二阶Camassa Holm方程行波解的稳定性及性质

二阶Camassa Holm方程行波解的稳定性及性质

第２８卷第１期Ｖｏｌ２８Ｎｏ１江苏科技大学学报（自然科学版）　　Ｆ

ｅｂ．２０１４２０１４年２月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉａｎｇｓｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）　　　　　　

ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３－４８０７．２０１４．０１．０１７

二阶ＣａｍａｓｓａＨｏｌｍ方程行波解的稳定性及性质

安　荣，丁丹平

（江苏大学理学院，江苏镇江２１２０１３）

摘　要：文中通过二阶ＣａｍａｓｓａＨｏｌｍ方程的守恒量及行波解的显示表示，研究了二阶ＣａｍａｓｓａＨｏｌｍ方程行波解的稳定性，并进一步研究了行波解的零值分布，进而更好地刻画了行波解．关键词：行波解；轨道稳定性；零值分布

中图分类号：Ｏ１７５２９　　　　　文献标志码：Ａ　　　　　文章编号：１６７３－４８０７（２０１４）０１－００９３－０５

Ｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｔｒａｖｅｌｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏｔｈｅ

ｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒＣａｍａｓｓａＨｏｌｍｅｑｕａｔｉｏｎ

ＡｎＲｏｎｇ，ＤｉｎｇＤａｎｐｉｎｇ

（ＦａｃｕｌｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＪｉａｎｇｓｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ＺｈｅｎｊｉａｎｇＪｉａｎｇｓｕ２１２０１３，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＢａｓｅｄｏｎｃｏｎｓｅｒｖｅｄｑｕａｎｔｉｔｉｅｓａｎｄｄｉｓｐｌａｙｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｔｒａｖｅｌｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒＣａｍａｓｓａＨｏｌｍｅｑｕａｔｉｏｎ，ｔｈｅｐａｐｅｒｓｔｕｄｉｅｓｏｒｂｉｔａｌｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄｚｅｒｏｓｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｔｒａｖｅｌｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒＣａｍａｓｓａＨｏｌｍｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｎｄｔｈｕｓｂｅｔｔｅｒｄｅｐｉｃｔｕｒｅｓｔｈｅｔｒａｖｅｌｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｒａｖｅｌｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｏｒｂｉｔａｌｓｔａｂｉｌｉｔｙ；ｚｅｒｏｓｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎＡｄｒｉａｎＣｏｎｓｔａｎｔｉｎ和ＢｏｒｉｓＫｏｌｅｖ在进　　２００３年，行单位圆微分同胚群上的测地流时，首先得到了高阶ＣａｍａｓｓａＨｏｌｍ方程，具体形式如下：

ｕ＝Ｂ（ｕ，ｕ）ｔｋ

－１

式中：ｋ０｝，ｕ＝Ｂ（ｕ，ｕ）：＝Ａ（ｕ）－∈｛∪ＮｔｋｋＣｋｕｕ，ｘ

ｋ

ｊ２ｊ

Ａ（ｕ）：＝∑（－１），ｋｘｕ

ｊ＝０

ａｍａｓｓａＨｏｌｍ方程和高阶双组份理证明了高阶Ｃ

ＣａｍａｓｓａＨｏｌｍ方程解的存在唯一性及连续性解的局部适定性定理，得到了方程的守恒量和解的先验估计，在此基础上得到解的整体存在性，另外还得到高阶双组份ＣａｍａｓｓａＨｏｌｍ方程的爆破理论．当ｋ＝２时，高阶ＣａｍａｓｓａＨｏｌｍ方程的具体形式如下：

