2018年3月21日数学中考模拟试卷

2018年3月21日数学中考模拟试卷

一、解答题（共15小题；共159分）

1. 二次函数 ??=??????

2?1

的图象在对称轴的右侧，?? 随 ?? 的增大而增大，求 ?? 的值．

2. 阅读下面解题过程，解答相关问题．

请你利用上面求一元二次不等式解集的过程，求不等式 ??2?3??≤0 的解集． 解：步骤一：构造二次函数 ??= .在坐标系中画出示意图，如图. 步骤二：求得方程 的解为 . 步骤三：借助图象，可得不等式 ??2?3??≤0 的解集为 .

3. 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为 40 m 的围网在水库中围成了如图所示的①②二块矩形区域．设 ???? 的长度为 ?? m，矩形区域 ???????? 的面积为 ?? m2．

（1）求 ?? 与 ?? 之间的函数关系式；

（2）?? 为何值时，?? 有最大值?最大值是多少? 4. 已知二次函数 ??=??2+2 ??+1 ?????+1．

第1页（共12页）

（1）随着 ?? 的变化，该二次函数图象的顶点 ?? 是否都在某条抛物线上?如果是，请求出该抛物

线的函数表达式；如果不是，请说明理由．

（2）如果直线 ??=??+1 经过二次函数 ??=??2+2 ??+1 ?????+1 图象的顶点 ??，求此时 ??

的值．

5. 已知二次函数 ??=??2????2 及实数 ??>?2．求： （1）函数在 ?2

（2）函数在 ??≤??≤??+2 时的最小值．

6. 某商店以 6 元/千克的价格购进某种干果 1140 千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发现：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销售，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第 ?? 天的总销量 ??1（千克）与 ?? 的关系为 ??1=???2+40??；乙级干果从开始销售至销售的第 ?? 天的总销量 ??2（千克）与 ?? 的关系为 ??2=????2+????，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：

??123

??2214469（1）求 ??，?? 的值；

（2）若甲级干果与乙级干果分别以 8 元/千克和 6 元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得

的毛利润是多少元?

（3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多 6 千克?（说明：毛利润 =

销售总金额 ? 进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）

7. 某商店原来平均每天可销售某种水果 200 千克，每千克可盈利 6 元．为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价 1 元，则每天可多售出 20 千克．

（1）设每千克水果降价 ?? 元，平均每天盈利 ?? 元，试写出 ?? 关于 ?? 的函数表达式；

（2）若要平均每天盈利 960 元，则每千克应降价多少元?

8. 已知 ??，??，??，?? 都为非零实数，把 ??=??，?? 分别代入 ??=??2+????，?? 的值都等于 1；把 ??=??,?? 分别代入 ??=??2+????，?? 的值都等于 3．试求 6??+2??+3??+2?? 的值． 9. 抛物线 ??=????2 与直线 ??=?2???4 交于点 2,?? ． （1）求 ?? 和 ?? 的值；

（2）写出该抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴，并画出此抛物线； （3）判断点 ?? 2,?4 是否在该抛物线上；

（4）求出此抛物线上纵坐标为 ?6 的点的坐标． 10. 已知抛物线 ??=??2? ??2+5 ??+2??2+6．

（1）求证：不论 ?? 取何值，抛物线与 ?? 轴必有两个交点，并且有一个交点是 ?? 2,0 ；

（2）设抛物线与 ?? 轴的另一个交点为 ??，???? 的长为 ??，求 ?? 与 ?? 之间的函数表达式．

11. 如图，顶点 ?? 0,?1 在 ?? 轴上的抛物线与直线 ??=??+1 相交于 ??，?? 两点，且点 ?? 在 ?? 轴上，

连接 ????，????．

第2页（共12页）

（1）求点 ?? 的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）求点 ?? 的坐标；

（3）把抛物线与直线 ??=?? 的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点

为 ??,2?? ，当 ?? 满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点?

