启恩2013届高三文科数学模拟卷一

启恩2013届高三文科数学模拟试卷一

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。 1．设复数z满足iz?1，其中i为虚数单位，则z?（ ） A.?i B.i C.?1 D.1 2．集合M?{x|lgx?0}，N?{x|x2?4}，则M?N?（ ） A.(1，2) B.[1，2) C.(1，2]

3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A.y?x?1

B.y??x3

C.y?D.[1，2]

1 x D.y?x|x|

4．双曲线?x??y???的实轴长是（ ）

A.2 B.?? C. 4 D.4? 5．阅读图1所示的程序框图，运行相应的程序，输出s值等于 A.?3 B.?10 C.0 D.?2 6．已知圆C:x2?y2?4x?0，l是过点P(3,0)的直线，则（ ） A.l与C相交 C.l与C相离

B.l与C相切 D.以上三个选项均有可能

图1

??7．设向量a?(1,cos?)与b?(?1,2cos?)垂直，则cos2?等于（ ）

A.21 B. C.0 D.?1 228．如图2，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）

A.6 B.9 C.?? D.??

2?lnx，则（ ） x11A.x?为f?x?的极大值点 B.x?为f?x?的极小值点

229．设函数f?x??C.x?2为f?x?的极大值点 D.x?2为 f?x?的极小值点

图2 10．小王从甲地到乙地的时速分别为a和b（a?b），其全程的平均时速为v，则（ ） A.a?v?ab B.v?ab C.ab?v?第 1 页 共 8 页

a?ba?b D.v? 22

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。 （一）必做题（11~13题）

?lgx,x?011．设f(x)??x，则f(f(?2))?__ ____.

10,x?0?12．如图3，点(x,y)在四边形ABCD内部和边界上运动， 那么2x?y的最小值为____ ____. 13．观察下列等式

1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49

照此规律，第五个等式应为_________ _________. （二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）

14.（坐标系与参数方程选做题）直线2?cos??1与圆??2cos?相交的弦长为 . 15.（几何证明选讲选做题）如图4，A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC?4,AD?BC,垂足为D,BE与AD相交与点F，则AF的长为 。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

图4

图3

16.（本大题满分12分）已知cos?x?????2??3?? ，x??,??? 。

4?10?24?(1)求sinx的值; (2)求sin?2x?

?????的值. 3?第 2 页 共 8 页

17.（本大题满分12分） 随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高（单位: cm）,获得身高数据的茎叶图如图5。

（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; （2）计算甲班的样本方差

（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率．

图5

18.（本大题满分14分）如图6，三棱锥S?ABC中，?ACB?90?,D为线段BC的中点，

BC?a，SD?平面ABC,AB=SC=5a 2（1）证明：AC?SB AC?（2）求点C到平面SAB的距离.

第 3 页 共 8 页

图6

19.（本大题满分14分）已知数列?an?的前n项和为Sn，对任意的n?N?，点?n,Sn?均在函数

f?x??2x的图像上.

(1)求数列?an?的通项公式； (2)记bn?log2an，求使

20.（本大题满分14分）已知椭圆C：

x2a2?y2b2?1(a?b?0)的长轴长为4.

111110??????成立的n的最大值. b2b4b4b6b6b8b2nb2n?221（1）若以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y?x?2相切，求椭圆焦点坐标； （2）若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆交于M,N两点，直线PM，PN的

1斜率乘积为?，求椭圆的方程.

4

21.（本大题满分14分）设f(x)??x3?1312x?2ax. 2（1）若f(x)在(,??)上存在单调递增区间，求a的取值范围； （2）当0?a?2时，f(x)在[1,4]上的最小值为?

2316，求f(x)在该区间上的最大值. 3第 4 页 共 8 页

启恩2013届高三文科数学模拟试卷一参考答案

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 A C D C A A C B D A 答案 必做题：11.?2 12. 1 13. 5?6?7?8?9?10?11?12?13?81（或5?6???13?81）

23 31?i1.【解析】选A，z????i

ii?(?i)2.【解析】选C,M??xx?1?，N??x?2?x?2?，则M?N??x1?x?2?

