数学与善 - 超越数学的本性

数学与善——超越数学的本性

约在两千三百年前，举行了一次著名的演讲。听众都很有名，包括亚里士多德和色诺芬。这次演讲的题目是“善的概念”。演讲者是权威人士：他是柏拉图。

这篇演说，就其对题目的阐述而论，是失败的；这是由于演讲者主要是献身于数学的。自从柏拉图和他的直接门徒以后，善的概念就与数学脱离了关系。就是在现代，著名的柏拉图学者，除了很少例外，都竭力避免表现出对数学的兴趣。柏拉图的一生中，一直意识到数学对于探求理想的重要性。在他最后的一篇著作里，他把对这种重要性的无知形容为像“猪一般” 。如果柏拉图复生，他就会用这样的词来刻画上世纪大多数柏拉图学者。这个形容词是他给的，不是我给的。 但是，毫无疑问，他的演讲是失败的；因为它没有使后人弄明白：如何根据他对数学的直觉来阐述善的概念。许多数学家曾是善人——例如，帕斯卡和牛顿。还有许多哲学家曾是数学家。但是数学与善的特有关系，仍是未加展开的课题；自从它由柏拉图首先提出以来，就是如此。但是，这个理论作为哲学的基本真理，自柏拉图时代以来，就从活跃的思想中消逝了。在欧洲文明的各个时代，伦理学和数学分属于大学不同的系。

本文的目的是，根据我们现代的知识，研究这个课题。思想的进步和语言的扩充使得我们对于那些由柏拉图只能用模糊的语句和使人迷惑的神话所表达的思想，能比较容易地加以阐述了。然而，你们应当明白：我在这里不是论述柏拉图。我的题目是现代数学和善的概念之间的联系。我们根本不涉及任何详细的数学定理。我们所要讨论的是，现在处于发展过程中的这门科学的一般性质。这是哲学方面的探讨，许多数学家知道他们所研究的东西的细节，但对于表述数学科学的哲学特征却毫无所知。

在距今六、七十年前的时期中，欧洲人的进步文明经历了人类历史上最深刻的一种变化。整个世界受到了影响；这一变革起源于西欧和北美。这是观点的变化。约有四个世纪（即16、17、18和19世纪），科学思想以一致的步伐向前发展。在17世纪，伽利略、笛卡尔、牛顿和莱布尼茨，精心构造了一套数学的和物理的概念；整个科学思想借助于这些概念得到迅速发展。顶峰可能在从1870~1880的10年中。在那个时代，赫尔姆霍茨、巴士德、达尔文和麦克斯韦做出了他们的发现。这个时代就以这样的胜利而告结束。这个变化影响着各个思想部门。我在这里主要强调的是，在数学知识领域中所发生的变动。在对这次变革具有影响的发现中，许多是我们所说的顶峰的十年之前的一百年中做出的。但

是，广泛认识到它们的总的影响，则是1880年之后的50年内的事。作为题外话，我还想说的是，在数学和善这个主题之外，要举例说明：从一个时代到另一个时代，科学思想是如何缓慢地、不太明显地向前发展的？没有这样的认识，你就不能理解柏拉图，也不能理解其他哲学家。

为了理解上述变化，让我们设想：一个有智力的生命在1870年左右开始成长，那时他大约九岁或十岁。整个故事可当成柏拉图对话（比如，《泰阿泰德篇》或《巴门尼德篇》）的今译来读。这小孩在他的智力生活开始时，已经知道12×12的乘法表。他已经掌握加、减、乘、除。简单的分数是他熟悉的概念。再往后的二三年内，还增加上小数的记法。这样，整个算数基础不久就被这个小学生熟练地掌握了。

在同一个时期，他学习了几何和代数。在几何中，点、线、平面和其他表面的概念是作为起点的。按照这个程序，他就会引进这些实体的某种复杂的模式，而这一模式是由各个组成部分之间的某些关系所确定的；然后，就要研究在这样的模式中有什么其他关系隐含于这些假定中。例如，它引进了直角三角形。然后要证明的是：在假定欧氏几何的情况下，斜边上的正方形等于其他两边上正方形的和。

