中考数学重难点专题讲座第八讲动态几何与函数问题

中考数学重难点专题讲座 第八讲 动态几何与函数问题

【前言】

在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。不过从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。

【例1】

如图①所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上.过点B、C作直线l.将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E.

（1）将直线l向右平移，设平移距离CD为t（t≥0），直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部份）为s，s关于t的函数图象如图②所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，且NQ平行于x轴，N点横坐标为4，求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积. （2）当2?t?4时，求S关于t的函数解析式.

【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。很多考生看到图二的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个M点是何含义，于是无从下手。其实M点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N点表示移动距离超过4之后阴影部

分面积就不动了。脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D移动过了0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。第二问建立函数式则需要看出当2?t?4时，阴影部分面积就是整个梯形面积减去△ODE的面积，于是根据这个构造函数式即可。动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系，然后利用对应关系去分段求解。 【解】

（1）由图（2）知，M点的坐标是（2，8） OA?4； ∴由此判断：AB?2，∵N点的横坐标是4，NQ是平行于x轴的射线， ∴CO?4 ∴直角梯形OABC的面积为：（2）当2?t?4时，

阴影部分的面积=直角梯形OABC的面积??ODE的面积 (基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系) 1∴S?12?OD?OE

211?AB?OC??OA??2?4??4?12..... (3分) 22∵

OD1?，OD?4?t OE2∴OE?2?4?t? .

12∴S?12??2?4?t???4?t??12??4?t?

2S??t2?8t?4.

【例2】

已知：在矩形AOBC中，OB?4，OA?3．分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数y?k(k?0)的图象与AC边交于点E． x（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；

（2）记S?S△OEF?S△ECF，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？

（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？

若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【思路分析】本题看似几何问题，但是实际上△AOE和△FOB这两个直角三角形的底边和高恰好就是E,F点的横坐标和纵坐标，而这个乘积恰好就是反比例函数的系数K。所以直接设点即可轻松证出结果。第二问有些同学可能依然纠结这个△EOF的面积该怎么算，事实上从第一问的结果就可以发现这个矩形中的三个RT△面积都是异常好求的。于是利用矩形面积减去三个小RT△面积即可，经过一系列化简即可求得表达式，利用对称轴求出最大值。第三问的思路就是假设这个点存在，看看能不能证明出来。因为是翻折问题，翻折之后大量相等的角和边,所以自然去利用三角形相似去求解，于是变成一道比较典型的几何题目，做垂线就OK. 【解析】

（1）证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，△AOE与△FOB的面积分别为S1，S2， 由题意得y1?kk，y2?．

x2x1?S1?1111x1y1?k，S2?x2y2?k． 2222?S1?S2，即△AOE与△FOB的面积相等．

3?，F?4，?， (想不到这样设点也可以直（2）由题意知：E，F两点坐标分别为E?，接用X去代入,麻烦一点而已)

?k??3???k?4??S△ECF?11?1??1?ECCF??4?k??3?k?， 22?3??4?

11?S△EOF?S矩形AOBC?S△AOE?S△BOF?S△ECF?12?k?k?S△ECF?12?k?S△ECF

221?1??1??S?S△OEF?S△ECF?12?k?2S△ECF?12?k?2??4?k??3?k?

2?3??4??S??12k?k． 12当

k??1?1?2?????12??6时，S有最大值．

S最大值??1?3． ?1?4?????12?（3）解：设存在这样的点F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，过点E作EN?OB，垂足为N． 由题意得：EN?AO?3，EM?EC?4?11k，MF?CF?3?k， 34?EMN??FMB??FMB??MFB?90，??EMN??MFB．

又

?ENM??MBF?90，

?△ENM∽△MBF．(将已知和所求的量放在这一对有关联的三角形当中)

1??14?k4?1?k?3ENEM3??12?， ???，?1?MB3?1k?MBMF3?1?k?4?12??MB?29． 422222219??k??1??． MB?BF?MF，????????3?k?，解得k?8?4??4??4??BF?k21?． 432?21??存在符合条件的点F，它的坐标为?4，?．

?32?【例3】

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB

上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。 （1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

（3）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

【思路分析】 本题是一道和一元二次方程结合较为紧密的代几综合题，大量时间都在计算上。第三讲的时候我们已经探讨过解决动点问题的思路就是看运动过程中哪些量发生了变化，哪些量没有变化。对于该题来说，当P,Q运动时，△BPQ的高的长度始终不变，即为CD长，所以只需关注变化的底边BQ即可，于是列出函数式。第二问则要分类讨论，牢牢把握住高不变这个条件，通过勾股定理建立方程去求解。第三问很多同学画出图形以后就不知如何下手，此时不要忘记这个题目中贯穿始终的不动量—高，过Q做出垂线以后就发现利用角度互余关系就可以证明△PEQ和△BCD是相似的，于是建立两个直角三角形直角边的比例关系，而这之中只有PE是未知的，于是得解。 这道题放在这里是想让各位体会一下那个不动量高的作用，每一小问都和它休戚相关，利用这个不变的高区建立函数，建立方程组乃至比例关系才能拿到全分。 【解析】

