离散元基本理论

颗粒离散元基本理论

1 运动方程

1.1 平动方程

kidVimij Fc,ij Fd,ij mig （1） dtj 1

式中，mi与Vi分别为颗粒i的质量和速度，t为时间，mig为颗粒i的重力，Fc,ij与Fd,ij分别为颗粒i与j的接触力与粘性接触阻尼力，ki为所有与颗粒i接触的颗粒总数。颗粒i与j间的接触力法向与切向接触力组成，即

Fc,ij Fcn,ij Fct,ij （2）

同理，粘性接触阻尼力也可表示为法向与切向分量形式，即

Fd,ij Fdn,ij Fdt,ij （3）

1.2 转动方程

颗粒间的接触力作用在颗粒i与j的接触点上，而不是作用在颗粒的中心，所以这些接触力（除法向接触力Fcn,ij外）将会对颗粒i产生力矩Ti

Ti Ri Fct,ij Fdt,ij （4）

式中，Ri为从颗粒i质心指向接触点的矢量，其幅值为Ri（颗粒i的半径）。转动方程可写为

kidωiIi Ti （5） dtj 1

式中，Ii与ωi分别为颗粒i的转动惯量与角速度，其中Ii 2miRi2。 5

2 接触力计算模型

关于接触力的计算模型已有大量的研究成果，目前仍旧是一个活跃的研究领域，特别是对于切向力的计算方法[1,2]。Thornton[3-7]等采用前人对球体接触力学中的法-切向作用理论，包括考虑表面粘连（adhesion）和接触区有局部塑性变形的情形。对无粘连球颗粒，采用Hertz理论描述法向作用，而采用Mindlin与Deresiewicz理论[8]描述切向作用。对粘连球颗粒，法向接触力根据在Hertz理论基础上考虑粘连力的JKR（Johnson-Kendall-Roberts）理论[9]确定，切向接触力增量则根据把Savkoor和Briggs理论与Mindlin和Deresiewicz理论[10]相结合形成的Thornton理论确定。

下面的介绍中，只针对处于接触中的两个无粘性球颗粒的法向与切向接触力计算模型进行分析，即只分析δn 0的情况，δn为颗粒i在法向方向的变形。单位法向向量n Ri/Ri，单位切向向量t Vij Vij nn

ijij V V，或写为t V nnij

ij n n n n。那么颗粒i与j间的累积切

向位移矢量δt为： δt N δt N 1 Vij n n t，式中，N表示时步， t为时间步长。

2.1 法向接触力计算模型

2.1.1 Hertz模型 Fcn,ij

式中，E *4**3/2ER nn （6） 311E*，，δn为颗粒i在法向方向的变形，n为单位法向向量，R 2(1 v2)RiRj

n Ri/Ri， n Ri Rj Rj Ri。

2.1.2 Cundall接触模型（线性弹簧模型）

Fcn,ij kn nn （11）

式中，kn法向弹簧刚度，

2.1.3 法向粘性接触阻尼力

Fdn,ij cnVij nn （7）

式中，cn为法向粘性接触阻尼系数，Vij为颗粒i与j在接触点处的相对速度，可表示为

Vij Vj Vi ωj Rj ωi Ri （8）

2.2 切向接触力计算模型

按照摩擦机理，摩擦力包括：滑动摩擦、滚动摩擦与静摩擦，其中滑动摩擦与静摩擦属于切向摩擦力；滚动摩擦是由于法向接触应力的不均匀分布产生的。在离散元模拟中，一般用Coulomb准则这种简单的形式描述，静摩擦的详细刻画需要涉及切向位移甚至可能要考虑时间依赖效应。

当处于接触中的两个颗粒间存在相互作用力，但两个颗粒没有发生相对运动时，两个颗粒处于静摩擦状态；如果切向作用力大于静摩擦力的极限值，那么在接触点处发生相对运动，则转变为滑动或滚动摩擦；在滑动或滚动摩擦中，接触点沿着颗粒表面移动，但是，在滑动摩擦中接触点处的相对速度为非0值。

