全国各地2013届高考数学 押题精选试题分类汇编9 圆锥曲线 文

1 2013届全国各地高考押题数学（文科）精选试题分类汇编9：圆

锥曲线

一、选择题

错误！未指定书签。 ．（2013新课标高考压轴卷（一）文科数学）已知椭圆方程22

143x y +=,

双曲线的焦点是椭圆的顶点,顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为

（ ） A

B

C ．2

D ．3

【答案】C 【解析】由题意知双曲线的焦点在x 轴上.椭圆的一个焦点为(1,0),椭圆实轴上的一个顶点为(2,0),所以设双曲线方程为2

2

221x y a b -=,则1,2a c ==,所以双曲线的离心率为2c

e a ==,选 C ．

错误！未指定书签。 ．（2013届四川省高考压轴卷数学文试题）已知双曲线的方程为

22

21(0)4x y m m m -=>+,则离心率的范围是

（ ） A

．)+∞ B

．)+∞ C ．[1,)+∞ D ．[3,)+∞

【答案】B

错误！未指定书签。 ．（2013届广东省高考压轴卷数学文试题）已知直线0Ax y C ++=,

其中,,4A C 成等比数列,且直线经过抛物线28y x =的焦点,则A C +=

（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．4

【答案】A∵,,4A C 成等比数列,∴24C A =①,∵直线经过抛物线28y x =的焦点()2,0,∴20A C +=②,由①②联立解得1,2A C ==-或0,0A C ==(舍去),∴1A C +=-.

错误！未指定书签。 ．（2013届福建省高考压轴卷数学文试题）角θ的终边经过点

A ()a ,

且点A 在抛物线21

4y x =-的准线上,则sin θ=

（ ） A ．12- B ．1

2 C

． D

2 【答案】B

错误！未指定书签。 ．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（一））若双曲线

422

=-y m

x (m>0)的焦距为8,则它的离心率为 （ ） A ．33

2 B ．2 C ．15 D ．1515

4

【答案】A

错误！未指定书签。 ．（2013届新课标高考压轴卷（二）文科数学）已知双曲线的方程为

)0,0(122

22>>=-b a b y a x ,过左焦点1F 作斜率为33

的直线交双曲线的右支于点P,且

y 轴平分线段P F 1,则双曲线的离心率为

（ ） A

B

1+ C

D

．2+【答案】A

错误！未指定书签。 ．（2013届北京市高考压轴卷文科数学）已知抛物线22(0)

y px p =>的焦点F 与双曲2

2

145x y -=的右焦点重合,抛物线的准 线与x 轴的交点为K,点A

A 点的横坐标为

（ ） A

． B ．3 C

．D ．4

第二部分 (非选择题 共110分)

【答案】B 【解析】抛物线的焦点为(,0)2p

,准线为2p

x =-.双曲线的右焦点为(3,0),

所以32p

=,即6p =,即26y x =.过F 做准线的垂线,垂足为M,则

(,)A x y ,则3y x =+代入26y x =,解得3x =.选 B ． 错误！未指定书签。 ．（2013届江西省高考压轴卷数学文试题）已知有相同两焦点F 1、F 2

的椭圆2

5x + y 2

=1和双曲线2

3x - y 2=1,P 是它们的一个交点,则ΔF 1PF 2的面积是

（ ） A ．2 B ．3 C ．1 D ．4

【答案】C

错误！未指定书签。 ．（2013届湖北省高考压轴卷 数学（文）试题）已知双曲线

()22

2210,0x y a b a b -=>>右支上的一点()00,P x y 到左焦点与到右焦点的距离之差为

3 8,且到两渐近线的距离之积为16

5,则双曲线的离心率为

A 5

.2B

C 5

.4D

【答案】A

【解析】:因为双曲线()22

2210,0x y a b a b -=>>右支上的一点()00,P x y ()0x a ≥到左

焦点的距离与到右焦点的距离之差为8,所以28,4a a ==,又因为点()00,P x y ()0x a ≥到两条渐近线的距离之积为16

5,双曲线的两渐近线方程分别为0x

y

a b +=和0x

y

a b -=,所以根据距离公式

得

22

111a b +2

222216

5a b ab a b c ??=== ?+??,所

以

ab c =,

即b =,又因为2

222165c c a b =+=+,所

以c =,离心

率

c e a ==.故选A .