ｕ３ｕｕｕｕｔ－ｕｘｘｔ＋ｕｘｘｘｘｔ＋ｘ－ｕｘｘｘ＋ｕｘｘｘｘｘ－２ｕｕ２ｕｕ（１）ｘｘｘ＋ｘｘｘｘｘ＝０

４］

行波解为［

Ｃ：＝－ｕＡ（ｕ）＋Ａ（ｕｕ）－２ｕＡ（ｕ）．ｋｋｘｋｘｘｋ

文献［１］研究了高阶ＣａｍａｓｓａＨｏｌｍ方程的全局适文献［２］研究了高阶ＣａｍａｓｓａＨｏｌｍ方程定性．

Ｃａｕｃｈｙ问题全局解的存在性．通过对局部频率方ａｍａｓｓａＨｏｌｍ方程程采用小粘度方法确定了高阶Ｃ

ｋ

有全局解，即若ｕＲ），且ｘ∈Ｒ，ｕ（ｘ）都０∈Ｈ（０

１

（ｘ，ｔ）＝（ｃｃｏ（ｘ－ｃｔ）＋φ１

２

１－ｘ－ｃｔ）｜ｃｓｉ（ｘ－ｃｔ））ｅ２

２

（２）

ｃｃ．文献［５］中对著名的非线性哈密顿式中：１２＝０系统

ｄｕ＝ＪＥ（ｕ（ｔ））

ｄｔ

进行理论的总结，提出了孤立波轨道稳定性理论．

为有限频段，即存在Ｍ＞０，使得Ｐ＞Ｍｕ，则高０＝０Ｈ方程有全局解：阶Ｃ

ｋ－１１ｋ１∞

ｕ（［０，；Ｈ（Ｒ））∩Ｌ（［０，；Ｈ（Ｒ））∈Ｃ∞）∞）并且全局解是能量守恒的．文献［３］中利用Ｋａｔｏ定

收稿日期：２０１３－０９－２６

作者简介：安荣（１９８６—），女，硕士，研究方向为偏微分方程．Ｅｍａｉｌ：ａｎ＿ｌｉｋｅ＠ｙｅａｈ．ｎｅｔ

二阶Camassa Holm方程行波解的稳定性及性质

２

２

ｘｘｘ

ｘｘｘ

ｘｘｘ

文献［６］中研究了ＣＨ方程孤立尖波解的稳定性问

１题，利用它的两个守恒量，证明了孤立尖波在Ｈ

范数意义下是轨道稳定的，受此启发，文中研究了

２

１）的行波解在Ｈ范数意义下的稳定性；并方程（

对行波解在某一个时刻的零点分布研究，得到了行波解的零值分布．

ｗｗｄｘ＋∫ｗφｄｘ＋∫ｗｗｄｘ－φ∫