12. 如图1，抛物线 ??=???2+????+?? 经过 ?? ?1,0 ，?? 4,0 两点，与 ?? 轴相交于点 ??，连接

????．点 ?? 为抛物线上一动点，过点 ?? 作 ?? 轴的垂线 ??，交直线 ???? 于点 ??，交 ?? 轴于点 ??．

（1）求抛物线的表达式；

（2）当 ?? 位于 ?? 轴右边的抛物线上运动时，过点 ?? 作 ????⊥ 直线 ??，?? 为垂足．当点 ?? 运动到

何处时，以 ??，??，?? 为顶点的三角形与 △?????? 相似?并求出此时点 ?? 的坐标；

（3）如图2，当点 ?? 在位于直线 ???? 上方的抛物线上运动时，连接 ????，????．请问 △?????? 的面

积 ?? 能否取得最大值?若能，请求出最大面积 ??，并求出此时点 ?? 的坐标；若不能，请说明理由．

第3页（共12页）

13. 已知二次函数 ??=??2?2????+??2?4 的图象与 ?? 轴交于 ??，?? 两点（点 ?? 在点 ?? 的左边），

且与 ?? 轴交于点 ??．

（1）当点 ?? 在 ?? 轴正半轴时，是否存在实数 ??，使得 △?????? 为等腰三角形?若存在，求出 ??

的值；若不存在，请说明理由；

（2）当 ??=?1 时，将函数 ??=??2?2????+??2?4 的图象在 ?? 轴下方的部分沿 ?? 轴翻折，图

象的其余部分保持不变，得到一个新的图象 ??，当直线 ??=2??+?? 与图象 ?? 有两个公共点1

时，求实数 ?? 的取值范围．

14. 在平面直角坐标系 ?????? 中，抛物线 ??=????2+????+2 过 ?? ?2,6 ，?? 2,2 两点．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）记抛物线顶点为 ??，求 △?????? 的面积；

（3）若直线 ??=?1

2?? 向上平移 ?? 个单位所得的直线与抛物线段 ?????? （包括端点 ?? 、有两个交点，求 ?? 的取值范围．

15. 已知二次函数 ??=???2+????+??+1．

第4页（共12页）

?? ）部分

（1）当 ??=1 时，求这个二次函数的对称轴方程；

（2）若 ??=?4??2?2??，问：?? 为何值时，二次函数的图象与 ?? 轴相切；

（3）若 ??=0，二次函数的图象与 ?? 轴交于点 ?? ??1,0 ，?? ??2,0 ，且 ??1

交于点 ??，以 ???? 为直径的半圆恰好经过点 ??，二次函数的对称轴 ?? 与 ?? 轴、直线 ???? 、直线 ???? 分别相交于点 ??，??，?? 且满足

????????

1

=，求二次函数的表达式．

3

1

第5页（共12页）

答案

第一部分 1. ∵??=??????

2?1

是二项函数．

∴??2?1=2．

又 ∵ 在对称轴右侧，图象 ?? 随 ?? 增大而增大． ∴??>0， 解得 ??= 3． 2. 步骤一：??2?3??，

步骤二：??2?3??=0，??1=0，??2=3； 步骤三：0≤??≤3 .

3. （1） 设 ???? 的长度为 ?? m，则 ????=3 40??? ， 则矩形区域 ???????? 的面积 ??=3?? 40??? =?3??2+ （2） ∵??=?3??2+

1

403

1

1

403

1

??．

??=?3 ???20 2+

4003

14003

，

∴ 当 ??=20 时，?? 有最大值，最大值是 求该抛物线的函数表达式如下：

m2．

4. （1） 该二次函数图象的顶点 ?? 是在某条抛物线上． 利用配方，得 ??= ??+??+1 2???2?3??， 顶点坐标是P ????1,???2?3?? ．

