高一数学专题讲座抽象函数

抽象函数专题讲座

郑严

抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数。 一.抽象函数定义域

1．已知f(x)的定义域，求f g(x) 的定义域

其解法是：若f(x)的定义域为a≤x≤b，则在f g(x) 中，a≤g(x)≤b，从中解得x的取值范围即为f g(x) 的定义域．

例1.已知函数f(x)的定义域为 15， ，求f(3x 5)的定义域． 解： f(x)的定义域为 15， ， 1≤3x 5≤5，

故函数f(3x 5)的定义域为 ．

332、已知f g(x) 的定义域，求f(x)的定义域

其解法是：若f g(x) 的定义域为m≤x≤n，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域．

例2 已知函数f(x2 2x 2)的定义域为 0，3 ，求函数f(x)的定义域． 解：由0≤x≤3，得1≤x 2x 2≤5．

2

令u x 2x 2，则f(x 2x 2) f(u)，1≤u≤5．

2

2

410≤x≤． 33

410

故f(x)的定义域为 15， ． 二.抽象函数表达式与函数值

1. 换元法.

例3. 已知f(1+ x2)=2+ x2+x4, 求f(x)

解:令t=1+ x2 t 1x=t-1

原式即为：f(t)=2+t-1+(t-1)=t-t+2

2

2

2

f(x)=x2-x+2 x 1

2.待定系数法：如果抽象函数的类型是确定的，可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。

例4.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x). 解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)

代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.

3.赋值法：有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。

例5.对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 解:令x=y=0,得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,

11

f(1) 0, f(1) .令x n,y 1,得f(n 1) f(n) 2[f(1)]2 f(n) ,

221n2001

即 f(n 1)-f(n) ,故f(n) , f(2001) .

222

三、抽象函数的模型构造

1、线性函数型抽象函数

f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）

例6、已知函数f(x)对任意实数x，y，均有f(x y) f(x) f(y)，且当x 0时，

f(x) 0，f( 1) 2，求f(x)在区间[－2，1]上的值域。

解：设x1 x2，则x2 x1 0，∵当x 0时，f(x) 0，∴f(x2 x1) 0， ∵f(x2) f (x2 x1) x1 f(x2 x1) f(x1)，

∴f(x2) f(x1) f(x2 x1) 0，即f(x1) f(x2)，∴f(x)为增函数

在条件中，令y＝－x，则f(0) f(x) f( x)，再令x＝y＝0，则f(0) 2f(0)， ∴ f(0) 0，故f( x) f(x)，f(x)为奇函数， ∴ f(1) f( 1) 2，又f( 2) 2f( 1) 4， ∴f(x)的值域为［－4，2］。

2、指数函数型的抽象函数

f（x）＝a------------- f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝

x

f(x)

f(y)

例7．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m,n，总有f(m n) f(m) f(n)，且当x 0时，0 f(x) 1．

（1）试求f(0)的值；

（2）判断f(x)的单调性并证明你的结论； （3）试举出一个满足条件的函数f(x)． 解：（1）在f(m n) f(m) f(n)中， 令m 1,n 0．得：f(1) f(1) f(0)． 因为f(1) 0，所以，f(0) 1．

（2）要判断f(x)的单调性，可任取x1,x2 R，且设x1 x2．

在已知条件f(m n) f(m) f(n)中，若取m n x2,m x1，则已知条件可化为：

f(x2) f(x1) f(x2 x1)

．

由于x2 x1 0，所以1 f(x2 x1) 0．

为比较f(x2),f(x1)的大小，只需考虑f(x1)的正负即可．

在f(m n) f(m) f(n)中，令m x，n x，则得f(x) f( x) 1． ∵ x 0时，0 f(x) 1，

∴ 当x 0时，f(x)

1

1 0.．

f( x)

又f(0) 1，所以，综上，可知，对于任意x1 R，均有f(x1) 0． ∴f(x2) f(x1) f(x1)[f(x2 x1) 1] 0． ∴ 函数f(x)在R上单调递减．

1

（3）如f(x) ．

2

3、对数函数型的抽象函数

x

f（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（

x

）＝ f（x）－f（y） y

例8、已知函数f(x)满足定义域在(0, )上的函数，对于任意的x,y (0, )，都有

f(xy) f(x) f(y)，当且仅当x 1时，f(x) 0成立，

y

（1）设x,y (0, )，求证f() f(y) f(x)；

x

（2）设x1,x2 (0, )，若f(x1) f(x2)，试比较x1与x2的大小；

（3）解关于x的不等式fx (a 1)x a 1 0

证明：（1）∵f(xy) f(x) f(y)，∴f() f(x) f(y)， ∴f() f(y) f(x)

