微积分讲义及例题2

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第一讲

第一章 函数、极限连续（予备知识）

重点：函数性质与函数的图形

函数是微积分的研究对象,因此在课程的开始,要先对函数部分加以复习,要求对函数的概念、表示方法、性质及基本初等函数的图形有较好的理解与掌握.极限是微积分的基础,故需要介绍一下,因为不考试,故不作复习重点,不作任何要求,也不做练习题.

一、函数

（一）函数的概念 1．函数的定义

【定义1.1】 设在某一变化过程中有两个变量x和y,若对非空集合D中的每一点x,都按照某一对应规则f,有惟一确定的实数y与之相对应,则称y是x的函数,记作

y f(x),x D.

x称为自变量,y称为因变量,D称为函数的定义域,y的取值范围即集合 y|y f(x),x D 称为函数的值域.

xoy平面上点的集合 (x,y)|y f(x),x D 称为函数y f(x)的图形.

定义域D(或记Df)与对应法则f是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它

们的定义域与对应法则都相同.

2．函数的表示方法

函数的表示方法一般有三种：解析法、表格法、图示法.这三种表示方法各有其特点,表格法和图示法直观,解析法便于运算,在实际中经常结合使用.

3．函数定义域的求法

由解析式表示的函数,其定义域是指使该函数表达式有意义的自变量取值的全体,这种定义域称为自然定义域,自然定义域通常不写出,需要我们去求出,因此必须掌握一些常用函数表达式有意义的条件.

（二）函数的几何特性 1．单调性

（1）【定义1.2】 设函数f(x)在实数集D上有定义,对于D内任意两点x1,x2,当 x1＜x2时,若总有f(x1)≤f(x2)成立,则称f(x)在D内单调递增（或单增）；若总有 f(x1)＜

f(x2)成立,则称f(x)在D内严格单增,严格单增也是单增.当f(x)在D内单调递增时,又

称f(x)是D内的单调递增函数.

类似可以定义单调递减或严格单减. 单调递增或单调递减函数统称为单调函数.

（2）可以用定义证明函数的单调性,对几个常用的基本初等函数,可以根据熟悉的几何图形,找出其单调区间.对一般的初等函数,我们将利用导数来求其单调区间.

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2．有界性

【定义1.3】 设函数f(x)在集合D内有定义,若存在实数M＞0,使得对任意x D,都有|f(x)|≤M,则称f(x)在D内有界,或称f(x)为D内的有界函数.

【定义1.4】 设函数f(x)在集合D内有定义,若对任意的实数M＞0,总可以找到一

x D,使得|f(x)|＞M,则称f(x)在D内无界,或称f(x)为D内的无界函数.

有界函数的图形完全落在两条平行于x轴的直线之间.

函数是否有界与定义域有关,如y 1nx（0,+∞）上无界,但在[1,e]上是有界的. 有界函数的界是不惟一的,即若对任意x D,都有|f(x)|≤M,则也一定有|f(x)|≤

M a(M 0,a 0).

3．奇偶性

【定义1.5】 设函数f(x)在一个关于原点对称的集合内有定义,若对任意x D,都有f( x) f(x)(或f( x) f(x)),则称f(x)为D内的奇（偶）函数.

奇函数的图形关于原点对称,当f(x)为连续的函数时,f(x)=0,即f(x)的图形过原点.偶函数的图形关于y轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律： 设f1(x) f2(x)为奇函数,g1(x),g2(y)为偶函数,则

f1(x) f2(x)为奇函数；g1(x) g2(x)为偶函数； f1(x) g1(x)非奇偶函数；

f1(x) g1(x)为奇函数；f1(x) f2(x),g1(x) g2(x)均为偶函数.

常数C是偶函数,因此,奇函数加非零常数后不再是奇函数了.

利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助. 【例】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x) 1n(x) x;

x

1 e,x 0,

(2)g(x) x

e 1,x 0.

22

【解】 (1)因为f( x) 1n( x ( x) 1n( x x)

2

1n

( x x2)(x x2)

x x

2

2

1n

1x x

2

1n(x x) f(x), 所以f(x) 1n(x x)是奇函数.

( x)

, 1 e

(2)因为g( x) x

e 1,

2

x 0 x 0

x

1 e, x e 1,

x 0x 0

g(x)

4．周期性

【定义1.6】 设函数f(x)d在集合D内有定义,如果存在非零常数T,使得对任意

x D,恒有f(x T) f(x)成立,则称f(x)为周期函数.满足上式的最小正数T,称为f(x)

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的基本周期,简称周期.

我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求),除此以外知之甚少.y x [x]是以1为周期的周期函数.y [x]与y x [x]的图形分别如图1-1(a)和图1-1(b)所示.

图1-1

（三）初等函数 1．基本初等函数

（1）常数函数 y C,定义域为(-∞,+∞),图形为平行于x轴的直线.在y轴上的截距为

c.

（2）幂函数 y x

,其定义域随着 的不同而变化.但不论 取何值,总在（1,+∞）内有定义,且图形过点（1,1）.当 ＞0时,函数图形过原点（图1-2）

（a） (b)

图1-2

（3）指数函数 y x

( 0, 1),其定义域为（-∞,+∞）.