ｗφｄｘ－∫ｗｗｄｘ－∫ｗｗｄｘ＋φ∫２ｗｄｘ＋２ｗｗφｄｘ＋２ｗｗｗｄｘ－φｗ∫∫∫２ｗｘ－２ｗｗφｄｘ－２ｗｗｗｄｘφｗｄ≤∫∫∫

２

２

ｘｘｘｘ

ｘｘｘｘｘ

ｘｘｘｘｘ

ｘ

ｘｘ

ｘｘｘ

ｘｘｘ

ｘｘｘｘｘ

ｘｘｘｘｘ

ｘｘｘｘｘ

１　行波解的稳定性

［７－１４］２

定理１：若ｖ［０，Ｔ）；Ｈ（Ｒ））是方程∈（

（１）的一个解，如果有‖ｖ（０，·）－φ，‖Ｈ２＜δδ＞１１５

‖φ‖Ｌ‖φ‖Ｌ‖φｘ‖Ｌ∞＋∞∞＋ｘｘｘｘ２２ｘ

２

‖φ‖Ｌ‖φ‖Ｌ‖ｗ‖Ｌ２＋∞＋∞）ｘｘｘｘｘｘｘｘｘ

１

０，则有‖ｖ（ｔ，·）－φ（·－ｃｔ）‖Ｈ２＜ε

．注：在初始时刻接近行波的解，在它的存在时间内，必然与该行波的某个平移充分接近．

ｖ（ｘ，ｔ）是方程（１）的一个解，φ（ｘ，ｔ）是方程（

１）的行波解．记：ｖ－φ＝ｗ，则ｖ＝φ＋ｗ

（３）

将式（３）代入方程（１）可得：

（φ＋ｗ）ｔ－（φ＋ｗ）ｘｘｔ＋（φ＋ｗ）ｘｘｘｘｔ＋３（φ＋ｗ）（φ＋ｗ）ｘ－（φ＋ｗ）（φ＋ｗ）ｘｘｘ＋（φ＋ｗ）（φ＋ｗ）ｘｘｘ－２（φ＋ｗ）ｘ（φ＋ｗ）ｘｘ＋２（φ＋ｗ）ｘ（φ＋ｗ）ｘｘｘｘ＝０（４）因为φ（ｘ，ｔ）是方程（１）的行波解，则

φｔ－φｘｘｔ＋φｘｘｘｘｔ＋３φφｘ－φφｘｘｘ＋φφｘｘｘｘｘ－２φｘφｘｘ＋２φｘφｘｘｘｘ＝０（５）由式（４，５）可得

ｗｔ－ｗｘｘｔ＋ｗｘｘｘｘｔ＋３φｗｘ＋３ｗφｘ＋３ｗｗｘ－φｗｘｘｘ－ｗφｘｘｘ－ｗｗｘｘｘ＋ｗφｘｘｘｘｘ＋φｗｘｘｘｘｘ＋ｗｗｘｘｘｘｘ－２φｘｗｘｘ－２ｗｘφｘｘ－２ｗｘｗｘｘ＋２φｘｗｘｘｘｘ＋２ｗｘφｘｘｘｘ＋２ｗｘｗｘｘｘｘ＝０

