答案

1. 如图所示等截面圆轴，主动轮的输入功率PA=350kW，三个从动轮输出功率PB=100kW， PC=130kW， PD=120kW 。轴的转速n=600r/min，剪切弹性模量

G?80GPa，许用剪应力????60MPa，许用单位扭转角?????1o/m。试：画出该传动轴的扭矩图,并确定该等截面圆轴的直径。 解：（1）计算外力偶矩：

mC?9550mB?9550PB100?9550?N?m?1591.66kN?mn600

PCP130120?9550?N?m?2069.17N?mmC?9550C?9550?N?m?1910N?mn600n600

（2）画扭矩图下图所示。可见，内力最大的危险面在AC段内，最大扭矩值 │Tmax│=3979.17N?m。

（3）确定轴的直径d 按强度条件得：

?max?TmaxT16Tmax316?3979.17?max?????60MPa?d1?3?m?69.64mm6?3WP????60?10??d116

?max?Tmax180T180??max4??????1/m?dGIP??G23232?180Tmax432?180?3979.17?m?73.40mm?2G????2?80?109?1?d2?4按刚度条件得

故，D?max(d1,d2)?73.40mm

2. AB段为实心圆截面，直径100mm；BC段为实心圆截面，直径200mm；CD段为空心圆截面，外径200mm，内径100mm；所受外力偶矩见图示。各杆材料的容许剪应力［τ］＝70MPa。 （1）校核该轴的强度；

(2) 若G＝8×104MPa，求此轴总转角。

解：

T图（kN·m）

（与5kN·m的扭矩同向）

3 图示阶梯圆轴，已知d1=25mm，d2=22mm，外力偶T1=1kN·m，T2=3kN·m材料的G=80GPa，[?]=300MPa 试求 （1）画出轴的扭矩图;

（2）AC截面的相对扭转角; （3）校核轴的强度; 解：

（1）MX图 （2）???Mxl?d Ip? GIp324Mx图 (kN?m) ?AC??AB??BC?2?106?1031?106?103MxABlABMxBClBC??=?0.108rad??6.2? ??44?·25?·22GIpABGIPBC80?103?80?103?3232Mx?d3?2?106??651.9MPa?[?]?300MPa （3）??? Wp? ??ABmax?Wp16??253161?106?BCmax??478.3MPa?[?]?300MPa ?不安全； 3??2216m1=0.2m2=0.3m3=0.5m4=1.0(kNm)0.60.50.6(m)4、

（1）由?max?TmaxT3

得：16T/(?d)≤[?] ?maxmax3Wp?d16 d?316Tmax????616?1?10= d=55.4mm ； ?33.14?30?106(2)互换后 Tmax=0.5kN?m d?316Tmax????616?0.5?10 =43.9mm ?363.14?30?10???????

?、图示为内外直径比值α=1/2的空心圆轴，其转速度n为每分钟300 转，主动轮输入的功率N1＝500

马力，三个从动轮输出的功率分别为N2＝150马力，N3＝150马力，N4＝200马力。已知材料参数：G＝80Gpa，[τ]= 40MPa；单位长度杆的允许扭转角[?`]=0.3o/m ，试按照强度条件和刚度条件选择轴的外径。

提示：m=7024N/n(N.m)，N的单位为马力。 解???计算作用于各轮上的外力偶矩：??

?

作扭矩图：?

?

?

?

?

6. 试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的x轴的惯性矩

三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是bh12， 利用平行轴定理，可求得截面对形心轴x0的惯性矩：

3得

?

