2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)

2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）

一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.

1.在等比数列{}n a

中，2a =

，3a =1201172017

a a a a ++的值为 . 2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .

3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2x f x +是偶函数，则(1)f 的值为 .

4.在ABC ?中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .

5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ?的面积为 .

6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .

7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线222

0x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .

8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 . 二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

9.设不等式|2||52|x x a -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.

10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n = .

（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；

（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.

11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45

的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ?的取值范围.

2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）

一、（本题满分40分）

设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-

二、（本题满分40分）

给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=.

三、（本题满分50分）

如图，点D 是锐角ABC ?的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY .

四、（本题满分50分）

设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈ ，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈ ，集合

{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.

一试试卷答案

1.答案：89

解：数列{}n a

的公比为32a q a ==，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.

解：设,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比较两边实虚部可得

9101022

a a

b b +=??=-+?，解得：1,2a b ==，故12z i =+

，进而||z 3.答案：74

- 解：由条件知，2(1)1((1)(1))(1)1f f f +=--+-=---，1(1)2(1)2f f +=-+

， 两式相加消去(1)f -，可知：12(1)32f +=-，即7(1)4

f =-. 4.

答案：解：由正弦定理知，

sin 2sin a A c C ==，又2b ac =

，于是::a b c =

，从而由余弦定理得：222222cos 24b c a A bc +-===-. 5.

答案：解：由条件知，EF 平行于BC ，因为正四面体ABCD 的各个面是全等的正三角形，故4AE AF EF ===，7AD AB AE BE ==+=.

由余弦定理得，DE

==

同理有DF =作等腰DEF ?底边EF 上的高DH ，则122EH EF =

=

，故DH ，

于是12DEF S EF DH ?==

6.答案：514

解：注意K 中共有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为3984C =种，

当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况：

（1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，

（2

）三点是边长为4416?=种情况，

（3

的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(1,0)±，(0,1)±的各有一个，共有8种情况.

综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为616830++=，进而所求概率为3058414

=. 7.

解：二次曲线方程可写成22

21x y a a

--=，显然必须0a ->

，故二次曲线为双曲线，其标准方程为22

21()x a -=-

，则2222()c a a a =+-=-，注意到焦距24c =，可知24a a -=，又0a <，

所以a =. 8.答案：574

解：由条件知2017[]21000

c ≤=，当1c =时，有1020b ≤≤，对于每个这样的正整数b ，由10201b a ≤≤知，相应的a 的个数为20210b -，从而这样的正整数组的个数为

2010(1022)11(20210)5722

b b =+?-==∑， 当2

c =时，由201720[]100b ≤≤，知，20b =，进而2017200[]20110

a ≤≤=， 故200,201a =，此时共有2组(,,)a

b

c .

综上所述，满足条件的正整数组的个数为5722574+=.

9.解：设2x

t =，则[2,4]t ∈，于是|||5|t a t -<-对所有[2,4]t ∈成立，由于22|||5|()(5)t a t t a t -<-?-<-，(25)(5)0t a a ?---<，

对给定实数a ，设()(25)(5)f t t a a =---，则()f t 是关于t 的一次函数或常值函数，注意[2,4]t ∈，因此()0f t <等价于(2)(1)(5)0(4)(3)(5)0f a a f a a =---<??=--<?

，解得35a << 所以实数a 的取值范围是35a <<.

10.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则22123112()()n n n n n n n n b b a a a a a a ++++++-=---

23111()()()n n n n n n n a a a a a a a +++++=--+-212()n n n a d a a d ++=-+ 221(2)3n n n a a a d d ++=--= 所以数列{}n b 也是等差数列.

（2）由已知条件及（1）的结果知：23d d =，因为0d ≠，故13

d =，这样2212()(2)n n n n n n n

b a a a a d a d a ++=-=++- 22329

n n da d a =+=+ 若正整数,s t 满足s t a b Z +∈，则1122(1)(1)99s t s t a b a b a s d a t d +=++

=+-++-+ 122239

s t a Z +-=+

+∈. 记122239

s t l a +-=++，则l Z ∈，且1183(31)1a l s t =--++是一个非零的整数，故1|18|1a ≥，从而11||18

a ≥. 又当1118a =时，有1311711818

a b Z +=+=∈， 综上所述，1||a 的最小值为118. 11.解：设2(,2)P t t ，则直线l 的方程为22y x t t =+-，代入曲线2C 的方程得，222

(4)(2)8x x t t -++-=， 化简可得：222222(24)(2)80x t t x t t --++-+=①，

由于l 与2C 交于两个不同的点，故关于x 的方程①的判别式?为正，计算得， 222222222(24)2((2)8)(2)8(2)162(2)164t t t t t t t t t t ?=-+--+=---+---

