江苏省苏州市第五中学高中数学2.1函数的概念和图象(1)学案苏教版

2．1 函数的概念和图象(1)

一、 学习内容、要求及建议

知识、方法

函数的三要素

函数的概念

函数的表示方法 函数的图象

作图象 图象的变换

要求

建议

与初中函数定义比较，理解高中函数定义，会解决函数的三要素问题，能选择适

理解 当的方法表示函数，会作函数的图象，利

用图象解决相关问题，注意函数在实际问题中的应用.

二、 预习指导 1． 预习目标

(1)准确利用前面所学的集合以及对应的语言来刻画函数； (2)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域； (3)在实际问题中会用恰当的方法表示函数； (4)了解并能应用简单的分段函数； (5)了解函数图象的简单变换. 2．预习提纲：

(1) 强化对函数的概念的认识

阅读教材第21-23页以及典型例题例1-5，教材开头以三个问题引出函数的概念，这三个函数分别以表格、解析式、图象形式给出的，具有一定的代表性．教材的例1和典型例题例1、例3是从“数”的角度深化对函数概念的认识，教材例2以及典型例题例4都是求函数的定义域，要注意对常见的约束条件的认识．教材例3和典型例题例4-5都是求函数的值域问题，要掌握求值域的常见方法．

(2) 养成通过“形”(主要指图象)来研究函数的习惯

阅读教材第25-27页，教材例4目的是熟悉一次函数和二次函数图象的作法，而例5是离散型的函数图象(由一些孤立的点组成)，例6是函数图象的一个直接应用(比大小),可以体会到图象的直观性的好处．

(3)能够用适当的方式表示函数，并能够利用函数解决一些实际问题

阅读教材第30-31页，典型例题例6-8，教材例1目的是熟悉用三种常见的表示方法来表示离散的直线型函数，例2和例3都是分段函数问题，相应地，典型例题7-8是作这样的函数的图象及图象应用．典型例题例6是求函数的解析式问题，掌握求解析式常见的方法．例7、8是函数的实际应用，注重数学与生产、生活实际的联系． (4)了解函数图象的变换

阅读典型例题例9-11，了解三种常见的图象变换方式． (5)完成自我测试题 3． 典型例题

例1 判断下列对应关系是否为函数关系．

⑴x?y?|x|，x?R,y?R；⑵x?y?11,x?{?1,0,2}y?{?1,0,}； x2⑶x?y为x的平方根，x?(0,??),y?R．

分析：欲判断一个对应A→B是否为函数，必须抓住函数概念的实质，即A中元素的任意性，

B中元素的惟一性．

解：(1)对于任意一个实数x,|x|被惟一确定,所以这个对应是函数；

43

(2)对于x?0,在{?1,0,}中没有元素与它对应,所以这个对应不是函数； (3)对于x?1,有两个元素?1与它对应,所以这个对应也不是函数．

点评：函数的本质是两个非空数集之间的一种单值对应,把握函数定义中的“非空”、“每一个”、“惟一”三个关键词,并能据此判断一个对应是否是函数． 例2 判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一函数，为什么？ ⑴f(x)?(x?1)0，g(x)?1； ⑵f(x)?x，g(x)?2212x2；

(x)2x ⑶f(x)?x，g(x)?(x?1)； ⑷f(x)?． ，g(x)?2x(x)分析：相同函数是指定义域、对应法则、值域都相同的函数，由于这些函数都是以解析形式

给出，因此，可以用研究其函数的定义域与对应法则是否相同来说明两个函数是否相同．必要的时候,可以对这些解析式等价变形，直接说明．

解：(1)中f(x)和g(x)的定义域不同,所以表示不同的函数； (2)中f(x)和g(x)的对应法则和值域都不同,所以表示不同函数； (3)中f(x)和g(x)的对应法则不同,所以表示不同的函数；

(4)中f(x)和g(x)的定义域都是(0,??),f(x)?g(x)?1,对应法则也相同,所以表示相同的函数．

点评：第(4)个问题也说明了函数解析式的结构形式不同,但有可能表示相同的函数． 例3 求下列函数的定义域：

4?x2⑴y?1?x?x?1； ⑵y??(x?2)0；

x?122⑶y?11?1x?1

x?2?1分析：求函数定义域首先是列出对自变量的全部限制要求，使函数式各部分同时有意义；其次是对各式的求解要准确；最后借助数轴求各约束条件所表示集合的交集．

2???1?x?1,?1?x?0,解：(1)由?2可得?

x?1或x??1.???x?1?0, ∴函数的定义域为{?1,1}；

?4?x2?0,??2?x?2,?? (2)由?x?1?0,可得?x?1,

?x??2.?x?2?0,??

44

∴函数的定义域为(?2,1)??1,2?.