这个例子是有趣的。因为一个孩子能容易地观看由他的老师画在黑板上的直角三角形的图形，但在他的意识中并没有各边上正方形的概念。换言之，一个确定的模式（例如直角三角形）并不把它的各种错综复杂的性质直接显示给人的意识。

理性意识的这个奇特的局限性，是认识论的基本事实。小孩知道，老师所讲的是，用粗粉笔线在黑板上十分清楚的画出的直角三角形。但是，这小孩并不知道隐含于其中的无限多的性质。

在这个小孩对他在黑板上看到的直角三角形所产生的概念中，主要因素是：点、线、线的直性、角、直角。离开无所不包的空间，所有这些概念都没有什么意义。点在空间中有确定的位置，但是并不具有任何空间的广袤性。线和直线有位置，在明确的限制下，也具有空间的广袤性。角是直线之间的某些空间关系。因而，离开所涉及的那个空间体系，与直角三角形的概念有关的任何概念都是没有意义的。

在那个时代，甚至著名的数学家总要假定：对空间的概念，只有一个一致的理解；换言之，如果要对空间诸关系的意义的每一细节做出充分的分析，那么谈论空间的任何两个人就必须指称同样的关系体系。根据数学家的信念，根据柏拉图的信念并且根据欧几里德的信念，数学的目的就是对这个惟一的、一致的空间概念做出恰当的表述。这个观点在大约两千四百年中，作为任何物理科学的必要基础曾占统治地位；现在我们知道，它是错误的，但这是一个有伟大意义的错误。因为要是没有把这个简化了的假定作为科学思想的基础，我们的现代物理学家就会没有一个大家都承认的简化，可是现代物理学正是借助于这种简化才能表达自己。

这样，上述错误把学术向前推进，直到19世纪末。可是在19世纪末，他却成了恰当表达科学思想的障碍。数学家们（至少有一些人）幸运地超越了有理性的科学家们的朴素思想，并且，发明了各种奇异的与传统几何不同的几何。在世纪交替的时候，即在1890~1910年之间，人们发现：这些不同类型的几何，对于表达我们现代的科学知识有重要意义。

从几何学在埃及和美索不达米亚初步发端到现在，延续了差不多四千年的时间。这种“只有一种几何学”的错误曾盛行于整个时期。我们今天的看法，大约有一百年到一百五十年的历史。我们可以深感满意地说：“现在我们知道了”。如果我们对于在每一时代中流行的各种类型的学术，不去考察他们与“现在我们知道了”这种情感之间的关系，那么我们就绝不会理解精确的科学知识的历史。这种情感总是以这种或那种形式在保存和推进文明的一群卓越人物之中表现出来的。在事业上取得成功的想法对于任何事业的继续前进来说是十分重要的，可是上述情感却歪曲了这种想法。能否详细地说明这种歪曲的特征呢？我们可以用一个副词把“现在我们知道了”这句话写完全。我们可以说：“现在我们部分地知道了”；或者我们可以说：“现在我们完全地知道了”。就柏拉图和亚里士多德对于后人的影响而言，两句话之间的区别标志柏拉图和亚里士多德之间的差别。对有限知识中的任何一次感到完全自我满足是犯了独断论的根本错误。每一项知识与无限宇宙这一背景有不可分割的联系，各项知识的真实性及其意义就是由此导出的。甚至算术的最简单概念也逃避不了这个没法逃避的存在条件。我们是宇宙中的因素，并且对我们的经验的每一细节来说要依赖于这个宇宙，我们的知识的每一片断就是从上述事实导出其意义的。一个彻底的怀疑论者就是一个独断论者。他迷恋于完全无益的东西。凡是我感到满足、完善的地方，就有错误的

独断论的胚芽。并没有这样一种实体：它具有孤立的、自我感到满足的存在。换句话说，有限不是自身的根据。

对上述讨论可作如下的小结：各个时代所研究的几何学是模式原理的一章；并且，模式为有限的识别力所知道，它又部分地揭示了与宇宙背景的本质联系。“几何”这个词指的是模式的一个属，这个属包括各种各样的种。 现在我们来讨论数学的基本概念——数。这一节可以简化，因为许多有关的见解，已经在前面考察几何学时讲过了。

自希腊时代以来，数的学说总包含一些奇异的小矛盾。他们往往被许多思想家所忽略。19世纪的最后25年中，德国和奥地利的康托尔、弗雷格，意大利的皮亚诺和皮耶里，以及英国的符号逻辑研究者们，对整个学科开始进行更加全面的研究，揭示了许多棘手的问题。最后罗素提出了日常推理中的一个突出的自相矛盾。我记得很清楚：他在给弗雷格的一封私人信件中揭示了他。弗雷格的复信，一开始就惊讶地说：“哎呀！算术动摇了!”

