2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标

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2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准

说明：

1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）

x?f?f?f?x??1． 若函数f?x??且f(n)?x??f?，则f?99??1?? ． ?????????????1?x2n1【答案】

101【解析】 f???x??f?x??x1?x2， xf?2??x???x??f??f?x????x21?2x2

……

1?99x1故f?99??1??．

10f?99?．

2． 已知直线L:x?y?9?0和圆M:2x2?2y2?8x?8y?1?0，点A在直线L上，B，C为

圆M上两点，在?ABC中，?BAC?45?，AB过圆心M，则点A横坐标范围为 ．

【答案】 ?3，6? 【解析】 设A?a，9?a?，则圆心M到直线AC的距离d?AMsin45?，由直线AC与圆M相交，

34． 2解得3≤a≤6．

得d≤

?y≥0?3． 在坐标平面上有两个区域M和N，M为?y≤x，N是随t变化的区域，它由不等式

?y≤2?x?t≤x≤t?1所确定，t的取值范围是0≤t≤1，则M和N的公共面积是函数f?t?? ．

1 2【解析】 由题意知

f?t??S阴影部分面积 【答案】 ?t2?t? ?S?AOB?S?OC?DS? B112 ?1?t2??1?t?

221 ??t2?t?

2

yACODFEBx《中学数学信息网》系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有@《中学数学信息网》

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1111?????a?2007对一切正整数n都成立的最小正整数a的n?1n?22n?13值为 ． 2009 【答案】

111【解析】 设f?n??．显然f?n?单调递减，则由f?n?的最大值????n?1n?22n?11f?1??a?2007，可得a?2009．

3

x2y25． 椭圆2?2?1?a?b?0?上任意两点P，Q，若OP?OQ，则乘积OP?OQ的最小值

ab为 ． 2a2b2【答案】 2 2a?b【解析】 设P?OPcos?，OPsin??， 4． 使不等式

?π?π????Q?OQcos????，OQsin?????．

2?2?????由P，Q在椭圆上，有

cos2?sin2? ??2 ①22abOP1sin2?cos2? ② ?2?22abOQ1①+②得

1111??2?2． 22abOPOQ2a2b22a2b2于是当OP?OQ?2时，OPOQ达到最小值2．

a?b2a?b2

6． 若方程lgkx?2lg?x?1?仅有一个实根，那么k的取值范围是 ． k?0或k?4 【答案】

?kx?0??【解析】 ?x?1?0?2??kx??x?1?当且仅当 kx?0 x?1?0 x2??2?k?x?1?0

① ② ③

对③由求根公式得

1x1，x2??k?2?k2?4k? ④

?2???k2?4k≥0?k≤0或k≥4． (ⅰ)当k?0时，由③得 ?x1?x2?k?2?0 ?xx?1?0?12《中学数学信息网》系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有@《中学数学信息网》

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所以x1，x2同为负根． ?x?1?0又由④知?1

x?1?0?2所以原方程有一个解x1．

k?1?1． 2?x?x?k?2?0(ⅲ)当k?4时，由③得?12

?x1x2?1?0(ⅱ)当k?4时，原方程有一个解x?所以x1，x2同为正根，且x1?x2，不合题意，舍去． 综上可得k?0或k?4为所求．

7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之

和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 101?298 【答案】

【解析】 易知：

(ⅰ)该数表共有100行； (ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为

d1?1，d2?2，d3?22，…，d99?298

(ⅲ)a100为所求．

设第n?n≥2?行的第一个数为an，则 an?an?1?an?1?2n?2?2an?1?2n?2

n?3n?2?2??2an?2?2???2

n?4n?2n?2?22??2an?3?2???2?2?2

???23an?3?3?2n?2 ……

?2n?1a1??n?1??2n?2

??n?1?2n?2

故a100?101?298．

∶00~9∶00，9∶00~10∶00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，8． 某车站每天8且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 8∶10 8∶30 8∶50 到站时刻 9∶10 9∶30 9∶50 111 概率 623一旅客8∶20到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）． 【答案】 27 【解析】 旅客候车的分布列为 10 30 50 70 90 候车时间（分） 11111111 ? ? ? 概率 26626336候车时间的数学期望为 1111110??30??50??70??90??27

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二、解答题

x2y21． （本小题满分14分）设直线l:y?kx?m（其中k，m为整数）与椭圆??1交于

1612x2y2不同两点A，B，与双曲线??1交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得

412????????向量AC?BD?0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． ?y?kx?m?【解析】 由?x2y2消去y化简整理得

??1??1612?3?4k?x22?8kmx?4m2?48?0

8km 23?4k

设A?x1，y1?，B?x2，y2?，则x1?x2???1??8km??4?3?4k2??4m2?48??02① ………………………………………………4分 ?y?kx?m?由?x2y2消去y化简整理得

??1??412?3?k?x22?2kmx?m2?12?0

2km 3?k2

设C?x3，y4?，D?x4，y4?，则x3?x4??2???2km??4?3?k2??m2?12??02② ………………………………………………8分

?????????0，所以?x4?x2???x3?x1??0，此时?y4?y2???y3??因为AC?BDy10?．由x1?x2?x3?x得4

8km2km． ??3?4k23?k2所以2km?0或?41．由上式解得k?0或m?0．当k?0时，由①和②得?223?4k3?k?23?m?23．因m是整数，所以m的值为?3，?2，?1，0，1，2，3．当m?0，

