第四讲分解质因数

第四讲分解质因数

学法探讨

大家知道，一个非零自然数的因数有质数(只能被1和它本身整除的数叫质数)也有合数(除了1和它本身还有其他因数的数叫合数)，其中是质数的因数叫做这个非零自然数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。如30=2×3×5。在许多数学问题解答过程中，常常要先把一个数分解质因数，以便于研究已知数与未知数的关系，从而求得问题的解答。

短除法是分解质因数的一种重要方法：用这个数的质因数(从小到大)逐次去除这个数，直到除得的商是质数为止。例如把420分解质因数：

因为：

所以．420=2×2×3×5×7。

从质数、合数的定义可知：2是最小的质数，也是唯一的偶质数，除2以外，其余质数都是奇数。

关于“分解质因数”你还有什么需要补充？请写在下面：

例题选讲

【例题1】一只筐里装有100个苹果，如果不一次性拿出，也不一个一个地拿出，但每次拿出的个数都要相等，并且最后一次刚好拿完。问共有几种拿法？

【分析】因为每次拿出的个数×拿的次数=100，所以每次拿的个数与拿的次数应为100的因数。而两个自然数的乘积为100的共有以下五种情况：1×100、2×50、4×25、5×20、10×10。其中1×100显然不符题意，再将每组分别看成每次拿苹果的个数和次数，从而便可求出共有多少种拿法。

【解答】

【练习4-1】用120个大小相同的小正方形拼成一个大长方形，共有多少种不同的拼法？

【例题2】把8、21、25、35、44、65、78、99这八个数平均分成两组，使每组中四个数的乘积相等。

【分析】要使这两组数的乘积相等，这两组数必须含有完全相同的质因数，而且质因数的个数也必须对应相等。故先将每个数分解质因数，再根据质因数的个数按保证积相等的条件进行分配，从而求得问题的解答。 【解答】

【练习4-2】把40、44、45、63、65、78、99、105八个数平均分成两组，使每组中四个数的乘积相等。

【例题3】春生上五年级时，新来的数学老师问他的年龄多大？生日是在什么时候？春生俏皮地回答：“我的年龄和生日的月份、日期相乘积是968”老师笑着说：“我知道了！”问：老师是怎样知道的？春生的生日是哪天？

【分析】因为968是春生的年龄、生日的月份和日期三数之积，如果老师将968分解质因数，再根据春生已读五年级及名字特点“春生”，就可判断出春生的年龄和生日了。 【解答】

【练习4-3】有四个学生，他们的年龄恰好一个比一个大一岁，而它们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？

【例题4】975×935×932×( )，要使这个乘积的最后四位数字都是0，括号内最小应填什么数？(第一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题)

【分析】因这个乘积的最后四位数字都是0，说明这个乘积可以写成a×10000(a为整数)的形式，而10000?2?5，说明在将乘积分解质因数后，至少含有4个质因数2及4个质因数5。所以，只要找出题目中已知三个数的质因数2和5的个数，便可找出括号内最小应填的数。

44【解答】

【练习4-4】不计算结果，求32×375×442×225积的末尾有多少个连续的0 7

【例题5】已知五个数依次是13、12、15、25、20，它们每相邻的两个数相乘得四 个数，这四个数每相邻两个数相乘得三个数，这三个数每相邻两个数相乘得两个数， 这两个数相乘得一个数，请问最后这个数从个位起向左数，可以连续地 数到几个07(如图4-1)(第二届全国“华罗庚金杯”赛决赛试题) 【分析】如果依次把这些数都乘出来，最后会得到一个很大的数。 其实本题只要考虑最后得数中有多少个质因数2与5，故在计算二、 三、四、五行的积时，只要写出乘式即可，这样最后一个数更易于 把握了。 【解答】

【练习4-5】请在算式：1□×1□=1□×1□中的四个方框内填人四个互不相同的数字，使等式成立。 问：所填的四个数字之和是多少？(1995年全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)

【例题6】a、b和c都是两位数，a、b的个位分别是7与5，c的十位是1，如果它们满足等式ab+c=2005，则a+b+c=( )。(2005年全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)

【分析】因为a和b的个位分别是7和5，则ab的个位是5，由题意可知c=2005-ab的个位一定 是0，由已知条件c的十位是1，则可求出c，再由ab+c=2005及a、b的个位分别是7和5，便可求出a和b，从而得到问题的解答。 【解答】

【练习4-6】a、b、c都是质数，如果(a+b)×(b+c)=342，那么，b=( )数学邀请赛试题)

。(2004年全国“希望杯”自我检测

1．把462块糖平均分成若干份，每份块数在10至25之间，共有多少种分法？

2．甲数比乙数大7，两个数的乘积是450，求这两个数的和是多少？

3．把39、45、49、56、60、70、78、84、91这九个数平均分成三组，使每组中三个数的乘积相等。

4．要使75×( )×184×125×60乘积的末尾有7个连续的0，括号里最小应填多少？

5．-个小于200的自然数，它的每位数字都是奇数，且它等于两个两位数的积，求此自然数？(1992年全国小学数学奥赛试题)

6．在947后面添上三个不同的数字，组成一个能被2、3、5整除的六位数，这个数最小是多少？(全国数学竞赛试题)

7．有6个人都是4月11日出生的，并且都属猴，某一年他们岁数的连续乘积为17597125，这一年他们岁数之和是多少？(2004年全国小学数学奥林匹克竞赛试题)

*8.如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们就称这个数为“回文数”，例如，22、464、25752等都是“回文数”。“1991”这个数具有如下两个性质：①1991是一个“回文数”；②1991可以分解成一个两位素数“回文数”与一个三位素数“回文数”的积。即1991=11×181，其中11、181既是“回文数”又是素数。请问：在1000到2000这1000个数中，除1991外，具有性质①②的整数还有哪些？(第一届“祖冲之杯”邀请赛试题)

*9.从1开始的若干连续自然数相乘：1×2×3×…×○=△，最后一个因数用圆圈表示，已知圆圈是一个奇数，如果△÷12÷12÷12÷…÷12=1925，那么△被12除了多少次？(1995年我爱数学少年夏令营试题)

*10.已知N?11?122?2试将N表示为4个大于1的自然数之积。(2006年香港圣公会小学数学??????2006个12006个2奥林匹克竞赛试题)

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