2015年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案

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2015年全国初中数学联合竞赛试题

第一试(A)

一、选择题(每小题7分,共42分)

2222221.设实数a,b,c满足:a?b?c?3,a2?b2?c2?4,则a?bb?2?c?c2?a?c?a2?b?( ) A. 0 B. 3 C. 6 D. 9

2.若抛物线y?x2?bx?c与x轴只有一个公共点,且过点A(m,n),B(m-8,n),则n=( ) A. 8

B. 12

C. 16

D. 24

3.矩形ABCD中,AD=5,AB=10,E、F分别为矩形外的两点,BE=DF=4,AF=CE=3,则EF=( ) D C

A.415 B.15 F

E

C.221

D.102

A

B

4.已知O为?标原点,位于第一象限的点A在反比例函数y?1x(x?0)的图象上,位于第二象限的瀹B在反比例函数y??4x(x?0)的图象上?且OA⊥OB,则tan∠ABO的值为( ) A.

122 B.2

C.1

D.2

5.已知实数x(y满足关系式xy?x?y?1,则x2?y2的最小值为( ) A.3?22

B.6?42

C.1 D.6?42 6.设n是小于100的正整数且使5n2?3n?5是15的倍数,则符合条件的所有正整数n的和是( ) A.285 B.350 C.540 D.635 二、填空题(每小题7分,共28分)

7.设a,b是一元二次方程x2?x?1?0的两根,则3a3?4b?2a2的值为 . E 8.从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个,它是直角三角形 的概率为 .

9.已知锐角△ABC的外心为O,AO交BC于D,E、F分别为△ABD、 A △ACD的外心,若AB>AC,EF=BC,则∠C-∠B= .

F

B O D C

10.将数字1,2,3,…,34,35,36填在6×6的方格中,每个方格填一个数字,要求每行数字从

左到右是从小到大的顺序,则第三列所填6个数字的和的最小值为 .

第一试(B)

一、选择题(每小题7分,共42分)

1.设实数a,b,c满足:a?b?c?3,a2?b2?c2?4,则

a2?b2b2?c22?c2?a?c2?a2?2?b?( ) A. 12 B. 9 C. 6 D. 3

2.若抛物线y?x2?bx?c与x轴只有一个公共点,且过点A(m,n),B(m-8,n),则n=( )

A. 8 B. 12 C. 16 D. 24

3.矩形ABCD中,AD=5,AB=10,E、F分别为矩形外的两点,BE=DF=4,AF=CE=3,则

EF=( ) A.415 B.15 C.221 D.102 4.已知实数x,y满足关系式x2?xy?y2?3,则(x?y)2的最大值为( )

A.3

B.6

C.9

D.12

5.已知O为坐标原点,位于第一象限的点A在反比例函数y?1x(x?0)的图象上,位于第二象限的点B在反比例函数y??4x(x?0)的图象上,且OA⊥OB,则tan∠ABO的值为( ) A.

122 B.2

C.1

D.2

6.设n是小于100的正整数且使2n2?3n?2是6的倍数,则符合条件的所有正整数n的和是( ) A.784

B.850

C.1536

D.1634

二、填空题(每小题7分,共28分)

7.设a,b是一元二次方程x2?x?1?0的两根,则3a3?4b?2a2的值为 . D 8.三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为 .

C 9.C、D两点在以AB为直径的半圆周上,AD平分∠BAC,AB=20, AD=415,则AC的长为 .

A O B 10.在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数a,b,c,d,e,使得ab+bc+cd+de+ea

最小,则这个最小值为 .

第二试(A)

1.(20分)关于x的方程x2?m?2x2?1?x有且仅有一个实数根,求实数m的取值范围. 2.(25分)如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E,且AC⊥BD,AB=AC. 过点D作DF⊥BD,交BA的延长线于点F,∠BFD的平分线分别交AD、BD于点M、N. (1)证明:∠BAD=3∠DAC; F (2)如果

BF?DFCDBD?AC,证明:MN=MD. A M

D E

P N

B C 3.(25分)设正整数m,n满足:关于x的方程(x?m)(x?n)?x?m?n至少有一个正整数解,证

明:2(m2?n2)?5mn. 第二试(B)

1.(20分)若正数a,b满足ab=1,求M?111?a?1?2b的最小值. 2.(25分)如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E,且AC⊥BD,AB=AC=BD. 过点D作DF⊥BD,交BA的延长线于点F,∠BFD的平分线分别交AD、BD于点M、N. (1)证明:∠BAD=3∠DAC;

(2)如果MN=MD,证明:BF=CD+DF. F A M B N E D C

3.(25分)若关于x的方程x2?34x?34k?1?0至少有一个正整数根,求满足条件的正整数k的值.

