2022甘肃省天水市中考数学试题及答案解析

第 1 页 共 28 页 2020年天水市初中毕业与升学学业考试(中考)试卷数学

A 卷(100分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来)

1.下列四个实数中，是负数的是( )

A. ()3--

B. ()22-

C. |4|-

D. 【答案】D

【解析】

【分析】

根据负数的定义逐项判断即得答案．

【详解】解：A 、()33--=，3不是负数，故本选项不符合题意；

B 、()224-=，4不是负数，故本选项不符合题意；

C 、44-=，4不是负数，故本选项不符合题意；

D

、

故选：D ．

【点睛】本题考查了负数的定义以及实数的基本知识，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题关键． 2.天水市某网店2020年父亲节这天的营业额为341000元，将数341000用科学记数法表示为( )

A. 53.4110?

B. 63.4110?

C. 334110?

D. 60.34110? 【答案】A

【解析】

【分析】

根据科学记数法的表示方法解答即可．

【详解】解：341000用科学记数法表示为53.4110?．

故选：A ．

【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a ×

10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．

3.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对面上的汉字是( )

第 2 页 共 28 页

A. 文

B. 羲

C. 弘

D. 化

【答案】D

【解析】

【分析】 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答即可．

【详解】解：在原正方体中，与“扬”字所在面相对面上的汉字是“羲”，与“伏”字所在面相对面上的汉字是“化”，与“弘”字所在面相对面上的汉字是“文”．

故选：D ．

【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握解答的要点：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，建立空间观念是关键．

4.某小组8名学生的中考体育分数如下：39，42，44，40，42，43，40，42.该组数据的众数、中位数分别为( )

A. 40，42

B. 42，43

C. 42，42

D. 42，41 【答案】C

【解析】

【分析】

先将数据按照从小到大的顺序重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可得出答案．

【详解】解：将这组数据按照从小到大的顺序重新排列为39，40，40，42，42，42，43，44，

因为42出现了三次，最多，所以这组数据的众数为42，

因为共有8个数据，所以中间两个数据的平均数就是中位数，即中位数为

4242422+=， 故选：C ．

【点睛】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，解决本类题目的关键就是牢记定义．

5.如图所示，PA 、PB 分别与O 相切于A 、B 两点，点C 为O 上一点，连接AC 、BC ，若70P ∠=?，则ACB ∠的度数为( )

A. 50?

B. 55?

C. 60?

D. 65?

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用切线的性质得∠OAP=∠OBP=90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．

【详解】连接OA、OB，

∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，

∴∠OAP=∠OBP=90°，

∵∠P=70°，

∴∠AOB=180°-∠P=180°-70°=110°，

∴∠ACB=1

2

∠AOB=

1

2

×110°=55°．

故选：B．

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．6.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是()

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

第3 页共28 页

第 4 页 共 28 页 【分析】

根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项进行分析判断即可得出答案．

【详解】解：A 、是轴对称图形但不是中心对称图形，故错误；

B 、既是轴对称图形也是中心对称图形，故错误；

C 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故正确；

D 、是轴对称图形但不是中心对称图形，故错误；

故选：C ．

【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后两部分能够完全重合；中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转180°后两部分能够重合．

7.若函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则函数y ax b =+和c

y x

=在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据二次函数的图像即可判断出a 、b 、c 与0的大小关系，然后根据一次函数和反比例函数的图像特点确定答案．

【详解】解：∵抛物线开口向上

∴a ＞0

∵抛物线对称轴2b x a =-

＞0 ∴b ＜0

∵抛物线与y 轴交点在y 轴正半轴上

第 5 页 共 28 页 ∴c ＞0

∴当a ＞0，b ＜0时，一次函数y ax b =+的图像过第一、三、四象限；

当c ＞0时，反比例函数

c y x

=

的图像过第一、三象限． 故选B ． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数图像与系数的关系，解答本题的关键是掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质．

8.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量建筑物的高度，已知标杆BE 高1.5m ，测得 1.2AB m =，12.8BC m =，则建筑物CD 的高是( )

A. 17.5m

B. 17m

C. 16.5m

D. 18m

【答案】A

【解析】

【分析】 先求得AC ，再说明△ABE ∽△ACD ，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可． 【详解】解：∵ 1.2AB m =，12.8BC m =