错误！未指定书签。．（2013届安徽省高考压轴卷数学文试题）设12F F ，是双曲线

22

22100y x a b a b -=>>（，）是上下焦点,若在双曲线的上支上,存在点P 满足212||||PF F F =,且2F 到直线1PF 的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率是 （

） A ．52 B ．5

3 C ．5

4 D ．4

3

【答案】B 【解析】 过2F 作21F M PF ⊥与M 点,222

22||||||PM F M PF +=，因为

12||||PF PF -

2a =，所以1||22PF a c =+，即222

()(2)(2)a c a c ++=，解得53a

c =，即5

3e =,选 B ．

错误！未指定书签。．（2013新课标高考压轴卷（一）文科数学）若m 是2和8的等比中项,

4

则圆锥曲线2

2

1y x m

+=的离心率是

（ ）

A

B

C

D

【答案】C

【解析】因为m 是2和8的等比中项,所以216m =,所以4m =±,当4m =时,圆锥曲

线为椭圆22

14y x +=,

,当4m =-时,圆锥曲线为双曲线22

14y x -=,离

所以综上选

C ．

错误！未指定书签。．（2013届湖南省高考压轴卷数学（文）试题）过抛物线y 2

=2px(p>0)

的焦点F 且倾斜角为60o

的直l 与抛物线在第一、四象限分别交于 （ ）

A ．

B 两点,则

AF BF

=

（ ）

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2 【答案】C

错误！未指定书签。．（2013届海南省高考压轴卷文科数学）设M(x 0,y 0)为抛物线C:x 2

=8y 上

一点,F 为抛物线C 的焦点,以F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C 的准线相交,则y 0的取值范围是 （ ） A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(2,+∞) D ．[2,+∞) 【答案】答案:C

考点:抛物线的简单性质.

分析:由条件|FM|>4,由抛物线的定义|FM|可由y 0表达,由此可求y 0的取值范围 解答:解:由条件|FM|>4,由抛物线的定义|FM|=y 0+2>4,所以y 0>2

(13)

=1 (14)16

(15)m<-1 (16)

