宁夏大学附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)

宁夏大学附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）

一、选择题（每小题5分，共60分）

2

1．（5分）不等式x﹣x﹣2＞0的解集是（） A． （﹣，1） ﹣）∪（1，+∞）

2．（5分）若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（） A． C．

3．（5分）若x，y满足约束条件

A． ﹣3

B． 0

，则z=x﹣y的最小值是（） C．

D．3

B． a＞b D． a|c|＞b|c|

2

2

B． （1，+∞） C． （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D． （﹣∞，

4．（5分）命题“若p则q”的逆否命题是（） A． 若q则p B． 若￢p则￢q C． 若￢q则￢p D．若p则￢q 5．（5分）已知集合M={x|0＜x＜1}，集合N={x|﹣2＜x＜1}，那么“a∈N”是“a∈M”的（） A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 6．（5分）若命题“p∨q”与命题“￢p”都是真命题，则（） A． 命p不一定是假命题 B． 命题q一定是真命题 C． 命题q不一定是真命题 D． 命题p与命题q同真同假

7．（5分）数列1，，，，的一个通项公式an是（） A．

8．（5分）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=（） A． 12 B． 16 C． 20

9．（5分）在等比数列an中，若a4=8，q=﹣2，则a7的值为（） A． ﹣64 B． 64 C． ﹣48

B．

C．

D．

D．24

D．48

10．（5分）在数列{an}中，已知a1=a，a2=b，an+1+an﹣1=an（n≥2），则a92等于（） A． a B． b C． b﹣a D．a﹣b

11．（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，a3a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5+log2a6+log2a7=（）

7

A． 7 B． 8 C． 2

上（其中m，n＞0），则

+的最小值等于（） A． 16 B． 12 C． 9

二、填空题（每小题5分，共20分） 13．（5分）等差数列10，8，6，…的第10项为．

14．（5分）在等比数列{an}中，a1=4，公比q=3，则通项公式an=．

15．（5分）命题： x0∈R，使得x0+2x0+5=0的否定是．

16．（5分）当点（x，y）在直线x+3y﹣4=0上移动时，表达式3+27+2的最小值是．

三、解答题

17．（10分）设x＞3，求

y=x+

18．（12分）已知数列{an}满足条件：a1=0，an+1=an+（2n﹣1）． （1）写出数列{an}的前5项；

（2）由前5项归纳出该数列的一个通项公式．（不要求证明）

19．（12分）已知函数f（x）=x+ax+6． （1）当a=5时，解不等式f（x）＜0；

（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．

20．（12分）已知命题p： x∈，2x﹣a≥0．命题q： x∈R，得x+2ax+2﹣a=0．若命题“p∧q”是真命题．求实数a的取值范围．

21．（12分）已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且2a2+2=a4． （1）求数列{an}的通项公式an； （2）设bn=

2

2

x

y

2

D．2

8

12．（5分）函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0

D．8

的最小及对应的x的值．

，求数列{bn}的前n项和Sn．

22．（12分）已知数列{an}中，a1=3，an+1=an+2． （1）求数列{an}的通项公式an；

n

（2）若bn=an×3，求数列{bn}的前n项和Sn．

宁夏大学附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题5分，共60分）

2

1．（5分）不等式x﹣x﹣2＞0的解集是（） A． （﹣，1） ﹣）∪（1，+∞）

考点： 一元二次不等式的解法． 专题： 不等式的解法及应用．

分析： 先将一元二次不等式进行因式分解，然后直接利用一元二次不等式的解法，求解即可．

2

解答： 解：不等式x﹣x﹣2＞0化为：（x﹣2）（x+1）＞0，解得x＞2或x＜﹣1． 所以不等式的解集为：{x|x＞2或x＜﹣1}； 故选：C．

点评： 本题是基础题，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题． 2．（5分）若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）

B． （1，+∞） C． （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D． （﹣∞，

A． C．

B． a＞b D． a|c|＞b|c|

22

考点： 不等关系与不等式． 专题： 计算题．

分析： 本选择题利用取特殊值法解决，即取符合条件的特殊的a，b的值，可一一验证A，B，D不成立，而由不等式的基本性质知C成立，从而解决问题． 解答： 解：对于A，取a=1，b=﹣1，即知不成立，故错； 对于B，取a=1，b=﹣1，即知不成立，故错； 对于D，取c=0，即知不成立，故错；