∴AC=1.2m+12.8m=14m

∵标杆BE 和建筑物CD 均垂直于地面

∴BE//CD

∴△ABE ∽△ACD

∴AB AC BE CD =,即1.2141.5CD

=,解得CD=17.5m ． 故答案为A ．

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答本题的关键．

9.若关于x 的不等式32x a +≤只有2个正整数解，则a 的取值范围为( )

A. 74a -<<-

B. 74a -≤≤-

C. 74a -≤<-

D. 74a -<≤- 【答案】D

第 6 页 共 28 页 【解析】

【分析】 先解不等式得出23a x

-，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出2233

a -<，解之可得答案． 【详解】解：32x a +， 32x a ∴-， 则23a x -， 不等式只有2个正整数解，

∴不等式的正整数解为1、2，

则2233

a -<， 解得：74a -<-，

故选：D ．

【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出关于某一字母的不等式组．

10.观察等式：232222+=-；23422222++=-；2345222222+++=-；…已知按一定规律排列的一组数：1001011021992002,2,2,,2,2，若1002S =，用含S 的式子表示这组数据的和是( )

A. 22S S -

B. 22S S +

C. 222S S -

D. 2222S S -- 【答案】A

【解析】

【分析】

由题意得出()

100101102199200991010002

222222=122+++++++++，再利用整体代入思想即可得出答案． 【详解】解：由题意得：这组数据的和为：

10010110219920022222+++++

()

00100991=21222++++ ()100101=2122+-

()

100101=221-

第 7 页 共 28 页 ()

100100=2221?-

∵1002S =，

∴原式=()2212S S S S ?-=-, 故选：A ．

【点睛】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幂的乘法的逆用，解题的关键是正确找到本题的规律：3112222222=2n n n -++++

++-，学会探究规律，利用规律解决问题，属于

中考填空题中的压轴题． 二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分．只要求填写最后结果)

11.分解因式：3m n mn -=_________．

【答案】()()11mn m m +-

【解析】

【分析】

原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可．

【详解】解：3m n mn -

=2(1)mn m -

=()()11mn m m +-．

故答案为：()()11mn m m +-．

【点睛】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12.一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程28120x x -+=的根，则该三角形的周长为_______．

【答案】13

【解析】

【分析】

先利用因式分解法解方程x 2-8x +12=0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的周长可求．

【详解】解：∵x 2-8x +12=0，

∴()()260x x --=，

∴x 1=2，x 2=6，

第 8 页 共 28 页 ∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x 2-8x +12=0的根，当x =2时，2+2＜5，不符合题意， ∴三角形的第三边长是6，

∴该三角形的周长为：2+5+6=13．

故答案为：13．

【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．

13.

函数y =中，自变量x 的取值范围是___________． 【答案】2x ≥-且3x ≠．

【解析】

【分析】

根据二次根式的性质以及分式的意义，分别得出关于x 的关系式，然后进一步加以计算求解即可.

【详解】根据二次根式的性质以及分式的意义可得：20x +≥，且30x -≠，

∴2x ≥-且3x ≠，

故答案为：2x ≥-且3x ≠．

【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与分式的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.

14.已知1023a b +=，16343

a b +=，则+a b 的值为_________． 【答案】1

【解析】

【分析】 观察已知条件可得两式中a 与b 的系数的差相等，因此把两式相减即可得解． 详解】解：1023a b +=

①，16343

a b +=②， ②-①得，2a+2b=2，

解得：a+b=1,

故答案为：1． 【点睛】此题主顾考查了二元一次方程组的特殊解法，观察条件的结构特征得出2a+2b=2是解答此题的关键． 15.如图所示，AOB ∠是放置在正方形网格中的一个角，则sin AOB ∠的值是________．

【答案】

2

【解析】

【分析】

由题意可知，要求出答案首先需要构造出直角三角形，连接AB，设小正方形的边长为1，可以求出OA、OB、AB的长度，由勾股定理的逆定理可得ABO是直角三角形，再根据三角函数的定义可以求出答案. 【详解】连接AB如图所示：

设小正方形的边长为1，

∴2

OA=23+1=10，22

BA=3+1=10，222

OB=4+2=20，

∴ABO是直角三角形，

∴

BA102 sin AOB=

OB2

20

∠=，

故答案为：

2 2

.

【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和正弦函数的定义，熟练掌握技巧即可得出答案.

