用方程的方法解决实际问题。

义务教育阶段，通过解决问题，更重要的是培养学生应用数学的意识和数学思考与交流的能力，而不是将学生培养成解决问题的专家。特别是要使学生认识到数学本身是有用的，促使他们碰到问题能想一想是否可以用数学来解决。 在这样的思想指导下的应用问题的教与学 , 学生学会了真正意义上的 “ 具体问题具体分析 ”, 学会了如何利用各种手段收集和

处理问题中隐含的信息，学会了如何从问题中发现隐含的数量关系，学会了如何从多个角度思考问题，因而也就学会了“举一反三”，获得了初步分析问题、解决问题的能力。

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