浙江省温州十校联合体2011届高三期中考试

（浙江省温州十校联合体2011届高三期中考试【理】）20（本小题满分14分）

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面

PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点．

（I）求证：EF?平面PAD；

（II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；

答案：解：方法1：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，AB?AD，

∴AB?平面PAD， …………（4分） ∵E、F为PA、PB的中点，

∴EF//AB，∴EF?平面PAD； …………（6分） （II）解：过P作AD的垂线，垂足为O，

∵平面PAD?平面ABCD，则PO ?平面ABCD． 取AO中点M，连OG，,EO,EM, ∵EF //AB//OG,

∴OG即为面EFG与面ABCD的交线…………（8分） 又EM//OP,则EM?平面ABCD．且OG?AO,

故OG?EO ∴?EOM 即为所求 …………（11分） Rt?EOM中 ，EM＝3,ＯＭ＝１

∴tan?EOM＝3,故 ?EOM＝60?

∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是60? …………（14分）

方法2：（I）证明：过P作P O ?AD于O，∵平面PAD?平面ABCD， 则PO ?平面ABCD，连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系， …………（2分）

∵PA＝PD ?AD?4，∴OP?23,OD?OA?2， 得A(0,?2,0),B(4,?2,0),C(4,2,0),D(0,2,0),P(0,0,23)，

E(0,?1,3),F(2,?1,3),G(4,0,0)， …………（4分）

M

故EF?(2,0,0),AD?(0,4,0),PD?(0,2,?23)， ∵EF?AD?0,EF?PD?0，

∴EF ?平面PAD； …………（6分） （II）解：EF?(2,0,0),EG?(4,1,?3)，

设平面EFG的一个法向量为n?(x,y,z),

??n?EF?0，即则???n?EG?0,??2x?0???4x?y?， 取z?1,得n?(0,3,1)， …………（11分）

3z?0平面ABCD的一个法向量为n1?(0,0,1),……（12分） 平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值是：

|cos?n,n1??n?n1|n||n1|?12，锐二面角的大小是60?； …………（14分）

（浙江省温州十校联合体2011届高三期中考试【理】）21．（本题满分15分）

已知椭圆xa22?yb22?1(a?b?0)的离心率为22，椭圆上任意一点到右焦点F的距离

的最大值为2?1。

（I）求椭圆的方程；

（II）已知点C(m,0)是线段OF上一个动点（O为坐标原点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得|AC|?|BC|，并说明理由。 答案：解：

?c2e?????a?2（1）因为?， 所以?， …………（4分） a2???c?1a?c?2?1? ?b?1，椭圆方程为：

x22?y?1 …………（6分）

2（2）由(1)得F(1,0)，所以0?m?1，假设存在满足题意的直线l，设l的方程为

y?k(x?1)，代入

x22?y?1，得(2k?1)x?4kx?2k?2?0

22222设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2??y1?y2?k(x1?x2?2)??2k2k?124k222k?1,x1x2?2k?22k?122 ①， …………（10分）

,?k2k2设AB的中点为M，则M(2k2k22?1?1)，

?|AC|?|BC|,?CM?AB,即kCM?kAB??1

?4k222k?1?2m?12?2k2k?12k?0?(1?2m)k?m

m1?2m2?当0?m?时，k??，即存在这样的直线l；

当

12?m?1，k不存在，即不存在这样的直线l …………（15分）

（浙江省台州中学2011届高三期中考试【理】）19．（本小题满分14分）如图，四面体ABCD

中，O、E分别是BD、BC的中点，

BCA?CB?CD?BD?2,AB?AD?2.

A（I）求证：AO?平面BCD；

（II）求异面直线AB与CD所成角余弦值的大小； （III）求点E到平面ACD的距离．

DOEC

答案：方法一： （I）证明：连结OC ?BO?DO,AB?AD,?AO?BD.

?BO?DO,BC?CD,?CO?BD.

A

3.

MOBDC在?AOC中，由已知可得AO?1,CO?而AC?2,

?AO?CO?AC,

o??AOC?90,即AO?OC.

222?BD?OC?O, ?AO?平面BCD

E（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC ?直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角 在?OME中，

EM?12AB?22,OE?12DC?1,

12AC?1,

?OM是直角?AOC斜边AC上的中线，?OM??cos?OEM?24,

24.

?异面直线AB与CD所成角的大小为arccos（III）解：设点E到平面ACD的距离为h. ?VE?ACD?VA?CDE,?13h.S?ACD?13.AO.S?CDE.