16.如图所示，若用半径为8，圆心角为120?的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则这个圆锥的底面半径是_________．

第9 页共28 页

第 10 页 共 28 页

【答案】83 【解析】

【

分析】

根据半径为8，圆心角为120°的扇形弧长，等于围成的圆锥的底面周长，列方程求解即可．

【详解】解：设圆锥的底面半径为r ，

由题意得，12082180r ππ?=， 解得，83

r =， 故答案为：83

． 【点睛】本题考查了弧长的计算公式，扇形与围成的圆锥底面圆的周长之间的关系，明确扇形的弧长与围成的圆锥的底面圆的周长的关系是正确解答本题的关键，本题就是把的扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长作为相等关系，列方程求解．

17.如图，将正方形OEFG 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点E 的坐标为（2，3），则点F 的坐标为_____．

【答案】（﹣1，5）

【解析】

【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G 的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F 的坐标．

【详解】如图，过点E 作x 轴的垂线EH ，垂足为H ．过点G 作x 轴的垂线GM ，垂足为M ，连接GE 、FO 交于点O′，

∵四边形OEFG 是正方形，

第 11 页 共 28 页 ∴OG=EO ，∠GOM=∠OEH ，∠OGM=∠EOH ，

在△OGM 与△EOH 中，

OGM EOH OG OE

GOM OEH ∠=∠??=??∠=∠?

， ∴△OGM ≌△EOH （ASA ），

∴GM=OH=2，OM=EH=3，

∴G （﹣3，2），

∴O′（﹣1

2，52

）， ∵点F 与点O 关于点O′对称，

∴点F 的坐标为 （﹣1，5），

故答案是：（﹣1，5）．

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中点坐标公式等，正确添加辅助

线以及熟练掌握和运用相关内容是解题的关键.

18.如图，在边长为6的正方形ABCD 内作45EAF

∠=?，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将ADF ?绕点A 顺时针旋转90?得到ABG ，若3DF =，则BE 的长为__________．

【答案】2

【解析】

【分析】

根据旋转的性质可得AG=AF ，GB=DF ，∠BAG =∠DAF ，然后根据正方形的性质和等量代换可得∠GAE =∠F AE ，进而可根据SAS 证明△GAE ≌△F AE ，可得GE=EF ，设BE=x ，则CE 与EF 可用含x 的代

第 12 页 共 28 页 数式表示，然后在Rt △CEF 中，由勾股定理可得关于x 的方程，解方程即得答案．

【详解】解：∵将△ADF 绕点A 顺时针旋转90?得到△ABG ，

∴AG=AF ，GB=DF ，∠BAG =∠DAF ，

∵45EAF ∠=?，∠BAD =90°，

∴∠BAE +∠DAF =45°，

∴∠BAE +∠BAG =45°，即∠GAE =45°，

∴∠GAE =∠F AE ，

又AE=AE ，

∴△GAE ≌△F AE （SAS ），

∴GE=EF ，

设BE=x ，则CE =6－x ，EF=GE=DF+BE =3+x ，

∵DF =3，∴CF =3，

在Rt △CEF 中，由勾股定理，得：()()22

2633x x -+=+，

解得：x =2，即BE =2．

故答案为：2．

【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识、灵活应用方程思想是解题的关键． 三、解答题(本大题共3小题，共28分．解答时写出必要的文字说明及演算过程)

19.（1

）计算：1014sin 60|2|20204-???-+ ???

．

（2）先化简，再求值：

21111211

a a a a a a ---÷-+++

，其中a = 【答案】（1

3；（2）221a -，1． 【解析】

【分析】

（1）先代入三角函数值、去绝对值符号、计算零指数幂、化简二次根式、计算负整数指数幂，再计算乘法、去括号，最后计算加减可得；

（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算可得．

【详解】（1

）原式4(214=--+-，

23231234 =-++-+，

33

=+；

（2）原式

2

111

1(1)1

a a

a a a

-+

=-?

-+-

，

11

11

a a

=-

-+

，

11

(1)(1)

a a

a a

+-+

=

-+

，

2

2

1

a

=

-

，

当3

a=时，原式=()2

222

1

312

31

===

-

-

．

【点睛】本题主要考查实数的混合运算与分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

20.为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在某个小区内进行了调查统计．将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．

请结合图中的信息，解决下列问题：

（1）此次调查中接受调查的人数为__________人；

（2）请你补全条形统计图；

（3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为__________度；

（4）该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访，已知这4位市民中有2位男性，2位女性．请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率．

