国家政策对数学应用性问题怎么解

2012年全国高考模拟参考部分

数学应用性问题怎么解

陕西永寿县中学 特级教师安振平

数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一, 也是考生失分较多的一种题型. 高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题.解答这类问题的要害是深刻理解题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型,这当中,函数,数列,不等式，排列组合是较为常见的模型,而三角,立几,解几等模型也应在复课时引起重视.

例1某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室。据调查统计，

每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？

讲解: 引入字母,转化为递归数列模型.

设第n次去健身房的人数为an，去娱乐室的人数为bn，则an?bn?150.

?an?929277an?1?bn?1?an?1?(150?an?1)?an?1?30即an?an?1?30. 10101010101077(an?1?100)，于是an?100?(a1?100)()n?1 101010?an?100?即 an?100?(7)n?1?(a1?100).

?liman?100.故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在100人左右.

n??上述解法中提炼的模型an?已知数列?an?的项满足

7an?1?30, 使我们联想到了课本典型习题（代数下册P.132第34题） 10a1?b,? ?

a?ca?dn?n?1其中c?0,c?1，证明这个数列的通项公式是

bcn?(d?b)cn?1?dan?.

c?1有趣的是, 用此模型可以解决许多实际应用题, 特别, 2002年全国高考解答题中的应用题(下文例9)就属此类模型.

例2 某人上午7时乘摩托艇以匀速V千米/小时（4≤V≤20）从A港出发前往50千米处的B港，然

后乘汽车以匀速W千米/小时（30≤W≤100）自B港向300千米处的C市驶去，在同一天的16时至21

时到达C市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x小时、y小时，若所需经费p?100?3(5?x)?2(8?y)元，那么V、W分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费.

讲解: 题中已知了字母, 只需要建立不等式和函数模型进行求解.

50由于y?及4?V?100,?2.5?y?12.5,同理3?x?10又9?x?y?14

VP?100?3(5?x)?2(8?y)?131?(3x?2y),令z?3x?2y.则z最大时P最小.

作出可行域，可知过点（10，4）时, z有最大值38， ∴P有最小值93，这时V=12.5，W=30.

视z?3x?2y这是整体思维的具体体现, 当中的换元法是数学解题的常用方法.

例3 某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决

定在24小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程。经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时。但是，除了有一辆车可以立即投入施工外，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆车到达并投入施工，而指挥部最多可组织25辆车。问24小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明理由.

讲解: 引入字母, 构建等差数列和不等式模型.

由20辆车同时工作24小时可完成全部工程可知，每辆车，每小时的工作效率为

1，设从第一辆车480投入施工算起，各车的工作时间为a1，a2，?, a25小时，依题意它们组成公差d??1（小时）的等差数列，

3且

a1?24,则有5aa1a1192.

?2???25?1,即(a1?a25)?25?480，化简可得2a1?8?548048048025解得a1?231,由于231?24.

可见a1的工作时间可以满足要求，即工程可以在24小时内完成.

对照此题与2002年全国高考文科数学解答题中的应用题, 你一定会感觉二者的解法是大同小异的. 学习数学就需要这种将旧模式中的方法迁移为解答新题的有用工具, 这要求你不断的联想, 力求寻找恰当的解题方案.

例4 某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(m2)的宿舍楼.已知土地

的征用费为2388元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍.经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）.

讲解: 想想看, 需要引入哪些字母? 怎样建构数学模型?

设楼高为n层，总费用为y元，则征地面积为2.5Am2，征地费用为5970A元，楼层建筑费用为

nn[445+445+（445+30）+（445+30×2）+?+445+30×（n－2）]·

A30?(15n??400)A元，从而 nn

y?5970A30A6000?15nA??400A?(15n??400)A?1000A（元） nnnn当且仅当15n?6000 , n=20（层）时，总费用y最少.

故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时, 最少总费用为1000A元.

实际应用题的数列模型是近两年高考命题的热门话题, 涉及到等差数列, 等比数列, 递归数列等知识点, 化归转化是解答的通性同法.

例5 在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，

其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人,从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.,问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？

讲解: 不妨画一个图形,将文字语言翻译为图形语言, 进而想法建立数学模型.

设船速为v，显然v?4km/h时人是不可能追上小船，当0?v?2km/h时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑2?v?4的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船。设船速为v，人追上船所用 时间为t，人在岸上跑的时间为kt(0?k?1)，则人在水中游的时间 为(1?k)t，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形.

