第6章点集拓扑学练习题参考答案

点集拓扑学练习题（第6章）

一、单项选择题

1、设X是一个拓扑空间，若对于?x,y?X,x?y,均有{x}?{y},

则X是( )

① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对 答案：① 2、设X?{1,2}，T?{X,?,{1}}，则(X,T)是( )

① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对

答案：①

3、设X?{1,2,3}，T?{X,?,{1}}，则(X,T)是( )

① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对 答案：④

3}}，则(X,T)是( ) 4、设X?{1,2,3}，T?{X,?,{2，① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对 答案：④ 5、设X是一个拓扑空间，若X的每一个单点集都是闭集，则X是（ ）

①正则空间 ②正规空间 ③ T1空间 ④ T4空间

答案：③

6、设X是一个拓扑空间，若X的每一个有限子集都是闭集，则X是（ ）

①正则空间 ②正规空间 ③ T1空间 ④ T4空间

答案：③

7、设X是一个拓扑空间，若对?x?X及x的每一个开邻域U，都存在x的一个开 邻域V,使得V?U,则X是（ ）

①正则空间 ②正规空间 ③ T1空间 ④ T4空间

1

答案：①

8、设X是一个拓扑空间，若对X的任何一个闭集A及A的每一个开邻域U，都存 在A的一个开邻域V,使得V?U,则X是（ ）

①正则空间 ②正规空间 ③ T1空间 ④ T4空间

答案：② 9、设X?{1,2，3}，T?{X,?,{1},{2，3}}，则(X,T)是( )

①T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 正规空间

答案：④

3}，T?{X,?,{3},{1，2}}，则(X,T)是( ) 10、设X?{1,2，①T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 正则空间

答案：④ 11. 设（X., T ）是度量空间，则（X., T ）不必是：（ ）

（A）A1空间（B）正规空间（C）紧致空间（D）T2空间

答案：C 12. 下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ D ）

(A) T1公理 (B) T2公理 (C) T3公理 (D) T4公理 二、填空题

1．T1空间__不一定是______有限补空间，有限补空间 ___是______T1空间。(填” 是”或”不是”或”不一定是”)。

2. 正规空间的每一个 闭子空间 也是正规空间. 可分空间的每一个 开子空间 也是可分空间.

三．判断题

1、设X?{1,2,3}，T?{X,?,{1},{2},{1,2}}，则(X,T)是T3空间.( )

答案：×

2

理由：因为{2,3}是X的一个闭集，对于点１和{2,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X不是正则空间，从而不是T3空间. 注：也可以说明X不是T1空间．

3}，T?{X,?,{1},{3},{1,3}}，则(X,T)是T4空间.( ) 2、设X?{1,2，答案：×

理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X不是T1 空间．故

(X,T)是T4空间.

注：也可以考虑点２和点３. 3、T3空间一定是T2空间.（ ）

答案：√

理由：因为T3空间是正则的T1空间，所以对于T3空间X中的任意不同的两点

x,y?X，{y}是X中的闭集，由于X是正则空间，从而对于x,{y}它们有各自

的开邻域U,V使得U?V??，所以X是T2空间. 4．具有可数基的正则空间是正规空间。 （ √ ）

5．在A2且T3的拓扑空间中，紧致子集是有界闭集。 （ √ ） 6．在T0空间中，A的凝聚点的任一邻域中含有A的无限多个点 。（× ）

四．简答题（每题4分）

1、设X是一个T1空间，试说明X的每一个单点集是闭集.

答案：对?x?X，由于X是T1空间，从而对每一个y?X,y?x，点y有一个邻域U使得x?U，即U?{x}??，故y?{x}，因此{x}?{x},这说明单点集{x}是一个闭集.

2、设X是一个拓扑空间，若X的每一个单点集都是闭集，试说明X是一个T1空间.

答案：对于任意x,y?X,x?y，{x},{y}都是闭集，从而{x}?和{y}?分别是y和x

3

的开邻域，并且有x?{x}?,y?{y}?.从而X是一个T1空间.

3、若X是一个正则空间，试说明：对?x?X及x的每一个开邻域U，都存在x的

一个开邻域V,使得V?U.

答案: 对?x?X,设U是x的任何一个开邻域，则U的补集U?是一个不包含点x的一个闭集.由于X是一个正则空间，于是x和U?分别有开邻域V和W,使得V?W??，因此V?W?，所以V?W???W??U.

4、若X是一个正规空间，试说明：对X的任何一个闭集A及A的每一个开邻域U，

都存在A的一个开邻域V,使得V?U.

答案：设A是X的任何一个闭集，若A是空集，则结论显然成立.下设A不是空集，则对A的任何一个开邻域U，则U的补集U?是一个不包含点A的一个闭集. 由于X是一个正规空间，于是A和U?分别有开邻域V和W,使得

V?W??，因此V?W?，所以V?W???W??U.

5、试说明T1空间X的任何一个子集的导集都是闭集.

答案：设A是X的任何一个子集，若A是空集，则d(A)??，从而A的导集是闭集.下设A不是空集，则对?x?(d(A)?),则x有开邻域U,使得

(U?{x})?A??，由于X是T1空间，从而U?{x}是开集，故

U?{x}?(d(A))?,于是U?(d(A))?,所以(d(A))?是它每一点的邻域，故(d(A))?是开集，因此d(A)是闭集. 五、证明题

1、设X是一个T1空间,A?X,x?d(A),证明：x的每一个邻域U中都含有A中的 无限多个点.（即U?A是无限集）

证明：设x?d(A)，若x有一个开邻域U含有A中的有限多个点，

设B?U?A?{x},则B是一个有限集，从而B是一个闭集，故U?B是一个开集且是x的一个开邻域.

4

又易知(U?B)?(A?{x})??,从而x?d(A)，矛盾.故U含有A中的无限多个点. 2、设X是一个正则空间，A是X的闭子集,x?A，证明：x和A分别有开邻域U和

V使得U?V??.

证明：由于X是一个正则空间，从而x和A分别有开邻域W和V使得

W?V??，故V?W?，因此V?W?. ………………4分

又由正则空间的性质知：存在x的开邻域U使得U?W,从而

U?V??. ……………………………………………………8分

3、证明：每一个正则且正规的空间都是完全正则的.

证明：设X是一个既正则又正规的空间.设x?X,B是X中的不含点x的闭集，从而B?是x的一个开邻域.

再由X是正则的，故此存在x的一个开邻域U使得U?B?.于是A?U与B是两个不相交的闭集.

而X又是正规的，由Urysohn引理，故存在一个连续函数f:X?[0,1]使得对任意所为a?A，f(a)?0，特别f(x)?0和b?B，f(b)?1. 这说明X是完全正则的. …………………12分

4、设{xi}是T2空间X的一个收敛序列,证明：{xi}的极限点唯一. 证明：若极限点不唯一，不妨设limxi?y1,limxi?y2,其中y1?y2，

i??i??由于X是T2空间，故y1和y2各自的开邻域U,V，使得U?V??. 因limxi?y1，故存在N1?0，使得当i?N1时，xi?U；

i??同理存在N2?0，使得当i?N2时，xi?V.令N?max{N1,N2}, 则当i?N时，xi?U?V，从而U?V??,矛盾， 故{xi}的极限点唯一.

5、X是T4空间，B为X的一个拓扑基，则对于每一个B?B及x?B,都有一个B1?B

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