（６）用ｗ对式（６）在Ｒ上做内积，得到：ｄｄ

ｔ（‖ｗ‖２２２Ｌ２＋‖ｗｘ‖Ｌ２＋‖ｗｘｘ‖Ｌ２）＝－３∫φｗｗｘｄｘ－３∫ｗ２φ∫

２ｘｄｘ－３ｗｗｘ

ｄｘ＋∫φｗｗｄｘ＋∫ｗ２

φｄｘ＋∫ｗ２

ｘｘｘ

ｘｘｘ

ｗｘｘｘ

ｄｘ－∫ｗ２

φｄｘ－∫φｗｗｄｘ－∫ｗ２

ｘｘｘｘ

ｘｘｘｘｘ

ｗｘｘｘｘｘ

ｄｘ＋２∫φｘ

ｗｗｘｘ

ｄｘ＋２∫ｗｗｘφｘｘ

ｄｘ＋２∫ｗｗｘｗｘｘ

ｄｘ－２∫ｗφｘｗｘｘｘｘ

ｄｘ－２∫ｗｗｘφｘｘｘｘ

ｄｘ－２∫

ｗｗｘｗｘｘｘｘ

ｄｘ（７）

根据Ｈｏｌｄｅｒ不等式、施瓦茨不等式、Ｙｏｕｎｇ不等式对下面的式子进行范数估计，得到：

－３∫φｗｗｘｄｘ－３∫ｗ２φ２

ｘｄｘ－３∫

ｗｗｘ

ｄｘ＋（２‖ｗ‖Ｌ∞＋２‖φ‖Ｌ∞２‖φｘ‖Ｌ

∞＋３‖φｘｘ‖∞＋‖φｘｘｘｘ‖２

ＬＬ∞）‖ｗｘ

‖Ｌ２＋（２‖ｗ‖１

Ｌ∞２‖φ‖Ｌ∞＋４‖φｘ

‖Ｌ∞＋３‖φｘｘ‖Ｌ∞３２

２

‖φｘｘｘ‖Ｌ∞）‖ｗｘｘ

‖Ｌ２（８）由式（７，８）得到：

ｄｄｔ（‖ｗ‖２２２Ｌ２＋‖ｗｘ‖Ｌ２＋‖ｗｘｘ‖Ｌ２）≤１１２

‖φｘ‖＋５Ｌ∞‖φｘｘ‖Ｌ∞２‖φｘｘｘ

‖Ｌ∞＋‖φｘｘｘｘ‖２

Ｌ∞＋‖φｘｘｘｘｘ

‖Ｌ∞）‖ｗ‖Ｌ２＋（２‖ｗ‖Ｌ∞＋２‖φ‖１

Ｌ∞２‖φｘ‖Ｌ

∞＋３‖φｘｘ‖２

Ｌ∞＋‖φｘｘｘｘ‖Ｌ∞）‖ｗｘ

‖Ｌ２＋（２‖ｗ‖１

Ｌ∞２‖φ‖Ｌ∞＋４‖φｘ

‖Ｌ∞＋３‖φ３２

ｘｘ‖Ｌ∞２‖φｘｘｘ‖Ｌ∞）‖ｗｘｘ

‖Ｌ２（９）对‖φ‖Ｌ∞，‖φｘ‖Ｌ∞，‖φｘｘ‖Ｌ∞，‖φｘｘｘ

‖Ｌ∞，‖φｘｘｘｘ‖Ｌ∞，‖φｘｘｘｘｘ

‖Ｌ∞，‖ｗ‖Ｌ∞做范数估计：φ（ｘ，ｔ）＝（ｃ１ｃｏ１１

２（ｘ－ｃｔ）＋ｃ２

ｓｉ２

（ｘ－ｃｔ））ｅ

－ｘ－ｃｔ）｜‖φ‖Ｌ∞＝ｅｓｓｓｕｐ｜φ｜≤｜ｃ１｜＋｜ｃ２｜

φｘ＝

－１

２ｃ１２ｃ２）ｓｉ１２（ｘ－ｃｔ）＋ ｘ－ｃｔ）　ｘ≥ｃｔ （１１