（2）∵f(x1) f(x2)，∴f(x1) f(x2) 0， 即f(

2

y

x

yx

x1x

) f(x1) f(x2) f(1) 0 x2x2

x1

1，x1 x2 x2

（3）令x y 1代入f(xy) f(x) f(y)得f(1) f(1) f(1)，f(1) 0，

∵当且仅当x 1时，f(x) 0成立，∴当f(x) 0时，x 1，∴

∴关于x的不等式fx2 (a 1)x a 1 0为fx2 (a 1)x a 1 f(1)，由（2）可知函数f(x)在定义域(0, )上是减函数，∴0 x2 (a 1)x a 1 1，由

1 x a，当a 1时，此时x2 (a 1)x a 1 0成立；当a 1x2 (a 1)x a 1 1得，

时，a x 1，此时x2 (a 1)x a 1 0成立；当a 1，x 1，此时

x2 (a 1)x a 1 0成立。 4、幂函数型的抽象函数

xf(x)

； f(x) x2 --------------f(xy) f(x)f(y)，f()

yf(y)

例9.已知定义在 - ,0 0,+ 上的函数f(x)对任何x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)>0,当x>1时,有f(x)<1.

（1）判断f(x)的奇偶性

（2）判断并证明f(x)在(0,+∞)上的单调性. （3）求解不等式f(

3x

)≥1 2

x-4

解:（1）令y＝－1，则f(-x) f(x) f( 1)， 再令x＝y＝1，则f(1) f(1)2，∴ f(1) 1， 再令x＝y＝-1，则f(1) f(-1)2，∴ f(-1) 1， 故f( x) f(x)，f(x)为偶函数，

（2）对x R 有f(x) f(x x) f2(x) 0,又f(x) 0,故f(x) 0

设x1,x2 R ,且x1 x2,则

x2

1,则 x1

f(x2)

f(x1)

f(

x2x

x1)f(2) f(x1)x1x1x

f(2) 1

f(x1)f(x1)x1

所以f(x1)>f(x2),故f(x)在R+上为减函数.

(3)由（2）知函数在定义域内是单调递减的．

不等式f(

3x3x

1=f(1))≥即为0< 1 22

x-4x-4

解得：x的范围 - ，-4 -1，0）（ 0，1 4，+

学生练习：

一．填空题

1. 若f(x)的定义域为 3，5 ，则 (x) f( x) f(2x 5)的定义域为．[-4,0] 2.若函数f(2x 1)的定义域为 1, ,则函数f(log2x)的定义域为

3 2 1 2

3、函数f(x)的定义域为(0, )，对 任意正实数x,y都有f(xy)= f(x)+f(y) 且f(4)=2

，则

1

f

2

4．（1）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x 1) 2f(x 1) 2x 17，

113

f(x)=（2）已知f(x ) x 3，f(x)=；

xx

答案：（1）f(x) 2x 7 （2）f(x) x3 3x（x 2或x 2）。

5.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在 0, 是增函数,f() 0,则不等式f(log1x) 0的

8

1

3

解集是______.

解:由已知f(log1x) 0 f(log1x) f() log1x

8

13

13

8

13

8

111 log1x 或log1x 33388

∴x ,或x

1

8 1 8

x 或x 2.

12

6.已知f(x)是定义在( 3,3)上的奇函数，当0 x 3时，

f(x)的图像如右图所示，那么不等式f(x) x 0的

解集是_____________；(-1,0) (0,1)

7.如果f(x y) f(x)f(y),且f(1) 2,则__ 2000

f(2)f(4)f(6)f(2000)

的值是_____f(1)f(3)f(5)f(1999)

1，都有f (x＋x)＝f (x)·f (x)，且

12128．设f (x)是定义在R上的函数。对任意x1，x2 [0.

1

f(1)＝a＞0．f()的值为_______

解： 由f(x1) f(x2) f(x1)f(x2),x1,x2 [0,

1

知： xx

f(x) f()f)≥0，x∈[0，1]

111111

∵f(1) f( ) f)f) [f()]2，f (1)＝a＞0，∴f() a2

2

1111111

∵f() f( ) f(f() [f(2，∴f() a4

4

二、解答题

9、已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，

1

1

f(3)＝ 5，求不等式f(a2 2a 2) 3的解.