方法一：分别取 ??=0,?1,1，得到三个顶点坐标为 ??1 ?1,0 ，??2 0,2 ，??3 ?2,?4 ， 过这三个顶点的二次函数表达式是 ??=???2+??+2．

将顶点坐标 ?? ????1,???2?3?? 代入 ??=???2+??+2 的左、右两边， 左边=???2?3??，

右边=? ????1 2+ ????1 +2=???2?3??， ∴左边=右边，

即无论 ?? 取何值，顶点 ?? 都在抛物线 ??=???2+??+2 上， 即所求抛物线的函数表达式是 ??=???2+??+2． （注：方法一中必须有“左边=右边”的证明） 【解析】方法二：令 ????1=??． 将 ??=????1 代入 ??=???2?3??，

第6页（共12页）

得 ??=? ????1 2?3 ????1 =???2+??+2． 即所求抛物线的函数表达式是 ??=???2+??+2．

（2） 如果顶点 ?? ????1,???2?3?? 在直线 ??=??+1 上， 则 ???2?3??=????1+1，即 ??2=?2??． ∴??=0，或 ??=?2．

∴ 当直线 ??=??+1 经过二次函数 ??=??2+2 ??+1 ?????+1 图象的顶点 ?? 时，?? 的值是 ?2 或 0． 5. （1） 函数 ??=??2????2 的图象如图．

当 ?2

2

1

19

（2） 当 ?2

213

131

9

当 ??≥ 时，??min=??∣??=??=??2????2．

2

1

??+??=21,6. （1） 根据表中的数据可得

4??+2??=44,

??=1,解得

??=20.

（2） 设甲级干果和乙级干果 ?? 天售完这批货， 由题意得：

???2+40??+??2+20??=1140,

解得：

??=19,

当 ??=19 时，??1=399，??2=741．

毛利润=399×8+741×6?1140×6=798（元）．

（3） 设第 ?? 天甲、乙级干果每天的销售量为 ?2??+41，2??+19．则

2??+19 ? ?2??+41 ≥6,

所以

??≥7.

第 7 天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销售量至少多 6 千克．

第7页（共12页）

7. （1） ??= 200+20?? 6??? =?20??2?80??+1200．

（2） 令 ??=960，得 ?20??2?80??+1200=960，即 ??2+4???12=0． 解得 ??=2 或 ??=?6（舍去）．

答：要平均每天盈利 960 元，则每千克应降价 2 元． 8. 由题意，有

2

??+????=1, ??2+????=1, ??2+????=3, 2

??+????=3.

???①???②

???③???④

①+③ 得 ??+?? 2=4???+??=±2． 于是，可知 ??+??≠0． ③÷① 得 ??=3??， ??=2,??=?2,

则 3 或 3 ??=2??=?2.

由 ②?① 得 ????? ??+??+?? =0,???⑤ 由 ④?③ 得 ????? ??+??+?? =0,???⑥

1° 当 ??=??，??=?? 时，有 6??+2??+3??+2??=8??+5??=±

232

1

1

．

92

2° 当 ??=??，??≠?? 时，由 ⑥ 知 ??+??+??=0，有 6??+2??+3??+2??=8??+3??+2 ?????? =±． 3° 当 ??≠??，??=?? 时，由 ⑤ 知 ??+??+??=0，有 6??+2??+3??+2??=6??+2 ?????? +5??=±4° 当 ??≠??，??≠?? 时，由 ⑤，⑥ 知 ??+??+??=0，??+??+??=0，有 6??+2??+3??+2??=6??+2 ?????? +3??+2 ?????? =±2．

9. （1） 把点 2,?? 的坐标代入 ??=?2???4，得 ??=?4?4=?8； 把点 2,?8 的坐标代入 ??=????2，得 4??=?8，解得 ??=?2．

（2） 抛物线 ??=?2??2 的开口方向向下，顶点坐标为 0,0 ，对称轴为 ?? 轴． 列自变量 ?? 与函数 ?? 的对应值如下表：

????1.5?1?0.500.511.5?