?1?x?0或x??1,?1??0, (3)由?可得? xx??3且x??1.???|x?2|?1?0, ∴函数的定义域是(??,?3)?(?3,?1)?(0,??)． 点评：求解定义域的问题一般来讲比较容易，关键是能正确地运算．

例4 作出下列函数的图象：

x2?x(1)y?x，|x|?1； (2)y?；

x?1(3)y?|x|，x?{?2,?1,0,1,2}； (4)y?x2?2x?3，0?x?3．

分析：(1)的图象是线段．因为直线可以由两点来确定,所以我们不妨就描出这条线段的两个端点．(2)可做等价变形,转化成我们熟悉的函数这将函数关系式恒等变形，再用描点法作图．前三个图象都是“直线型”的,我们一般不需要列表．(3)的图象是离散的一些点,我们描出这些点即可．(4)的图象是抛物线的一段弧(仅包含一个端点),可以先作整个抛物线,然后截取我们所要的一部分,注意作图需要列表． 解：(1)如图①；

(2)函数等价于y?x,x?1．如图②； (3)如图③； (4)列表： x y 如图④．

-1 0 0 -3 1 -4 2 -3 3 0

图① 图②

45

图③ 图④

点评：对于直线型的函数图象我们一般可以直接作图，而作其他函数图象应注意规范性，一般我们采用描点法作图，其基本步骤是：列表，描点，连线． 问：下列图形哪些是可以作为函数的图象．

欲判断一个图形是否可以作为函数的图象，必须抓住函数概念的实质，对定义域中的任意的x．有惟一的y与之对应,体现在图象上就是任意的平行于y轴的直线跟函数的图象至多有1个公共点．图形(1)(3)可以作为函数的图象，图形(2)(4)不能作为函数的图象．

你能写出下列函数的值域吗？

2(1)f(x)?|2x?2|； (2)f(x)?|x?1|?|x?2|； (3) f(x)?x?2|x|?3．

分析： 通过讨论将绝对值符号去掉，画出函数图象，利用数形结合的思想求解． 解： (1)原函数即f(x)??

?2x?2(x?1),由图①知,函数的值域是[0,??)；

?2?2x(x?1).46

??2x?1(x??2),? (2)原函数即f(x)??3(?2?x?1),由图②知,函数的值域是[3,??)；

?2x?1(x?1).?2??x?2x?3(x?0), (3)原函数即f(x)??2由图③知,函数的值域是[?4,??)．

??x?2x?3(x?0).

图① 图②

图③

点评： 对于容易作出图象的一些函数,我们可以利用函数的图象来求最值以及值域． 图象是函数的一种重要的表达形式，具有很强的直观性，应加以重视． 例5 求下列函数的值域：

2⑴y?2x?3,x?(?1,2]； ⑵y?x?2x?3，0?x?3；

⑶y?1，?2?x??1； ⑷y?x2?2，x?{?1，，，012}； 2x42(5) y?x?2x?1； (6)y?x?x?1； (7)y?|x|?1．

|x|?1分析： 前3个函数是比较熟悉的函数，而第四个函数的定义域是由一些离散的量组成的，一般直接代入．(5)、(6)、(7) 这三个函数的解析式都比较复杂,都可以通过换元转化为熟悉的函数,但换元时要注意新元的取值范围．

解：(1)∵?1?x?2,∴?2?2x?4,∴?5?2x?3?1．

∴函数的值域是(?5,1]； (2) 列表：

47

x -1 0 1 2 3 y 0 -3 -4 -3 0 根据函数的图象(如右图)知，函数的值域为[?4,0). (3)∵?2?x??1，∴?1?1x??12(这一步可考察函数 y?1x在区间(?2,?1)上的图象得到)， ∴?112?2x??14, ∴函数的值域为[?112,?4).

(4)将x??1,0,1,2一一代入,可得函数的值域为{3,2,6}．

(5)y?x4?2x2?1,令t?x2,则t?0．

∴y?t2?2t?1?(t?1)2?2, ∵区间[0,??)在t??1右侧, ∴t取0时,y取最小值-1, ∴函数的值域为[?1,??)． (6)令t?x?1,则t?0, x?t2?1．

∴y?t2?1?t?(t?1)2?524(t?0)．

∵区间[0,??)在t??12右侧,

∴t取0时,y取最小值-1, ∴函数的值域为[?1,??)． (7)(法一)令t?x(t?0),y?t?1t?1?1?2t?1, ∵t?0,∴t?1?1,

∴0?1t?1?1, ∴?2??2t?1?0, ∴?1?1?2t?1?1， ∴函数的值域为[?1,1)．

48

(法二)由原函数解析式得， |x|?y?1， 1?y又∵|x|?0，∴

y?1?0， 1?y解得，?1?y?1， ∴函数的值域为[?1,1)．

点评：值域是一切函数值的集合，因此，求函数值域的基本方法是由函数的定义域即x的取值范围，通过恒等变形一步一步得到函数值y的取值范围，这种方法我们通常称为“不等量分析法”．本例的(1)、(3)都是利用这种方法得到的．(2)是利用函数的图象求函数的值域，这种方法称为“图象法”．本例(5)的结构特征比较明显，通过换元很容易转化成二次函数问题，本例(6)是无理函数，且根式内外都是一次式，也可以通过换元转化成二次函数问题，本例(7)可通过换元转化成不带有绝对值符号的函数，通过不等量分析法求解．这几个问题是常见的利用换元法求值域的问题． 而(7)的方法二，通过考虑x的取值范围来约束y的取值范围．这种求函数值域的方法称为“反表示法”，它适用于求能反解出自变量x或者含有x的某个表达式的函数的值域．

