山西省山大附中2013届高三3月月考数学理试题

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山西大学附中

2012-2013学年高三(3月)月考数学（理科）试卷

(考试时间：120分钟)

一、选择题：（每小题5分，共60分） 1. 若复数z?(5sin??3)?(5cos??4)i是纯虚数，则tan?的值为（ ） 43333 B．? C． D．?或 344442．对于集合M,N，定义：M?N?{x|x?M且x?N}，M?N?(M?N)?(N?M)，A．设A＝{y|y?x2?3x,x?R)，B?xy?log2(?x)，则A?B=（ ） 99，0] B． [?，0) 4499C．(??,?)?[0,??) D．(??,?)?(0,??) 44 3．右图中，x1,x2,x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，

??A．（?p为该题的最终得分，当x1?6,x2?9,p?8.5时，x3等于（ ）

A．11 B．10 C．8 D．7 4．设甲：函数f(x)?log2(x2?bx?c)的值域为R，乙：函数

g(x)?x2?bx?c有四个单调区间，那么甲是乙的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．规定记号“?”表示一种运算，即：a?b?a?2ab?b，设函数f(x)?x?2。且关于x的方程为f(x)?lgx?2(x??2)恰有四个互不相等的实数根x1,x2,x3,x4，则

22x1?x2?x3?x4的值是（ ）

A．?4 B． 4 C．8 D．?8

x2y26. 已知F的两个焦点，A和B是以O1和F2分别是双曲线2?2?1（a?0，b?0）

ab为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且?F2AB是等边三角形，则

该双曲线的离心率为（ ）

3?1 B.3?1 C. 2 D.3?1 2?3??x)7．若当x?时，函数f(x)?Asin(x??)(A?0)取得最小值，则函数y?f(44A.是（ ） A．奇函数且图像关于点(?2,0)对称 B．偶函数且图像关于点(?,0)对称

C．奇函数且图像关于直线x?,0)对称

22228．过点A(11,2)作圆x?y?2x?4y?164?0的弦，其中弦长为整数的共有（ ）

?对称 D．偶函数且图像关于点(?更多资源请到 乐学易考网 下载：luckstudy.com

A.16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条

9．在平面斜坐标系xoy中?xoy?450，点P的斜坐标定义为：“若OP?x0e1?y0e2（其中e1,e2分别为与斜坐标系的x轴，y轴同方向的单位向量），则点P的坐标为系中的轨迹方程为（ ） A．x?2y?0 B．x?2y?0 C．2x?y?0 D．2x?y?0 10．已知f(x)为R上的可导函数，且?x?R，均有f(x)?f?(x)，则有（ ） A．e????????．若F1(?1,0),F2(1,0),且动点M(x,y)满足MF1?MF2，则点M在斜坐标(x0,y0)”

f(?2013)?2013B．ef(?2013)?2013C．ef(?2013)?2013ef(?2013)?D．

2013f(0),f(2013)?e2013f(0)

f(0),f(2013)?e2013f(0) f(0),f(2013)?e2013f(0) f(0),f(2013)?e2013f(0)

11．设O是锐角三角形ABC的外心，由O向边BC,CA,AB引垂线，垂足分别是D,E,F,

????????????????????????????????给出下列命题：①OA?OB?OC?0；②OD?OE?OF?0；③|OD|：|OE|：????ABAC|OF|=cosA：cosB：cosC;④???R，使得AD??(?).

ABsinBACsinC以上命题正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4；

E是棱CC1的中点，F是侧面12．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，

D1A1B1C1BCC1B1内的动点，且A1F//平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角

的正切值构成的集合是（ ） A．?t. BFEDCA?????25??25??t?23? B．?t?t?2? C．t2?t?23 D．t2?t?22

?????5??5?????二、填空题：（每小题5分，共20分） ?y?x12?13．已知不等式组?y??x表示的平面区域为M，直线y?x与曲线y?x所围成的2?x?2?平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率

为 .

14．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：

22?1?3 32?1?3?5 42?1?3?5?7

23?3?5 33?7?9?11 43?13?15?17?19

23*根据上述分解规律，则5?1?3?5?7?9, 若m(m?N)的分解中最小的数是73，则m的值为 .