解：（1）如图1，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形。 ∴PM＝DC＝12

A P D

1∵QB＝16－t，∴S＝×12×(16－t)＝96－t

2（2）由图可知：CM＝PD＝2t，CQ＝t。热以B、P、Q三点 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况。

①若PQ＝BQ。在Rt△PMQ中，PQ2?t2?122，由PQ2＝BQ2

B M Q 图1

C

得 t2?122?(16?t)2，解得t＝

7； 2②若BP＝BQ。在Rt△PMB中，BP2?(16?2t)2?122。由BP2＝BQ2 得：

(16?2t)2?122?(16?t)2 即3t2?32t?144?0。

由于Δ＝－704＜0

∴3t2?32t?144?0无解，∴PB≠BQ…

③若PB＝PQ。由PB2＝PQ2，得t2?122?(16?2t)2?122 整理，得3t2?64t?256?0。解得t1?量的取值范围是多少？）

综合上面的讨论可知：当t＝秒或t?角形。

（3）设存在时刻t，使得PQ⊥BD。如图2，过点Q作QE⊥ADS，垂足为E。由Rt△BDC∽Rt△QPE，

16，t2?16（舍）（想想看为什么要舍？函数自变37216秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三3DCPE12t?得，即?。解得t＝9 BCEQ1612所以，当t＝9秒时，PQ⊥BD。 【例4】

A P E O B Q 图2

D C 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）

（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成 为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由； （4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．

D A

P C E Q B

【思路分析】依然是一道放在几何图形当中的函数题。但是本题略有不同的是动点有一个折返的动作，所以加大了思考的难度,但是这个条件基本不影响做题,不需要太专注于其上。首先应当注意到的是在运动过程中DE保持垂直平分PQ这一条件，然后判断t可能的范围.因为给出了AC和CB的长度,据此估计出运动可能呈现的状态.第一问简单不用多说,第二问做出垂线利用三角形内的比例关系做出函数.第三问尤其注意直角梯形在本题中有两种呈现方式.DE//QB和PQ//BC都要分情况讨论.最后一问则可以直接利用勾股定理或者AQ,BQ的等量关系去求解. 8解：（1）1，；

5B （2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴AP?3?t． 由△AQF∽△ABC，BC?52?32?4， 得

QFt4?．∴QF?t． 455Q D A F P 图3

B E Q A

D P 图4

C E C 14∴S?(3?t)?t，

2526即S??t2?t．

55（3）能．

①当DE∥QB时，如图4．

∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形． 此时∠AQP=90°． 由△APQ ∽△ABC，得

AQAP?， ACABB t3?t9即?． 解得t?． 358Q D A

P 图5

B E C ②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC，得

AQAP?， ABACt3?t15即?． 解得t?． 538

Q D A P 图6 （4）t?545或t?． 214G 【注：①点P由C向A运动，DE经过点C． 方法一、连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．

C(E)

34PC?t，QC2?QG2?CG2?[(5?t)]2?[4?(5?t)]2．

55345由PC?QC，得t2?[(5?t)]2?[4?(5?t)]2，解得t?．

55222B Q D A P C(E) 图7 G 方法二、由CQ?CP?AQ，得?QAC??QCA，进而可得

?B??BCQ，得CQ?BQ，∴AQ?BQ?5．∴t?5．

22②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7． 3445(6?t)2?[(5?t)]2?[4?(5?t)]2，t?

5514 【例5】

如图，在Rt△ABC中，?A?90，AB?6，AC?8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ?BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于

R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ?x，QR?y．

（1）求点D到BC的距离DH的长；

（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

B H Q

C

A D P R E

【思路分析】本题也是一道较为典型的题。第一问其实就是重要暗示，算DH的长度实际上就是后面PQ的长度，在构建等腰三角形中发挥重要作用。算DH的方法很多，不用累述。第二问列函数式，最重要的是找到y(QR)和x(BQ)要通过哪些量练联系在一起.我们发现RQ和QC所在的△QRC和△BAC是相似的,于是建立起比例关系得出结果.第三问依然是要分类讨论,但凡看到构成特殊图形的情况都要去讨论一下.不同类之间的解法也有所不同,需要注意一下. 解：（1）