由①和②得?3?k?3．因k是整数，所以k??1，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分

2． （本小题15分）已知p，q?q?0?是实数，方程x2?px?q?0有两个实根?，?，数

列?an?满足a1?p，a2?p2?q，an?pan?1?qan?2?n?3，4，?? (Ⅰ)求数列?an?的通项公式（用?，?表示）；

1(Ⅱ)若p?1，q?，求?an?的前n项和．

4【解析】 方法一：

(Ⅰ)由韦达定理知????q?0，又????p，所以

an?pxn?1?qxn?2??????an?1???an?2，?n?3，4，5，??

整理得an??an?1???an?1??an?2?

2，??．所以?bn?是公比为?的等比数列． 令bn?an?1??an，则bn?1??bn?n?1，数列?bn?的首项为：

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b1?a2??a1?p2?q??p??????????????????2． 所以

bn??2??n??1?n?2，即

an?1??an??n?1???n?1，2，．所以

2，??． an?1??an??n?1?n?1，????0，①当??p2?4q?0时，a1?p?????2?，2，??an?1??an??n?1?n?1，变为an?1??an??n?1?n?1，2，??．整理得，

an?1?na2??a?数列?nn?成公差为1的等差数列，其首项为1??2．所以

??????an?n?1an2，??．所以，?1，?n?1，于是数列?an?的通项公式为

?n?2?1?n?1??n?1．

an??n?1??n；…………………………………………………………………5分 ②当??p2?4q?0时，???，

an?1??an??n?1

???n?1??an??

???????an??n?1??n?1?n?1，2，??．

??????整理得

??n?2?n?1?an?1????an?2，??． ?，?n?1，??????????n?1?所以，数列?an??成公比为?的等比数列，其首项为

??????2?2?2?n?1?2a1?????????n?1． ．所以an?????????????????n?1??n?1于是数列?an?的通项公式为an?．…………………………………10分

???11(Ⅱ)若p?1，q?，则??p2?4q?0，此时????．由第(Ⅰ)步的结果得，数列?an?42n?1?n?1的通项公式为an??n?1????n，所以，?an?的前n项和为

2?2?234nn?1sn??2?3???n?1?n

222221234nn?1 sn?2?3?4????22222n2n?113n?3以上两式相减，整理得sn??n?1

222n?3所以sn?3?n．…………………………………………………………………15分

2方法二： (Ⅰ)由韦达定理知????q?0，又????p，所以

a1????，a2??2??2???．

特征方程?2?p??q?0的两个根为?，?．

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①当????0时，通项an??A1?A2n??n?n?1，2，??由a1?2?，a2?3?2得

???A1?A2???2? ?22???A1?2A2???3? 解得A1?A2?1．故 an??1?n??n．……………………………………………5分 ②当???时，通项an?A1?n?A2?n?n?1，由a1????，a2??2??2???得 2，??．

??A1??A2????? ? 2222A??A??????????12??? 解得A1?，A2?．故

????????n?1?n?1?n?1??n?1?? an?．………………………………………………10分 ?????????(Ⅱ)同方法一．

3． （本小题满分15分）求函数y?x?27?13?x?x的最大和最小值． 【解析】 函数的定义域为?0，13?.因为

y?x?x?27?13?x?x?27?13?2x?13?x? ≥27?13 ?33?13

当x?0时等号成立．故y的最小值为33?13．……………………………5分 又由柯西不等式得 y2??x?x?27?13?x?2

1??1 ≤??1???2x??x?27??3?13?x???121

3??2所以y≤11． ……………………………………………………10分

由柯西不等式等号成立的条件，得4x?9?13?x??x?27，解得x?9．故当x?9时等号

成立．因此y的最大值为11．……………………………………………………15分

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①当????0时，通项an??A1?A2n??n?n?1，2，??由a1?2?，a2?3?2得

???A1?A2???2? ?22???A1?2A2???3? 解得A1?A2?1．故 an??1?n??n．……………………………………………5分 ②当???时，通项an?A1?n?A2?n?n?1，由a1????，a2??2??2???得 2，??．

??A1??A2????? ? 2222A??A??????????12??? 解得A1?，A2?．故

????????n?1?n?1?n?1??n?1?? an?．………………………………………………10分 ?????????(Ⅱ)同方法一．

3． （本小题满分15分）求函数y?x?27?13?x?x的最大和最小值． 【解析】 函数的定义域为?0，13?.因为

y?x?x?27?13?x?x?27?13?2x?13?x? ≥27?13 ?33?13

当x?0时等号成立．故y的最小值为33?13．……………………………5分 又由柯西不等式得 y2??x?x?27?13?x?2

1??1 ≤??1???2x??x?27??3?13?x???121

3??2所以y≤11． ……………………………………………………10分

由柯西不等式等号成立的条件，得4x?9?13?x??x?27，解得x?9．故当x?9时等号

成立．因此y的最大值为11．……………………………………………………15分

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