２ｃ１２ｃ２）ｃｏ２

（ｘ－ｃｔ） －１ ２ｃ１２ｃ２）ｓｉ１２（ｘ－ｃｔ）＋ （ｘ－ｃ ２ｔ）　ｘ＜ｃｔ ２ｃ１１２ｃ２）ｃｏ１

２（ｘ－ｃｔ） ‖φｘ‖Ｌ∞＝ｅｓｓｓｕｐ｜φ＋１ｘ｜≤２｜ｃ１｜＋１２

｜ｃ２｜φｘｘ＝

二阶Camassa Holm方程行波解的稳定性及性质

１１ ｃｃ）ｓｉ（ｘ－ｃｔ）＋１２ ２２２ｘ－ｃｔ）　ｘｔ≥ｃ

１ １ｃ ｃ）ｃｏ（ｘ－ｃｔ） １２ ２２２

１ －ｃ ｓｉ（ｘ－ｃｔ）－２ ２ ｘ－ｃｔ）（　ｘ＜ｃｔ １ ｃｃｏ（ｘ－ｃｔ） （１ ２ｓｓｓｕｐ｜ｃ＋｜ｃ‖φ‖Ｌφ≤｜∞＝ｅｘｘｘｘ｜１｜２｜

（０）‖ｖ‖Ｈ２＝‖ｖ‖Ｈ２

２∞

将Ｌ嵌入到Ｈ中可得：

ｍ与ｘ无关）‖ｗ‖Ｌ‖ｗ‖Ｈ２　（∞≤ｍ

ｗ＝ｖ－φ｜ｖ｜－｜ｗ｜ｖ｜＋｜φ｜≤｜≤｜φ｜

（０）‖ｗ‖Ｈ２≤‖φ‖Ｈ２＋‖ｖ‖Ｈ２＝‖φ‖Ｈ２＋（０）‖ｖ‖Ｈ２

（０）（０）‖ｗ‖Ｌ‖φ‖Ｈ２＋ｍ‖ｖ‖Ｈ２∞≤ｍ

φｘｘｘ＝ （－ｃ１ｃ２）ｓｉ１（ｘ－ｃｔ）＋ ｘ ２２（－ｃｔ） １１ 　ｘ≥ｃｔ

２ｃ２－ｃｏ２（ｘ－ｃｔ） １２ｃ１２ｃ２）ｓｉ１２（ｘ－ｃｔ）＋ ｘ－ｃｔ）

　ｘ＜ｃｔ （１２ｃ１２ｃ２）ｃｏ１２（ｘ－ｃｔ） ‖φｘｘｘ‖Ｌ∞＝ｅｓｓｓｕｐ｜φ＋１ｘｘｘ｜≤２｜ｃ１｜＋１２｜ｃ２｜φｘｘｘｘ＝ ｃ１－ｃ１２）ｓｉ（ｘ－ｃｔ）－ ２２ｘ－ｃｔ） （　ｘ≥ｃｔ １ｃ１－ｃｏ１（ｘ－ｃｔ）

２２ ２ｃ１－ｃ２）ｓｉ１（ｘ－ｃｔ）－ ２ｘ－ｃｔ） １　ｘ＜ｃｔ２ｃ１

ｃｏ１ ２（ｘ－ｃｔ）－ ‖φｘｘｘｘ‖Ｌ∞＝ｅｓｓｓｕｐ｜φ＋１

ｘｘｘｘ｜≤２

｜ｃ１｜＋｜ｃ２｜φｘｘｘｘｘ＝ （１２ｃ１２ｃ２）ｓｉ１２（ｘ－ｃｔ）＋ （ｘ－ｃｔ）　ｘｔ

ｃ１１ ≥ｃ１ｃ２）ｃｏ（ｘ－ｃｔ）

２２２ （ｃ１２２）ｓｉ１２（ｘ－ｃｔ）－ ｘ－ｃｔ）　ｘ＜ｃｔ １２ｃ２ｃｏ１ ２（ｘ－ｃｔ） ‖φｘｘｘｘｘ‖Ｌ∞＝ｅｓｓｓｕｐ｜φｘｘｘｘｘ｜≤＋１２｜ｃ１｜＋＋１２