6、阶梯形圆轴如图所示。轴上装有三个皮带轮。已知由轮2输入的功率为N2=30kW。轮1和轮3的输出的功率为N1=13kW

和N3=17kW，轴作匀速转动。转速n=200 r/min。材料的许用剪应力[τ]=60MPa，G=80GPa。许用单位长度扭转角[?`]=2o/m。画出圆轴的扭矩图并设计阶梯轴的的直径d1和d2。如果将2、3两皮带轮的位置互换，定性说明阶梯轴的直径有什么变化？ （1）计算外力扭矩

N113?9549??620.7Nmn200N17M3?95493?9549??811.7Nmn200（ M1?9549T1?2?M1?620.7Nm（2）计算内力扭矩和画出扭矩图 T2?3?M3?811.7Nm T(Nm)

620.7

（3）根据强度和刚度条件设计AC段直径 811.7 ?max1?T1?216T1?2??[?]3Wt1?d1?d1?0.0375m?max1T1?2180o32T1?2180o?????[?]GIp??G?d14 取： d1=0.0388m

?d1?0.0388m（4）根据强度和刚度条件设计BC段直径

?max1?T2?316T2?3??[?]3Wt2?d2?d2?0.0410m?max2T2?3180o32T2?3180o?????[?]4GIp??G?d2 取： d2=0.0415m

?d2?0.0415m（5）如果将2、3两皮带轮的位置互换，AC段内的扭矩不变，BC段内的扭矩增大，变为1432.4Nm，所以AC段的直

径不变，而BC段的直径应该增大。

?mn?B?3.2KN.m，7、一根轴上有三个皮带轮。AB 段轴直径为50mm，BC段直径为72mm。已知 ?mn?A?1.3KN.m，

?mn?C?1.9KN.m。作扭矩图，并求轴中最大剪应力和最大正应力，并说明最大正应力的方向。

解：（1）作传动轴的扭矩图

外力偶矩?mn?A?1.3KN.m，?mn?B?3.2KN.m，?mn?C?1.9KN.m，扭矩图如下

（2）计算剪应力

AB段 T1=1.3kN·m，d1＝50mm，?1?T1T1??53MPa Wt1?d116T2T2??26MPa Wt2?d216AB段 T2=1.9kN·m，d2＝50mm，?2?所以?max?53MPa （3）计算最大正应力

危险点处于纯剪应力状态，?1＝?max?53MPa 所以?max?53MPa

（4）最大正应力的方向如图所示

8、空心钢圆轴的外径D=100mm，内径d=50mm，已知间距为L=2.7mm之两截面的扭转角??1.8?，材料的剪切弹性

模量G=80GPa，试求周内最大剪应力。

解：（1）求T ???GIP?TL180? T? GIP?180LT.(2)求?max ?maxDD?GIP???G??D1.8?8?1010??0.122??10-6?46.6MPa ??=

2L?1802?2.7?180IP180L?IP1. 试求图示组合截面对其形心轴xC的惯性矩。

????????2、铸铁梁受力及截面尺寸如图示。已知M=40kN.m，许用拉应力=30Mpa，许用压 应力=90Mpa。若要截面最为

合理，试确定T形截面的尺寸b1，并校核此梁的强度。

（1）确定b1

???max???301??????min903???由题意可知：可得：

?,由于?max?My2Iz?;?max?My1Iz( 2分)

??maxy2301????y1903?min,又知y2?y1?280mm，yc：yc?y1?210mm可求中性轴位置b1??280?60??yc?.b1?24mm3分?.?3分?280?6060???60?220??280??22???210mmb1??280?60??60?220(2)校核强度M?40kN.m

224?2203220?603?60?2Iz???210?110??24?220???280?210???12122?? ?3分?220?60?99.3?10?6m4??max?My140?103?0.07???28.2MPa?????30MPa?6Iz99.3?10My240?103?0.21???84.6MPa?????90KPa?6Iz99.3?10(2分)??max??2分?