解：先证明函数f（x）在R上是增函数；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.得a -1,3

10.设定义在R上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2

1

(1)解不等式f(3x x2) 4,;(2)解方程[f(x)]2 f(x 3) f(2) 1.

2

解:(1)先证f(x)>0,且单调递增，因为f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),x>0时f(x)>1,所以f(0)=1.

xxx

又f(x) f( ) [f()]2 0,假设存在某个xo R,使f(xo) 0,则

222

f(x)=f[(x-xo)+xo]=f(x-xo)f(xo)=0,与已知矛盾，故f(x)>0

任取x1,x2∈R且x1<x2,则x2-x1>0,f(x2-x1)>1,

所以f(x1)-f(x2)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]>0. 所以x∈R时,f(x)为增函数. 解得:{x|1<x<2}

(2)f(1)=2,f(2)=2,f(3)=8,原方程可化为:[f(x)]2+4f(x)-5=0,解得f(x)=1或f(x)=-5（舍) 由(1)得x=0.

11．.函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R,有f(x)>0;②对任意x,y R,有f(xy) [f(x)]y;③f() 1. (1)求f(0)的值;

(2)求证: f(x)在R上是单调增函数;

2

(3)若a b c 0且b ac,求证:f(a) f(c) 2f(b).

13

(1)解: ∵对任意x R,有f(x)>0, ∴令x 0,y 2得,f(0) [f(0)] f(0) 1 (2)任取任取x1,x2 R,且x1 x2,则令x1

2

11

p1,x2 p2,故p1 p2 33

∵函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R,有f(x)>0;②对任意x,y R,

y

有f(xy) [f(x)];③f() 1

13

∴f(x1) f(x2) f(p1) f(p2) [f()]1 [f()]∴f(x1)<f(x2)

∴函数f(x)是R上的单调增函数.

(3) 由（1）（2）知，f(b) f(0) 1，∴f(b) 1

1

31313

p

13

p2

<0

ac

ac

∵f(a) f(b ) f(b) b,f(c) b f(b) b

b b

a

b

cb

∴f(a) f(c) f(b)

f(b)

∴

，而a c 2b

2f(b)

∴f(a) f(c) 2f(b)

12.定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x＞0时f(x)＜0恒成立.

(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；

(2)证明f(x)为减函数；若函数f(x)在[-3，3）上总有f(x)≤6成立，试确定f(1)应满足的条件；

11

(3)解关于x的不等式f(ax2) f(x) f(a2x) f(a),(n是一个给定的自然数,a 0)

nn

解:（1）由已知对于任意x∈R，y∈R，f（x+y）=f（x）+ f（y）恒成立 令x=y=0，得f（0+0）= f（0）+ f（0），∴f（0）=0

令x=-y，得f(x-x)= f(x)+ f(-x)=0∴对于任意x，都有f(-x)= - f(x)∴f(x)是奇函数. （2）设任意x1，x2∈R且x1＜x2，则x2-x1＞0，由已知f（x2-x1）＜0（1） 又f（x2-x1）= f（x2）+ f（-x1）= f（x2）- f（x1）（2） 由（1）（2）得f(x1)＞f(x2),根据函数单调性的定义知f(x)在(-∞，+∞)上是减函数. ∴f(x)在[-3，3]上的最大值为f(-3).要使f(x)≤6恒成立，当且仅当f(-3)≤6，

又∵f（-3）= - f（3）= - f（2+1）=-[ f（2）+ f（1）]= -[ f（1）+ f（1）+ f（1）]= -3 f（1）， ∴f（1）≥-2.

11

（3） f（ax2）- f（x）＞ f（a2x）- f（a）

nn

f（ax2）- f（a2x）＞n[f（x）- f（a）] f（ax2-a2x）＞nf（x-a）（10分） 由已知得：f[n（x-a）]=nf（x-a） ∴f（ax2-a2x）＞f[n（x-a）]

∵f（x）在（-∞，+∞）上是减函数 ∴ax2-a2x＜n（x-a）.即（x-a）（ax-n）＜0， ∵a＜0，

n

∴（x-a）（x-）＞0，（11分）

a

n

讨论：（1）当a＜＜0，即a＜-n时，

a

n

原不等式解集为{x | x＞或x＜a}；

a

n

（2）当a=＜0即a=-n时，原不等式的解集为φ；

a

nn

（3）当＜a＜0时，即-n＜a＜0时， 原不等式的解集为{x | x＞a或x＜}

aa

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/npji.html