910

π 错误！未指定书签。．（2013届天津市高考压轴卷文科数学）已知双曲线

22

2

21(0,0)x y a b a b

-=>>的两条渐近线均与22:650C x y x +-+=相切,则该双曲线离心率等于 （ ）

A

B

C ．

32

D

【答案】A

【解析】圆的标准方程为22

(3)4x y -+=,所以圆心坐标为(3,0)C ,半径2r =,双曲

5

线的渐近线为b

y x a

=±

,不妨取b y x a =,即0bx ay -=,因为渐近线与圆相切,所以圆

心到直线的距

离2d =

=,即22294()b a b =+,所以

2254b a =,222245b a c a =

=-,即2295a c =,

所以29,55

e e ==,选 （ ）

A ．

错误！未指定书签。．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（二））已知椭圆了

22

12221(0),x y a b F F a b

+=>>、为椭圆的左.右焦点,M 是椭圆上任一点,若12MF MF ?的取值范围为[4,4]-,则椭圆方程为

（ ）

A ．22184x y +=

B ．22

1128x y +=

C ．221124x y +=

D ．2214

x y +=

【答案】C 错误！未指定书签。．（2013届上海市高考压轴卷数学（文）试题）已知椭圆

)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为2

3

,双曲线12222=-y x 的渐近线与椭圆有四

个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆的方程为

（ ）

A ．12

822=+y x

B ．16122

2=+y x

C ．141622=+y x

D ．15

2022=+y x

【答案】D

【解析】双曲线12222=-y x 的渐近线方程为x y ±=,由23

=

e 可得b a 2=,椭圆方程为1422

22=+b

y b x ,而渐近线与椭圆的四个交点为顶点的四边形为正方形,设在一象限的小正方形边长为m ,则242=?=m m ,从而点(2,2)在椭圆上,

即:5124222222=?=+b b b .于是20,52

2==a b .椭圆方程为

15

2022=+y x ,答案应选 D ． 错误！未指定书签。．（2013届重庆省高考压轴卷数学文试题）已知双曲线E 的中心为原

点,(3,0)P 是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于A,B 两点,且AB 的中点为

(12,15)N --,则E 的方程式为

（ ）

6

A ．22136x y -=

B ．22145x y -=

C ．22163x y -=

D ．22

154

x y -=

【答案】解析: 由双曲线E 的中心为原点,(3,0)P 是E 的焦点可设双曲线的方程为

2222

221(9)x y a b a b -=+=,设1122(,),(,)A x y B x y ,即 2222112222221,1x y x y a b a b -=-= 则22121222121212015115312y y x x b b x x a y y a -+-+=?=?==-+-+,则22225,5,44

b b a a ===, 故E 的方程式为22145

x y -=.应选

B ．

命题意图:本题主要考查直线与双曲线的位置关系,涉及中点问题可以利用点差法进行求解,也可以利用直线与双曲线的方程联立,借助方程根与系数的关系进行求解,考查利用代数方法研究几何的能力. 二、填空题

错误！未指定书签。．（2013届山东省高考压轴卷文科数学）已知抛物线2

8y x =-的准线过

双曲线22

13

x y m -=的右焦点,则双曲线的离心率为______.

【答案】2

【解析】抛物线的准线为x=2,所以双曲线的焦点为(2,0),即c=2,∴m+3=4,m=1,∴e=2. 错误！未指定书签。．（2013届湖北省高考压轴卷 数学（文）试题）已知直线

1:4360

l x y -+=和直线2:0l x =,抛物线

2

4y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是

________________.

【答案】

1

7 【解析】:如图所示,作抛物线24y x =的准线1x =-,延长PE 交准线于点N ,由抛物线的定义可得11PM PE PM PN PM PF +=+-=+-1F d ≥-(F d 表示焦点F 到直线1l 的距离)

1211=-=.

错误！未指定书签。．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（一））已知A.B.P 是双曲

线122

22=-b

y a x 上不同的三点,且直线AB 经过坐标原点,若直线PA 与PB 的斜率的乘积为3,则双曲线的离心率为______.

【答案】2

错误！未指定书签。．（2013届四川省高考压轴卷数学文试题）M 是抛物线2

4y x =上一

点,F 是抛物线24y x =的焦点.以Fx 为始边,FM 为终边的角60xFM ∠=?,则MOF ?(O 是坐标原点)的面积为____________________.

【答案】3

错误！未指定书签。．（2013届重庆省高考压轴卷数学文试题）在平面直角坐标系xOy 中,

椭圆C 的中心为原点,焦点12,F

F 在x 轴上,.过1F 的直线L 交C 于,A B 两点,且2ABF V 的周长为16,那么C

的方程为______. 【答案】解析:由416c a a ?=

???=?得a=4.c=从而b=8,221168x y ∴+=为所求.

错误！未指定书签。．（2013届浙江省高考压轴卷数学文试题）在平面直角坐标系xOy 中,椭

圆C 的中心为原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率为22

.过F 1的直线l 交C 于A,B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么C 的方程为________________.

【答案】x 216+y 28

=1 【解析】 设椭圆方程为x 2a 2+y 2

b 2=1(a>b>0),

8 因为离心率为22,所以22=1－b 2a 2,解得b 2

a 2=12,即a 2=2

b 2. 又△ABF 2的周长为|AB|+|AF 2|+|BF 2|=|AF 1|+|BF 1|+|BF 2|+|AF 2|=(|AF 1|+|AF 2|)+(|BF 1|+|BF 2|)=2a+2a=4a,,

所以4a=16,a=4,所以b=22,所以椭圆方程为x 216+y 2

8

=1. 错误！未指定书签。．（2013届湖南省高考压轴卷数学（文）试题）已知双曲线C:)0,0(122

22>>=-b a b y a x 与抛物线y 2=8x 有公共的焦点F,它们在第一象限内的交点为M.若双曲线C 的离心率为2,则|MF|=_____.