｜ｃ２｜因为Ｈ＝∫

ｖ２＋ｖ２＋２

ｘｖｘｘ

ｄｘ是方程（１）的守衡量所以

‖φ‖Ｈ２＝‖φ（０）‖Ｈ２

取Ｍ＝ｍａｘ

{１１

５

２

‖φｘ

‖Ｌ

∞＋‖φｘｘ

‖Ｌ∞＋２‖φｘ

ｘｘ

‖Ｌ∞＋‖φｘｘｘｘ‖Ｌ∞＋‖φｘｘｘｘｘ

‖Ｌ∞，２‖ｗ‖Ｌ∞＋２‖φ‖Ｌ∞＋１

２‖φｘ‖Ｌ

∞＋３‖φｘｘ‖Ｌ∞＋‖φｘｘｘｘ

‖Ｌ∞，２‖ｗ‖Ｌ∞＋１

２

‖φ‖Ｌ∞＋４‖φｘ‖Ｌ∞＋３‖φｘｘ

‖Ｌ∞＋３

２‖φｘ

ｘｘ‖Ｌ∞}

（１０）

由式（

９，１０）得到：ｄｄｔ

（‖ｗ‖２２＋‖ｗｘ‖２２

ＬＬ２＋‖ｗｘｘ‖Ｌ２≤Ｍ‖ｗ‖２２Ｌ２＋Ｍ‖ｗｘ‖Ｌ２＋Ｍ‖ｗ２ｘｘ‖Ｌ２＝Ｍ（‖ｗ‖２２２Ｌ２＋‖ｗｘ‖Ｌ２＋‖ｗｘｘ

‖Ｌ２）即：

ｄｄｔ

‖ｗ‖２２

Ｈ２≤Ｍ‖ｗ‖Ｈ２由Ｇｒｏｗｎｗａｌｌ不等式可得：

ｔ

‖ｗ‖２Ｍｄｔ‖２Ｈ２≤ｅ∫０‖ｗ（０）Ｈ２

即：

‖ｗ‖２

∫ｔ

Ｈ

２≤ｅ０Ｍｄｔ‖ｗ（０）‖Ｈ２

取　δ＝ε

ｅ

∫ｔ

０Ｍｄｔ可得：

‖ｗ‖２Ｈ２≤ε

即：

‖ｖ（ｔ，·）－φ（·ｃｔ）‖Ｈ２＜ε

因此，称φ（ｘ，ｔ）是轨道稳定的．

２　二阶ＣａｍａｓｓａＨｏｌｍ方程行波解的零值分布

当ｋ＝２时，高阶Ｃａｍａｓｓａ－Ｈｏｌｍ方程行波解：

φ（ｘ，ｔ）＝（ｃ１ｃｏ１１

２（ｘ－ｃｔ）＋ｃ２

ｓｉ２

（ｘ－ｃｔ））ｅ－（ｘ－ｃｔ）｜　　ｃ１ｃ２＝０

式中：ｃ为波速．

二阶Camassa Holm方程行波解的稳定性及性质

令ｔ＝ｔ０

１１（ｘ，ｔ）＝（ｃｃｏ（ｘ－ｃｔ）＋ｃｓｉｎ（ｘ－φ０１０２

２２

－ｘ－ｃｔ）｜０（ｃｔ））ｅ　　ｃｃ０１２＝０

）当ｃ，ｃ时，不妨设ｃ，１１＝０２≠０２＞０ｄφ

＝ｄｘ

{

１５ｘ－ｃｔ）０ｃｓｉｎ（ｘ－ｃｔ）π）　ｘ－ｃｔ２００≥０２６１１ｘ－ｃｔ）０（ｃｓｉｎ（ｘ－ｃｔ）π）　ｘ－ｃｔ２００＜０２６

图１　ｃ，ｃ时，（ｘ，ｔ）φ１＝０２＞００

Ｆｉｇ．１　Ｆｉｇｕｒｅｏｆ（ｘ，ｔ）ａｔｃ，ｃφ０１＝０２＞０

以上可以得到：

{５３π＋４ｋπ≤ｘ－ｃｔ１

０≤３

π＋４ｋπ，ｘ－ｃｔ０≥０｝∪｛ｘ｜１３３π＋４ｋπ≤ｘ－ｃｔ７０≤３π＋４ｋπ，ｘ－ｃｔ０≤０

}

（ｋ为整数），φ（ｘ，ｔ０

）是递增的．{１３π＋４ｋπ≤ｘ－ｃｔ７

０≤３

π＋４ｋπ，ｘ－ｃｔ０

≥０｝∪｛ｘ｜７３π＋４ｋπ≤ｘ－ｃｔ≤１０３π＋４ｋπ，ｘ－ｃｔ０≤０

}

（ｋ为整数），φ（ｘ，ｔ０）是递减的．则ｃ１＝０，ｃ２＞０，ｘ－ｃｔ０≥０

时，ｘ＝２ｎπ＋ｃｔ０（ｎ为自然数）是φ（ｘ，ｔ０）的零点．ｄｄｘ＝０时，ｘ＝１３

π＋２ｋπ＋ｃｔ０，ｋ＝２ｎ（ｎ为自然数），则ｘ１３π＋４ｎπ＋ｃｔ０为φ（ｘ，ｔ０

）的极大值点；ｋ＝２ｎ＋１（ｎ为自然数）时，ｘ＝１

３

π＋（

４ｎ＋２）π＋ｃｔ０为φ（ｘ，ｔ０

）的极小值点．ｃ１＝０，ｃ２＞０，ｘ－ｃｔ０＜０

时，ｘ＝２ｎπ＋ｃｔ０（ｎ为整数）是φ（ｘ，ｔ０

）的零点．ｄφ

ｄｘ＝０时，ｘ＝１３

π＋２ｋπ＋ｃｔ０，ｋ＝２ｎ（ｎ为整数）时，ｘ＝１３π＋４ｎπ＋ｃｔ０为φ（ｘ，ｔ０

）的极小值点；ｋ＝２ｎ－１（ｎ为整数）时，ｘ＝１３π＋（４ｎ－