【答案】（1）50；（2）答案见解析；（3）144；（4）

2

3

．

【解析】

【分析】

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第 14 页 共 28 页 （1）由非常满意的有18人，占36%，即可求得此次调查中接受调查的人数．

（2）用总人数减去不满意人数、一般人数、非常满意人数，即可求得此次调查中结果为满意的人数． （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与“一男一女”的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【详解】（1）1836%50÷=(人)，

故答案为：50；

（2）()50481820-++=

补全图形如下：

（3）

2036014450

??=?， 故答案为：144；

（4）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，其中是“一男一女”的有8种情况，

∴一男一女的概率为：P （一男一女）=82=123

． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21.如图所示，一次函数()0y mx n m =+≠的图象与反比例函数()0k

y k x

=≠的图象交于第二、四象限的点()2,A a -和点(),1B b -，过A 点作x 轴的垂线，垂足为点C ，AOC △的面积为4．

第 15 页 共 28 页

（1）分别求出a 和b 的值；

（2）结合图象直接写出k mx n x

+>中x 的取值范围； （3）在y 轴上取点P ，使PB PA -取得最大值时，求出点P 的坐标． 【答案】（1）4a =，8b =；（2）2x <-或08x <<；（3）()170,

3P ． 【解析】

【分析】

（1）由△AOC 的面积为4，可求出a 的值，确定反比例函数的关系式，把点B 坐标代入可求b 的值．

（2）根据图象观察当自变量x 取何值时，一次函数图象位于反比例函数图象的上方即可，注意由两部分． （3）由对称点A 关于y 轴的对称点A ′，直线A ′B 与y 轴交点就是所求的点P ，求出直线与y 轴的交点坐标即可．

【详解】（1）由题意得：1||42

AOC S k ?=

= ∴||8k =，8k =±

又∵反比例函数图象经过第二、四象限

∴8k =-，8y x

-= 当2x =-时，842a -==-；当1y =-时，81b

-=-，解得8b = （2）由图象可以看出k mx n x

+>的解集为2x <-或08x << （3）如图，作点A 关于y 轴的对称点A ′，直线A ′B 与y 轴交于P ，此时P A -PB 最大（PB -P A =PB -P A ′≤A ′B ，共线时差最大）

第 16 页 共 28 页

∵()2,4A -关于y 轴的对称点为()2,4A '，

又()8,1B -，则直线A B '与y 轴的交点即为所求P 点．

设直线A B '的解析式为y cx d =+

则2481c d c d +=??+=-?解得56173c d

?=-????=??

∴直线A B '的解析式为51763

y x =-

+ ∴直线A B '与y 轴的交点为(170,3

)． 即点P 的坐标为()170,3P ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，涉及了轴对称以及待定系数法求函数的关系式、线段的最值等知识，理解作点A 关于y 轴的对称点A ′，直线A ′B 与y 轴交于P ，此时P A -PB 最大．

B 卷

四、解答题(本大题共50分，解答时写出必要的演算步骤及推理过程)

22.为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A 处测得灯塔P 在北偏东60?方向上，继续航行30分钟后到达B 处，此时测得灯塔P 在北偏东45?方向上．

（1）求APB ∠的度数；

第 17 页 共 28 页 （2）已知在灯塔P 的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？(参考数据：2 1.414≈

，3 1.732≈)

【答案】（1）15°；（2）海监船继续向正东方向航行安全．

【解析】

【分析】

（1）作PH AB ⊥交AB 的延长线于点H ，根据题意可得∠PBH=45°、∠PAB=60°

,然后利用三角形外角的性质即可解答；

（2）设PH x =海里，则BH PH x ==海里，然后行程关系求得AB ，再利用正切函数求得x ，最后与25海里比较即可解答．

【详解】解：（1）作PH AB ⊥交AB 的延长线于点H

∵906030PAB ∠=?-?=?，904545PBH ∠=?-?=?

∴453015APB PBH PAB ∠=∠-∠=?-?=?；

（2）设PH x =海里，则BH PH x ==海里，30402060AB =?