2015年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试(A)

1. 解:D. 提示:∵a?b?c?3,a2?b2?c2?4,

a2?b2b2?c2∴

2?c?2?a?c2?a22?b?4?c22?c?4?a22?a?4?b22?b?(2?c)?(2?a)?(2?b) ?6?(a?b?c)?9.

2. 解:C. 提示:依题意,有n?m2?bm?c?(m?8)2?b(m?8)?c,于是可得b?8?2m. ∵抛物线y?x2?bx?c与x轴只有一个公共点,

∴b2?4c?0,∴c?14b2?(4?m)2.

因此n?m2?bm?c?m2?(8?2m)m?(4?m)2?16.

3. 解:C. 提示:易知∠AFD=∠BEC=90°,△BEC≌△DFA,∴∠DAF=∠BCE. 延长FA,EB交于点G. D C

∵∠GAB=90°-∠DAF=∠ADF,

E ∠GBA=90°-∠CBE=∠BCE=∠DAF,

F ∴△BGA∽△AFD,且∠AGB=90°,∴AG=8,BG=6, A B

∴GF=11,GE=10,∴EF?GE2?GF2?221.

G

4. 解:A. 提示:过点A、B分别作AC⊥x轴,BD⊥x轴,垂足为C、D. 由OA⊥OB得∠AOB=90°,于是可得△AOC∽△OBD, ∴?ABO?OAS?AOCOC|xA?yA|OB?S??AC?y?1?1. ?OBDOD?BD|xB?B||?4|25. 解:B. 提示:设x?y?t,则由题设条件可知xy?x?y?1?t?1, ∴x,y是关于m的一元二次方程m2?tm?t?1?0的两个实数根, 于是有:??t2?4(t?1)?0,解得t?2?22或t?2?22. 又∵x2?y2?(x?y)2?2xy?t2?2(t?1)?(t?1)2?3, ∴当t?2?22(即x?y?1?2)时,x2?y2取得最小值, 最小值为(2?22?1)2?3?6?42. 6. 解:D. 提示:∵5n2?3n?5是15的倍数, ∴5|(5n2?3n?5),∴5|3n,∴5|n. 设n?5m(m是正整数),

则5n2?3n?5?125m2?15m?5?120m2?15m?5(m2?1).

∵5n2?3n?5是15的倍数,∴m2?1是3的倍数, ∴m?3k?1或m?3k?2,其中k是非负整数.

∴n?5(3k?1)?15k?5或n?5(3k?2)?15k?10,其中k是非负整数.

∴符合条件的所有正整数n的和是

(5?20?35?50?65?80?95)?(10?25?40?55?70?85)?635. 7. 解:11. 提示:∵a,b是一元二次方程x2?x?1?0的两根, ∴ab??1,a?b?1,a2?a?1,b2?b?1, ∴3a3?4b?2a2?3a3?4b?2b2?3a(a?1)?4b?2(b?1)?3a2?3a?6b?2 ?3(a?1)?3a?6b?2?6(a?b)?5?11.

8. 解:

112. 提示:设三角形的三边长为a,b,c(a?b?c), 则3a?a?b?c?24,2a?a?(b?c)?24,∴8?a?12,

故a的可能取值为8,9,10或11,

满足题意的数组(a,b,c)可以为: (8,8,8),(9,9,6),(9,8,7),(10,10,4),(10,9,5),(10,8,6), (10,7,7),(11,11,2),(11,10,3),(11,9,4),(11,8,5),(11,7,6). 共12组,其中,只有一组是直角三角形的三边长, ∴所求概率为

112. 9. 解:60°. 提示:作EM⊥BC于点M,FN⊥BC于点N,FP⊥EM于点P. ∵E、F分别为△ABD、△ACD的外心, E ∴M、N分别为BD、CD的中点. 又EF=BC,∴PF=MN=

12BC=12EF,∴∠PEF=30°. A 又EF⊥AD,EM⊥BC,∴∠ADC=∠PEF=30°.

P F B O M D N C 又∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+12(180°-2∠C)=90°+∠B-∠C,

∴∠C-∠B=90°-∠ADC=60°.

10. 解:63. 提示:设第三列所填6个数字按从小到大的顺序排列后依次为A,B,C,D,E,F.