例6 (1)已知一次函数f(x)满足f[f(x)]?9x?8，试求f(x)解析式；

(2)已知二次函数f(x)图象的顶点是(?2,?3)，与x轴的两个交点间的距离为6，求该二次函数的解析式；

(3)已知f(2x?1)?1，求f(x)．

2x?2x?1分析：题(1)可以先假设f(x)?ax?b(a?0),然后通过已知条件将系数a,b求出；题(2)也可用待定系数法，利用顶点式或两点式求解．本例(3) 用整体的观点看这个问题 解：(1)∵f(x)是一次函数, ∴可设f(x)?ax?b(a?0)． ∴f[f(x)]?af(x)?b?a(ax?b)?b?ax?ab?b, 又∵f[f(x)]?9x?8

2?a2?9?a?3?a??3 ∴?，解得?或?，

?ab?b?8?b?2?b??4 ∴f(x)?3x?2或f(x)??3x?4．

(2)由题意得：函数图象与x轴交点为(?5,0),(1,0),故设f(x)?a(x?5)(x?1)．

49

又函数图象过点(?2,?3),则?3?a(?2?5)(?2?1),解得a? ∴f(x)?1． 31145(x?5)(x?1),即f(x)?x2?x?． 3333(3)把2x?1看作一个整体,就得到f(2x?1)?1(2x?1)?2x?1?1,

立即就可以得到f(x)?1．这就是“配凑”法．

x?x?1点评：一次函数和二次函数是最基本也是最重要的函数模型，求解这些函数的解析式的最基本的方法是待定系数法，这取决于它们解析式的结构特征．对于二次函数，解析式的设法一般有多种形式(例如一般式，两点式，顶点式等)，应根据条件灵活地选用适当的形式． 例7 某洗衣店，每洗一次衣服(4．5kg以内)需要付费4元，如果在这家店洗衣10次， 则其后可以免费洗一次．如果某人在这家店洗了15次， 洗衣次数n 5 9 10 11 15 (1)根据题意填写表格，并用图象法将洗衣费用表示

洗衣费用c 成洗衣次数的函数；

(2)写出当n?15时函数的解析式，并求其值域．

分析：由题意10次以内每次4元，10次以外可优惠一次，故是分段函数，分别写出表达式． 解：(1)空格依次填入：20,36,40,40,56；

图象为五个点((5,20),(9,36),(10,40),(11,40),(15,56)),图略．

(2)函数的解析式为y???4n(1?n?10,n?N),

?4(n?1)(10?n?15,n?N), 值域为{4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56}．

点评：本例是离散型的分段函数的一个实际应用，解决此类问题的关键是读懂题意，理清一些量之间的关系．

例8 某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店制定了两种优惠方法：(Ⅰ)买一只茶壶赠送一只茶杯；(Ⅱ)按总价的92%付款．

某顾客购茶壶4只，茶杯若干只(不少于4只)，若购买茶杯数为x(只)，付款数为y(元)，试分别建立两种优惠方法中y与x间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯，两种方法哪一种更省钱． 分析： 解决此问题的关键是要建立两种优惠办法的函数关系式，然后比较当x取相同值时，哪种函数的函数值小，则哪种优惠办法最省钱．

解： 优惠办法(Ⅰ)：y1?4?20?5(x?4),即y1?5x?60(x?4)． 优惠办法(Ⅱ)：y2?(5x?20?4)?92%,即y2?4.6x?73.6(x?4)． 令g(x)?y1?y2?0.4(x?34)(x?4)．

当4?x?34时,g(x)?0,即y1?y2,此时优惠办法(Ⅰ)省钱； 当x?34时,g(x)?0,即y1?y2,此时两种优惠办法同样省钱；

50

当x?34时,g(x)?0,即y1?y2,此时优惠办法(Ⅱ)省钱．

点评： 本例也是一个比较容易的实际应用问题，值得注意的是解题的规范，应用问题的一般解决步骤是：建立函数模型，解决函数模型，回归到实际问题中去．一般来讲，应用问题需要一些必要的文字说明，以便于有条理地表达．

例9 (1)已知函数f(x)?x2?2x，在同一直角坐标系中画出f(x)，f(x?1)，f(x?1)，

f(x)?1，f(x)?1的图象，从中你能发现什么规律？

11的图象可以由y?的图象经过怎样的变换而得到？ x?2x3x?5 (3)试作出函数f(x)?的示意图．

x?2 (2)函数y?3?分析：(1)可先求出各函数的解析式；(2)可用描点法作出函数图象,也可根据(1)的结论；(3)f(x)?3x?5?1?3?． x?2x?2解：(1)

通过观察上面的图象,我们可以发现：

2 f(x?1)的图象是有f(x)?x?2x的图象向右平移1个单位得到的； 2 f(x?1)的图象是有f(x)?x?2x的图象向左平移1个单位得到的； 2 f(x)?1的图象是有f(x)?x?2x的图象向下平移1个单位得到的； 2 f(x)?1的图象是有f(x)?x?2x的图象向上平移1个单位得到的．