当0＜ ＜1时,函数严格单调递减.当 ＞1时,函数严格单调递增.子数图形过点（0,1）

.

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微积分中经常用到以e为底的指数函数,即y e（图1-3）

（4）对数函数 y log x( 0, 1),其定义域为（1,+∞）,它与y 互为反函数.微积分中常用到以e为底的对数,记作y 1nx,称为自然对数.对数函数的图形过点（1,0）（图1-4）

x

x

(图1-3) (图1-4)

另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数,不在考纲之内.

对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握,这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要.例如,设f(x)在(a,b)区间内二阶可导,对任意x (a,b),f″(x)＜0.

则 (1)f′(x)在(a,b)内严格单调减少；（2）f(x)在(1,b)上为凸弧,均不充分. 此题可以用举例的方法来说明（1）、（2）均不充分.由初等函数的图形可知,y x为凸弧.y′= 4x在（－∞,∞＋）上严格单调递减,但y″=-12x≤0,因此（1）,（2）均不充分,故选E.此题若把题干改成f″(x)≤0,则（1）,（2）均充分,差别就在等于零与不等于零.可见用初等函数图形来判断非常便捷.

2．反函数

【定义1.7】 设函数y f(x)的定义域为D,值域为R,如果对于每一个y R,都有惟一确定的x D与之对应,且满足y f(x)x是一个定义在R以y为自变量的函数,记作

3

2

4

x f 1(y),

并称其为y f(x)反函数.

y R.

习惯上用x作自变量,y作因变量,因此y f(x)反函数常记为y f函数y f(x)与反函数y f

2

1

1

(x),x R.

(x)的图形关于直线y x对称.

x

严格单调函数必有反函数,且函数与其反函数有相同的单调性.y a与y logax互为反函.y x,x [0,+∞]的反函数为y （图1-2（b））.

3．复合函数

【定义1.8】 已知函数y f(u),u Df,y Rf.又u (x),x D ,u R ,若

x,而y x2,x （－∞,0）的反函数为y x

Df Rf非空,则称函数

y f[ (x)],x x| (x) Df

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为函数y f(u)与u (x)的复合函数.其中y称为因变量,x称为自变量,u称为中间变量.

4．初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的一切函数统称为初等函数,初等函数在其定义域内有统一的表达式.

（四）隐函数

若函数的因变量y明显地表示成y f(x)的形式,则称其为显然函数.y x,y 1n(3x 1),y

2

2

x2 1等.

设自变量x与因变量y之间的对应法则用一个方程式F(x,y) 0表示,如果存在函数

y f(x)（不论这个函数是否能表示成显函数）,将其代入所设方程,使方程变为恒等式：

F(x,f(x)) 0,

x Df

其中Df为非空实数集.则称函数y f(x)由方程F(x,y) 0所确定的一个隐函数.

如方程x 数的形式,即

y 1可以确定一个定义在[0,1]上的隐函数.此隐函数也可以表示成显函

y f(x) (1 x)2,

x [0,1]

xy

但并不是所有隐函数都可以用x的显函数形式来表示,如e x y 0因为y我法用

初等函数表达,故它不是初等函数.另外还需注意,并不是任何一个方程都能确定隐函数,如

x2 y2 1 0.

（五）分段函数

有些函数,对于其定义域内的自变量x的不同值,不能用一个统一的解析式表示,而是要用两个或两个以上的式子表示,这类函数称为分段函数,如

x 1,f(x) 2

x 1,

x 0,

ex 1,g(x) x 0. 1nx,

x 0,x 0.

都是定义在（－∞,＋∞）上的分段函数.

分段函数不是初等函数,它不符合初等函数的定义.

二、极限（不在考试大纲内,只需了解即可）

极限是微积分的基础. （一）数列极限

按照一定顺序排成一串的数叫做数列,如a1,a2 an an称为通项. 1．极限定义

列 an 收敛于A,或称A为数列 an 的极限,记作

n

【定义1.9】 设数列 an ,当项数n无限增大时,若通项an无限接近某个常数A,则称数

liman A

否则称数列 an 发散或liman不存在.

n

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2．数列极限性质

（1）四则极限性质 设limxn a,limyn b,则

n

n

n n n

limcxn climxn ca.

n

lim(xn yn) limxn limyn a b.

n

n

limxn yn limxn limyn ab.

n

n

limxnaxnn

lim n ylimynbn

n n

n

(b 0).

（2）limxn a limxn k a （k为任意正整数）.

n

limxn a limx2n limx2n 1 a.

n

n

n

（3）若limxn a,则数列 xn 是有界数列.

,yn ,zn 满足不等式（4）夹逼定理 设存在正整数N0,使得n N0时,数列 xn zn xn yn.

若limyn limzn a,则limxn a.

n

n

n

利用此定理可以证明重要极限

1

lim 1 e （e 2.718,是一个无理数）. n

n

都有xn 1 xn（或xn 1 xn）,则数列 xn 的极限一定存在.

