2018高中数学苏教版必修四教学案：第1章 1.3 三角函数的图象和性质 含答案

第1课时 三角函数的周期性

问题1：今天是周三，66天后的那一天是周几？你是如何推算的？

提示：66天后的那一天是周六，因为每隔七天，周一到周日依次循环，而66＝7×9＋3，所以66天后的那一天是周六．

问题2：在三角函数中：

(1)终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(x＋k·2π)＝sin x(k∈Z)． (2)终边相同的角的余弦函数值相等，即cos(x＋k·2π)＝cos x(k∈Z)． 上述两个结论说明正弦函数和余弦函数有什么共同性质？ 提示：正弦函数和余弦函数都具有周期性．

1．周期函数

对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．

2．最小正周期

(1)定义：对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，

那么这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．

(2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.

(3)正切函数y＝tan x也是周期函数，并且最小正周期是π.

问题：由周期函数的定义可知y＝sin x，y＝sin 2x，y＝sin 3x，y＝sin，y＝sin

23

2π3

x

x

的周期分别为2π，π，，4π，6π.

1

你能猜出y＝sin 4x，y＝sinx的周期吗？那么y＝sin ωx(ω>0)的周期又是什

4么？

1

π

提示：y＝sin 4x，y＝sinx的周期分别为，8π；

422π

y＝sin ωx(ω>0)的周期为ω.

(1)若函数y＝f(x)的周期为T，则函数y＝Af(ωx＋φ)的周期为φ为常数，且A≠0，ω≠0)．

(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，2πω>0)的周期T＝ω. T|ω|

(其中A，ω，

1．对周期函数与周期定义中的“对定义域内的任意一个x”，要特别注意“任意一个”的要求，如果只是对某些x有f(x＋T)＝f(x)成立，那么T就不是函数f(x)的周期．

?ππ??ππ?πππ＋＋????例如：sin42＝sin，但是sin32≠sin，也就是说，不能对x在

432????π??πx＋?＝sin x成立，因此不是函数y＝sin x的周期．定义域内的每一个值都有sin? 22??

2．从等式f(x＋T)＝f(x)(T≠0)来看，应强调的是与自变量x相加的常数才是周期，????TT????

如f(2x＋T)＝f(2x)，T不是最小正周期，而应写成f?2?x＋??＝f(2x)，则是f(x)的最

2??2??小正周期．

3．若f(x)是周期函数，则其图象平移周期的整数倍后，一定与原图象完全重合，即周期函数的周期不唯一．

[例1] 求下列函数的最小正周期． ?xπ?

??(1)f(x)＝2sin?＋?；

?33?π??

(2)f(x)＝2cos?－3x＋4?；

??

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