∵A所在行前面需要填两个比A小的数字,∴A不小于3; ∵B所在行前面需要填两个比B小的数字,

且A及A所在行前面两个数字都比B小,∴B不小于6.

同理可知:C不小于9,D不小于12,E不小于15,F不小于18.

因此,第三列所填6个数字之和A+B+C+D+E+F≥3+6+9+12+15+18=63.

如图即为使得第三列所填6个数字之和取得最小值的一种填法(后三列的数字填法不唯一).

1 2 3 19 20 21 4 5 6 25 27 29 7 8 9 22 23 24 10 11 12 26 28 30 13 14 15 31 34 35 16 17 18 32 33 36

第一试(B)

1. 解:B. 提示:∵a?b?c?3,a2?b2?c2?4,

a2?b2b2?c2c2?a22?c?2?a?2?b?4?c22?c?4?a22?a?4?b22?b?(2?c)?(2?a)?(2?b) ?6?(a?b?c)?9.

2. 解:C. 提示:依题意,有n?m2?bm?c?(m?8)2?b(m?8)?c,于是可得b?8?2m. ∵抛物线y?x2?bx?c与x轴只有一个公共点,

∴b2?4c?0,∴c?14b2?(4?m)2.

因此n?m2?bm?c?m2?(8?2m)m?(4?m)2?16.

3. 解:C. 提示:易知∠AFD=∠BEC=90°,△BEC≌△DFA,∴∠DAF=∠BCE. 延长FA,EB交于点G. D C

∵∠GAB=90°-∠DAF=∠ADF,

E ∠GBA=90°-∠CBE=∠BCE=∠DAF,

F ∴△BGA∽△AFD,且∠AGB=90°,∴AG=8,BG=6, A B ∴GF=11,GE=10,∴EF?GE2?GF2?221. G

4. 解:D. 提示:设x?y?t,则x?y?t,

代入题设等式得(y?t)2?(y?t)?y?y2?3,整理得3y2?3ty?t2?3?0. 由判别式??(3t)2?12(t2?3)?3得?23?t?23,故(x?y)2?t2?12. 5. 解:A. 提示:过点A、B分别作AC⊥x轴,BD⊥x轴,垂足为C、D. 由OA⊥OB得∠AOB=90°,于是可得△AOC∽△OBD, ∴?ABO?OAS?AOCOC|xA?yA|OB?S??AC??1?1. ?OBDOD?BD|xB?yB||?4|26. 解:D. 提示:∵2n2?3n?2是6的倍数, ∴2|(2n2?3n?2),∴2|3n,∴2|n.

设n?2m(m是正整数),则2n2?3n?2?8m2?6m?2?6m2?6m?2(m2?1). ∵2n2?3n?2是6的倍数,∴m2?1是3的倍数,

∴m?3k?1或m?3k?2,其中k是非负整数.

∴n?2(3k?1)?6k?2或n?2(3k?2)?6k?4,其中k是非负整数. ∴符合条件的所有正整数n的和是

(2?8?14??86?92?98)?(4?10?16???82?88?94)?1634. 7. 解:11. 提示:∵a,b是一元二次方程x2?x?1?0的两根, ∴ab??1,a?b?1,a2?a?1,b2?b?1, ∴3a3?4b?2a2?3a3?4b?2b2?3a(a?1)?4b?2(b?1)?3a2?3a?6b?2 ?3(a?1)?3a?6b?2?6(a?b)?5?11.

8. 解:12. 提示:设三角形的三边长为a,b,c(a?b?c), 则3a?a?b?c?24,2a?a?(b?c)?24,∴8?a?12,

故a的可能取值为8,9,10或11, 满足题意的数组(a,b,c)可以为: (8,8,8),(9,9,6),(9,8,7),(10,10,4),(10,9,5),(10,8,6), (10,7,7),(11,11,2),(11,10,3),(11,9,4),(11,8,5),(11,7,6). 共12组,∴三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为12. 9. 解:4. 提示:连接OD、OC,作DE⊥AB于E,OF⊥AC于F.

∵AD平分∠BAC,∴∠DOB=2∠BAD=∠OAC.

D 又OA=OD,∴△AOF≌△ODE,∴OE=AF,∴AC=2OF=2OE.

C 设AC=2x,则OE=AF=x. F 在Rt△ODE中,由勾股定理得DE?OD2?OE2?100?x2. A O E B 在Rt△ADE中,AD2=DE2+AE2,

即(415)2?(100?x2)?(10?x)2,解得x=2.