２）π＋ｃｔ０为φ（ｘ，ｔ０

）的极大值点．以ｘ，φ（ｘ，ｔ０）建立直角坐标系，ｃ１＝０，ｃ２＞０时，φ（ｘ

，ｔ０

）图像见图１．当ｃ１＝０，ｃ２＞０时，φ（ｘ，ｔ０

）的零点，极值点是相间的，从而得到行波解φ（ｘ，ｔ）的零值，极值是相间的．

２）当ｃ１≠０，ｃ２＝０时，不妨设ｃ１＞０，ｄφ

ｄｘ

＝{

－ｃ１１（ｘ－ｃｔ０）ｓｉｎ２（ｘ－ｃｔ０））１３π）　ｘ－ｃｔ０≥０－ｃ１２ｘ－ｃｔ０）ｓｉｎ１２（ｘ－ｃｔ１０））３

π）　ｘ－ｃｔ０＜０{４３π＋４ｋπ≤ｘ－ｃｔ１０

０≤３π＋４ｋπ，ｘ－ｃｔ０≥０}

∪{４３π＋４ｋπ≤ｘ－ｃｔ２０≤３

π＋４ｋπ，ｘ－ｃｔ０≤０}

（ｋ为整数），φ（ｘ，ｔ０

）是递增的．{２３π＋４ｋπ≤ｘ－ｃｔ０

≤４

３π＋４ｋπ，ｘ－ｃｔ≥０}∪{１００

３π＋４ｋπ≤ｘ－ｃｔ０

≤２

３π＋４ｋπ，ｘ－ｃｔ０

≤０}

（ｋ为整数），φ（ｘ，ｔ０

）是递减的．当ｃ１＞０，ｃ２＝０，且ｘ－ｃｔ０≥０时，φ（ｘ，ｔ０）＝０时，ｘ＝（２ｋ＋１）π＋ｃｔ０

（ｋ为自然数），则ｘ＝（２ｋ＋１）π＋ｃｔ０是φ（ｘ，ｔ０

）的零点．ｄφ

ｄｘ＝０时，ｘ＝２３

π＋２ｋπ＋ｃｔ０，ｋ＝２ｎ（ｎ为自然数），ｘ＝２３π＋４ｎπ＋ｃｔ０为φ（ｘ，ｔ０

）的极大值点；ｋ＝２ｎ＋１（ｎ为自然数），ｘ＝２３π＋（４ｎ＋２）π

＋ｃｔ０为φ（ｘ，ｔ０

）的极小值点．ｃ１＞０，ｃ２＝０，ε＜０时，φ（ｘ，ｔ０

）＝０时，

二阶Camassa Holm方程行波解的稳定性及性质

ｘ＝（２ｋ＋１）ｔ（ｋ为整数），则ｘ＝（２ｋ＋π＋ｃ０

１）ｔ（ｘ，ｔ）的零点．π＋ｃ０是φ０

ｄ２φ

＝０时，ｘ＝＋２ｋｔ，π＋ｃ０ｄｘ３

２ｋ＝２ｎ（ｎ为整数）时，则ｘ＝π＋４ｎｔπ＋ｃ０

３为φ（ｘ，ｔ）的极大值点；０

２

ｋ＝２ｎ－１（ｎ为整数）时，π＋（４ｎ－２）π

３＋ｃｔ（ｘ，ｔ）的极小值点．０为φ０

Ｄ］．江苏镇江：江苏大学，２０１０：１１－１８．［

［３］　张榀．一类高阶浅水波方程的适定性和爆破理论［４］　薛丰刚．高阶ＣａｍａｓｓａＨｏｌｍ方程的行波解［Ｄ］．江苏

镇江：江苏大学，２０１３：８－２８．

［５］　ＧｒｉｌｌａｋｉｓＭ，ＳｔａｔａｈＪ，ＳｔｒａｕｓｓＷ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙｔｈｅｏｒｙｏｆｓｏｌｉ

［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆｔａｒｙｗａｖｅｓｉｎｔｈｅｐｒｅｓｅｎｃｅｏｆｓｙｍｍｅｔｒｙＦｕｎｃｔｉｏｎａｌＡｎａｌｙｓｉｓ，１９８７，７４（１）：１６０－１９７．

［６］　ＣｏｎｓｔａｎｔｉｎＡ，ＳｔｒａｕｓｓＷ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｐｅａｋｏｎ［Ｊ］．Ｃｏｍ

ｍｕｎＰｕｒｅＡｐｐｌＭａｔｈ，２０００，５３：６０３－６１０．

［７］　ＣｏｎｓｔａｎｔｉｎＡ，ＥｓｃｈｅｒＪ．Ｇｌｏｂａｌｅｘｉｓｔｅｎｃｅａｎｄｂｌｏｗｕｐｆｏｒ

