归纳思想

浅谈化归思想方法在数学中的应用

黄发富 摘要：化规思想是数学解题的一种方法，所谓的化规指的是转化与归结，

把数学中未解决或者待解决的问题通过恰当的方法进行变换，转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题，从而最终解决原问题的的一种思想。在数学领域有着广泛应用。在教学中经常进行化归思想教学，学生的解题能力和思维的灵活性就会逐步提高。重视化归思想在高中数学教学中的应用显得尤其重要。

关键词：化归数学思想 解题方法 化归思想 解题能力

总结下我们处理数学问题的过程和经验会发现，我们常常是将待解决的

陌生问题通过转化、归结为一个比较熟悉的问题来解决。因为这样就可以充分调动和运用我们已有的知识、经验和方法于问题的解决，也常将一个复杂的问题转化归结为一个或几个简单的问题来解决，等等。它们的科学概括就是数学上解决问题的一般思想方法――化归。近几年高考试题十分重视数学思想方法的考查，特别是考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”

在中学数学中，化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的

思维策略。所谓的化归，指的是转化与归结。即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题，从而最终解决原问题的一种思想。

化归应遵循一定的原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利运用熟知的知识、经验和问题来解决。（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过以简单问题的解决，达到复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。（4）

直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解

下面就化归思想在中学数学解题中的应用谈几点自己的体会： 一、将未知的问题转化归结为已知的知识

将未知的问题向已知的知识转化，并使未知和已知的知识发生联系，使之能用熟悉的知识和方法解决新的问题。这种转化经常可达到事半功倍的效果。例如要求空间两条异面直线所成的角，只须通过作平行线转化成大家所熟悉的两相交直线所成的角。又如复杂的三角函数的最值问题有时也可以通过换元转化为熟悉的二次函数最值问题，再如还可以用三角法解决几何量的最值问题等等。

例1、求函数y=sinx+cosx+sinx?cosx的最值

12(t?1)2（分析）引入代换t=sinx+cosx，则sinx?cosx=

将问题转化为熟悉的二次函数最值问题，极易求解。

t2?1解：设sinx+cosx=t,则sinx?cosx=2 t2?112(t?1)?1∴ y = 2+t =2

∵ t∈[?2，2]

1∴ ?1≤y≤2＋2

?1且当t=2即x=2kπ+4时，ymax=2+2(k为整数) 当t=?1即x=

k???2或kπ时，ymin=?1(k为奇数)

二、正与反的相互转化

对有些从“正面进攻”很难奏效或运算较繁的问题，可以用迂回战术攻其反面，再利用“对立互补”的思想使正面得以解决。

例2.某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4次且他各次射击是否

击中目标是相互独立的，则他至少击中目标1次的概率

为 。

[分析]至少击中目标一次的情况包括1次、2次、3次、4次击中目标共四种情

况，可转化为其对立事件：一次都未中，来求解 [略解]他四次射击未中1次的概率P1=C40.14=0.14 ∴他至少射击击中目标1次的概率为1－P1=1－0.14=0.9999 三、数形之间的转化

注意数形的相互转化，使数形达到和谐的统一，以增强直观性和形象性及深刻了解数学的内涵，便于发现和解决实质问题。某些代数问题、三角问题，往往潜在着几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念，复杂的数量关系几何直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论。

4242x?3x?6x?13?x?x?1的最大值。 例3：求函数f(x)=

4分析：将函数式变形，得：

f(x)?(x2?2)2?(x?3)2?(x2?1)2?(x?0)2

上式可看作“在抛物线y=x2上的点P(x,x2)到点A(3,2)，B(0,1)的距离之差” 如图：由

|PA|?|PB|?|AB|知，当P在AB的延长线上的P0处时，f(x)取到最

y P 大值|AB| 所以fmax(x)=

(3?0)2?(2?1)2?10

A P0 0 B x 四、高维转化为低维

例4. 如图，正三棱锥P-ABC中，各条棱的长都是2，E是侧棱PC的中点，D是

侧棱PB上任一点，求△ADE的最小周长。

[分析]：把空间问题化归成平面问题，是立体几何中化归思想最重要的内容，

有这种思想作指导，结合图形如图1，由于AE是定长：

2?3?32 ，故只要

把侧面PAB、PBC展开，那么当A、D、E三点共线时的AE长，即AD+DE的最小值。在图2的?AED中 ，PA=2， PE=1，?APE=1200，故依余弦定理有AE2=22+12-2?2?1?COS1200=7。所以AE=7，于是得?AED的最小周长为3?7

五、实际问题向数学问题的转化归结

将实际问题转化为数学问题，使之能用数学理论解决具体的实际问题。解答数学应用问题。要善于调整应用题中的条件关系和题型结构，使问题化难为易，化繁为简。若有些较复杂的应用题采用直接设元列方程转化较困难，则可合理地设置间接未知数来设法进行转化，以寻求解决问题的新途径。

例5：某织布工厂有工人200名，为改善经营，增设制衣项目，已知每人每天能

织布30米，或利用所织布制衣4件，制衣一件需布1.5米，将布直接出售每米可获利2元，将布制成衣出售，每件可获利25元，若每名工人只能做一项工作，且不计其他因素，设安排x名工人制衣，问该厂一天所获总利润S（元）最多为多少？

分析：该厂一天所获总利润包括两部分，分别是一天制衣所获利润和剩余布所获

利润。由此可得S＝25×4x+2[30(200?x) ?1.5×4x]=28x+12000 这样就将获利问题转化为x和S的一次函数关系。但要注意其中的x受到x<200的限制，还应满足一个条件，即生产中的布必须不少于制衣所需布的数量，所以还有30(200?x)≥1.5×4x，得x≤

16623,而制衣工人数量是

整数，故制衣工人最多可安排166人。这样可获取最大总利润为28×166+12000=16648(元)

总之，从广义上说，数学问题的求解都是运用已知条件对问题进行一连串恰当转

化归结，进而达到解题目的一个探索过程，熟练、恰当的转化可以迅速、准确地解决问题。灵活的转化可以出方法、出速度。而数学问题中运用化归思想解题的例子比比皆是，决不是几种类型可以加以概括的，平时教学

中，经常地进行化归思想教学，针对不同的问题，缜密思考，及时总结各种“转化归结”方法，学生解题能力及灵活性就会逐步地得到提高 参考文献

1、普通高中数学课程标准（实验）解读，江苏教育出版社，2004.4 2、数学思想方法与中学数学教学， 钱佩玲 邵光华编 ，北京师范大学出版社 2001年5月

3、高考数学解题技法大全 ，袁亚良编， 中国少年儿童出版社，2003.9 4、学海导航-高考二轮复习-数学， 李瑞坤编，海南出版社，2006.12 5、状元之路-高考总复习-数学，北京教育出版社，2003.4

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