∴AC=2x=4.

10. 解:37. 提示:和为15的五个互不相等的正整数只能是1,2,3,4,5.

注意到五个数在圆周上是按序摆放的,且考虑的是和式ab?bc?cd?de?ea,不妨设a=5.

a e 5 e 5 e 5 2 5 2 b d b d 1 d 1 e 1 d

c 1 b b e

图1 图2 图3 图4 图5 如果1和5的位置不相邻,不妨设c=1(如图2),

此时的和式为P1?5b?b?d?ed?5e; 交换1和b的位置后,得到如图3的摆法, 此时的和式为P2?5?b?bd?ed?5e.

∵P1?P2?5b?d?5?bd?(5?d)(b?1)?0,∴P1?P2.

因此,交换1和b的位置使得1和5相邻(如图3)以后,和式的值会变小. 如图3,如果d=2,此时的和式为P3?5?b?2b?2e?5e;

交换e和2的位置以后,得到如图4的摆法,此时的和式为P4?5?b?be?2e?10. ∵P3?P4?2b?5e?be?10?(5?b)(e?2)?0,∴P3?P4. 因此,交换e和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 如果b=2,此时的和式为P5?5?2?2d?ed?5e;

交换e和2的位置以后,得到如图5的摆法,此时的和式为P6?5?e?ed?2d?10. ∵P5?P6?2?5e?e?10?4(e?2)?0,∴P5?P6.

因此,交换e和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 综上可知:1和2摆在5的两边(如图5)时,和式的值会变小.

当d=3,e=4时,和式的值为P7?5?4?12?6?10?3; 当d=4,e=3时,和式的值为P8?5?3?12?8?10?38. 因此,所求最小值为37.

第二试(A)

1. 解:将所给方程记为方程①,显然有x2?m且x?1.

若m?0,则x2?m?2x2?1?x,此时方程①无解,不符合题意,故m?0. 方程①变形得2x2?1?x?x2?m, 两边平方后整理得2x2?m?4??2xx2?m, 再平方,整理得8(2?m)x2?(m?4)2.

显然,应该有0?m?2,并且此时方程①只可能有解x?4?m8(2?m).

将x?4?m8(2?m)代入方程①,得(m?4)28(2?m)?m?2(m?4)28(2?m)?1?4?m8(2?m)?1,

化简整理得???,于是有0?m?43, 此时方程①有唯一解x?4?m8(2?m).

综上所述,所求实数m的取值范围为0?m?43. 2. 证明:(1)在BE上取一点P,使得∠BAP=∠DAC,

F 则△BAP≌△CAD,∴AP=AD.

A 又AE⊥PD,∴△ADE≌△APE,∴∠PAE=∠DAE, M ∴∠PAE=∠BAP=∠DAC,∴∠BAD=3∠DAC.

Q D (2)设∠DAC=α,则∠BAC=2α,∠BAD=3α,∠NDM=90°-α. E 在FB上截取FQ=FD,连接QD,则BQ=BF-FQ=BF-FD. P N B C 又

BF?DFCDBD?AC,∴BQCDBD?AC. 又∠QBD=∠DCA,∴△QBD∽△DCA,∴∠QDB=∠DAC.

又∵∠DBC=∠DAC,∴∠QDB=∠DBC,∴QD∥BC,∴∠FQD=∠ABC. 又AB=AC,∠BAC=2α,∴∠ABC=90°-α,∴∠FQD=90°-α. 又FQ=FD,∴∠BFD=2α.

∵FN平分∠BFD,∴∠AFM=α,

∴∠NMD=∠AMF=∠BAD-∠AFM=3α-α=2α, ∴∠MND=180°-∠NMD-∠NDM=90°-α=∠MDN,∴MN=MD. 3. 证明:方程即x2?(m?n?1)x?mn?m?n?0 ①,

方程①的判别式

??(m?n?1)2?4(mn?m?n)?(m?n)2?4mn?2(m?n)?1?(m?n)2?2(m?n)?1.

不妨设m?n,由题设可知,整系数方程①至少有一个正整数解,∴?应为完全平方数. 注意到??(m?n)2?2(m?n)?1?(m?n?1)2?4n?(m?n?1)2,

??(m?n)2?2(m?n)?1?(m?n?3)2?(4m?8n?8),

若4m?8n?8?0,即m?2n?2,则??(m?n?3)2,

从而有(m?n?1)2???(m?n?3)2,故只可能??(m?n?2)2, 即(m?n)2?2(m?n)?1?(m?n?2)2,整理得m?3n?32, 这与m,n均为正整数矛盾.