【答案】 5

错误！未指定书签。．（2013届海南省高考压轴卷文科

数学）

已知双曲线

和椭圆

有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为_______

【答案】考点:

圆锥曲线的综合;椭圆的简单性质.

分析:先利用双曲线和椭圆有相同的焦点求出c=,再利用双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,求出a=2,即可求双曲线的方程. 解答:解:

由题得,双曲线

的焦点坐标为(,0),(﹣,0),c=:

且双曲线的离心率为2×==?a=2.?b 2=c 2﹣a 2

=3, 双曲线的方程为=1.

9 故答案为:=1.

错误！未指定书签。．（2013届陕西省高考压轴卷数学（文）试题）已知双曲线22

221x y a b

-=的一个焦点与抛线线212y x =的焦点重合,且双曲线的离心率等于

32

,则该双曲线的方程为_______. 【答案】22

145

x y -=【解析】抛线线212y x =的焦点22(3)9a b ?+=，0

. 322

c e a b a ==?=?= 错误！未指定书签。．（2013届辽宁省高考压轴卷数学文试题）已知双曲线

22

22

1(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程

是y =,它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同.则双曲线的方程为_______________ . 【答案】22

1412

x y -= 【解析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程,属于容易题. 由渐近线方程可知

b a

=① 因为抛物线的焦点为(4,0),所以c=4 ②

又222c a b =+ ③

联立①②③,解得22

4,12a b ==,所以双曲线的方程为22

1412x y -= 错误！未指定书签。．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（二））设椭圆22

221x y a b

+= (a .b 为常数且0a b >>),和x 轴正方向交于A 点,和y 轴正方向交于B 点,P 为第一象限内椭圆上的点,则四边形OPAB 面积在最大值为_________.

错误！未指定书签。．（2013届新课标高考压轴卷（二）文科数学）过点M(—2,0)的直线m

与椭圆2122

,12

P P y x 交于=+两点,线段21,P P 的中点为P,设直线m 的斜率为

10 )0(11≠k k ,直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为_______

【答案】 -1/2

错误！未指定书签。．（2013届福建省高考压轴卷数学文试题）焦点在y 轴上,渐近线方程为

2y x =±的双曲线的离心率为_______.

三、解答题

错误！未指定书签。．（2013届福建省高考压轴卷数学文试题）已知抛物线24y x =的焦点为F 2,点

F 1与F 2关于坐标原点对称,直线m 垂直于x 轴(垂足为T),与抛物线交于不同的两点P.Q,且125F P F Q ?=-.

(Ⅰ)求点T 的横坐标0x ;

(Ⅱ)若椭圆C 以F 1,F 2为焦点,且F 1,F 2及椭圆短轴的一个端点围成的三角形面积为1. ① 求椭圆C 的标准方程;

② 过点F 2作直线l 与椭圆C 交于A,B 两点,设22F A F B λ=,若[]2,1,TA TB λ∈--+求的取值范围.

【答案】解:(Ⅰ)由题意得)0,1(2F ,)0,1(1-F ,设),(00y x P ,),(00y x Q -

则),1(001y x P F +=,),1(002y x Q F --=.

由521-=?Q F P F ,

得512020-=--y x 即42

020-=-y x ,①

又),(00y x P 在抛物线上,则0204x y =,②

联立①.②易得20=x

(Ⅱ)(ⅰ)设椭圆的半焦距为c ,由题意得1=c , 设椭圆C 的标准方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x , 由1212

c b ??=,解得1b = 从而2222a b c =+=

11 故椭圆C 的标准方程为1222

=+y x

(ⅱ)方法一:

容易验证直线l 的斜率不为0,设直线l 的方程为1x ky =+

将直线l 的方程代入2

212x y +=中得:22(2)210k y ky ++-= 设112212(,),(,),00A x y B x y y y ≠≠且,则由根与系数的关系, 可得:12222k

y y k +=-+ ⑤

1221

2y y k =-+ ⑥ 因为B F A F 22λ=,所以12

y

y λ=,且0λ<.