?A?Rt?，AB?6，AC?8，?BC?10．

点D为AB中点，?BD?1AB?3． 2?DHB??A?90，?B??B． ?△BHD∽△BAC，

?DHBDBD312?AC??8?． ，?DH?ACBCBC105（2）

QR∥AB，??QRC??A?90．

△RQC∽△ABC， ?C??C，??RQQCy10?x?，??， ABBC6103x?6． 5即y关于x的函数关系式为：y??（3）存在，分三种情况：

①当PQ?PR时，过点P作PM?QR于M，则QM?RM．

A

?1??2?90，?C??2?90， ??1??C．

D P B 1 M 2 H Q

R E C

?cos?1?cosC?QM484?， ?，?QP51051?3???x?6?425??，?x?18． ??12555②当PQ?RQ时，?A D B H

P E Q R C 312x?6?， 55?x?6．

③当PR?QR时，则R为PQ中垂线上的点， 于是点R为EC的中点，

B D H

A

E P R Q

C

11?CR?CE?AC?2．

24QRBAtanC??，

CRCA315?x?66?x?，．

?5?228

综上所述，当x为

1815或6或时，△PQR为等腰三角形． 52【总结】通过以上的例题，大家心里大概都有了底。整体来说这类函数型动态几何题是偏难的，不光对几何图形的分析有一定要求，而且还很考验考生的方程、函数的计算能力。解决这类问题需要注意这么几个点：首先和纯动态几何题一样，始终把握在变化中不动的量将函数的变量放在同一组关系中建立联系,尤其是找出题中是否有可以将这些条件联系起来的相似三角形组来构造比例关系。其次要注意特殊图形如等腰三角形，直角梯形等的分类讨论。第三要注意函数自变量的取值范围，合理筛选出可能的情况。最后就是在计算环节认真细心，做好每一步。

第二部分 发散思考

【思考1】

如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，?B?60°．从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A?C?B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿

A?B?C?D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、

Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这里规定：点

和线段是面积为O的三角形），解答下列问题： （1）点P、Q从出发到相遇所用时间是 秒；

Q从开始运动到停止的过程中，（2）点P、当△APQ是等边三角形时x的值是 秒；

（3）求y与x之间的函数关系式．

【思路分析】此题一二问不用多说，第三问是比较少见的分段函数。需要将x运动分成三个阶段,第一个阶段是0≤X≤3，到3时刚好Q到B.第二阶段是3≤X≤6，Q从B返回来.第三阶段则是再折回去.根据各个分段运动过程中图形性质的不同分别列出函数式即可.

【思考2】

已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.

(1)填空：菱形ABCD的边长是 、面积是 、 高BE的长是 ； (2)探究下列问题：

①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；

②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值.

yDEA OCxB

【思路分析】依然是面积和时间的函数关系，依然是先做垂线，然后利用三角形的比例关系去列函数式。注意这里这个函数式的自变量取值范围是要去求的，然后在范围中去求得S的最大值。最后一问翻折后若要构成菱形，则需三角形APQ为等腰三角形即可，于是继续分情况去讨论就行了。

【思考3】

已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿

AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线

段MN运动的时间为t秒．

（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；

（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形

MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

【思路分析】 第一问就是看运动到特殊图形那一瞬间的静止状态，当成正常的几何题去求解。因为要成为矩形只有一种情况就是PM=QN，所以此时MN刚好被三角形的高线垂直平分，不难。第二问也是较为明显的分段函数问题。首先是N过AB中点之前，其次是N过中点之后同时M没有过中点，最后是M,N都过了中点，按照这三种情况去分解题目讨论。需要注意的就是四边形始终是个梯形，且高MN是不变的，所以PM和QN的长度就成为了求面积S中变化的部分。

这一类题目计算繁琐，思路多样，所以希望大家仔细琢磨这8个经典题型就可以了，中考中总逃不出这些题型的。只要研究透了，面对它们的时候思路上来的就快，做题自然不在话下了。

第三部分 思考题解析

【思考1解析】 解：（1）6． （2）8．

P B

Q C A M N

（3）①当0≤x?3时，

A

Q1

B

P1 P2 E D

O Q3

C

P3

Q2

y?S△APQ?1311332AP·AQ·sin60??·x·2x·?x． 112222②当3≤x?6时，

y?S△APQ=12?1AP2?P2Q22

1AP2·CQ2·sin60?213?x·(12-2x·)22=?32x?33x. 2③当6≤x≤9时，设PQ33与AC交于点O． (解法一)