????4.5?2?0.50?0.5?2?4.5?描点、连线，如图所示．

1

132

．

第8页（共12页）

（3） 将 ??=2，??=?4 代入 ??=?2??2 中，则左边 =?4，右边 =?2× ?2 2=?8，左边 ≠ 右边，故点 ?? 不在抛物线 ??=?2??2 上．

（4） 令 ??=?6，则 ?2??2=?6，解得 ??=± 3．

∴ 此抛物线上纵坐标为 ?6 的点的坐标为 3,?6 或 ? 3,?6 ． 10. （1） 令 ??=0，得 ??2? ??2+5 ??+2??2+6=0， 即 ???2 ?????2?3 =0，解得 ??1=2，??2=??2+3． ∴ 抛物线与 ?? 轴的交点坐标为 2,0 ， ??2+3,0 ， 又 ∵??= ? ??2+5 2?4 2??2+6 = ??2+1 >0， ∴ 抛物线与 ?? 轴必有两个交点．

∴ 不论 ?? 取何值，抛物线与 ?? 轴必有两个交点，且有一个交点是 ?? 2,0 ． （2） ∵?? 2,0 ，?? ??2+3,0 ， ∴??=????=??2+1．

11. （1） ∵ 点 ?? 是直线 ??=??+1 与 ?? 轴的交点， ∴?? ?1,0 ．

设顶点为 0,?1 的抛物线的解析式为 ??=????2?1， ∵ 点 ?? ?1,0 在抛物线 ??=????2?1 上， ∴0=???1， ∴??=1，

∴ 抛物线的解析式为 ??=??2?1；

??=??+1, （2） 解方程组

??=??2?1.

??=?1,??2=2,得 1

??1=0,??2=3.故点 ?? 的坐标为 2,3 ．

（3） 设平移后的抛物线的解析式为 ??= ????? 2+2??， 把 ??=?? 代入 ??= ????? 2+2??，得 ??= ????? 2+2??，

整理得，??2? 2??+1 ??+??2+2??=0，

由题可得 ??= 2??+1 2?4×1× ??2+2?? =1?4??≥0， 解得 ??≤4．

故当 ??≤4 时，平移后的抛物线总有不动点． ?1???+??=0,12. （1） 由题意得：

?16+4??+??=0.

??=3,解得

??=4.

∴ 抛物线的表达式为 ??=???2+3??+4． （2） ∵?? 点坐标为 0,4 ，

∴△?????? 为等腰直角三角形，且 ∠?????? 为直角． ∵??，??，?? 为顶点的三角形与 △?????? 相似，

11

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∴△?????? 为等腰直角三角形， 又 ????⊥ 直线 ??， ∴????=????．

设 ?? ??,???2+3??+4 ??>0 ，则 ????=??， ????=∣ ???2+3??+4 ?4∣=∣??2?3??∣． ∴??=∣??2?3??∣，

∴??2?3??=±??，解得 ??=2 或 ??=4． ∴ 点 ?? 的坐标为 2,6 或 4,0 ． （3） ∵?? 0,4 ，?? 4,0 ， ∴ 直线 ???? 的表达式为 ??=???+4，

设 ?? ??,???2+3??+4 ??>0 ，则 ?? ??,???+4 ， ∴????= ???2+3??+4 ? ???+4 =???2+4??．

∴??△??????=??△??????+??△??????= ??+ 4??? ×????=×4×????=?2??2+8??=?2 ???2 2+8．

2

2

1

1

∴ 当 ??=2 时，△?????? 的面积 ?? 能取最大值 8，此时 ?? 点坐标为 2,6 ． 13. （1） 令 ??=0 得 ??2?2????+??2?4=0， 解得 ??1=???2，??2=??+2，