ａｓｈａｌｌｏｗｗａｔｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＡｎｎａｌｉｄｅｌｌａＳｃｕｏｌａＮｏｒ以ｘ，φ（ｘ，ｔ０）建立直角坐标系，ｃ１＞０，ｃ２＝０时，φ（ｘ，ｔ０

）图像见图２

．图２　ｃ１＞０，ｃ２＝０时，φ（ｘ，ｔ０

）Ｆｉｇ．２　Ｆｉｇｕｒｅｏｆφ（ｘ，ｔ０）ａｔｃ１＞０，ｃ２＝０

以上可以得到：

当ｃ１＞０，ｃ２＝０时，φ（ｘ，ｔ０

）零点、极值点是相间的，从而得到行波解φ（ｘ，ｔ）的零值、极值是相间的．

参考文献（Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ）

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理论与应用，２００３，２３：１－１０．

ＹａｎｇＬｉｎｇｅ，ＧｕｏＢｏｌｉｎｇ．Ｉｎｉｔｉａｌｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｓｈａｌｌｏｗ［Ｊ］．ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＴｈｅｏｒｙａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，２００３，２３：１－１０．（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ）

［１２］　ＣｏｎｓｔａｎｔｉｎＡ，ＳｔｒａｓｓＷＡ．ＳｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅＣａｍａｓｓａＨｏｌｍ

ｓｏｌｉｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＪＮｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｉ，２００２，１２：４１５－４２２．

［１３］　ＨａｋｋａｅｖＳ，ＫｉｒｃｈｅｖＫ．Ｌｏｃａｌｗｅｌｌｐｏｓｅｄｎｅｓｓａｎｄｏｒｂｉｔａｌ

ｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｓｏｌｉｔａｒｙｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＣａｍａｓｓａＨｏｌｍｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓｉｎＰａｒｔｉａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ，２００５，３０（５／６）：７６１－７８１．

［１４］　ＣｏｃｌｉｔｅＧＭ，ＨｏｌｄｅｎＨ，ＫａｒｌｓｅｎＫＨ．Ｗｅｌｌｐｏｓｅｄｎｅｓｓｏｆ

ｈｉｇｈｅｒｏｒｄｅｒＣａｍａｓｓａＨｏｌｍｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ，２００９，２４６（３）：９２９－９６３．

（责任编辑：童天添）

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