(2)函数y?3?11的图象可以由y?的图象先向左平移2个单位,再将所得的 x?2x图象向上平移3个单位得到． (3)f(x)?13x?5?1?3?．因此,f(x)的图象可由y??的图象先向左平移 x?2x?2x2个单位,再向上平移3个单位得到．示意图如下：

51

点评：平移变换是函数图象变换中最简单最基本的变换，它的变换规律应该掌握．利用图象的平移变换可以根据基本函数的图象作一些非基本函数的示意图,便于我们研究函数的一些简单性质．

例10 (1)已知函数f(x)?2x?1，分别求作f(|x|)，|f(x)|的图象, 从中你能发现什么规律？

(2)已知函数y?f(x)(x??2)的图象，分别画出

y?f(|x|)和y?|f(x)|的图象．

分析：(1)可以把f(|x|)，|f(x)|具体的解析式先求出来,然后

作出图象,求解析式时注意分类讨论．(2)可以根据(1)所得出的规律作图．

1?2x?1(x??),??2x?1(x?0),?2|f(x)|??解： (1)f(|x|)??

1??2x?1(x?0),??2x?1(x??).?2?

通过图象,我们可以发现f(|x|)的图象是在f(x)的图象基础上保留y轴上及y轴 右侧的图象,去掉左侧的图象,再把y轴右侧的图象对称到左侧,|f(x)|的图象是在

52

f(x)的图象基础上保留x轴上及x轴上方的图象不变,将x轴下方的图象翻折到x

轴上方． (2)

点评：翻折变换是函数图象变换中基本的变换之一，它的变换规律应该掌握．翻折变换一般与函数自变量或者函数值加绝对值符号有着紧密联系．

?f(x)的图象，并观例11 已知函数f(x)?3x2?6x?5，在同一坐标系中，作出f(?x)，?f(x)的图象之间存在怎样的关系？ 察f(x)，f(?x)，分析：可先作图象,再比较它们之间的关系．

解：容易作出三个函数在同一坐标系中的图象,如下图所示：

根据图象我们可以发现：f(?x)的图象可以有f(x)的图象关于y轴对称得到；

?f(x)的图象可以由f(x)的图象关于x轴对称得到．

点评：对称变换是函数图象变换中基本的变换之一，它的变换规律也应该掌握． 4． 自我检测

(1) 给出以下四个命题，其中正确的是 ．(填序号)

53

①f是从集合A到集合B的函数，则A为该函数的定义域，B为该函数的值域； ②f(x)?x?3?2?x是函数；

x是同一个函数； x③函数f(x)?x0与函数g(x)?④函数y?x2?2x?3与函数y?x2?4x?6的值域相同．

1的定义域为 ． 2?x(3) 已知函数f(x)由下表给出，则f[f(2)]= ；满足f[f(x)]?1的x的值是 ．

(2)函数y?x?1?x 1 f (x) 2 2 3 3 1 (4)某电信部门规定：从甲地到乙地通话m min的电话费由

f(m)?1.06?(0.5?m?1) (单位：元)给出，其中m?0，m是

大于或等于m的最小整数(如3?3,3.7?4,3.01?4),则从甲地到乙地通话时间为6．5min的电话费为 元．

(5)下列命题中,正确的命题的序号是 ．

①函数y?f(x)?3的图象可由y?f(x)的图象沿着y轴向下平移3个单位而得到； ②函数f(x?2)的图象可以由f(x)的图象沿着x轴向左平移2个单位而得到； ③y?f(x)与y?f(?x)的图象关于y轴对称； ④y?f(x)与y??f(?x)的图象关于x轴对称． (6)求下列函数的值域：

42

①y?x2?x?3, 0?x?3；② y=x+6x+9；③ y =2x?1?x．

?x?2,0?x?4,(7)设f(x)??作出f (x)的图象，并根据图象写出f (x)的值域．

10?x,x?4,?(8)作出函数f(x)?|x|?|x?1|的图象,并根据图象写出f (x)的值域．

(9)①已知a、b为常数，若f(x)?x?4x?3，f(ax?b)?x?10x?24，求5a-b的值；

② 已知f(x?1)?x?2x，求f(x).

(10)甲、乙两地相距150千米，某货车从甲地运送货物到乙地，以每小时50千米的速度行

驶，到达乙地后将货物卸下用了1小时，然后以每小时60千米的速度返回甲地．从货车离开甲地起到货车返回甲地为止，设货车离开甲地的时间和距离分别为x小时和y千米，试写出y与x的函数关系式． 三、 课后巩固练习

A组

22 54

1．集合P??x|0?x?4?，Q??y|0?y?2?，下列对应是否能表示从P到Q的函数：

11x； (2)f：x?y?x； 232(3)f：x?y?x； (4)f：x?y?x . 3(1)f：x?y?2．判断下面的对应是否是从P到M的函数： (1)P=N，M?{?1，1}，f：x?(?1)x； (2)P=Q，M={无理数}，f：x?2x； (3)P=x|?x?2?1?x?0，M=R，f：x?2x?1．

