数学竞赛综合训练题10.12

高中数学竞赛综合训练题10.12

姓名 得分

一、选择题

1．如果?A1BC11的三个内角的余弦值分别等于?A2B2C2的三个内角的正弦值，则（ ） A．?A1B1C1和?A2B2C2都是锐角三角形 B．?A1B1C1和?A2B2C2都是钝角三角形

C．?A1B1C1是钝角三角形，?A2B2C2是锐角三角形 D．?A1B1C1是锐角三角形，?A2B2C2是钝角三角形

2．过原点的直线l交双曲线xy??22于P、Q两点，其中P点在第二象限，现将上、下两个半平面沿x轴折成直二面角，此时，点P的位置落到点P?上，则线段P?Q的最短长度是 ( ) A. 22 B. 32 C. 42 D. 4 3．设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α ( )

A．不存在 B．只有1个 C．恰有4个 D．有无数多个

4．已知S 是由n(n≥3)个正整数组成的集合。若S中存在三个不同的元素可构成三角形的三边，则称S为“三角数集”，设有连续正整数组成的集合{4，5，6，?,m},它的所有10元子集都是三角数集，则m的最大值可能是（ ） A．1003 B. 503 C. 253 D. 103

5．若对任意的长方体A，都存在一个与A等高的长方体B，使得B与A的侧面积之比和体积之比都等于λ，则λ的取值范围是( )

(A) λ>0 (B)0<λ≤1 (C) λ>l (D) λ≥l 二、填空题 6．已知函数f(x)?对于实数a的某些值，可以找到相应正数b，使得f?x?ax2?bx满足：

的定义域与值域相同，那么符合条件的实数a的个数是

(x2?1)cos??x(cos??5)?3?sin??1恒成立，则?的取值7．对于一切实数x，不等式2x?x?1范围是

8．将等差数列{ an }：an=4n-1中所有能被3或5整除的数删去后，剩下的数自小到大排成

一个数列{ bn}，则b2006的值为 yx

9．在双曲线﹣=1的一支上不同三点，A、B(26,6)、C与焦点F(0，5)的距离成等差数

1213列，则线段AC的垂直平分线l经过的定点为 .

10．数列{an }称为等差比数列，当且仅当此数列满足a0=0，{an+1-qan }构成公比为 q的等比数列．q称为此等差比数列的差比．那么，由100以内的自然数构成等差比数列 而差比大于1时，项数最多有 项．

11．已知在三棱锥S-ABC中，SC⊥CB，SA⊥AB，CB⊥AB，并且SA、SC与△ABC所在平面所成的角相等．若AC=6，S到平面ABC的距离为4，则异面直线AC与SB之间 的距离为

12．设圆C：x2?y2?3，直线l:x?3y?6?0，点P?x0,y0??l，使得存在点Q?C，使?OPQ?60?(O为坐标原点),则x0的取值范围是

二、解答题

1．整数列u0，u1，u2，u3，?满足u0=l，且对于每个正整数n，有un+1un-1=kun,这里k是某个固定的正整数．如果u2000=2000，求k的所有可能的值．

2

2

????y22．P、Q、M、N四点都在椭圆x??1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知PF2??????????????????????与FQ共线，MF与FN共线，且PF?MF?0．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．

2

3．设集合A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数?(x)组成的集合：

①对任意x?[1,2]，都有?(2x)?(1,2) ；

②存在常数L(0?L?1)，使得对任意的x1,x2?[1,2]， 都有|?(2x1)??(2x2)|?L|x1?x2| 试解答下列问题：

(Ⅰ)设?(x)?31?x,x?[2,4]，证明：?(x)?A

(Ⅱ)设?(x)?A,如果存在x0?(1,2),使得x0??(2x0),那么这样的x0是唯一的; (Ⅲ)设?(x)?A,任取xl?(1,2),令xn?1??(2xn),n?1,2,???,证明：给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式|xk?l

Lk?1?xk|?|x2?x1|

1?L2007高中数学竞赛训练题10.12

姓名 得分

1．已知函数f(x)?ax2?bx满足：对于实数a的某些值，可以找到相应正数b，使得

f?x?的定义域与值域相同，那么符合条件的实数a的个数是（ ）

A．1个 B． 2个 C． 3个 D．不存在

a?0时，f(x)?bx (b＞0) 的定义域与值域都是?0,???

当a?0时，f(x)?ax2?bx的定义域是ax2?bx≥0的解集，即为

b?[0,?]a?0??a，但由于它的值域不含负数，故必a＜0， ?b?(??,?]?[0,??)a?0?a?bb2此时值域为[0,f(?)]?[0,?]

2a4abb2所以????a??4，所以a有两个值0和－4。

a4a2．如果?A1BC11的三个内角的余弦值分别等于?A2B2C2的三个内角的正弦值，则（ ） A．?A1B1C1和?A2B2C2都是锐角三角形 B．?A1B1C1和?A2B2C2都是钝角三角形 C．?A1B1C1是钝角三角形，?A2B2C2是锐角三角形 D．?A1B1C1是锐角三角形，?A2B2C2是钝角三角形

解：?A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则?A1BC11是锐角三角形，若?A2B2C2是锐角

????sinA?cosA?sin(?A)A??A12112??22???????三角形，由?sinB2?cosB1?sin(?B1)，得?B2??B1，那么，A2?B2?C2?，

222??????sinC?cosC?sin(?C)C??C12112??22??所以?A2B2C2是钝角三角形。故选D。

3．过原点的直线l交双曲线xy??22于P、Q两点，其中P点在第二象限，现将

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fyhf.html