南京大学大气科学Chap4-2

动力气象学

授课教师：张熠

主要内容 波动的基本概念 小扰动法 大气中的基本波动

波动是大气运动的一种重要形式

经典流体力学关于波动的讨论结果能否直接用来讨论大气波动？为什么？大气运动的哪种特点造成的？

大气波动的基本类型:声波重力波 Rossby波讨论波动的方法:小扰动法线性方程组标准波型解频散关系相速、群速等

弹性振动(大气的可压缩性)浮力振荡(层结性)β效应

§1波动的基本概念一、波动的数学模型、波参数2 简谐振动方程：d +ω 2 = 0 (ω 2= K/ M ) dt 2 = c1 sinωt+ c2 cosωt= A cos(ωt α )

简谐振动稳定的传播所形成的波动称为简谐波i)

= A cos(kx ωt+α )振幅：物体离开平衡位置的最大位移

ii)周期：空间固定位置上的点完成一次全振动所需时间

A cos[kx ω (t+ T )+α]= A cos(kx ωt+α )频率：单位时间内的振动次数

υ=

1 T

用2π相角表示的单位时间内振动的次数，称为角频率、圆频率

ωT= 2π

ω=

2π T

iii)波长L:相邻两个同位相点之间的距离

A cos[k ( x+ L) ωt+α]= A cos(kx ωt+α ) 2π L= k

Lx o

iv)波数k:2π距离内包含了多少个波长

k=

2π L

v)位相θ:波在x轴上各点各时刻的位置，α为初位相；

= A cos(kx ωt+α )

θ

θ= const.的点构成的面称为等位相面。

vi)位相相同的各点组成的面称为等位相面,等位相面的移速称为相速c

δxω kδx ωδt= 0 c= lim=δx→0δt k波动表示式： = A cos[k ( x ct )+α]2π/ T L c=== k 2π/ L T

ω

按振动方向与波动传播方向的关系，可分为横波与纵波两大类。–若质点振动方向与波的传播方向垂直，此种波动称为横波–若质点振动方向与波的传播方向一致，此种波动称为纵波

横波

纵波

L波长、相速、周期三者关系：c=, T

1 cυ= L= Tυ

例、空气 c1=340m·s-1水 c2=1450m·s-1求频率为200Hz的声波在空气和水中的波长。 c解：由 L=

υ

空气中水中

340 L1===1.7 mυ 200

c1

1450 L2===7.25m 200υ

c2

结论：同一频率的声波，在水中的波长比在空气中的波长要长。

二、傅立叶原理，简谐波的复数表示实际大气扰动不是单纯的简谐波，可以看成是各种不同频率、不同振幅的简谐波叠加在平均值上的结果，这就是傅立叶原理。

( x, t )=∑ An cos[k n ( x cnt )+δ n]n=1

∞

实际扰动虽然是许多谐波组成，但往往只有几个谐波分量是主要的，其频率、振幅虽然不同，但动力学性质往往一样。因此如果想得到定性的结果，分析一个典型的谐波分量就足够了

( x, t )= A cos[k ( x ct )+δ]

波动的

复数表示形式：根据欧拉公式： eiθ= cosθ+ i sinθ

( x, t )= Re[ Aei ( kx ωt+δ )]实际应用时常略去Re:

( x, t )= Aei ( kx ωt+δ )iδ引入复振幅： F= Ae

( x, t )= Fei ( kx ωt )

三、群速度 实际大气中的扰动可以看成许多不同振幅、不同频率的简谐波叠加而成，这种合成波称为波群或波包 谐波分量之间位相会有差异，因而出现振幅相抵消或叠加的现象

廓线形状会发生改变 波群的传播速度与单个谐波的相速不同

群速：波群的传播速度

考虑两列振幅相同，频率和波数略有差异的简谐波振幅F,频率分别为ω δω,ω+δω,波数 k δk, k+δkf ( x, t )= F[ei[( k δk ) x (ω δω )t]+ ei[( k+δk ) x (ω+δω )t]] f ( x, t )= 2 F cos(δk x δω t )e i ( kx ωt )波包(wave packet)如果把波包视为无线电中的低频调幅波，那么合成波列就是高频载波L=

ω 2π,c= k k

Lm=cg==

2πδk

δω ω≈δk k

(ck ) k c=c+k k

四、频散关系式波动形式解：

2 2 a2 2= 0 t 2 x

( x, t )= Aei ( kx ωt )

对t和x求各阶微分：

2 n i ( kx ωt ) 2= iωAe= iω , 2= ( iω ) ,..... n= ( iω ) n t t t 2 n 2= ik , 2= (ik ) ,..... n= (ik ) n x x x得到如下符号关系式：

2 n 2 iω, 2 ( iω ),......, n ( iω ) n t t t 2 n 2 ik, 2 (ik ),......, n (ik ) n x x x利用符号关系式，可将求微分的运算化为代数运算。

2 2 例如，对于波动方程 a2 2= 0 t 2 x利用符号关系式：( iω ) 2 a 2 (ik ) 2 = 0 ( iω ) 2 a 2 (ik ) 2= 0 ω=± ak

表示频率和波数之间关系的式子——频散关系式ω= (k )由频散关系式容易求出相速、群速： ωω cg==±a c==±a k k c cg= c+ k k

相速与波数有关的波称为频散波，否则称为非频散波。

例：

2 2 2 a+ b 2 = 0 t 2 x 2

( iω ) 2 a 2 (ik ) 2+ b 2= 0 ω 2= a 2k 2+ b2

ω=± a 2k 2+ b2b2 c==± a2+ 2 k k

ω

与上例相比，由于考虑了地球自转效应，波动性质发生了变化，由非频散波变成频散波；由于考虑了地球大气的层结性和旋转效应，大气中的实际波动都是频散波。

五、n维平面波(1)n维平面波的表示i ( kx+ ly ωt )二维平面波： ( x, y, t )= Ae

位相：θ= kx+ ly ωt

( x1,..., xn, t )= Aei ( k x+...+ k x n维平面波：1 1

n n ωt )

n维平面波的位相：θ= K X ωt

= Aeiθ,

K= k1i1+ .....+ k n in X= x1i1+ .....+ xn in

波数矢

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