弗雷格是正确的：算术动摇了，并且仍在动摇。但是，罗素能随机应变。后来我们合作写了《数学原理》，罗素引进了实体的“类型”的概念。根据这个学说，数的概念之应当适用于一种同类型的实体。这样，数“三”在应用于某一类型的实体时，与应用于另一类型的实体的数“三”，有不同的意义。例如，如果我们考虑两种不同的类型，那么就有数“三”的两种不同的意义。

罗素是完全正确的。把数的推理限定在某一类型内，所有的困难就被克服了。他发现了一个安全的规则。但很不幸，这个规则如果不预设在该规则限制外所使用的属概念，它就不能被表达。因为在每一类型中的数“三”，它本身属于不同的类型。每一类型本身又是与其他类型有区别的一种类型。这样，根据该规则，两个不同类型的想法是毫无意义的，数三的两种不同意义的想法也是毫无意义的。因而，我们理解该规则的惟一方法是毫无意义的。因而，该规则必须理解为只是一个安全的规则；要完全解释数就要理解事物的多样性与无限性的概念之间的关系。甚至在算术中，你们也不能不下意识的涉及无限的宇宙。你们是从总体中抽象出细节，并且对这种抽象强加上各种限制。请记住，拒绝思考并不意味所思考的实体不存在。我们有意识的思想，是以实体存在为背景对实体所进行的抽象。这思想只是强调的一种形式。

在概述数学概念时，最后来谈谈代数。是谁发明了代数？是“在阿拉伯”，还是“在印度”发明的，请你们都要告诉我。在一种意义上，对于代数概念有用的符号体系创始于这两个国家中的一个或另一个，或二者，这都是真的。但是，还有一个进一步的问题，我确信，如果柏拉图有代数方面的知识，这个问题一定会引起柏拉图的兴趣。它就是：加以符号化这个基本思想，是谁发明的？ 什么是代数的基本概念呢？这就是：“给定的同类东西中的任何一个例子，这是从这个特例或那个特例抽象得来的”。

在地球上，即使片刻具有上述概念的第一个动物，也是第一个有理性的生物。你能看到动物在这东西和那东西之间进行选择。但是动物的智力要求具体的实例。人类的智力能从实例中抽象出某一类型东西来。人类这个特性的最明显的表现就是数学概念和善的理想，这种理想超出了任何直接的认识。 有关认识精确性的任何实践经验，人类是不承认的；而数学和完善的理想，正是与精确性相联系。这是实践与理论之间的差别。所有理论要求精确的概念，而不管它隐藏在什么地方。在实践中，精确性消失了：只剩下一个问题，“它起作用了吗？”但是，实践的目的，只能靠使用理论来确定；所以，“它起作用了吗？”这个问题是与理论有关的。理论的重要性在于它与实践的关系。实践的模糊性，被清晰的理想经验加强了。

在实践中，没有人遵循着任何一个精确的数学概念。请考虑上述在学习几何时的那个小孩吧。他绝不会看到一个精确的点或一条精确的线，或精确的线的直性，或一个精确的圆。这样一些事物，是在那个孩子的思想中不能实现的理想。很多这样的理想将被有理性的人所承认。但是，当我们转到算术上时，这样的人就要陷入泥潭。你们可以听到他说（也许你们自己就这么说）：“我能见到一把椅子、两把椅子、三把椅子、四把椅子和五把椅子，并且，我能观察到：两把椅子和三把椅子，当归到一起时，构成五把椅子的一组。”这样，我们的聪明的朋友已经精确的观察到算术概念和一条算术定理的实例。