3. 矩形截面梁b×h=100×200mm，受力情况如图所示。试求梁中最大弯曲应力和剪应力。

内力图如图：

4. 等截面工字形梁受力和尺寸如图所示。已知梁材料的容许正应力

????120MPa,容许剪应力????60MPa，

P=80kN，不考虑梁的自重。试：（1）校核的正应力强度。 （2）校核的剪应力强度。（3）采用第三强度理论校核

梁B的右截面腹板上、腹板与翼板的交接处a点的强度。

解：（1）外力分析，荷载与轴线垂直，发生弯曲变形。截面水平对称轴为中性轴z轴。求截面的几何性质

Iz?11?0.120?0.1803??(0.120?0.015)?0.1203?4.32?10?5m41212

Sz?,max?120?30?75?60?15?30?297000mm3?2.97?10?4m3?Sa?120?30?75＝27000mm3?2.7?10?4m3

的剪力最大，

第三强度理

（2）内力分析，内力图如图所示。

B支座的右截面的弯矩值最大，为正应力强度危险面；AB段横截面为剪应力强度危险面；B支座的右截面的弯矩值、剪力都最大，为论的危险面

MB???0.7?80??56(kN?m)，VB??80kN=VAB(3) 应力分析，判危险点：

B支座的右截面的上下边缘点都是正应力强度的危险点；AB段中性层上各点是剪应力强度的危险点。B支座的右截面的a点既有正应力又有剪应力处于复杂应力状态。

（4）对梁进行正应力校核

?maxMmax56?103?(90?10?3)??ymax?(Pa)?116.67(MPa)?????120(MPa)?5Iz4.32?10

故，正应力强度足够。

（5）对梁进行剪应力强度校核

?max?V?Sz?,maxIzb80?103?(2.97?10?4)?(Pa)?36.67(MPa)?????60(MPa)(4.32?10?5)?0.015

（6）按第三强度理论对梁B支座的右截面a点进行强度校核。

?a??a?MB?Iz56?103ya??0.06?77.77?106(Pa)?77.77(MPa)?54.32?10?VB??Sa80?103?(2.7?10?4)?Pa?33.33(MPa)Izb(4.32?10?5)?0.015 故，梁的强度足够。

?r3??2?4??2?77.772?4?33.332?102.43(MPa)?????120MPa

7、计算半圆形对形心轴的yc的惯性矩 解：在图中取微面积dA??d?d?，所以

r?2Sy??zdA???2sin?d?d????2d??sin?d??r3

00323??r2yc??r?A3??22Sy?????1?4r 3?2r3Iy??zdA????sin???d?d????d??sin?d??2AA00??r48

Iyc1?4r??Iy??r2???0.11r4

2?3??2

5. 试用积分法求图示半圆形截面对x轴的静矩，并确定形心的坐标

5、有一拉伸试样，很截面为40mm?5mm的矩形，在与轴线成??45角的面上切应力??150MPa时，试求试样所受的轴向拉力F的数值。

?FFF???0 ?45??0sin2?45????150MaP解：?? -6A40?5?1022?40?5?10-6?F?150?106?2?40?5?10?6?60?103N?60KN

10、铸铁梁的荷载及横截面尺寸如图所示。许用拉应力许用拉应力

??t?=40MPa，许用压应力??c?=160MPa，试按正应力

强度条件校核该梁的强度。若荷载不变，但将T形横截面倒置，即翼缘在下成为?形，是否合理？为什么？

解：截面的几何性质

yc?20?3?10?20?3?21.5=15.8cm

20?3?211?3?203?20?3?5.82??20?33?20?3?(21.5?15.8)2?6010cm4 1212IN.A?作梁的弯矩图如图所示： B截面

??max20?103?(23?15.8)?10?2? =24MPa

6010?10?8??maxC截面

??max10?103?15.8?10?2?= 26.3MPa

6010?10?8??max 由此可知，最大应力小于许用应力，安全

若截面倒置呈?形，则B截面的最大拉应力将增大为?max=52.6MPa>??t?