将⑤式平方除以⑥式,得:

22

1

222214142222

y y k k y y k k λλ++=-?++=-++

由[]51112,1+22022λλλλλ∈--?-≤≤-?-≤++≤2

2140

22k k ?-≤-≤+ 所以 72

02≤≤k

因为1122(2,),(2,)TA x y TB x y =-=-,所以1212(4,)TA TB x x y y +=+-+, 又12222k y y k +=-+,所以2121224(1)

4()22k x x k y y k ++-=+-=-+, 故222

2221212222216(1)4||(4)()(2)(2)k k TA TB x x y y k k ++=+-++=+++

2222222216(2)28(2)828

8

16(2)2(2)k k k k k +-++==-++++, 令21

2t k =+,因为22

07k ≤≤ 所以2711

1622k ≤≤+,即7

1

[,]162t ∈, 所以222717

||()828168()42TA TB f t t t t +==-+=--. 而7

1

[,]162t ∈,所以169

()[4,]32f t ∈.

12

所以||TA TB +∈ 方法二: 【D 】1．)当直线l 的斜率不存在时,即1-=λ时,)22,1(A ,)22,1(-B , 又T )0,2(,

所以(1,(1,TA TB +=-+- 【D 】2．)当直线l 的斜率存在时,即[)1,2--∈λ时,设直线l 的方程为)1(-=x k y 由?????=+-=12

22y x k kx y 得0224)21(2222=-+-+k x k x k 设()()1122,,,A x y B x y ,显然120,0y y ≠≠,则由根与系数的关系,

可得:2221214k k x x +=+,22212122k

k x x +-=? 221212122)(k k k x x k y y +-=

-+=+ ⑤ 2

2

212122121)1)((k k x x x x k y y +-=++-=? ⑥ 因为F F 22λ=,所以12

y y λ=,且0λ<. 将⑤式平方除以⑥式得:

221421k

+-=++λλ 由[)1,2--∈λ得??????--∈+2,251

λλ即??????-∈++0,2121λλ 故0214212<+-≤-k ,解得2

72≥k 因为1122(2,),(2,)TA x y TB x y =-=-,所以1212(4,)TA TB x x y y +=+-+,

又2221

21)1(44k

k x x ++-=-+, 222

22222

21221)21(4)21()1(16)()4(k k k k y y x x ++++=++-++

13 22222222)21(221104)21(2)21(10)21(4k k k k k ++++=+++++= 令2211k t +=,因为272≥k 所以8121102≤+

? ??∈81,0t , 所以2225

1721042()22TA TB t t t

+=++=+-1694,32??∈ ???

.

??

? ??+8213,2 综上所述:||TA TB +∈ 错误！未指定书签。．（2013届天津市高考压轴卷文科数学）设21F F ，分别是椭

圆:)0(2222>>+b a b

y a x 的左、右焦点,过1F 倾斜角为 45的直线l 与该椭圆相交于P,Q 两点,且a PQ 3

4||=. (Ⅰ)求该椭圆的离心率;

(Ⅱ)设点)10(-，M 满足||||MQ MP =,求该椭圆的方程.

【答案】解:(Ⅰ)直线PQ 斜率为1,设直线l 的方程为c x y +=,其中22b a c -= 设),(),,(2211y x Q y x P ,则Q P ,两点坐标满足方程组

?????=++=122

22b y a

x c x y 化简得0)(2)(2222222=-+++b c a cx a x b a , 则222212b a c a x x +-=+,.2222221b

a b c a x x +-= 因为,所以a x x x x x x PQ 34]4)[(2||2||2122112?-+=-= 得222434b a ab a +=,故222b a =, 所以椭圆的离心率2

222=-==a b a a c e

14 (Ⅱ)设PQ 的中点为),(00y x N ,由(1)知

.3,32200222210c c x y c b

a c a x x x =+=-=+-=+= 由||||MQ MP =得1-=MN k 即110

0-=+x y ,得3=c ,从而3,23==b a .故椭圆的方程为19182

2=+y x 错误！未指定书签。．（2013届新课标高考压轴卷（二）文科数学）已知椭圆C:)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为2

1,以原点O 为圆心,椭圆的短半轴长 为半径的圆与直线06=+-y x 相切

(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程

(Ⅱ)若直线L:m kx y +=与椭圆C 相交于A 、B 两点,且22a

b k k OB

OA -=? ①求证:AOB ?的面积为定值

②在椭圆上是否存在一点P,使OAPB 为平行四边形,若存在,求出OP 的取

值范围,若不存在说明理由.