现在，问题是：他已经精确的观察到了吗？或者，它是否有了从其概念性的经验中引出的精确观念？在什么意义上，它精确的观察到了一把椅子？他观察到，它的视觉经验的一般范围内的模糊差别。但是，假定我们把它限定在一兆兆分之一英寸的范围内，那么椅子在哪里终止，其余的东西又在哪里开始呢？哪个原子属于椅子，哪个原子属于周围的空间？椅子在不断地得到和失去原子。

它既不是恰好和环境分开；当时间不知不觉逝去时，它也并不恰好保持自我统一。再则，让我们长期地考察椅子。它逐渐变化，甚至遍及其坚实的木质部分。在窑洞里放了一百万年之后，它变成易损坏的，并且，一触就散了。缓慢的、感觉不到的变化总是在进行。

我们要记住：人类一英寸长的概念，一秒钟时间的概念，作为合理的基本数量，是仅仅与人类生活相联系的。此外，物理学家和天文学家的现代发现向我们揭示了微小的的事件和极巨大的事件同人类生活的联系。我们的精确的概念性的经验是强调的一种方式。理想使现实的事件受到鼓舞，而概念性的经验使理想活跃。这种概念性的经验对感性经验的单纯变化增添了价值观和美感。日落显示了天空的光辉，这正是由于概念的刺激。这么说，并不意味着一系列明显无力的思想创造出了非凡的奇迹，而是意味着从现实经验过渡到它的理想领域。我们的存在受到概念性的理想的鼓舞，转变着模糊的知觉。

如果我们不能认识到构成我们人类经验的不断变动由于强调方式的各种相继的类型（这些类型产生出有限聚集事物的能动能力）因而并不是无价值的无限性，那么我们就不能理解这种变动。由迷信引起的对无限的畏惧曾是哲学的祸根。无限没有特性。全部价值都是有限的此物，这是能动性的必要条件。能动性还意味着：创造聚集物的模式，而数学就是对模式的研究。在这里，我们发现把数学与善的研究和恶的研究相联系的重要线索。

请读者注意：在本文的较前部分，我曾强调，没有自我存在的有限实体。有限本质上涉及一个无限的背景。我们现在得出了相反的原理，即无限本来是无意义的和无价值的。它靠具体化为有限实体而获得意义和价值。离开有限，无限就没有意义，并不能同非实体相区别。所有事物之间的本质联系的思想是理解下述问题的主要步骤：有限实体如何需要无限制的宇宙，宇宙如何靠具体化为有限的活动获得意义和价值。

在哲学家中间，斯宾诺莎强调，无限是十分重要的，并且，以有限的方式引进一个次要的差别。莱布尼茨则反过来强调有限单子的必要性，并且把他们建立与自然神论的无限这个下层基础之上。他们二人都没有适当强调以下事实：无限若不具体化为有限的价值，它就是一句空话，并且，有限实体若没有它们同无限的关系就是毫无意义的。“理解”这个概念，需要把握住所说的实体的有限性如何需要无限，还要把握住无限如何需要有限这种观念。探求这样的“理

解”就是哲学的本意。这就是为什么处理有限模式的数学，与善的概念和恶的概念有关的理由。

现以大的宗教来说明这个原理。佛教强调神学原理的绝对无限，因而其实际影响已经丧失了充沛的活力。该宗教的后继者们已经缺乏冲劲。基督教的教义上的争论已经涉及以有限来刻画无限的问题。以其他术语来想象有限物的能力是不可能的。善这个概念，正是通过对恶势力的有力反对，从而通过神性的限制而被想象的。这种限制表面上被否认，而暗中却被承认。

代数科学的历史，是表达有限模式的技巧成长的故事。代数是一个更大的技巧中的一个组成部分，这个技巧就是语言。但是，当语言的意义在人类历史上产生时，语言主要是借助偶然的联系来指明这些意义。诚然，语言竭力体现其结构中的那些意义的某些方面。含义很深很响的词体现了极度深沉的悲痛。事实上，文学艺术（口头的或书面的）是要整理语言，使得它可体现它要指明的东西。