B

?|OA|?4kt,|AB|?2(1?k)t,|OB|vt,由余弦是理得 |AB|2?|OA|2?|OB|2?2|OA|?|OB|?cos15?

即4(1?k)2t2?(4kt)2?(vt)2?2.4kt?vt?6?2

4整理得12k2?[2(6?2)v?8]k?v2?4?0.

vt

2(1－k)t

O 15° 4kt

A

2要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有0?v?4?1且??[2(6?2)v?8]2?4?12?(v2?4)?0

12解得2?v?22,即vmax?22km/h.

故当船速在(2,22]内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为

22km/h，由此可见当船速为2.5km/h时, 人可以追上小船.

涉及解答三角形的实际应用题是近年高考命题的一个冷点, 复课时值得关注. 例6 一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度 d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比.

（1）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？

（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？

l

d

a

ad2da2 讲解:（1）安全负荷y1?k?2(k为正常数） 翻转90?后,y2?k?2

ll?y1d?,?当0?d?a时,y1?y2，安全负荷变大.?4分当 0?a?d时,y2?y1，安全负荷变小. y2aa（2）如图，设截取的宽为a，高为d，则()2?d2?R2,即a2?4d2?4R2.

2 ∵枕木长度不变，∴u=ad2最大时，安全负荷最大. u?d2a2?d24R2?4d2?2d4(R2?d2)

?d2d2???(R2?d2)? 22?dd24??(R2?d2)?4?2?223??????3

d24336， ?R2?d2，即取d??R，当且仅当R293取a?2R2?d2?23R时，u最大， 即安全负荷最大. 3三次函数最值问题一般可用三元均值不等式求解, 如果学过导数知识, 其解法就更为方便, 省去了应用均值不等式时配凑“定和”或“定积”的技巧性.

例7 已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用

甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物 内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B. 维生素A（单位/千克） 维生素B（单位/千克） 成本（元/千克） （1）用x，y表示混合食物成本c元； （2）确定x，y，z的值，使成本最低.

讲解:（1）依题意得 c?11x?9y?4z,又x?y?z?100 ?c?400?7x?5y.

甲 600 800 11 乙 700 400 9 丙 400 500 4 ?4x?6y?320， ?3x?y?130?600x?700y?400z?56000,及z?100?x?y , 得 （2）由800x?400y?500z?63000?7x?5y?450. ?c?400?7x?5y?400?450?85,0

4x?6y?320,即x?50时等号成立., 当且仅当3x?y?130y?20 ∴当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低为850元.

线性规划是高中数学的新增内容, 涉及此类问题的求解还可利用图解法, 试试看.

例8 随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人（140<2a<420，

?

且a为偶数），每人每年可创利b万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员．．．1人，则留岗职员每人．．每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数．．

3，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？ 4 讲解 设裁员x人，可获得的经济效益为y万元,则

不得小于现有职员的

bx)?0.4bx y?(2a?x)(b?0.01b[x2?2(a?70)x]?2ab 1003依题意 2a?x≥?2a

4a ∴0

2又140<2a<420, 70

a(1)当0

2aa(2)当a?70>,即140

22 =? 综上所述，当70

a人. 2 在多字母的数学问题当中，分类求解时需要搞清：为什么分类？对谁分类？如何分类？ 例9 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?

讲解 设2001年末汽车保有量为b1万辆，以后各年末汽车保有量依次为b2万辆，b3万辆，??，每年新增汽车x万辆，则

b1?30，bn?1?0.94bn?x

所以，当n?2时，bn?0.94bn?1?x，两式相减得：bn?1?bn?0.94?bn?bn?1?

（1）显然，若b2?b1?0，则bn?1?bn?bn?bn?1???0，即bn???b1?30，此时

x?30?30?0.94?1.8.

（2）若b2?b1?0，则数列?bn?1?bn?为以b2?b1?x?0.06b1?x?1.8为首项，以0.94为公比的等比数列，所以，bn?1?bn?0.94??x?1.8?.

n（i）若b2?b1?0，则对于任意正整数n，均有bn?1?bn?0，所以，bn?1?bn???b1?30，此时，x?30?30?0.94?1.8.

（ii）当x?1.8万时，b2?b1?0，则对于任意正整数n，均有bn?1?bn?0，所以，

bn?1?bn???b1?30，

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ci4h.html