因此m?2n?2,从而可得m?2n,∴mn?2. 又∵mn?1?12,∴有(m?1m2)(n?2)?0,整理即得2(m2n?n2)?5mn.

第二试(B)

1. 解:∵ab?1,∴b?1a, ∴M?11?a?11?2b?11?a?11?2?11?a?a2?a?1?11?a?22?a?1?aa2?3a?2. a设N?a2?3a?222a,则N?a?a?3?(a?a)2?3?22?3?22, 当a?2时取得等号. ∴0?1N?113?22?3?22,M?1?N?1?(3?22)?22?2. 因此,当a?2,b?22时,M?111?a?1?2b取得最小值22?2. 2. 证明:(1)在BE上取一点P,使得∠BAP=∠DAC, 则△BAP≌△CAD,∴AP=AD.

F 又AE⊥PD,∴△ADE≌△APE,∴∠PAE=∠DAE, A ∴∠PAE=∠BAP=∠DAC,∴∠BAD=3∠DAC. (2)设∠DAC=α,则∠BAC=2α,∠BAD=3α. Q M ∵AC⊥BD,∴∠NDM=90°-α.

∵MN=MD,∴∠MND=∠MDN=90°-α, B P N E D ∴∠NMD=180°-∠MND-∠NDM=2α,∴∠AMF=2α, C ∴∠AFM=∠BAD-∠AMF=3α-2α=α.

B C E? ∵FN平分∠BFD,∴∠BFD=2∠AFM=2α.

在FB上截取FQ=FD,连接QD,则∠FQD=90°-α. 又AB=AC,∠BAC=2α,∴∠ABC=90°-α,∴∠FQD=∠ABC, ∴QD∥BC,∴∠QDB=∠DBC.

又∵∠DBC=∠DAC,∴∠QDB=∠DAC.

又∵DB=AC,∠QBD=∠DCA,∴△QBD∽△DCA,∴BQ=CD, ∴BF=BQ+FQ=CD+DF.

3. 解:设方程的两个根为x1,x2,且x1为正整数, 则x1?x2?34,x1x2?34k?1.

由x1?x2?34知x2?34?x1,∴ x2也是整数.

由k为正整数及x1x2?34k?1可知x2?0,∴x2是正整数. 注意到(x1?1)(x2?1)?x1x2?x1?x2?1?34(k?1), ∴17|(x1?1)(x2?1),∴17|(x1?1)或17|(x2?1).

若17|(x1?1),则由x1?1?x1?x2?34知:x1?1?17或x1?1?34. 当x1?1?17时,x1?16,x2?18,此时34k?1?16?18,k无整数解; 当x1?1?34时,x1?33,x2?1,此时34k?1?33?1,解得k=1. 若17|(x2?1),同样可得k=1. ∴满足条件的正整数k=1.

B C E? ∵FN平分∠BFD,∴∠BFD=2∠AFM=2α.

在FB上截取FQ=FD,连接QD,则∠FQD=90°-α. 又AB=AC,∠BAC=2α,∴∠ABC=90°-α,∴∠FQD=∠ABC, ∴QD∥BC,∴∠QDB=∠DBC.

又∵∠DBC=∠DAC,∴∠QDB=∠DAC.

又∵DB=AC,∠QBD=∠DCA,∴△QBD∽△DCA,∴BQ=CD, ∴BF=BQ+FQ=CD+DF.

3. 解:设方程的两个根为x1,x2,且x1为正整数, 则x1?x2?34,x1x2?34k?1.

由x1?x2?34知x2?34?x1,∴ x2也是整数.

由k为正整数及x1x2?34k?1可知x2?0,∴x2是正整数. 注意到(x1?1)(x2?1)?x1x2?x1?x2?1?34(k?1), ∴17|(x1?1)(x2?1),∴17|(x1?1)或17|(x2?1).

若17|(x1?1),则由x1?1?x1?x2?34知:x1?1?17或x1?1?34. 当x1?1?17时,x1?16,x2?18,此时34k?1?16?18,k无整数解; 当x1?1?34时,x1?33,x2?1,此时34k?1?33?1,解得k=1. 若17|(x2?1),同样可得k=1. ∴满足条件的正整数k=1.

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/bl5v.html

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