2,

在?ACD中，CA?CD?2,AD??S?ACD?12?2?122?(?3432?722222)?32272,

.

zA而AO?1,S?CDE?AO.S?CDES?ACD?2?1?? ?h?217.

xBDOECy

?点E到平面ACD的距离为

217.

方法二： （I）同方法一.

（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1,0,0),D(?1,0,0),

C(0,3,0),A(0,0,1),E(,22????????????????BA.CD2?cos?BA,CD?????, ??????4BACD13????????,0),BA?(?1,0,1),CD?(?1,?3,0).

?异面直线AB与CD所成角

的大小为arccos24.

（III）解：设平面ACD的法向量为?n?(x,y,z),则

???????n.AD?(x,y,z).(?1,0,?1)?0,??n.???AC? ???(x,y,z).(0,3,?1)?0, ???x?z?0,? ??3y?z?0. 令?y?1,得n?(?3,1,3)是平面ACD的一个法向量。

又????EC?(?132,2,0),

?点???E到平面

??ACD的距离

EC.nh???321

n7?7.（浙江省嵊州一中2011届高三期中考试【文】）19．（本题14分）

如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥ABCD， 四边形ABCD是矩形. E、F分别是AB、PD的 中点.若PA=AD=3，CD=6. （I）求证：AF//平面PCE； （II）求点F到平面PCE的距离；

（III）求直线FC与平面PCE所成角的大小.

答案：解法一：

（I）取PC的中点G，连结EG，FG，又由F为PD中点，

则 FG//

1=

2CD.

又由已知有AE1=

//2CD,?FG= //AE. ∴四边形AEGF是平行四边形.

?AF//EG.

又AF 平面 PCE，EG?平面PCE.

?AF//平面PCE

…………5分

（II）?PA?平面ABCD,

?平面PAD?平面ABCD.由ABCD是矩形有CD?AD.?CD?平面PAD.

?AF?CD又PA?AD?3,F是PD的中点,?AF?PD.?PD?CD?D,?AF?平面PCD.由EG//AF,

?EG?平面PCD.

?平面PCD内,过F作FH?PC于H,由于平面PCD?平面PCE?PC,则FH的长就是点F到平面PCE的距离.

由已知可得

PD?32,PF?322,PC?26.…………8分

由于CD?平面PAD,??CPD?30.?FH?12PF?342.342.

?

?点F到平面PCE的距离为…………10分

（III）由（II）知?FCH为直线FC与平面PCE所成的角.

在Rt?CDF中,CD?6,FD?2322, ?FC?CD2?FD??21422.

?sinFCH?FHFC142114.…………14分

?直线FC与平面PCE所成角的大小为arcsin解法二：如图建立空间直角坐标系A?xyz

623232 A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），E（，0，0），F（0，，），

C（6，3，0） …………2分

（I）取PC的中点G，连结EG，

则(633,,). 222?AF?(0,3333,),EG?(0,,),2222 ?AF//EG.即AF//EG.

又AF平面PCE,EG?平面PCE,

?AF//平面PCE.…………6分

（II）设平面PCE的法向量为n?(x,y,z),EP?(?62,0,3),EC?(62,3,0).

??n?EP?0,???n?EC?0.

32?6x?3z?0,???2即??6x?3y?0.??2

取y??1,得n?(6,?1,1).又PF?(0,,?32),故点F到平面PCE的距离为 d?PF?n|n||??32?32|?324223232. …………10分

（III）FC?(6,,?),

|cos?FC,n?|?|FC?n||FC|?|n|?3212?222114?2114.

?直线FC与平面PCE所成角的大小为arcsin. …………14分

则(633,,). 222?AF?(0,3333,),EG?(0,,),2222 ?AF//EG.即AF//EG.

又AF平面PCE,EG?平面PCE,

?AF//平面PCE.…………6分

（II）设平面PCE的法向量为n?(x,y,z),EP?(?62,0,3),EC?(62,3,0).

??n?EP?0,???n?EC?0.

32?6x?3z?0,???2即??6x?3y?0.??2

取y??1,得n?(6,?1,1).又PF?(0,,?32),故点F到平面PCE的距离为 d?PF?n|n||??32?32|?324223232. …………10分

（III）FC?(6,,?),

|cos?FC,n?|?|FC?n||FC|?|n|?3212?222114?2114.

?直线FC与平面PCE所成角的大小为arcsin. …………14分

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