?3．如图是一个数值转换机，若输入a的值为

2，则输出的结果为 ；若输入

实数x，输出的结果为f(x)，则f(x)的解析式是 ．

4．已知从集合A到B的函数x?y?2x?1，从集合B到C的函数y?z?可以得到一个从A到C的函数为x?z? ． 5．右图为函数y?f(x)(x?R)的图象，试写出y?f(x)的解析式． 6．已知函数f(x)是二次函数，且f(0)?2,f(x?1)?f(x)?x?1，求f(x)的解析式．

7．为庆祝兵团成立50 周年，某校组织合唱汇演，高一年级排列队形为10排，第一排20人，后面每排比前排多1人，写出每排人数m与这排的排数n之间的函数关系式为____________，自变量n的取值范围是______________． 8．判断下列各组函数是否表示同一函数： (1)f(x)?|x|,g(x)?(3)f(x)?1，这样3y?1x2； (2)f(x)?x2，g(x)?(x)2；

x2,g(x)?x； (4)f(x)?x0,g(x)?1；

x2?1，g(x)?x?1； (6)f(x)?x?1x?1，g(x)?x2?1 . (5)f(x)?x?19．(1)已知函数f(x)?2x?1，g(x)?1，则f(g(0))= ，g(f(0))= ； 3x?1x 0 1 2 3 55

(2)已知f(x)与g(x)分别由右面的表格给出，则

f (x) 3 g (x) 1 2 0 1 3 0 2 f(f(1))? ，g(g(1))? ，f(g())?0，

g(f())?3．

?x2(x?0),?10．已知f(x)??2(x?0),则f(4)? ；f(?3)? ；f(f(?3))? ．

?0(x?0),??x?1，x?0?11．函数f(x)??0，x?0，则f[f(3)]的值是 ．

?x?1，x?0?12．设函数f(n)?k(n?N*)，k为2的小数点后的第n位数，2?1.41421356237?.求下列各式的值：f(4)= ；f(f(8))= ；f(f(f(8)))= ．

?x2?1，(x?0)13．已知y??，使函数值为10的x的值为 ．

??4x，(x?0)14．求下列函数的定义域：

(x?1)0x2?x?12(1)f(x)?；(2)y?；(3)y?．

2|x|?4|x|?x1?x115．右图为函数y?f(x)的图象，则该函数的定义域是 ， 值域是 ． 16．函数f(x)?xmx?mx?12的定义域为R，求实数m的取值范围．

2，?2，?3}，则f(x)的值域为 ． 17．f(x)?x?|x|，x?{?118．f(x)?|x|?2的值域是 ． 19．函数f(x)?2?1的值域是 ． x327220．二次函数f(x)的图象开口向下，且f(0)?f(2)，试比较f()和f()的大小． 21．试作出函数y?|x?1|的图象，并写出当x?[0，3]时函数的值域． 22．试作出函数f(x)??x?2x?3的图象，并根据图象回答下列问题：

2 56

(1)比较f(?2)，f(0)，f(5)的大小；

(2)若x1?x2?1，试比较f(x1)与f(x2)的大小； (3)求f(x)在x?[?1，1]上的值域．

?x2?1，?3?x?023．画出函数f(x)??的图象，试给出f(x)的定义域，并求

?2x，0?x?4?f(3?2)?f(3?2)的值．

24．将函数y?2x2?2x的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式是 ．

25．已知f(x)的图象恒过(1,1)点，则f(x?4)的图象恒过 ．

26．右图为函数y?f(x)的图象，且其定义域为[a，b](0??a?b)，试画出y?f(|x|) 的示意图．

27．已知f(x)?|x|，x?[?1求作g(x)?f(x?1)?1的图象， ，1]，并比较g(?)和g(0)的大小．

28．已知函数y?f(x)的值域是[?1，2]，函数y?f(?x)的值域为 ，函数

32y??f(x)的值域为 ．

29.分别求下列函数的最值：

?1?y?2x2?12x?21;?2?y??1?x??x?2?;?3?y?3?5x?3x2?2; ?4?y?1;1?x?1?x?42（5）y?x?3x?2．

??)，求实数a的值． 30．已知函数f(x)?x?4ax?2a?6的值域为[0，31．分别求下列函数的值域

2 57

?2x?3,x?0?（1）y??x?3,0?x?1；

??x?5,x?1?（2）f(x)?|x?1|?|x?3|(x?R)；

21)?[2，5)； ,x?(??，x?13x?1（4）y? x?[0，3) .

x?1（3）y?32．设f(x)表示?x?6和?2x?4x?6中较小者，求函数f(x)的最大值．

B组

33．函数y?f(x)的图象与直线x?4的交点个数可能是 ． 34．一个函数发生器，当输入x后，经过发生器的作用，便输出

21x?90．此时发生器立10即对输出值作一个判断：若输出值超过99．9，则发生器停止工作；若输出值不超过99．9时，它会自动将输出值作为新输入值输入，经过发生器的作用，再作同样法则运算后输出……，最终，打印机会依次打印出这些输出值． (1)若输入值为10，则打印机打印出何种结果？