∴?? ???2,0 ，?? ??+2,0 ，?? 0,??2?4 ． ∵ 点 ?? 在 ?? 轴正半轴， ∴??2?4>0，

设存在实数 ??，使得 △?????? 为等腰三角形， 则 ????=????，即 ∣??+2∣=??2?4， ①当 ??+2>0 时，??2?4=??+2， 解得 ??=3 或 ??=?2（舍去）； ②当 ??+2<0 时，??2?4+??+2=0， 解得 ??=1 或 ??=?2（都舍去）；

③当 ??+2=0 时，点 ??，??，?? 重合，不合题意，舍去； 综上所述，??=3．

（2） 当 ??=?1 时，??=??2+2???3， 则 ?? ?3,0 ，?? 1,0 ，顶点为 ?1,?4 ． 因为直线 ??=??+?? 与图象 ?? 有两个公共点， 则当直线 ??=2??+?? 过 ?? 点时 ??=2， 当直线 ??=2??+?? 过 ?? 1,0 时，??=?2，

当直线 ??=2??+?? 与 ??=???2?2??+3 只有一个公共点时，??=16， 根据图象，可得 ?216． 4???2??+2=6,14. （1） 由题意，得

4??+2??+2=2.

1

3

73

1

73

1

1

21

3

1

第10页（共12页）

??=,2解得 ??=?1.

∴ 抛物线解析式为 ??=2??2???+2．

（2） ∵??=??2???+2= ???1 2+．

2

2

2

1

1

3

3

1

1

∴ 顶点 ?? 坐标为 1,2 . ∴ 直线 ???? 为 ??=???+4， ∴ 对称轴与 ???? 的交点 ?? 1,3 .

∴??△??????=??△??????+??△??????=××3+××1=3．

2

2

2

2

1313

??=?2??+??,

得 ??2???+4?2??=0，当 △=0 时，直线与抛物线只有一个交点， （3） 由 12

??=?????+2,

2

1

∴1?4 4?2?? =0 . ∴??=

158

.

11

当直线 ??=?2??+?? 经过点 ?? 时，??=3； 当直线 ??=???+?? 经过点 ?? 时，??=5；

∴ 直线 ??=?2?? 向上平移 ?? 个单位所得的直线与抛物线段 ?????? （包括端点 ??、?? 部分有两个交点时，

158

21

1

1

15. （1） ??=1 时，二次函数的对称轴方程为 ??=?2× ?1 =2， 即二次函数的对称轴方程为 ??=2．

（2） ∵ 与 ?? 轴相切就是与 ?? 轴只有一个交点， ∴???2+?????4??2?2??+1=0 有两个相等的实数根，即 ∴??=??2?4× ?1 × ???2?2??+1 =0，

41

1

1

∴?8??+4=0， ∴??=2．

（3） ∵??=???2+????+1， ∴??1???2=?1，??1+??2=??， 设 ?? ??,0 ??<0 ，则 ?? ???,0 ， 则 ??=

??2?1??

1

??2?12??

1

，对称轴为直线 ??=2=

??

，

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∵ 直线 ???? 经过点 ?? ??,0 ，?? 0,1 ， 设直线 ???? 的函数表达式为 ??=??1??+??1， 则 ????+????11=0,1=1,

1

解得 ??1

=?????, 1=1,∴??????=?1

????+1，

∵ 直线 ???? 经过点 ?? ?1

??,0 ，?? 0,1 ， 设直线 ???? 的函数表达式为 ??=??2??+??2，1

则 ?×??2+??2=0,????

2=1,解得 ??=??2??,2=1,

∴??????=????+1， ∵????=??2?12??， ∴????=??2+12，????=

??2+12

，

∵????=??2?12??， ∴????=??2+12??2，????=

??2+12??2，

∵????=1????3， ∴????=1????

4．

??2+1∴

1

22??+1=

2??24，∴??2=14

，

∴??=?1

2 或 ??=1

2（不合题意，舍去），∴??=

??2?13

??=2，

∴??=???2+3

2??+1．

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