请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,

做答时请写清题号. 【答案】(Ⅰ)解:由题意得3,426002

1222

22==?????

?????+-=-==b a b b a c a c ∴椭圆的方程为13

42

2=+y x . (Ⅱ)设)(1,1y x A ,)(2,2y x B 则A,B 的坐标满足?????+==+m

kx y y x 13422 消去y 化简得()0124843222=-+++m kmx x k ∴221438k

km x x +-=+,222143124k m x x +-= ,0>?得03422>+-m k

15 2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++= =2222222243123)438(4312

4k k m m k km km k m k +-=++-++-. 43

-=?OB OA K K

43212

1-=x x y y ,即21214

3

x x y y -= ∴222224312

44343123k m k k m +-?-=+-即34222=-k m []2

2222212

212)43()

34(48)1(4)()1(k m k k x x x x k AB ++-?+=-++= =243)43()1(482

222k k k +?++

2243)

1(24k k ++=.

O 到直线m kx y +=的距离21k m

d +=

∴2121==?AB d S AOB 21k m +2243)

1(24k k ++ =222243)1(24121k k k m ++?+=22

4324

24321

k k +?+

=3 为定值..

(Ⅲ)若存在平行四边形OAPB 使P 在椭圆上,则OB OA OP += 设),(00y x P ,则2210438k km

x x x +-=+=

2210436k m

y y y +=+= 由于P 在椭圆上,所以1342

2

0=+y x

从而化简得 1)43(12)43(16222

2222

=+++k m k m k

16 化简得 22434k m += (1) 由4

3-=?OB OA K K 知 34222=-k m (2) 解(1)(2)知无解

不存在P 在椭圆上的平行四边形.

错误！未指定书签。．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（二））已知曲线C 上任意

一点到直线x =

(I)求曲线C 的方程;

(II)设B 为曲线C 与y 轴负半轴的交点,问:是否存在方向向量为(1,)(0)m k k =≠的直线l ,l 与曲线C 相交于M N 、两点,使||||BM BN =,且||BM 与||BN 夹角为60?若存在,求出k 值,并写出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.

【答案】解:(Ⅰ)设(,)P x y 为曲线C 上任意一点,

= 化简:2213x y +=,C ∴曲线为椭圆,其方程为2

213

x y += (Ⅱ)设直线:l y kx m =+,

由 2233y kx m x y =++=消去y 得:

222(13)6330k x kmx m +++-=

设1122(,),(,)M x y N x y ,MN 中点00(,)G x y , 则1200022

3,21313x x km m x y kx m k k +==-=+=++

, 12||||MN x x =-==(1)

依题意:||||BM BN =,||BM 与||BN 夹角为60?,BMN ∴?为等边三角形

,

17 1BG k k ∴?=-,即2221113133213m k k m km k k

+++=-?=-+,(2) 由(2)代入

(1):||MN ==, 又BMN ?为等边三角形,B ∴到MN

距离||d MN =

,

=, 解得:223

k =

即213322k k m +===,

经检验32k m ==方程有解, 所以直线l 的方程为

:32

y x =+ 错误！未指定书签。．（2013届重庆省高考压轴卷数学文试题）已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 是

抛物线2

4y x =上相异两点,且满足122x x +=.

(Ⅰ)若AB 的中垂线经过点(0,2)P ,求直线AB 的方程;

(Ⅱ)若AB 的中垂线交x 轴于点M ,求AMB ?的面积的最大值及此时直线AB 的方程

.