(2)若输入值a后，打印机只打印出了a，问a为多少？

(3)若输入值b后，打印机打印出了2个值，求b的取值范围？

35．若f(x)?ax2?2，a为常数且a?0，且f[f(2)]??2，求a的值． 36．已知f(x)?11?x2的定义域是F，函数g(x)?2?x?6x2的定义域是G，全集U=R，

那么F?(CUG)等于 ． 37．已知函数f(x)?实数a的取值范围．

238．已知函数f(x)?ax?ax?1，若f(x)?0在R上恒成立，求实数a的取值范围．

a?x的定义域为A，g(x)?x2?4的定义域为B，求使A?B的

11?x2f()的值是 ． (x?0)39．设g(x)?1?2x，f[g(x)]?,则

2x240．设函数f(x)?cx3(x??)满足f[f(x)]?x，求c的值． 2x?3241．若f(2x)= （1?2x（)1?2x)，求f(x)的解析式．

42．已知函数f(x)的定义域为非零实数组成的集合,且满足f(x)?2f()?3x?2,求函

1x 58

数f(x)的解析式．

43．若函数f(x?1)?2x2?1，则f(x?1)= ． 44．已知f(x?3)?x2?2x?1，则f(x?3) = ．

45．设y?ax?2a?1，当?1?x?1时，y的值有正有负，求实数a的取值范围． 46．已知函数f(x)的定义域为[0，1]．

(1)求f(x?1)的定义域；(2)求f(x?1)?f(2x?1)的定义域．

47．若f(x)的定义域为[?1,4)，则函数f(?2)的定义域为___________．

48．函数y?f(|x|?2)的图象可以先由y?f(x)的图象向 平移 个单位，得到

1xy?f(x?2)的图象，再 而得到．

49．函数y?f(1?x)的图象可以经过下列两种方法而得到：

(1)先将y?f(x)的图象关于 对称而得到y?f(?x)的图象，再向 平移 个单位而得到；

(2)先将y?f(x)的图象向 平移 个单位得到y?f(x?1)的图象， 再关于 对称而得到．

250．若函数y?x?(m?1)x?5，x?[a，m]的图象关于直线x??2对称，则函数

y?2x?1的对称中心为 ． x?a51．一次函数y?kx?b的图象为C，C关于y轴对称的图形是C1，C1关于x轴对称的图形是C2，若C2与C重合，求k，b的取值或取值范围． 52．（1）求函数y?2x?3?13?4x的值域．

(2)y?3x2?12x?184x?x2?23

53.已知函数g(x)的值域为[，]，求函数f(x)?g(x)?1?2g(x)的值域．

254.已知关于x的函数y?x?2ax?2，?5?x?5，求y的最大值．

384955.已知f?x??x?2x?3,x??t,t?1?,t?R，求f?x?的值域．

2 59

a1?在区间?0,1?上的最大值是2，求实数a的值． 4225?4]，试求m的取值范围．57．已知函数y?x2?3x?4的定义域为[0，m]，值域为[?， 412358．已知函数f(x)?x?x?的定义域和值域都是[1，b](b?1)，求b的值．

2256.已知函数f(x)??x?ax?2

C组

11x2f(1)?f(2)?f()?f(3)?f()?f(4)? 59．已知函数,那么f(x)?，求

231?x2111f()?f(5)?f()???f(2010)?f()的值． 45201060．若B={0，1，2}，试找出所有的集合A，使得f：x?y?2x?1是从A到B的函数．

61．对应f：x?y?111??，x?{?1，，2?3}，y?B??0，，1，?是否是函数关系？若|x|23??对应x?y?1，x?A，y?B为函数，则集合A最多有几个元素？并求此时函数的值|x|域．

62．函数有三要素：对应法则、定义域和值域．一般地，如果对应法则与定义域都确定了，那么函数的值域也就确定了；但已知一个函数的定义域和值域，对应法则却不唯一．今知一个函数的定义域和值域均为[－1，4]，试用解析法写出两个满足这样条件的函数，并根据所写解析式和已知定义域对值域进行验证．

63．若一系列函数的解析式相同，值域相同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数的解析式为y?x ，值域为{1,4}的“同族函数”共有 个．

64．设?、?是关于x的方程x?2(m?1)x?m?1?0的两个不相等的实根(m?R)，又

22y??2??2，求y?f(m)的定义域及解析式．你能画出y?f(m)的图象吗？若能，请根

据图象说出f(m)的值域．

65．若实数x，y满足x?4y?4x，求s?x?y的取值范围.

266．已知函数y?x?4ax?2a?6,a?R，若y?0恒成立，求函数f(a)?2?a|a?3|

2222的值域

267．已知二次函数f(x)?ax?bx(a,b是常数，且a??0)满足条件：f(2)?0且方程

f(x)?x有等根．(1)求f(x)的解析式；(2)问是否存在实数m,n(m?n)使f(x)的定义

60

域和值域分别为[m,n]和[2m,2n]，如存在，求出m,n的值，如不存在，说明理由． 的值域．

68．根据定义在区间[?2，1]上的函数f(x)的图象，

?f(?x)，x?0?，x?0的图象，并求g(x)的定义域与值域． 作出g(x)??0??f(x)，x?0?