但是，在语言自然所表现的东西中较大部分是与所指明的意义无关的。句子是词的一个序列。但是，这个序列一般地与意义无关。例如，“矮胖子坐在墙上”就包含一个与意义无关的序列。“墙”绝不是在“矮胖子”后面。还有，做的姿势可以与坐者和墙的创设同时被实现。这样，词语的次序，对于所传达的思想，关系极小。词语的次序确实影响接受者的感情（如渴望和犹豫）。但是，像这样产生的这种感情，与接受者的性格有关。代数彻底改变了日常语言中比较重要的因素。它本质上是一种书写语言，并且，它努力在其书写的结构中体现它所要表达的模式。也许这种努力并不总是成功的。但是代数彻底改变了日常的语言习惯。在代数的用法中，纸上符号的模式是用以传达思想的模式的一个特例。

另外，对“任何”这个概念可以有一个扩充。在算术中，我们写“二加三”等于“三加二”。我们考虑的是，聚集物的两个过程。这种类型的聚集物用“加”这个词（或记号）表示，并且，其意义限定于与数有关。我们可以断言：两个程序得到有同样多成员的集合。这个数事实上是“五”，但是没有说出来。 然后，在代数中，思想上限于特定数的限制取消了。我们写“x＋y＝y＋x”;在这里，x和y是任何两个数。因此，代数在其创始时，就涉及模式研究中的巨大进展。多种多样的模式关系，比如，在二项式定理中涉及的关系，

就进入人类的思想。自然，代数是慢慢成长的。几百年来，它被认为是求方程解的方法。在中世纪的某个地方，一位运气不好的皇帝（或别的要人）和他的朝臣一起，必须听一位有学问的意大利人详述一个三次方程的解法。可怜的人们——可爱的意大利人花费了一个下午啊！如果他们的兴趣没有被什么魔法吸引住的话，他们准会打哈欠的！

19世纪初，代数所研究的就是上述这些模式，他们涉及把数聚合在一起的各种方式，使得每一集合可用一个属表示，这一个数被看成是那集合的结果。两个集合之间的相等关系意指：两个集合表示同一个数。但是，令人感兴趣的是具有同一个数的集合的两个模式。这样，在发展着的宇宙中所认识的数模式的某些一般特征，与二维表面（通常是几张纸）上记号模式的特征相同。这种把意义的模式等同于写出的记号（或声音的记号）的模式是日常语言的一个次要特征，尽管它对于口头语言有某种程度的重要性。但是，这种等同却是代数语言的主要特征。

今天，总揽20世纪上半叶，我们发现代数有很大的扩展。它已经扩展到数的领域之外，并且应用于一大批模式（数在其中是次要因素）。往往在数为人们明确的承认时，它的主要用处就是提供名称，例如，用作房子的名称。这样，数学现在就变为对各种类型的模式进行理智的分析。

模式具有重要性的看法和文明一样古老。每一种艺术都奠基于模式的研究。社会组织的结合力也依赖于行为模式的变更。因而，把模式灌输进自然发生的事物，这些模式的稳定性，以及这些模式的变更，对于善的实现都是必要条件。

数学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术。在这里，我们基本上阐明了柏拉图讲演的题目的意思。考虑到数学有无穷多的主题内容，数学甚至现代数学也是处于婴儿时期的一门科学。如果文明继续发展，那么在今后两千年，人类思想中压倒一切的新特点就是数学悟性要占统治地位。 这种推广了的数学的本质就是，研究相关模式的最显著的实例，而应用数学则是将这种研究转移到实现这些模式的其他实例上。

模式只是我们理解经验的一个因素，它或是具有直接的价值，或是激起追求未来价值的活动。例如，在一幅图画中，几何的模式也许是好的，但是，配上颜色，也许是可憎的。还有，每一种单独的颜色也许是贫乏的、不确定的和

微弱的。由这个例子可得出如下一条真理：没有一个实体只是由其个别特征，或只是由它与其他实体的关系来刻画的。每一实体本质上具有一个个别特征，并且本质上也是潜在的或现实的关系之一端。个别特征的一些因素成为关系的一部分，并且，反过来，关系成为该特征的一部分。换句话说，没有一个实体能被看成是脱离天地万物的；并且，没有一个实体能被夺去自己的个性。传统逻辑过分强调个别特征。“任何一个”这个概念除去了个别特征；但是，没有一个实体只是“任何一个”。因而，当我们应用代数时，在代数思想之外的因素是与总的情况有关的。现在我们回到那幅图画，单纯的几何并不是全部，此外，颜色也是有关的。