215．抛物线x?8y的准线与y轴交于点A，点B在抛物线对称轴上，过A可作直线交

更多资源请到 乐学易考网 下载：luckstudy.com 抛物线于点M、N，使得BM?MN?1MN，则OB的取值范围是 ． 216. 给出以下四个命题： ① 若cos?cos??1，则sin(???)?0； ② 已知直线x?m与函数f(x)?sinx,g(x)?sin(?2?x)的图像分别交于点M,N，则

|MN|的最大值为2； ③ 若数列an?n2??n(n?N?)为单调递增数列，则?取值范围是???2； ④ 已知数列{an}的通项an?3，前n项和为Sn，则使Sn?0的n的最小值为12．

2n?11其中正确命题的序号为 ． 三、解答题： 17．（本小题满分12分）已知数列?an?的相邻两项an,an?1是关于x的方程

?a1?1. x2?2nx?b)n?0,(n?N的两根，且??（Ⅱ）求数列?an?的前n项和Sn； （Ⅰ）求证：数列?an??2n?是等比数列； ??13（Ⅲ）设函数f(n)=bn? t?Sn　若f(n)>0对任意的n?N都成立，求t的取(n?N?)　　值范围。 18．（本小题满分12分）2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定:居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下： 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 PM2.5（微克/立方米） (0,15] (15,30] (30,45] (45,60] 频数（天） 4 12 8 8 频率 0.1 0.3 0.2 0.2 ?(60,75] 4 0.1 第三组 (75,90) 4 0.1 第四组 （Ⅰ）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）； （Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；

（Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．

19． （本小题满分12分）如图，四边形ABCD中，?BCD为正三角形，AD?AB?2，

更多资源请到 乐学易考网 下载：luckstudy.com CD沿边AC折起，BD?23，AC与BD交于O点．将?A使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为?，且P点在平面ABCD内的射影落在?ACD内． P（Ⅰ）求证：AC?平面PBD； （Ⅱ）若已知二面角A?PB?D的余弦值为21，求?的大小. 7DOC 20．（本小题满分12分）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆?，它的离心率为1，一个焦点和抛物线y2??4x的焦A2 点重合,过直线l:x?4上一点M引椭圆?的两条切线，切点分别是A,B. （Ⅰ）求椭圆?的方程； x2y2（Ⅱ）若在椭圆2?2?1?a?b?0?上的点?x0,y0?处的椭圆的切线方程是abx0xy0y?2?1. 求证:直线AB恒过定点C；并出求定点C的坐标. 2ab（Ⅲ）是否存在实数?，使得AC?BC??AC?BC恒成立？(点C为直线AB恒过的定点)若存在，求出?的值；若不存在，请说明理由。 21．（本小题满分12分）已知函数f(x)?ax3?x2?ax,其中a?R,x?R. （I）若函数f(x)在区间(1,2)上不是单调函数,试求a的取值范围; （II）已知b??1,如果存在a?(??,?1],使得函数h(x)?f(x)?f?(x)(x?[?1,b])在Bx??1处取得最小值,试求b的最大值. 请考生在第22、23题中任选一题作答。若多做，则按所做的第一题计分。 ?x?acos??为参数）22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为?（a?b?0，，

?y?bsin?在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C1上的点M(1,??3射线??与曲线C2交于点)对应的参数??，332D(1,)．

3（I）求曲线C1，C2的方程； （II）若点A(?1,?)，B(?2,??23. 已知函数f(x)?x?1

(I)求不等式f(x)?x?1?0的解集;

(II)设g(x)??x?3?m，若关于x的不等式f(x)?g(x)的解集非空，求实数m的取值范围.

2??2)在曲线C1上，求1?12?12?2的值．

2012-2013学年高三(3月)月考数学答案

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1. B 2．C 3．C 4．B 5．D 6. D 7．C 8．C 9．D 10．D 11．B 12．D 13．113（文） 14． 9 15．(6,??) 16.①② 6361an?1??2n?111317．【解】：（1）即??1 ?an?an?1?2n?an?1??2n?1??(an??2n)，1n33an??232111????an??2n?是等比数列 ?a1??,q??1?an?[2n?(?1)n]（3分） 3333??（2）Sn?a1?a2???an

112(1?2n)(?1)(1?(?1)n)2n2n?[(2?2???2)?((?1)?(?1)???(?1))]?[?]331?21?1?2n?12 （6分） ?n偶1n?1?1?(?1)n??33?[2?2?]??n?132?2?1n奇??33（3）bn?an?an?1