2

对于C，由于c+1＞0，由不等式基本性质即知成立，故对； 故选C．

点评： 本小题主要考查不等关系与不等式、不等关系与不等式的应用、不等式的基本性质等基础知识，属于基础题．

3．（5分）若x，y满足约束条件

A． ﹣3

考点： 专题： 分析： 解答：

B． 0

，则z=x﹣y的最小值是（） C．

D．3

简单线性规划．

计算题；作图题；不等式的解法及应用．

由题意作出其可行域，求出交点坐标，求最小值． 解：作出其可行域如下图：

则由图知，z=x﹣y取最小值时，

，解得x=1，y=1；

故z=x﹣y的最小值为0． 故选B．

点评： 本题考查了线性规划的应用，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题． 4．（5分）命题“若p则q”的逆否命题是（） A． 若q则p B． 若￢p则￢q C． 若￢q则￢p D．若p则￢q

考点： 四种命题间的逆否关系． 专题： 概率与统计．

分析： 否定命题的条件做结论，否定命题的结论做条件，即可得到命题的逆否命题．

解答： 解：逆否命题是：否定命题的条件做结论，否定命题的结论做条件， 所以命题“若p则q”的逆否命题是：若￢q则￢p． 故选：C．

点评： 本题考查命题的逆否命题，四种命题的关系，基本知识的考查． 5．（5分）已知集合M={x|0＜x＜1}，集合N={x|﹣2＜x＜1}，那么“a∈N”是“a∈M”的（） A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 规律型．

分析： 紧扣充要条件的定义，先判必要性（若B，则A为真命题），再判充分性（若A，则B为真命题）．

解答： 解：∵M N，∴a∈M a∈N，而命题若a∈N，则a∈M，不成立． 故选B

点评： 本题借助数集来考查必要、充分、充要条件的判定． 6．（5分）若命题“p∨q”与命题“￢p”都是真命题，则（） A． 命p不一定是假命题 B． 命题q一定是真命题 C． 命题q不一定是真命题 D． 命题p与命题q同真同假

考点： 复合命题的真假． 专题： 简易逻辑．

分析： 由￢p为真得p为假，然后p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，推出q为真，然后逐项判断．

解答： 解：∵￢p是真命题，∴p为假命题， 又∵p∨q为真，∴q为真命题， 故选：B．

点评： 本题考察复合命题的真假关系和判断，记住：p∨q，全假时假，p∧q全真时真，p与￢p真假相反．

7．（5分）数列1，，，，的一个通项公式an是（） A．

B．

C．

D．

考点： 数列的概念及简单表示法． 专题： 阅读型．

分析： 将原数列中的第一项写成分式的形式：，再观察得出每一项的分子是正整数数列，分母是正奇数数列，从而得出数列1，，，，的一个通项公式an． 解答： 解：将原数列写成：，，，，．

每一项的分子是正整数数列，分母是正奇数数列， ∴数列1，，，，的一个通项公式an是

．

故选B．

点评： 本题主要考查了数列的概念及简单表示法、求数列的通项公式．关键推断{an}中每一项的分式的规律求得数列的通项公式．

8．（5分）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=（） A． 12 B． 16 C． 20

考点： 等差数列的性质． 专题： 计算题．

D．24

分析： 利用等差数列的性质可得，a2+a10=a4+a8，可求结果 解答： 解：由等差数列的性质可得，则a2+a10=a4+a8=16， 故选B

点评： 本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础试题

9．（5分）在等比数列an中，若a4=8，q=﹣2，则a7的值为（） A． ﹣64 B． 64 C． ﹣48 D．48

考点： 等比数列的通项公式． 专题： 计算题；压轴题．

分析： 根据等比数列的通项公式化简第4项，把公比q的值代入即可求出首项，根据是首项和公比写出等比数列的通项公式，把n=7代入即可求出a7的值．

33

解答： 解：因为a4=a1q=a1×（﹣2）=﹣8a1=8，所以a1=﹣1，

n﹣1

则等比数列的通项公式an=﹣（﹣2），

6

所以a7=﹣（﹣2）=﹣64． 故选A

点评： 此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道基础题．

10．（5分）在数列{an}中，已知a1=a，a2=b，an+1+an﹣1=an（n≥2），则a92等于（） A． a B． b C． b﹣a D．a﹣b

考点： 数列递推式．

专题： 点列、递归数列与数学归纳法．

分析： 根据数列的递推关系得到数列{an}是周期为6的周期数列，即可得到结论． 解答： 解：∵a1=a，a2=b，an+1+an﹣1=an（n≥2）， ∴an+2+an=an+1（n≥2），