=海里 ∵在Rt APH ?中，tan 30PH AH

?= ∴320x x =+ 解得：1031027.3225x =+≈>．

∴海监船继续向正东方向航行安全．

【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及运用正切函数解三角形，解答本题的关键在于利用正切函数列方程求出BH 的长．

23.如图，在ABC 中，90C ∠=?，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC 、AB 于点E 、F ．

第 18 页 共 28 页

（1）试判断直线BC 与O 的位置关系，并说明理由；

（2）若23BD

=，6AB =，求阴影部分的面积(结果保留π)．

【答案】（1）BC 与

O 相切，理由见解析；（2）2233π-． 【解析】

【分析】

（1）连接OD ，求出OD //AC ，求出OD ⊥BC ，根据切线的判定得出即可；

（2）根据勾股定理求出OD =2，求出OB =4，得出60BOD ∠=?，再分别求出△ODB 和扇形DOF 的面积即可．

【详解】解：（1）BC 与

O 相切．理由如下：

如图，连接OD ．

∵AD 平分BAC ∠，

∴CAD OAD ∠=∠，

又∵OA OD =，

∴OAD ODA ∠=∠，

∴CAD ODA ∠=∠，

∴//OD AC ，

∴90BDO C ∠=∠=?

又∵OD 为

O 的半径， ∴BC 与

O 相切． （2）设O 的半径为r ，则OA OD r ==，6OB r =-，

第 19 页 共 28 页 由（1）知90BDO ∠=?，在Rt BOD ?中，222OD BD OB +=， 即2

22(23)(6)r r +=-，解得

2r

． ∵23tan 32

BD BOD OD ∠===， ∴60BOD ∠=?． ∴21602360

BOD ODF r S S S OD BD π?=-=??-阴影扇形， 2

16022232360

π??=??-， 2233

π=-． 【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，扇形的面积计算、含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点；熟练掌握切线的判定与性质和勾股定理是解此题的关键． 24.性质探究

如图（1），在等腰三角形ABC 中，120ACB ∠=?，则底边AB 与腰AC 的长度之比为_________．

理解运用

（1）若顶角为120?的等腰三角形的周长为423+，则它的面积为_________；

（2）如图（2），在四边形EFGH 中，EF EG EH ==.在边FG ，GH 上分别取中点,M N ，连接MN .若120FGH ∠=?，20EF =，求线段MN 的长．

类比拓展

顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为__________(用含α的式子表示)

【答案】性质探究：3(3；理解运用：（1）3（2）103MN =类比拓展：2sin :1α(或2sin α)．

【解析】

【分析】

性质探究

作CD⊥AB于D，则∠ADC=∠BDC=90°，由等腰三角形的性质得出AD=BD，∠A=∠B=30°，由直角三角

形的性质得出AC=2CD，AD=3CD，得出AB=2AD=2

3CD，即可得出结果；

理解运用

（1）同上得出则AC=2CD，AD=3CD，由等腰三角形的周长得出4CD+23CD=4+23，解得：CD=1，得出AB=23，由三角形面积公式即可得出结果；

（2）①由等腰三角形的性质得出∠EFG=∠EGF，∠EGH=∠EHG，得出

∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH即可；

②连接FH，作EP⊥FH于P，由等腰三角形的性质得出PF=PH，由①得：∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°，由四边形内角和定理求出∠FEH=120°，由等腰三角形的性质得出∠EFH=30°，由直角三角形的性质得出

PE=1

2

EF=10，PF=3PE=103，得出FH=2PF=203，证明MN是△FGH的中位线，由三角形中位线

定理即可得出结果；类比拓展

作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质得出BD=CD，∠BAD=1

2

∠BAC=α，由三角函数得出BD=AB×sinα，

得出BC=2BD=2AB×sinα，即可得出结果．

【详解】性质探究

解：作CD⊥AB于D，如图①所示：

则∠ADC=∠BDC=90°，

∵AC=BC，∠ACB=120°，

∴AD=BD，∠A=∠B=30°，

∴AC=2CD，3，

∴3，

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∴

23

3

2

AB CD

AC CD

==；

故答案为：3:1(或3)；

理解运用

（1）解：如图①所示：同上得：AC=2CD，AD=3CD，∵AC+BC+AB=4+23，

∴4CD+23CD=4+23，

解得：CD=1，

∴AB=23，

∴△ABC的面积=

1

2

AB×CD=

1

2

×23×1=3；

故答案为：3

（2）①证明：∵EF=EG=EH，

∴∠EFG=∠EGF，∠EGH=∠EHG，

∴∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH；

②解：连接FH，作EP⊥FH于P，如图②所示：

则PF=PH，由①得：∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°，

∴∠FEH=360°-120°-120°=120°，

∵EF=EH，

∴∠EFH=30°，

∴PE=

1

2

EF=10，

∴33，

∴3

∵点M、N分别是FG、GH的中点，

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