11?bn?[2n?(?1)n][2n?1?(?1)n?1]?[22n?1?(?2)n?1]?bn?tsn>0 9912n?11n?1(?1)n?1n?[2?(?2)?1]?t?[2?2?]?0 932∴当n为奇数时 12n?1nt1[2?2?1]?(2n?1?1)?0?t?(2n?1)对?n?奇数都成立?t<1 （9分） 933当n为偶数时 12n?1t12t[2?2n?1]?(2n?1?2)?0?[22n?1?2n?1]?(2n?1)?09393 1n?13t?(2?1)对?n?偶数都成立?t?62综上所述，t的取值范围为???,1? （12分）

18．【解】：（1）众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米． ???4分 （2）去年该居民区PM2.5年平均浓度为

7.5?0.1?22.5?0.3?37.5?0.2?52.5?0.2?67.5?0.1?82.5?0.1?40.5（微克/立方米）．

因为40.5?35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准， 故该居民区的环境需要改进． …………………………………………8分 （3）记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，

更多资源请到 乐学易考网 下载：luckstudy.com 99. 随机变量?的可能取值为0,1,2.且??B(2,). 101092?kk9k所以P(??k)?C2()(1?)(k?0,1,2)， 所以变量?的分布列为 1010? 0 1 2 则P(A)?p 1 10018 10081 100E??0?118819?1??2??1.8（天）,或E??nP?2??1.8（天） ??12分 10010010010合计 2 6 5 （文）【解】（I）守成被调查人答卷情况统计表： 同意 不同意 1 1 教师 2 4 女生 3 2 男生 …………5分 （II）23?126??105?42?63?105（人） …………8分 65（III）设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法； 其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），8种满足

8. …………12分 1519．【解析】：（1）证明：由SD?面SAB，AB?面SAB 所以SD?AB 又AB//CD 所以CD?SD-----4分 （2）取SA中点N，连结ND,NM 1则NM//AB，且MN?AB?DC，AB//CD 2所以NMCD是平行四边形， 所以ND//MC， 且ND?面SAD,MC?面SAD 所以CM//面SAD;----8分 （3）VS?ABCD:VS?ABD?S?ABCD:S?ABD?3:2题意，则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为 22过D作DH?AB，交于H，由题得BD?AD?1?2?5 在Rt?DSA,Rt?DSB中，SA?SB?所以VS?ABD?VD?SAB?1?DS?S?ABS35?12?2 3333所以VS?ABCD??-------12分 ??3，232PC2（理）【解析】：(Ⅰ)易知O为BD的中点，