两式联立得an+2+an+1+an﹣1=an+1（n≥2）， 即an+2+an﹣1=0， 即an+3+an=0， 即an+3=﹣an，

则an+6=﹣an+3=an，

故数列{an}是周期为6的周期数列，

则a92=a15×6+2=a2=b， 故选：B

点评： 本题主要考查数列通项公式的求解，根据递推公式求出数列数列{an}是周期为6的周期数列是解决本题的关键．

11．（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，a3a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5+log2a6+log2a7=（）

7

A． 7 B． 8 C． 2

考点： 等比数列的性质．

专题： 计算题；等差数列与等比数列．

D．2

8

分析： 由等比数列的性质：a1a8=a2a6=a3a5=a4=4，再由对数的运算法则求解即可．

2

解答： 解：由等比数列的性质：a1a8=a2a6=a3a5=a4=4，

7

而log2a1+log2a2+…+log2a7=log2a1a2…a7=log22=7 故选A．

点评： 本题考查等比数列的性质的应用和对数的运算法则，属基础知识、基本运算的考查．

12．（5分）函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上（其中m，n＞0），则

+的最小值等于（）

A． 16 B． 12 C． 9 D．8

考点： 基本不等式在最值问题中的应用． 专题： 综合题；不等式的解法及应用．

分析： 根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．

解答： 解：∵x=﹣2时，y=loga1﹣1=﹣1，

∴函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1）， ∵点A在直线mx+ny+1=0上， ∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1， ∵mn＞0，

2

∴m＞0，n＞0，+=（2m+n）（+）=4++当且仅当m=，n=时取等号．

≥8，

故选D．

点评： 本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是2015届高考考查的重点内容．

二、填空题（每小题5分，共20分） 13．（5分）等差数列10，8，6，…的第10

考点： 等差数列．

专题： 等差数列与等比数列．

分析： 求出等差数列的通项公式即可．

解答： 解：等差数列的首项为10，公差d=8﹣10=﹣2， 则数列的通项公式为an=10﹣2（n﹣1）=﹣2n+12， 故第10项为a10=﹣20+12=﹣8， 故答案为：﹣8

点评： 本题主要考查等差数列的通项公式的应用，比较基础．

14．（5分）在等比数列{an}中，a1=4，公比q=3，则通项公式an

考点： 等比数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： 把已知数据代入等比数列的通项公式即可． 解答： 解：∵等比数列{an}中，a1=4，公比q=3，

n﹣1n﹣1

∴通项公式an=a1q=4×3

n﹣1

故答案为：4×3

点评： 本题考查等比数列的通项公式，属基础题．

n﹣1

．

15．（5分）命题： x0∈R，使得x0+2x0+5=0的否定是．

考点： 命题的否定． 专题： 简易逻辑．

分析： 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．

2

解答： 解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题： x∈R，使得x+2x+5≠0．

2

故答案为： x∈R，使得x+2x+5≠0．

点评： 本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．

22

16．（5分）当点（x，y）在直线x+3y﹣4=0上移动时，表达式3+27+2的最小值是．

考点： 基本不等式．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 利用基本不等式的性质、指数的运算性质即可得出． 解答： 解：∵点（x，y）在直线x+3y﹣4=0上移动， ∴x+3y=4．

xy

∴3+27+2

x

y

xy

+2=+2=18+2=20，当且仅当x=3y=2时取等号．

∴3+27+2的最小值是20． 故答案为：20．

点评： 本题考查了基本不等式的性质、指数的运算性质，属于基础题．

三、解答题

17．（10分）设x＞3，求

y=x+

的最小及对应的x的值．

考点： 专题： 分析： 解答： 基本不等式．

不等式的解法及应用．

变形利用基本不等式的性质即可得出． 解：∵x＞3，∴x﹣3＞0．

∴y=x﹣3+∴

y=x+

+3≥+3=7，当且仅当x=5时取等号．

的最小值为7，此时对应的x=5．

点评： 本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．

18．（12分）已知数列{an}满足条件：a1=0，an+1=an+（2n﹣1）． （1）写出数列{an}的前5项；

（2）由前5项归纳出该数列的一个通项公式．（不要求证明）

考点： 数列递推式．

专题： 点列、递归数列与数学归纳法．

分析： （1）根据数列的递推公式即可写出数列{an}的前5项； （2）由前5项归纳出该数列的一个通项公式． 解答： 解：（1）∵a1=0，an+1=an+（2n﹣1）． ∴a2=a1+（2﹣1）=1，a3=a2+（4﹣1）=1+3=4，a4=a3+（6﹣1）=4+5=9，a5=a4+（8﹣1）=9+7=16；