【答案】解:(I)当AB 垂直于x 轴时,显然不符合题意,

所以可设直线AB 的方程为y kx b =+,代入方程2

4y x =得:

18 222(24)0k x kb x b +-+= ∴122422kb x x k -+=

= 得:2b k k =- ∴直线AB 的方程为2(1)y k x k

=-+ ∵AB 中点的横坐标为1,∴AB 中点的坐标为2(1,)k

∴AB 的中垂线方程为1213(1)y x x k k k k

=--+=-+ ∵AB 的中垂线经过点(0,2)P ,故32k =,得32

k = ∴直线AB 的方程为3126

y x =- (Ⅱ)由(I)可知AB 的中垂线方程为13y x k k

=-+,∴M 点的坐标为(3,0) 因为直线AB 的方程为2220k x ky k -+-=

∴M 到直线AB

的距离d ==由222204k x ky k y x

?-+-=?=? 得,2

22204k y ky k -+-=, 2

12122482,k y y y y k k

-+=?=

12||||AB y y =-=

∴214(1AMB S k ?=+

t =,则01t <<, 234(2)48S t t t t =-=-+,2'128S t =-+,由'0S =,

得t =

348S t t =-+

在上递增,

在上递减,

当t =,S 有最大值 得

:k =时

,max S =

AB

方程310x -= 错误！未指定书签。．（2013届江西省高考压轴卷数学文试题）如图,在矩形ABCD

19 中,8,4,,,,AB BC E F G H ==分别为四边的中点,且都在坐标轴上,设→→=OF OP λ,)0(≠=→

→λλCF CQ .

(Ⅰ)求直线EP 与GQ 的交点M 的轨迹Γ的方程;

(Ⅱ)过圆222x y r +=(02)r <<上一点N 作圆的切线与轨迹Γ交于,S T 两点,若02=+?→→r NT NS ,试求出r 的值

.

【答案】解:(I)设(,)M x y ,由已知得(4,0),(4,22)P Q λλ-,

则直线EP 的方程为22x

y λ=-,直线GQ 的方程为2

2x y λ=-+

,

消去λ即得M 的轨迹Γ的方程为22

1(0)

164x y x

+=≠

(II)方法一:由已知得2

NS NT ON =,又ON ST ⊥,则OS OT ⊥,

设直线:(2)ST y kx m m =+≠±代入2

2

1

164x y +=得

222(14)84160k x kmx m +++-=,

设1122(,),(,)S x y T x y ,

20 则

21212228416,1414km m x x x x k k -+=-=++ 由OS OT ⊥得12

120x x y y +=, 即

221212()(1)0km x x k x x m ++++=, 则

22516(1)m k =+, 又O 到直线ST

的距离为r =,

故(0,2)r =.

经检验当直线ST 的斜率不存在时也满足

方法二:设00(,)N x y ,则22200x y r +=,且可得直线ST 的方程为200x x y y r += 代入22

1164x y +=得

2222420000(4)84160y x x r x x r y +-+-=, 由2NS NT ON =得220200120(1)()()x x x x x r y +--=,即201212()x x x x x r +-=, 则2242200220084164r x r y r y x -+=+,

故(0,2)r =

错误！未指定书签。．（2013届山东省高考压轴卷文科数学）已知椭圆的中心在原点,焦点在

x 轴上,一个顶点为(0,1)B -,

且其右焦点到直线0x y -+=的距离为3.

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)设直线过定点3(0,)2

Q ,与椭圆交于两个不同的点M N 、,且满足BM BN =. 求直线的方程. 【答案】【解析】(1)设椭圆方程为22

22x 1(0)y a b a b

+=>>, 则1b =

21 令右焦点(,0)(0)F c c >,

则由条件得3=

得c =那么2223a b c =+=,∴椭圆方程为2

213x y +=

(2)若直线斜率不存在时,直线即为y 轴,此时,M N 为椭圆的上下顶点, 0,2BN BM ==,不满足条件;

故可设直线:3

(0)2y kx k =+≠,与椭圆2

213x y +=联立,

消去y 得: ()2215

13904k x kx +++=

由()()2215

9k 413k 04?=-+?>,得25

12k > 由韦达定理得122913k

x x k +=-+ 而2

121229()3313k y y k x x k +=++=-++ 设1122(,),(,)M x y N x y 的中点00(,)P x y ,则12

12

00,22x x y y x y ++== 由BN BM =,则有BP MN ⊥.

2

122012

02

9511

1

1329132BP y y k y k k x x k x k

k +-++++====-+-+ 可求得22

3k = 检验22

5

(,)312k =∈+∞

所以直线方程为3

y 2x =+

或3

y 2=+

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