选做题：14.3 15.

3.【解析】选D,选项中是奇函数的有B、C、D，增函数有A、D

x2y2??1，则a2?4，a?2，2a?4. 4.【解析】选C，?x?y??可变形为

48??5.【解析】选A，可以列表如图， 1 循环次数 初始 s 1 1 k 1 2 易知结果为－3.故选A. 6.【解析】选A, 点P(3,0)在圆内，则l必与C相交

2 0 3 3 －3 4 ????7.【解析】选C,∵向量a与b垂直，∴a?b?0，即1???1??cos??2cos??0，

∴2cos??1． ∴cos2??2cos??1?0．

8.【解析】选B，由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3，所以几何体的体积为

2211V???6?3?3?9,选B.

3221x?29.【解析】选D,f'?x???2??2，令f'?x??0，则x?2．

xxx 当x?2时，f'?x???21x?221x?2； 当时，???0f'x????2?0． x?2??222xxxxxx 即当x?2时，f?x?是单调递减的；当x?2时，f?x?是单调递增的． 所以x?2是f?x?的极小值点．故选D． 10.【解析】选A,设从甲地到乙地的全程为s，则v?2sss?ab?2ab．∵0?a?b，∴a?b?2b，a?b2aba?b?2ab，所以2ab?2ab?2ab， 则a??ab，即a?v?ab．故选A．

a?b2ba?b2ab第 5 页 共 8 页

11.【解析】?2，∵x??2?0，∴f(?2)?10?2?1?0，所以f(10?2)?lg10?2??2，即100f(f(?2))??2．

12.【解析】1，目标函数z?2x?y，当x?0时，z??y，所以当y取得最大值时，z的值最小；移动直线2x?y?0，当直线移动到过点A时，y最大，即z的值最小，此时z?2?1?1?1． 13.【解析】5?6?7?8?9?10?11?12?13?81（或5?6???13?81），把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n，加数的个数是2n?1；等式右边都是完全平方数，

行数 等号左边的项数

1=1 1 1 2+3+4=9 2 3 3+4+5+6+7=25 3 5 4+5+6+7+8+9+10=49 4 7

2则第5行等号的左边有9项，右边是9的平方，所以5?6???[5?(2?5?1)?1]?9， 即5?6???13?81．

2214.【解析】3，直线2?cos??1与圆??2cos?的普通方程为2x?1和(x?1)?y?1，圆心到

直线的距离为1?15.【解析】

111?，所以弦长为21?()2?3.

22223连接AB,AO，则依题意知?ABC是等边三角形，连AE，由?AEF∽?DBF知32323。 AF?2DF?AD,AD??2?3,故AF?3232221cosx?sinx?,cosx?sinx? …………2分 16. 解：（1）由题设得2210543222又sinx?cosx?1,从而25sinx?5sinx?12?0,解得sinx?或sinx??.…………4分

55?3?4因为x?(, …………6分 )，所以sinx?

245?3?43（2）由（1）知x?(,)，sinx?，故cosx??1?sin2x?? …………8分

2455247 …………10分 sin2x?2sinxcosx??,cos2x?cos2x?sin2x??

2525???24?73所以sin(2x?)?sin2xcos?cos2xsin?? …………12分

3335017．解：（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160:179之间，而乙班身高集中于170:180 之间。

因此乙班平均身高高于甲班; （2） x?

……………2分

158?162?163?168?168?170?171?179?179?182?170 ……………4分

10122222甲班的样本方差为[(158?170)??162?170???163?170???168?170???168?170?