22222

（2）∵a1=0，a2=1=1，a3=4=2，a，4=9=3，a5=16=4，

2

则由前5项归纳出该数列的一个通项公式an=（n﹣1）． 点评： 本题主要考查递推数列的应用，比较基础．

19．（12分）已知函数f（x）=x+ax+6． （1）当a=5时，解不等式f（x）＜0；

（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．

考点： 一元二次不等式的解法；二次函数的性质． 专题： 计算题．

2

分析： （1）首先把一元二次不等式变为x+5x+6＜0，然后运用因式分解即可解得不等式的解集；

2

（2）要使一元二次不等式x+ax+6＞0的解集为R，只需△＜0，求出实数a的取值范围即可．

解答： 解：（1）∵当a=5时，不等式f（x）＜0即 x+5x+6＜0， ∴（x+2）（x+3）＜0， ∴﹣3＜x＜﹣2．

∴不等式f（x）＜0的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2} （2）不等式f（x）＞0的解集为R，

2

∴x的一元二次不等式x+ax+6＞0的解集为R，

2

∴△=a﹣4×6＜0 ﹣2＜a＜2

∴实数a的取值范围是（﹣2，2）

2

2

点评： 本题主要考查一元二次不等式，以及恒成立问题，同时考查了转化的思想，属于基础题．

20．（12分）已知命题p： x∈，2x﹣a≥0．命题q： x∈R，得x+2ax+2﹣a=0．若命题“p∧q”是真命题．求实数a的取值范围．

考点： 复合命题的真假． 专题： 简易逻辑．

分析： 分别求出命题p，q成立的等价条件，然后根据命题“p∧q”是真命题，求出实数m的取值范围．

解答： 解：若p真，即 x∈，2x﹣a≥0，

即a≤2x，x∈恒成立， ∴a≤2，

若q为真，即

2

“ x∈R，x+2ax+2﹣a=0”，

2

则△=4a﹣4（2﹣a）≥0，

2

即a+a﹣2≥0，

解得a≥1或a≤﹣2． 即q：a≥1或a≤﹣2． ∵“p且q”是真命题

2

∴∴1≤a≤2

∴实数m的取值范围是．

点评： 本题主要考查复合命题的真假与构成其简单命题的真假之间的关系的应用，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．

21．（12分）已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且2a2+2=a4． （1）求数列{an}的通项公式an； （2）设bn=

，求数列{bn}的前n项和Sn．

考点： 数列的求和；数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： （1）设等差数列{an}的公差，由题意求得公差，则等差数列的通项公式可求； （2）把等差数列的通项公式代入bn=

，然后利用裂项相消法求数列的前n项和．

解答： 解：（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0）， 由a1=1，且2a2+2=a4，得2（1+d）+2=1+3d， 解得：d=3．

∴an=1+3（n﹣1）=3n﹣2； （2）由bn=

，得

，

∴数列{bn}的前n项和Sn==

．

点评： 本题考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．

22．（12分）已知数列{an}中，a1=3，an+1=an+2． （1）求数列{an}的通项公式an；

n

（2）若bn=an×3，求数列{bn}的前n项和Sn．

考点： 数列的求和；等差数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： （1）利用等差数列的通项公式即可得出．

（2）利用“错位相减法”及等比数列的前n项和公式即可得出． 解答： 解：（1）∵数列{an}中，a1=3，an+1=an+2，即an+1﹣an=2． ∴数列{an}是等差数列， ∴an=3+（n﹣1）×2=2n+1．

nn

（2）由（1）可得bn=an×3=（2n+1） 3．

2n

∴数列{bn}的前n项和Sn=3×3+5×3+…+（2n+1） 3，

23nn+1

3Sn=3×3+5×3+…+（2n﹣1） 3+（2n+1） 3，

∴﹣2Sn=9+2×3+2×3+…+2×3﹣（2n+1） 3

n+1

n+1

n+1

23nn+1

=3+﹣（2n+1） 3

n+1

=3﹣（2n+1） 3=﹣2n 3．

n+1

∴Sn=n 3．

点评： 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，考查了计算能力，属于中档题．

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