同济大学 2006年 弹性力学 试卷

同济大学本科课程期终考试（考查）统一命题纸 A卷

2006—2007学年第 一 学期

课程名称：弹性力学 课号： 任课教师：

专业年级： 学号： 姓名：

考试（√）考查（ ） 考试（查）日期： 2007 年1月 22 日 出考卷教师签名：朱合华、许强、王君杰、李遇春、陈尧舜、邹祖军、赖永瑾、蔡永昌

教学管理室主任签名：

1．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分)

（1）薄板小挠度弯曲时，体力可以由薄板单位面积内的横向荷载q来等代。 ( ) （2）对于常体力平面问题，若应力函数?(x,y)满足双调和方程?2?2??0，那么由?(x,y)确定的应力分量必然满足平衡微分方程。 （ ） （3）在求解弹性力学问题时，要谨慎选择逆解法和半逆解法，因为解的方式不同，解的结

果会有所差别。 （ ） （4）如果弹性体几何形状是轴对称时，就可以按轴对称问题进行求解。 （ ） （5）无论是对于单连通杆还是多连通杆，其截面扭矩均满足如下等式：

M?2??F(x,y)dxdy,其中F(x,y)为扭转应力函数。 （ ）

（6）应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。 （ ） （7）平面应力问题和平面应变问题的应变协调方程相同，但应力协调方程不同。 （ ） （8）对于两种介质组成的弹性体，连续性假定不能满足。 ( ) （9）位移变分方程等价于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的静力边界条件。（ ） （10）三个主应力方向一定是两两垂直的。 ( )

2．填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。）（共20分，每小题2分）

(1)弹性力学是研究弹性体受外界因素作用而产生的 的一门学科。 (2)平面应力问题的几何特征是： 。 (3)平衡微分方程则表示物体 的平衡，应力边界条件表示物体 的平衡。 (4) 在通过同一点的所有微分面中，最大正应力所在的平面一定是 。 (5)弹性力学求解过程中的逆解法和半逆解法的理论基础是： 。 (6)应力函数??x,y??ax4?bxy?cy如果能作为应力函数，其a,b,c的关系应该

224是 。

(7)轴对称的位移对应的 一定是轴对称的。

(8)瑞利－里兹法的求解思路是：首先选择一组带有待定系数的、满足 的位移分量，由位移求出应变、应力，得到弹性体的总势能，再对总势能取极值。

(9)克希霍夫的直法线假设是指：变形前垂直于薄板中面的直线段（法线）在变形后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，且 。

(10)一般说来，经过简化后的平面问题的基本方程有 个，但其不为零的应力、应变和

位移分量有 个。

3． 分析题（共20分，每题10分）

（1）曲梁的受力情况如图1所示，请写出其应力边界条件（固定端不必写）。

eaθPMxbq

y

图1

（2）一点应力张量为

??x ?xy ?xz??0 1 2??????? ??1 ? 1?yx yyz?y?? ??????? zx zy z???2 1 0? 已知在经过该点的某一平面上应力矢量为零，求?y及该平面的单位法向矢量。

4．计算题（共40分）

（1）图2中楔形体两侧受均布水平压力q作用，求其应力分量（体力为零）。提示：设应力函数为：??r(Acos??B) （10分）

2 图2

（2） 如图3所示的悬臂梁结构，在自由端作用集中力P，不计体力，弹性模量为E，泊松比为μ，应力函数可取??Axy

图3

（3） 如图4所示，简支梁受均布荷载p0和跨中集中荷载p作用，试用瑞雷－里兹法求解跨中挠度。挠度函数表达式分别为：(1) w?asin较两种挠度函数计算结果间的差异。（15分）

图4

p03?Bxy?Cy23（15分） ?Dy，试求应力分量。

?xL；（2）w?asinPL/2?xL?bsin3?xL。比

L同济大学本科课程期终考试（考查）统一命题纸 A卷 标准答案

2006—2007学年第 一 学期

1．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分)

（1）薄板小挠度弯曲时，体力可以由薄板单位面积内的横向荷载q来等代。 (√) （2）对于常体力平面问题，若应力函数?(x,y)满足双调和方程?2?2??0，那么由?(x,y)确定的应力分量必然满足平衡微分方程。 （√） （3）在求解弹性力学问题时，要谨慎选择逆解法和半逆解法，因为解的方式不同，解的结

果会有所差别。 （×） （4）如果弹性体几何形状是轴对称时，就可以按轴对称问题进行求解。 （×） （5）无论是对于单连通杆还是多连通杆，其载面扭矩均满足如下等式：

M?2??F(x,y)dxdy,其中F(x,y)为扭转应力函数。 （×）（6）应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。 （√） （7）平面应力问题和平面应变问题的应变协调方程相同，但应力协调方程不同。 （√） （8）对于两种介质组成的弹性体，连续性假定不能满足。 (×) （9）位移变分方程等价于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的静力边界条件。（√） （10）三个主应力方向一定是两两垂直的。 (×)

2．填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。）（共20分，每小题2分）

(1)弹性力学是研究弹性体受外界因素作用而产生的 应力、应变和位移 的一门学科。 (2)平面应力问题的几何特征是： 物体在一个方向的尺寸远小于另两个方向的尺寸 。 (3)平衡微分方程则表示物体 内部 的平衡，应力边界条件表示物体 边界 的平衡。 (4) 在通过同一点的所有微分面中，最大正应力所在的平面一定是 主平面 。

(5)弹性力学求解过程中的逆解法和半逆解法的理论基础是： 解的唯一性定律 。 (6)应力函数??x,y??ax3a?b?3c?0。

4?bxy?cy如果能作为应力函数，其a,b,c的关系应该是

224(7)轴对称的位移对应的几何形状和受力 一定是轴对称的。

(8)瑞利－里兹法的求解思路是：首先选择一组带有待定系数的、满足 位移边界条件或几何

可能 的位移分量，由位移求出应变、应力，得到弹性体的总势能，再对总势能取极值。 (9)克希霍夫的直法线假设是指：变形前垂直于薄板中面的直线段（法线）在变形后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，且 长度不变 。

(10)一般说来，经过简化后的平面问题的基本方程有8个，但其不为零的应力、应变和位移

分量有9个。

3． 分析题（共20分，每题10分） (1)

主要边界：??r?r?a?0,??r? 次要边界：

?r?a?0,??r?r?b?0,??r??r?b??q

b??a??????0dr?Psin??b? ????r????0dr??Pcos?

a?b??a??????0rdr?Pesin??M?

(2) 一点的应力张量与该点的任意斜面上各应力分量的关系为：

X??xl??xym??xzn??Y ??yxl??ym??yzn?

?Z ??zxl??zym??zn?及 l2?m2?n2?1 故有

??l??ym?n?0?

?2l?m?0?m?2n?0及 l2?m2?n2?1 解得：

m??2n , l?n , 2(?y?1)n?0

2? n?? ?y16?0 ,

?1由此得：?

y?1,v?le1?me2?ne3??16e1?16e2?16e3

4．计算题（共40分）

(1) 解：极坐标下的应力分量为：

2?r????1??r?r???r22?1??r??22?Acos??2B?2(Acos??B)(1??)?Asin?

?r?????rr??

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