1022222??170?170???171?170???179?170???179?170???182?170?]＝57 …………7分

（3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173）；（181，176）；（181，178）；（181，179）；（179，173）；（179，176）；

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（179，178）；（178，173）；（178, 176）；（176，173）共10个基本事件， ………………10分

而事件A含有4个基本事件；?P?A??42? 105 ………………12

分

18.（1）证明：由SD?平面ABC，AC?平面ABC，则SD?AC, ………………2分 又由?ACB?90知AC?BC,CD?SD?D,故AC?平面SCB， ………………4分 又SB?平面SCB,所以AC?SB. ………………6分 (2)解：SD??1SC2?CD2?5a2?a2?2a，S?ABC??AC?BC?a2 ………………8分

221a2 ………………11分 2SA?AD2?SD2?a2?a2?4a2?6a，又SB?AB?SC?5a ………………9分

S?SAB116a2??SA?hD??6a?(5a)2?()?222由等体积法知VS?ABC分

12121a211?hC…12?VC?SAB,?S?ABC?SD??S?SAB?hC即?a?2a??33233421421a. ………………14分 所以点C到平面SAB的距离为a，

2121nn?119.解：（Ⅰ）由题意得 Sn?2 ，则 Sn?1?2(n?2) ………………1分

故hC? 所以an?Sn?Sn?1?2?2nn?1?2n?1(n?2) ………………3分

?2 n?1 又a1?S1?2 所以an??n?1 ………………5分

2 n?2??1 n?1b?loga? ………………7分 （Ⅱ）因为n?2n?n?1 n?2111111?1) 1??( ? ? ? 1………………9分 ??b2nb1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1111bbbbbb2n?2bnb2n?22?????244668bbbbbbb2nb2n?21111111241461681?(1???????)11分 ????? 则……1111112)335n2?1n?21b2bb?bbnb2n???4(1?68???46?bb2223352n?12n1?11111111?(1?)?(11??1?????) n 2 1 n ? 2 1 2 n ? 1 ………………12分 ?(1?233)5?222n?111?12(1?21n?1)10)?得n?10 ………………13分 所以(1?22n?121所以

111110??????所以使成立的n的最大值为9. ………………14分 b2b4b4b6b6b8b2nb2n?22120.解：（1）由直线与圆相切知：

21?1?b，得b?2 …………………2分

由2a?4，得a?2，则c2?a2?b2?4?2?2 …………………4分 ∴两个焦点坐标为(?2,0),(2,0) …………………6分

第 7 页 共 8 页

（2）由于过原点的直线L与椭圆的两个交点关于原点对称，不妨设：M(x0,y0),N(?x0,?y0),P(x,y) ?x2y2?2?2?1?ab ∵M,P在椭圆上，∴满足?2，相减得:2xy?00??1?a22b?y?y0 由题意知PM,PN斜率存在，则kPM?,kPN?x?x02y2?y0x2?x022??b2a2 ……………8分

y?y0 …………10分 x?x0 kPM?kPNy?y0y?y0y2?y0b21???2???? 22x?x0x?x04ax?x0 …………12分

x2 由a?2，得b?1，∴所求的椭圆方程为?y2?1 ……………………………14分

4

21.解：（1）f(x)在(,??)上存在单调递增区间，即存在某个子区间(m,n)?(,??) 使得

232311f'(x)?0.由f'(x)??x2?x?2a??(x?)2??2a， …………2

24分

22f'(x)在区间[,??)上单调递减，则只需f'()?0即可。 …………3分

3321'2由f()??2a?0解得a??， …………4分 39912所以当a??时，f(x)在(,??)上存在单调递增区间. …………5分

931?1?8a1?1?8a'（2）令f(x)?0，得两根x1?，x2?…………7分

22

所以f(x)在(??,x1)，(x2,??)上单调递减，在(x1,x2)上单调递增 …………9分 当0?a?2时，有x1?1?x2?4，所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2) ……11分

27?6a?0，即f(4)?f(1) ……12分 24016所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)?8a???，得a?1，x2?2，……13分

3310从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)?. ………………14分

3又f(4)?f(1)??

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