在一幅图画中，颜色（包括黑和白）可被缩减到极少，例如，在一幅笔墨写生画中就是如此。但是，颜色的某种差别，对于自然表示几何图样是必要的。另一方面，颜色在某些壮丽的艺术作品中可能占重要地位。再则，图画可能是好的，而着色的结果也许失败了。因此，善和恶的整个课题就发生了。如果不涉及各种错综复杂的经验模式，你就没法讨论善和恶。讨论善和恶可能要求对经验的理解具有一定的深度，而一个单薄的模式可能阻挠预想的实现。于是，有一种微不足道的恶——一幅写生画竟能取代一幅完全的图画。另外，引起强烈经验的两个模式可以彼此冲突。于是，就有一种由主动的对抗所产生的、强烈的恶。这种类型有三种形式：一个概念与一个实在冲突，或两个实在相冲突，或两个概念相冲突。

也许有其他类型的恶。但是，我们关心的是经验模式的失调。整个模式已经抑制其各部分的显著影响。但是，这一想法如果不涉及感觉背景（即情感的和解析的经验）就是毫无意义的，而整个模式就是在这个感觉背景上产生的。每一抽象的重要性来自它对某种感觉背景的关系；那感觉背景所要找的正是他的单元，即直接当下的一个个别的复杂事实。一个模式本来既非善，也非恶。但是每一个模式的存在只有通过对经验的理解（实际的理解或概念性的理解）才能决定。这样一来，一个模式就在感觉强烈时起作用，唤醒无限去认识有限的活动。存在的本性是这样的：它是通过感觉获得模式，他强调一组有限的所选定的个体（即模式化的实体），例如，颜色和声音的空间排列。但是，这些有关的个体不一定是纯质的东西。人类超出了颜色和声音的配合。模式的概念强调存在的相对性，即事物如何相联系的。但是，这样联系的事物本来就是实体。一个模式中的每一实体进入别的模式，并且，在存在的这种多样性中保留其自己的个体性。哲学的关键是在存在的个体性和存在的相对性之间保持平衡。在一个模式中的每一

个个别实体，也许可以加以分析，以便使其表现为所得到的模式的单元。我在这里强调的是，模式在有限多个享有那个模式的感觉单元中具有引进善和恶的功能。数学的本质特征就是，在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究。 当柏拉图在其讲演中把数学和善的概念相联系时，它自觉的或不自觉地在为全人类所流传的传统思想方式作辩护。新颖之处是希腊才子们所逐渐强调的抽象方法。数学正如在柏拉图学园所研究的那样，是从对雅典生活的具体事实所作的几何和数值的刻画中抽象出来的。亚里士多德解剖动物，并且分析整体。它构想出属和种。就这样，它从内容充实的经验中抽象出逻辑特性。科学抽象的新时代就出现了。

在使用这种技巧方面的一个危险就是片面地使用逻辑，因而，所要抛弃的仅仅是一个错误的命题。然而，如果一切命题不涉及与背景的关系加以解释，那么他们就全是错误的；而那个背景是我们所经历的，用不着加以任何有意识的分析。19世纪中的大科学家们所承认的每一个科学命题，从嗣后所得到的解释来看，是错误的。他们的空间学说是错误的，他们的物质学说是错误的，他们的各种证据理论也是错误的。柏拉图的对话所引起的持久的兴趣不在于它们阐明了抽象的学说。这些对话充满着对经验的具体单元所作的暗示，因此，每一个抽象课题引起了人们的兴趣。

抽象涉及强调，而强调却使经验活跃起来，对善和恶也都如此。现实所持有的一切特性都是强调方式；根据这种方式有限使无限活跃起来。这样，创造性涉及价值经验的产生，这要依靠从无限进入有限，因此，要从有限模式的细节和总体导出特殊的特征。

这就是在创造任何现实及其同有限和无限的统一体中所涉及的抽象。但是，意识进到二阶抽象，通过这种抽象，现实事物的有限要素，就从那个事物抽象出来了。虽然这个程序降低了“实在”的意义，但对有限的思想却是必要的。它是科学的基础。哲学的任务是把这个过程倒过来，从而展现出理解和现实是融为一体的。由此可见，哲学不是一门具体科学。

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