?显然这样抗拉强度不够，因而截面倒置不合理。

1. 试求图示杆件斜截面m-m上的正应力和切应力。 mF解、由图可知，

60?0m斜截面m-m的方位角为??30

Fhh?0???2 横截面上的正应力

Ah?hh则有斜截面上的正应力 和切应力公式可知：

F3F

?30o??0?cos?2?2?cos2300?2 h4h1F3F 0?30o??0?sin2??2?sin60?22h4h2

2、某点的应力状态如图所示，试求：(1)该点的主应力大小与方向；(2)该点的最大切应力；(3)在单元体上画出主应

力的方向（图中应力单位：MPa）。解：（1）该点的主应力大小

FFF50103011?????xy?2211??30?50??22?5411?2???x??y??2211??30?50??22?26?3?0?1???x??y??4?x22?30?50?2?4?102??2x??y??4?x22?30?50??4?102该点的主应力方向：

?1的方位角： ?2?x1120?0?arctan()?arctan() 2?x??y230?50

?67.50

?3的方位角：67.50-900?22.50

????max?13?27（2）该点的最大切应力

2

(3)在单元体上画出主应力的方向 54 67.50

26

3、已知单元体如图所示，材料的弹性横量E=200GPa，泊松比?=0.3， 试求：（1）30°斜截面上的应力;（2）主应力和主平面，并标在单元体中;（3）最大切应力?max;（4）主应变?1、?2、?3; 已知?x?50MPa,?y??30MPa,?xy??20MPa

解：（1）?30???x??y2??x??y2cos2???xysin2??50?3050?30?cos600?20sin600 22?10?20?17.32?47.32MPa

max（2）?min??x??y2?(?x??y22?)2??xy50?3050?302?()?(?20)2 22?54.72MPa ?10?44.72????34.72MPa??1?54.72MPa ?2?0 ?3??34.72MPa

画出主应力如图所示

?0?arctg（3）?max?1212?20?arctg?7.02? 与?1的夹角为7.02°

?x??y250?30?2?xy11(?1??3)??(54.72?34.72)?44.72MPa 2211（4）??1?[?1??(?2??3)]??[54.72?0.3?(0?34.72)]?3.26?10?4 3E200?1011?2?[(?2??(?3??1)]=?[0?0.3(?34.72?54.72)]??3?10?5 3E200?1011?4??2.56?10?3?[?3??(?1??2)]??[?34.72?0.3?(54.72?0)] 3E200?10

?4、某点的应力状态如图所示，图中单位：MPa。材料的泊松比??0.3，试计算相当应力?r1、?r2、r3、?r4。

解：

（1）计算主应力

根据应力状态可知：?x?30MPa，?y??20MPa，?x??40MPa，?z根据主应力的计算公式：

20 40 MPa 30 ? 50 50 ?1?(?x??y)??1212(?x??y)2?4?x211?(30?20)??(30?20)2?4?(?40)2 22?52.2MPa?2?50MPa：

?3?(?x??y)??1212(?x??y)2?4?x211?(30?20)??(30?20)2?4?(?40)2 22??42.2MPa（2）相当应力的计算

?r1??1?52.2MPa ?r2??1??(?2??3)?52.2?0.3(50?42.2)?49.9MPa ?r3??1??3?52.2?(?42.2)?94.4MPa?r4?12[(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2?93.3MPa

32

6、等截面直杆上端固定， 横截面面积为2×10mm。 杆的上段为钢，Ea＝200GPa，a=400mm。载荷P作用于钢－铜界面的中心。当P＝0杆的下端与刚性支座之间的间隙为e＝0.06mm。求载荷P＝80kN产生于各段上的轴力。 解：（1）判断直杆下端是否能接触刚性支座

N a =P， N b =0（2分）

?l??NaaNbbPa??EaAEbAEaA3?380?10?400?10?0.08mm?e93?6200?10?2?10?10

（2）计算直杆下端接触刚性支座以后，各段的轴力 设轴力为 N a、N b， 由平衡方程

?y?0，N-P-N =0 （1）

a

b

由变形协调方程?l?e,?l?NaaNbb??e (2) EaAEbA由（1）、（2）解得 N a＝70kN， N b＝－10kN。

7.己知应力状态如图8，图中应力单位为MPa。解析法求： （1）主应力大小，主平面位置；（2）在单元体上给出主平面位置及主应力方向；（3）最大剪应力。 解：单位：MPa

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