过Q3作Q3E∥CB,则△CQ3E为等边三角形．

?Q3E?CE?CQ3?2x?12.Q3E∥CB.?△COP3∽△EOQ3

?OCCP3x?61???,OEEQ32x?12211?OC?CE?(2x?12),33

y?S△AQP3?S△ACP3-S△COP311?CP3·AC·sin60°?OC·CP3·sin60°2213113． ?(x?6)·6???(2x?12)(x?6)?22232??3273x?x?153 62

（解法二）

如右图，过点O作OF?CP3于点F，OG?CQ3，于点G, 过点P3作P3H?DC交DC延长线于点H．

?ACB??ACD,

?OF?OG.又CP3?x?6,CQ3,?2x?12?2(x?6),

?S△CQP3?1S△COQ3 2Q3

D

G

C

H F

1?S△COP3?S△CP3Q3,311??·CQ3·P3H32113??(2x?12)(x?6)·322?O P3

A

B

3(x?6)2.61·AC·sin60° 又S△ACP3?CP3213?(x?6)?6?22

33?(x?6).2

?y?S△AOP3 ?S△ACP3?S△OCP3 3332?(x?6)?(x?6)26??

3273x?x?153. 62【思考2解析】 解：（1）5 , 24,

24 5yDPGAQB(图1) （2）①由题意，得AP=t，AQ=10-2t.

如图1,过点Q作QG⊥AD，垂足为G，由QG∥BE得 △AQG∽△ABE,∴∴QG=∴S?QGQA?, BEBAEOCx4848t?, …………………………1分 525124245AP?QG??t2?t(≤t≤5).

22255……1分 ∵S??∴当t=

2455(t?)2?6(≤t≤5).（这个自变量的范围很重要）

22525时，S最大值为6. 2yPEAMFOCxD② 要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组 成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ为等腰三角形即可.

当t=4秒时，∵点P的速度为每秒1个单位，∴AP=4. 以下分两种情况讨论:

第一种情况：当点Q在CB上时, ∵PQ≥BE>PA，∴只存在点Q1,使Q1A=Q1P.

如图2,过点Q1作Q1M⊥AP，垂足为点M，Q1M交AC于点 F,则AM=

BQ1(图2)1AP?2.由△AMF∽△AOD∽△CQ1F,得 2

FMAM?Q1FCQ?OD?3, ∴FM?3, 1AO42∴Q331F?MQ1?FM?10. ∴CQ1=4221?tAPCQ1113QF=5.则k?t?CQ, ∴k?AP?10 . 1第二种情况：当点Q在BA上时,存在两点Q2,Q3, 分别使A P= A Q2,PA=PQ3.

①若AP=AQ2，如图3,CB+BQ2=10-4=6. 则

1?tAPCB?k?t?CB?BQ,∴k?BQ2?32. 2AP②若PA=PQ3，如图4,过点P作PN⊥AB，垂足为N， 由△ANP∽△AEB,得

ANAE?APAB. ∵AE=AB2?BE2?7285 , ∴AN＝25. ∴AQ3=2AN=565619425, ∴BC+BQ3=10-25?25 则1?tAPCB?BQ3k?t?CB?BQ.∴k??97. 3AP50

综上所述，当t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ 沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为1110或32或9750.

【思考3解析】

过点A?作A?N?AB垂足为N点， 在Rt△H?CD中， 若?HDH?不小于60°， 则

H?CH?D≥sin60??32 即H?C≥32H?D?43 B?M?H?C≥43 Rt△A?NP∽Rt△B?MP

yPDAOCxQ2B(图3)yPDEAONCxQ3B(图4)H′ H C D B′ A N A′ P M B

?A?NA?P? B?MB?P?A?N?A?P·B?M6?43≥?23≈3.5cm

B?P12?踏板AB离地面的高度至少等于3.5cm．

26．（10分）

（1）过点C作CD?AB，垂足为D． 则AD?2，

当MN运动到被CD垂直平分时，四边形MNQP是矩形， 即AM?P C

Q

3时，四边形MNQP是矩形， 2A

M D N

B

3秒时，四边形MNQP是矩形． 23PM?AMtan60°=3，

23?S四边形MNQP?3 2?t?（2）1°当0?t?1时，

Q C S四边形MNQP?1(PM?QN·)MN 21??3t?3(t?1)??? 2P B

?3t?3 2A M N C

Q

2°当1≤t≤2时

P S四边形MNQP??1(PM?QN·)MN 2A

M C P

N

B

1?3t?3(3?t)?·1 ??23?3 21(PM?QN·)MN 2A

3°当2?t?3时，

S四边形MNQP??1?3(3?t)?3(4?t)??? 27??3t?3 2Q M

N B

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