则AC?BD，又AC?PO，

又BD?PO?O，BD,PO?平面PBD， 所以AC?平面PBD （4分）

DOBA 更多资源请到 乐学易考网 下载：luckstudy.com (Ⅱ)方法一：以OB为x轴，OC为y轴，过O垂直于 平面ABC向上的直线为z轴建立如图所示空间 直角坐标系，则A(0,?1,0),B(3,0,0)P(?3cosθ,0,3sinθ) （6分） ?PBD易知平面的法向量为j?(0,1,0) （7分） ?????????ABP的法向量为n?(x,y,z) AB?(3,1,0)，AP?(?3cosθ,1,3sinθ)设平面????????????n?AB?3x?y?0?n?AB?则由????? ?得，?????????n?AP?n?AP??3cosθx?y?3sinθz=0?y??3x?cosθ?1?x?1n?(1,?3,) （9分） 解得，?，令，则cosθ+1sinθx?z?sinθ?????|n?j|321则|cos?n,j?|???? ?27|n||j|(cosθ+1)4?sin2θ(cosθ+1)2π1sin（θ?）=， ?3解得，，即，即3sinθ?cosθ=162sin2θπππ（0，）又θ?，∴θ= 故θ=.（12分） 233x2y2220．【解】：（I）设椭圆方程为2?2?1?a?b?0?。抛物线y??4x的焦点是??1,0?，abc1故c?1，又?，所以a?2,b?a2?c2?3， a2x2y2??1 ?????3分 所以所求的椭圆?方程为43（II）设切点坐标为A?x1,y1?,B?x2,y2?,直线l上一点M的坐标?4,t?。 xxyyxxyy则切线方程分别为1?1?1，2?2?1。 4343ttt又两切线均过点M，即x1?y1?1,x2?y2?1，即点A,B的坐标都适合方程x?y?1， 333t而两点之间确定唯一的一条直线，故直线AB的方程是x?y?1， 3显然对任意实数t，点（1,0）都适合这个方程，故直线AB恒过定点C?1,0?。??6分 t（III）将直线AB的方程x??y?1，代入椭圆方程，得 32?t2?2?t?2?3??y?1??4y?12?0，即??4??y?2ty?9?0 33????更多资源请到 乐学易考网 下载：luckstudy.com 6t?27,yy????????..8分 1222t?12t?12不妨设y1?0,y2?0 所以y1?y2??t2?2t2?9t2?9AC??x1?1??y???9?1??y1?3y1，同理BC??3y2??10分 ??221?11?1133y2?y13???????????所以??222ACBCt?9?y1y2?t?9y1y2t?92?y2?y1?2y1y2 108?6t??2??231144t2?9?1444?t?12?t?12?????? 22?2793t?9t?9t2?124即AC?BC?AC?BC。 34故存在实数??，使得AC?BC??AC?BC。 ????????12分 321．【解】：（I）由题意知,f?(x)?3ax2?2x?a在区间(1,2)上有不重复的零点, 由f?(x)?3ax2?2x?a?0,得(3x2?1)a??2x, 2x2因为3x?1?0,所以a??2??3分 3x?16x2?22x2xy??令y??2,则y??,故在区间(1,2)上是增函数, ?02223x?13x?1(3x?1)44所以其值域为(?1,?),从而a的取值范围是(?1,?)?????????5分 1111（II）h(x)?f(x)?f?(x)?ax3?(3a?1)x2?(2?a)x?a, 由题意知h(x)?h(?1)对x?[?1,b]恒成立, 32即ax?(3a?1)x?(2?a)x?a?2a?1对x?[?1,b]恒成立, 2即(x?1)[ax?(2a?1)x?(1?3a)]?0 ①对x?[?1,b]恒成立 ???7分 当x??1时,①式显然成立; ???8分 2当x?(?1,b]时,①式可化为ax?(2a?1)x?(1?3a)?0 ②, ??(?1)?02令?(x)?ax?(2a?1)x?(1?3a),则其图象是开口向下的抛物线,所以? ??(b)?0???9分 ?4a?0?b2?2b?31?? ③ , 即?2,其等价于b?1a?ab?(2a?1)b?(1?3a)?0更多资源请到 乐学易考网 下载：luckstudy.com b2?2b?3117?1?(?)max?1,解得?1?b? 因为③在a?(??,?1]时有解,所以. b?1a217?1从而b的最大值为???????????12分 2?3?x?acos?22．【解】（I）将M(1,， )及对应的参数??，代入?y?bsin?32???1?acos??3，即?a?2， 得??3??b?1??bsin?3?2?x?2cos?x2?y2?1. 所以曲线C1的方程为?（?为参数），或4?y?sin? 设圆C2的半径为R,由题意,圆C2的方程为??2Rcos?,(或(x?R)2?y2?R2). 将点D(1,?3)代入??2Rcos?, 得1?2Rcos?3,即R?1. 13),得D(,),代入(x?R)2?y2?R2,得R?1), 322所以曲线C2的方程为??2cos?,或(x?1)2?y2?1. (或由D(1,（II）因为点A(?1,?)，B(?2,???) 在在曲线C1上, 22?12cos2??2sin2?222??1sin??1,??2cos2??1, ks5u 所以4411cos2?sin2?52 所以2?2?(?sin?)?(?cos2?)? 444?1?22223. 解：(Ⅰ)原不等式可化为：x-1?1-x 即：x-1?1-x或x-1?x-1?22分 由x-1?1-x2得x?1或x?-2 由x-1?x2-1得x?1或x?0 综上原不等式的解为x?1或x?0?????5分 (Ⅱ)原不等式等价于x-1?x?3?m的解集非空. 令h(x)?x-1?x?3，即h(x)?x-1?x?3min?m，????8分 由x-1?x?3?x-1-x-3?4，所以h(x)min?4， 所以m?4.??????10分

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