知识点

定义： 定义域：

函数的概念

值域： 解析式： 图象：

函数的图象

图象变换： 实际问题 综合问题 探究问题 四、 学习心得

五、 拓展视野

函数定义溯源

函数是数学中最基本、最重要的概念之一.在古代数学中已经知道一大类特殊的函数关系并加以系统研究，但函数中变量依赖的思想并没有明显地表达出来，函数也不是独立的研究对象.函数概念的雏形在中世纪才开始出现在科学文献中，与解析几何学的产生有密切联系.

在14世纪，法国数学家奥雷姆用图线表示依时间t而变化的量x，并称t为“经度”，x为“纬度”，在平面上建立了点与点的对应.在16世纪，英国数学家哈理奥特用直角坐标的概念求出曲线的代数方程.后来费马取两相交直线，并以到两直线的距离来规定点的位置，从而导出圆锥曲线的方程.1637年，笛卡儿出版了《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》，在其著名的附录《几何学》中，他引入了变量的思想，称一些量为“未知和未定的量”， 但他没有使用“变量”这一术语（在数学上最早使用“变量”这个词的是约翰·贝努利）.笛卡儿把变量引入了数学，他指出了平面上的点与实数对（x，y）之间的对应关系.当动点作曲线运动时，它的x坐标和y坐标相互依赖并同时发生变化，其关系可由包含x、y的方程式给出.相应的方程式揭示了变量x和y之间的关系.以上这些工作都孕育了函数的思想.

“函数”作为数学术语是莱布尼茨首先采用的.他在1692年的论文中第一次提出函数这

61

题号 注意点

比较函数的初中、高中定义，理解函数

的本质，学会求函数定义域、值域、解析式的方法.

会作函数的图象，利用图象与图象变换解决相关问题，注意运用数形结合思想.

注意自变量的实际意义，函数在实际问题中的应用.

各知识点的联系 灵活运用函数知识

一概念，但其含义和现在不同.他起初用函数一词表示x的幂（即x，x，x，…），后来他又用函数一词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等几何量.现在一般把莱布尼茨引用的函数概念的最初形式看作是函数的第一个定义.把函数理解为幂的同义语，可以看作是函数概念的解析起源；用函数表示某些几何量，可以看作是函数概念的几何起源.

随着数学的发展，函数的定义不断地改进和明确.历史上的每一个阶段，函数都有它相应的定义.

约翰·贝努利（1718）：“一个变量的函数是指由这个变量和常量以一定方式构成的一种量”.

18世纪，欧拉曾先后给出函数的三种定义：

1．将函数定义为“解析表达式”.他在1748年写道：“变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量和一些常量以任何方式组成的”.

2．将函数定义为“由曲线确定的关系”：“在xy平面上徒手画出来的曲线所表示的y与x间的关系”.

3．将函数定义为“变量之间的依赖变化”.1755年他说：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，则将前面的变量称为后面变量的函数”.

拉格朗日（1797）：“所谓一个或几个量的函数是指任意一个适于计算的表达式，这些量以任意方式出现在表达式中.表达式中可以有（也可以没有）其他一些被视为具有给定和不变的值的量.因此，在函数中，我们仅考虑那些假定是变化的量而不去关心可能包含在其中的常数……一般地，我们用字母f或F放在一个变量的前面以表示该变量的任意一个函数，即表示依赖于这个变量的任何一个量，它按照一种给定的规律随着那个变量一起变化.”

傅立叶（1822）：“一般地，函数f（x）代表一系列的值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的.对于无限多个给定的横坐标x的值，有同样多个纵坐标f（x）.所有的纵坐标都有具体的数值，或是正数，或是负数，或是零.我们不假定这些纵坐标要服从一个共同的规律，它们以任意一种方式一个接一个地出现，其中的每一个都像是作为单独的量而给定的.”

柯西（1823）：“如果在一些变量之间有这样的关系，使得当其中之一的值被给定时，便可得出其他所有变量的值.此时，我们通常认为这些变量由它们之中的一个表出，于是这一个量被称为独立变量，其他被独立变量所表示的量就被称为这个变量的函数.”

罗巴切夫斯基（1834）：“函数的一般概念要求x的函数是一个数，它对每一个x是给定的并逐渐地随x变化.函数的值可以这样给出，或者用一个解析表达式或者用一个条件，使它能给出试验所有数的方法并选定其中之一；或者最后，存在一种依赖性，它的具体形式不必知道.”

狄利克雷（1837）：“让我们假定a和b是两个确定的值，x是一个变量，它顺序变化取遍a和b之间所有的值.于是，如果对每个x，有唯一的一个有限的y以如下方式与之对应：即当x连续地通过区间到达b时，y=f（x）也类似地顺序变化，那么y被称为该区间中x的连续函数.而且，完全不必要求y在整个区间中按同一规律依赖于x，确实没有必要认为函数仅仅是可以用数学运算表示的那种关系.按几何概念讲，x和y可想象为横坐标和纵坐标，一个连续函数呈现为一条连贯的曲线，a和b之间的每个横坐标，曲线上仅有一个点与之对应.”