222(2)8(2)t t t t =--+-22(2)(28)t t t t =----(2)(2)(4)t t t t =--+-， 因此有(2,0)(2,4)t ∈- ，②

设,Q R 的横坐标分别为12,x x ，由①知，21224x x t t +=-+，22121((2)8)2

x x t t =

-+， 因此，结合l 的倾斜角为45 可知，

2224121212||||))22()2PQ PR x t x t x x t x x t --=-++

22224(2)82(24)2t t t t t t =-+--++

43243244482482t t t t t t t =-++-+-+

4248t t =-+

22(2)4t =-+，③

由②可知，22(2,2)(2,14)t -∈- ，故22

(2)[0,4)(4,196)t -∈ ，从而由③得： 22||||(2)4[4,8)(8,200)PQ PR t =-+∈

注1：利用

2C 的圆心到l 的距离小于2C 的半径，列出不等式2

< 同样可以求得②中t 的范围.

注2：更简便的计算||||PQ PR

的方式是利用圆幂定理，事实上，2C 的圆心为(4,0)M ，半径为r =

故22222242||||||(4)(2)48PQ PR PM r t t t t =-=-+-=-+ .

加试试卷答案

一、

证明：当1d ≥时，不等式显然成立

以下设01d ≤<，不妨设,a b 不异号，即0ab ≥，那么有

(1)(1)11110a b a b ab a b c d ++=+++≥++=-≥-> 因此222(1)(1)(1)(1)(1)111a b c c c c c d +++≥-+=-=-≥-

二、

证明：取1k m =+，令{(mod 1),}i A x x i m x N +=≡+∈，1,2,,1i m =+ 设,,,i a b c d A ∈，则0(mod 1)ab cd i i i i m -≡?-?=+， 故1m ab cd +-，而1m m +，所以在i A 中不存在4个数,,,a b c d ，满足ab cd m -= 三、

证明：首先证明//YX BC ，即证AX

AY

XC YB =

连接,BD CD ，因为ACQ ACQ ABC

ABC ABP ABP

S S S S S S ???????=， 所以111sin sin sin 22211

1

sin sin sin 222AC CQ ACQ AC BC ACB AC AQ CAQ AB BC ABC AB BP ABP AB AP BAP

?∠?∠?∠?=?∠?∠?∠， ①

由题设，,BP CQ 是圆ω的切线，所以ACQ ABC ∠=∠，ACB ABP ∠=∠，又CAQ DBC DCB BAP ∠=∠=∠=∠（注意D 是弧BC 的中点），于是由①知AB AQ CQ

AC AP BP

?=? ② 因为CAQ BAP ∠=∠，所以BAQ CAP ∠=∠， 于是1

sin 21sin 2

ABQ ACP AB AQ BAQ

S AB AQ

S AC AP

AC AP CAP ???∠?==??∠ ③ 而1

sin 21sin 2BCQ BCP BC CQ BCQ

S CQ

S BP

BC BP CBP ???∠==?∠ ④

由②，③，④得 ABQ

CBQ ACP BCP S S S S ????=， 即ABQ

ACP CBQ

BCP S S S S ????= 又ABQ

CBQ S AX S XC ??=，ACP BCP S AY S YB ??= 故AX AY XC YB

= 设边BC 的中点为M ，因为

1AX CM BY XC MB YA ??=， 所以由塞瓦定理知，,,AM BX CY 三线共点，交点即为T ，故由//YX BC 可得AT 平分线段XY 四、

解：考虑一组满足条件的正整数12201220(,,,,,,,)a a a b b b

对1,2,,5k = ，设120,,a a 中取值为k 的数有k t 个，根据X 的定义，当i j a a =时，(,)i j X ?，因此至少有521

k t k C

=∑个(,)i j 不在X 中，注意到5120k k t ==∑，则柯西不等式，我们有5

55552

2211111111120()(())20(1)3022525k t k k k k k k k k k C t t t t ======?-≥?-=??-=∑∑∑∑∑ 从而X 的元素个数不超过2203019030160C -=-=

另一方面，取4342414k k k k a a a a k ---====（1,2,,5k = ），6i i b a =-（1,2,,20i = ）， 则对任意,i j （120i j ≤<≤），有2()()()((6)(6))()0i j i j i j i j i j a a b b a a a a a a --=----=--≤

等号成立当且仅当i j a a =，这恰好发生24530C =次，此时X 的元素个数达到22030160C -=

综上所述，X 的元素个数的最大值为160.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ts6j.html