对于一个固定平面上的颗粒，当接触点处的相对速度为0而颗粒的角速度不为0时则发

生滚动摩擦；当相对速度不为0时，则发生滑动摩擦；滑动摩擦力总是小于最大静摩擦力，并且其方向总是与接触点处的相对速度方向相反；当接触点处的相对速度为0时，滑动摩擦转变为滚动摩擦。

当一个颗粒在另一个颗粒表面滚动时，接触点处没有相对切向速度；滚动摩擦力远小于滑动摩擦力；滚动摩擦减小了颗粒的旋转与平动速度（二者在滚动摩擦阶段是成比例的）；如果颗粒所受外力足够小，滚动摩擦使得颗粒的速度逐步减小直至停止运动转变为静摩擦状态。

滑动摩擦转换为滚动摩擦的判别：当接触点处的相对速度由正变为负或由负变为正时，表明滑动摩擦结束，滚动摩擦开始；滚动摩擦停止进入静摩擦的判别：当接触中的两个颗粒以一个整体旋转时，滚动摩擦终止，转为静摩擦状态，此时，颗粒间的切向相对速度为0，并且两个颗粒的角速度相等，只要这个关系得以保持，则总是处于静摩擦状态。

关于切向接触力的计算模型有很多，这里介绍几个广为接受的切向力计算模型。

*****滚动摩擦在颗粒元切向作用中具有重要作用，在以往的模拟代码中，往往忽略滚动摩擦。作用：减小颗粒间的相对速度，减小颗粒的力矩，力矩也会对平动做出贡献。

2.2.1 Coulomb准则

描述切向作用最简单的模型就是Coulomb准则，即假设切向摩擦力的幅度与此时的法向作用力幅度成正比，即

Fct,ij Fct,ij, Fcn,ij,Fct,ij sFcn,ij

Fct,ij sFcn,ij （9）

式中，μs为静摩擦系数，μ为滑动摩擦系数，切向摩擦力Fct,ij的方向为与相对滑动的趋势相反。

2.2.2 Mindlin与Deresiewicz切向接触力模型[8] Fct,ij μsFcn,ij

δt3 2 minδ,δtt,max 1 1 δt （9） δt,max

式中，δt为颗粒i与j间的累积切向位移矢量，δt,max μs2 vδn。 21 v2.2.3 切向粘性接触阻尼力

Fdt,ij ctVij n n （10）

式中，ct为切向粘性接触阻尼系数。

2.2.4 切向接触力计算时的振荡排除

Coulomb摩擦力的方向必须与相对切向速度的方向相反。然而，运用上述方法计算切向力时，可能会产生不符合物理现象的振荡。当两个处于接触中的颗粒发生相对滑动并逐步向Coulomb准则过渡时，如果在达到Coulomb准则前的一个时间步长上切向力的方向与切向

相对速度的方向相同，或者相对切向速度与相对切向位移方向相反，那么，在达到Coulomb准则后，切向力将改变方向。切向力方向的变化将导致数值计算的不稳定。为了排除这种振荡，只有在切向相对速度与相对位移方向相同时才认为达到了Coulomb准则[11]。 参考文献

[1] K.L. Johnson. Contact mechanics. Cambridge University press, Cambridge, 1985.

[2] Walton. Numerical simulation of inelastic, frictional particle-partilce interactions. In: M.C.

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[3] C. Thornton. Interparticle sliding in the presence of adhesion. Journal of Physics D: Applied

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[4] C. Thornton. On the relationship between the modulus of particulate media and surface

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[5] C. Thornton, K. K. Yin. Impact of elastic spheres with and without adhesion. Powder

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[6] C. Thornton, Z. Ning. A theoretical model for the stick/bounce behavior of adhesive,

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[8] R.D. Mindlin, H. Deresiewicz. Elastic spheres in contact under varying oblique forces.

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[9] K. L. Johnson, K. Kendall, A. D. Roberts. Surface energy and the contact of elastic solids.

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[10] A. R. Savkoor, G. A. D. Briggs. The effect of tangential force on the contact of elastic solids

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[11] T. Elperin, E. Golshtein. Comparison of different models for tangential forces using the

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ez3i.html