黎曼（1851）：“我们假定Z是一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值.若对它的每一个值，都有未定量W的唯一的一个值与之对应，则称W为Z的函数……”

汉克尔（1870）：“f（x）称作x的一个函数，如果对于某个区间内的每一个x的值都有唯一的和确定的f（x）的一个值与之对应.而且，f（x）从何而来，如何确定，是否由量的解析运算或其他什么方式得到，这些都无关紧要，所需的只是f（x）的值在各处都是唯一

62

23

确定的.”

戴德金（1887）：“系统S上的一个映射蕴含了一种规则，按照这种规则，S中每一个确定的元素s都对应着一个确定的对象，它被称为s的映象，记作φ（s）.我们也可以说，φ（s）对应于元素s，φ（s）由映射φ作用于s而产生或导出；s经映射φ变换成φ（s）.”

皮亚诺（1911）：“函数是一种特殊的关系.根据这种关系，变量的每一个值都对应着唯一的一个值.一个函数是一个关系u，使得当两对数y；x和z；x（第二个元素相同）满足u时，必然有y=z，无论x，y，z可能是什么.”

凯里（1917）：“一般而论，两类数之间的一个对应可称作一个函数关系，如果第一类中的每一个数都有第二类中的一个数与之对应.跟第一类中的数相应的变量称为独立变量，跟第二类中的数相应的变量称为应变量.因此，我们可以说，独立变量和应变量之间存在一个函数关系，或像通常所说，称应变量是独立变量的函数……”

库拉托夫斯基（1921）：“集合（a，b）={{a}，{a,b}}称为一个序偶.设f是一个序偶的集合，如果当（x，y）∈f且（x，z）∈f时y=z，则f称为一个函数.”

布尔巴基（1939）：“设E和F是两个集合，它们可以不同，也可以相同.E中的一个变元x和F中的变元y之间的一个关系称为一个函数关系，如果对每一个x∈E，都存在唯一的y∈F，它与x满足给定的关系.”

我国“函数”一词，是清代数学家李善兰在《代微积拾级》中最先使用的.这本书把函数定义为：“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数.”这里的“函”是包含的意思.这定义大致相当于欧拉的解析表达式定义，在一个式子中“包含”着变量x，那么这个式子就是x的函数.

19世纪70年代，康托的集合论出现之后，函数便明确地定义为集合间的对应关系：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作f：A→B.如果集合A，B都是非空的数集合，那么A到B的映射f：A→B就叫做从A到B的函数.这是新课程实施前人民教育出版社的全日制普通高级中学教科书上的定义.我们目前使用的是江苏教育出版社出版的普通高中课程课程标准实验教科书，先讲函数，再讲映射，因此函数定义为：设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数.

63

确定的.”

戴德金（1887）：“系统S上的一个映射蕴含了一种规则，按照这种规则，S中每一个确定的元素s都对应着一个确定的对象，它被称为s的映象，记作φ（s）.我们也可以说，φ（s）对应于元素s，φ（s）由映射φ作用于s而产生或导出；s经映射φ变换成φ（s）.”

皮亚诺（1911）：“函数是一种特殊的关系.根据这种关系，变量的每一个值都对应着唯一的一个值.一个函数是一个关系u，使得当两对数y；x和z；x（第二个元素相同）满足u时，必然有y=z，无论x，y，z可能是什么.”

凯里（1917）：“一般而论，两类数之间的一个对应可称作一个函数关系，如果第一类中的每一个数都有第二类中的一个数与之对应.跟第一类中的数相应的变量称为独立变量，跟第二类中的数相应的变量称为应变量.因此，我们可以说，独立变量和应变量之间存在一个函数关系，或像通常所说，称应变量是独立变量的函数……”

库拉托夫斯基（1921）：“集合（a，b）={{a}，{a,b}}称为一个序偶.设f是一个序偶的集合，如果当（x，y）∈f且（x，z）∈f时y=z，则f称为一个函数.”

布尔巴基（1939）：“设E和F是两个集合，它们可以不同，也可以相同.E中的一个变元x和F中的变元y之间的一个关系称为一个函数关系，如果对每一个x∈E，都存在唯一的y∈F，它与x满足给定的关系.”

我国“函数”一词，是清代数学家李善兰在《代微积拾级》中最先使用的.这本书把函数定义为：“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数.”这里的“函”是包含的意思.这定义大致相当于欧拉的解析表达式定义，在一个式子中“包含”着变量x，那么这个式子就是x的函数.

19世纪70年代，康托的集合论出现之后，函数便明确地定义为集合间的对应关系：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作f：A→B.如果集合A，B都是非空的数集合，那么A到B的映射f：A→B就叫做从A到B的函数.这是新课程实施前人民教育出版社的全日制普通高级中学教科书上的定义.我们目前使用的是江苏教育出版社出版的普通高中课程课程标准实验教科书，先讲函数，再讲映射，因此函数定义为：设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数.

63

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fdm6.html