离散数学第二版邓辉文编著第一章第三节习题答案

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1.3 运算的定义及性质

习题1.3

1.分别判定取绝对值运算||、加法运算+、减法运算-、取大运算max、取小运算min是否为自然数集合N上的代数运算.

解 因为对于任意x N，|x| N，所以取绝对值运算||是N上的1元代数运算.

n(x,y) N，因此加法运算+、又因为对于任意任意x,y N，有x y,max(x,y),mi

取大运算max、取小运算min是自然数集合N上的2元代数运算.

而对于2,3 N，由于2 3 1 N，所以减法运算-不是自然数集合N上的2元代数运算.

2.证明: 集合A {3n|n N}关于数的加法运算不封闭.

证 由于31,32 A，而3 3 12 A，所以A关于数的加法运算不封闭. 3.设A {a,b,c}，求出A上的2元代数运算的个数.

解 考虑A关于2元代数运算*的运算表，在运算表中需要填运算结果的有

1

2

3 3 9个位置，而显然每个位置填a,b,c中任意一个元素均可，于是任意一种填

充元素的方法都是A上一种代数运算，因此A上的2元代数运算的个数为3.

4. 将十进制数365转换成八进制.

解 因为365 = 45 8 + 5，45 = 5 8 + 5，于是

9

365 45 8 5 (5 8 5) 8 5 5 82 5 8 5，

因此，365 = (555)8.

5. 分别计算16(mod 3)，-16(mod 3)，0(mod 3).

解 因为16 = 5 3 + 1，-16 = (-6) 3 + 2，0 = 0 3 + 0，所以16(mod 3) = 1，-16(mod 3) = 2，0(mod 3) = 0.

6. 利用素因数分解计算gcd(36, 48)和lcm(36, 48).

解 因为36 = 22 32， 48 = 24 3，于是gcd(36, 48) = 22 3 = 12，lcm(36, 48) = 24 32 = 144.

7. 使用欧几里得算法，计算gcd(14, 158) 并求出整数x和y使得gcd(14, 158) = 14x + 158y.

解 因为158 = 11 14 + 4, 14 = 3 4 + 2, 4 = 2 2, 所以gcd(14, 158) = 2. 由于 2 = 14 - 3 4，4 = 158 - 11 14, 于是2 = 14 - 3 (158 - 11 14) = 14 4 + 158 (-3).

8.设A {1,2,3},试根据所给定的运算表分别讨论其幂等性、交换性以及是否有单位元素，若有，请指出A中各元素的逆元素.

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表1.1 表1.2

*123112322233332

112322223313

解 (1)在表1.1中，由于3*3=2，于是*不满足幂等性. 因为*运算表是对称的，所以*满足交换性. 又因为对于任意x A，有1* x = x * 1 = x，因此1是*运算的单位元素. 从运算表可知，1的逆元为1，2和3都没有逆元.

(2)在表1.2中，由于对于任意x A，有x*x x，于是*满足幂等性. 因为2*3 2 3*2 1，所以*不满足交换性. 又因为对于任意x A，有1* x = x * 1 = x，因此1是*运算的单位元素. 从运算表可知，1的逆元为1，2和3都没有逆元(3的右逆元为2，2的左逆元为3).

9.整数集合Z上的取大运算max和取小运算min相互可吸收. 试证明之.

证 由于max和min运算可交换，且对于任意x,y Z，无论x y,x y还是x y，显然都有

max(x,min(x,y)) x

以及

min(x,max(x,y)) x，

所以Z上的取大运算max和取小运算min相互可吸收.

10.设R[x]表示实数集R上的所有关于x的一元多项式组成的集合，试验证： (1)多项式的加法运算和多项式的乘法运算均满足结合律. (2)多项式的乘法运算对多项式的加法运算可分配. 解 (1)对于任意A(x),B(x),C(x) R[x]，显然有

(A(x) B(x)) C(x) A(x) (B(x) C(x))，

(A(x)B(x))C(x) A(x)(B(x)C(x))，

所以多项式的加法运算和多项式的乘法运算均满足结合律.

(2)对于任意A(x),B(x),C(x) R[x]， 由于多项式的乘法运算满足交换律且显然有

A(x)(B(x) C(x)) A(x)B(x) A(x)C(x)，

多项式的乘法运算对多项式的加法运算可分配.

11.设Mn(R)表示实数集R上的所有n阶方阵组成的集合， (1)试验证：矩阵的乘法运算对矩阵的加法运算可分配.

(2)Mn(R)关于矩阵乘法的单位元素是什么? Mn(R)中哪些元素关于乘法运

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算有逆元?

解 (1)显然，对于任意A,B,C Mn(R)，根据线性代数知，

A(B C) AB AC且(B C)A BA CA，

因此，矩阵的乘法运算对矩阵的加法运算可分配.

(2)由于n阶单位矩阵E Mn(R), 且对于任意A Mn(R)，根据线性代数知，

EA AE A，

所以，n阶单位矩阵E是Mn(R)关于矩阵乘法的单位元素.

同样根据线性代数知，Mn(R)中只有可逆矩阵A才有逆元.

12.令Zm = {0, 1, 2, … , m - 1}，Zm上的两个2元运算分别是模m的加法运算“+m”和模m的乘法运算“ m”，定义如下: 任意x, y Zm ,

x my (x y)(modm),x my (xy)(modm).

(1) 写出Z6关于+6和.6的运算表. (2) 证明: .m运算对+m运算可分配.

解 (1) Z6关于+6和.6的运算表分别见表1.3和表1.4.

表1.3

(2)对于任意x, y , z Zm ,，由于乘法运算可交换且x (y z) x y x z，因此有

x m(y mz) x my mx mz

所以 .m运算对+m运算可分配.

13.试验证: Z关于加法运算+和减法运算-均没有零元素, 而Z关于乘法运算 . 的零元素为0.

解 若 是Z关于加法运算+的零元素，则对于任意x Z，均有x x ，这显然是不可能的.

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同样，若 是Z关于减法运算-的零元素，则对于任意x Z，均有x x ，这显然也是不可能的.

对于任意x Z，因为x 0 0 x 0，所以Z关于乘法运算 . 的零元素为0. 14.试举例说明，映射的复合运算 不具有消去性.

解 例如取A {a,b,c}，f(a) f(b) f(c) a，则经过计算可知

f f f IA，但f IA，这说明映射的复合运算 不具有消去性.

15.令G表示集合S {1,2,3}上所有置换组成的集合.

(1)列出G关于复合映射“ ”的运算表.

(2)并指出G关于复合映射“ ”的单位元素及G中每个元素的逆元. 解 (1)由1.2节例6知，S {1,2,3}上所有置换分别为

p1(1) 1,p1(2) 2,p1(3) 3;p2(1) 2,p2(2) 1,p2(3) 3;

p3(1) 3,p3(2) 2,p3(3) 1;p4(1) 1,p4(2) 3,p4(3) 2; p5(1) 2,p5(2) 3,p5(3) 1;p6(1) 3,p6(2) 1,p6(3) 2.

列出G关于映射的复合 “ ”的运算表如下(参见5.3节表1关于置换的复合“ ”的运算表)

(2)由运算表可知，对于任意pi G，有pi p1 p1 pi pi，所以 p1是G关于复合映射“ ”的单位元素.

1 1 由运算表可知，p1 p1，p2 p2，p3 p3，p4 p4，p5 p6， 1p6 p5.

1

1

1

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