利用此定理可以证明重要极限

n

n

（5）单调有界数列必有极限 设数列 xn 有界,且存在正整数N0,使得对任意n N0

1

lim 1 e （e 2.718,是一个无理数）. n

n

（二）函数的极限 1．x 时的极限

【定义1.10】 设函数f(x)在|x| a

(a 0)上有定义,当x 时,函数f(x)无

限接近常数A,则称f(x)当x 时以A为极限,记作

n

limf(x) A.

当x 或x 时的极限

当x沿数轴正（负）方向趋于无穷大,简记x （x ）时,f(x)无限接近常数A,则称f(x)当x （x ）时以A为极限,记作

n n

limf(x) A(limf(x) A).

n

limf(x) A limf(x) A limf(x) A.

n

n

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3．x x0时的极限

【定义1.11】 设函数f(x)在x0附近（可以不包括x0点）有定义,当x无限接近

x0(x x0)时,函数f(x)无限接近常数A,则称当x x0时,f(x)以A为极限,记作

x x0

limf(x) A.

4．左、右极限

若当x从x0的左侧（x x0）趋于x0时,f(x)无限接近一个常数A,则称A为x x0时

f(x)的左极限,记作

x x0

limf(x) A. 或 f(x0 0) A

若当x从x0的左侧（x x0）趋于x0时,f(x)无限接近一个常数A,则称A为x x0时

f(x)的右极限,记作

x x0

limf(x) A. 或 f(x0 0) A

x x0

x x0

x x0

limf(x) A lim f(x) A lim f(x) A.

（三）函数极限的性质 1．惟一性

若,limf(x) A,limf(x) B则A=B. 2．局部有界性 3．局部保号性

若limf(x) A.且A＞0（或A＜0＝,则存在x0的某邻域（点x0可以除外）,在该邻

x x0x x0x x0

x x0

若limf(x) A.则在x0的某邻域内（点x0可以除外）,f(x)是有界的.

域内有f(x)＞0（或f(x)＜0＝。

若limf(x) A。且在x0的某邻域（点x0可以除外）有f(x)＞0（或f(x)＜0＝，

x x0

则必有A≥0（或A≤0）。

4．不等式性质

若limf(x) A，limg(x) B，且A>B，则存在x0的某邻域（点x0可以除外），使

x x0

x x0

f(x)>g(x).

若limf(x) A，limg(x) B.且在x0的某邻域（点x0可以除外）有f(x)<g(x)或

x x0

x x0

（f(x)≤g(x)），则A≤B。

5．四则运算 同数列

（四）无穷小量与无穷大量

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1．无穷小量的定义

【定义1.12】 若limf(x) 0，则称f(x)是x x0时的无穷小量。

x x0

（若limg(x) ,则称f(x)是x x0时的无穷大量）。

x x0

2．无穷小量与无穷大量的关系

无穷小量的倒数是无穷大量；无穷大量的倒数是无穷小量。 3．无穷小量的运算性质

（i）有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。 （ii）无穷小量乘有界变量仍为无穷小量。 （iii）有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。 4．无穷小量阶的比较

设lima(x) 0,lim (x) 0，

x x0

x x0

k 0,

a(x) lim x x0 (x)

0, ,

5．等价无穷小

称 (x)与 (x)为同阶无穷小,特别k 1时,称 (x)与 (x)为等价无穷小,记作 (x)~ (x),称 (x)是比 (x)高阶的无穷小,称 (x)是比 (x)高阶的无穷大.

常用的等价无穷小：x 0是，

ex 1~x,

1n(1 x)~x,

(1 x) 1~ax

( 0)

x 1~x1n ,

等价无穷小具有传递性，即 (x)~ (x)，又 (x)~ (x)。 等价无穷小在乘除时可以替换，即 (x)~ (x), (x)~ (x)，

*

*

(x) *(x)

则lim limx x (x)x x *(x)

(或x )(或x )

第二讲 函数的连续性、导数的概念与计算

重点：闭区间上连续函数的性质、导数的定义、几何意义、基本初等

函数的求导公式、复合函数求导公式、导数的四则运算。

三、函数的连续性

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（一）函数连续的概念 1．两个定义

【定义1.13】 设函数y f(x)的定义域为D,x0 D。若limf(x) f(x0)，则称

x x0

f(x)在x0点连续；若f(x)在D中每一点都连续，则称f(x)在x0点右连续。

【定义1.14】 若lim f(x) f(x0)，则称f(x)在x0点右连续。 若lim f(x) f(x0)，则称f(x)在x0点左连续。

x x0

x x0

f(x)在x0点连续 f(x)在x0点既左连续又右连续。

2．连续函数的运算

连续函数经过有限次四则运算或复合而得到的函数仍然连续，因而初等函数在其定义区间内处处连续。

（二）间断点

1．若lim f(x)与lim f(x)都存在，且不全等于f(x0)，则称x0为f(x)的第一类间断点。 间断点。

x x0

x x0

x x0

其中若limf(x)存在，但不等于f(x0)（或f(x)在x0无定义），则x0为f(x)的可去

x x0

若lim f(x)与lim f(x)都存在，但不相等，则称x0为f(x)的跳跃间断点。

x x0

2．若lim f(x)与lim f(x)中至少有一个不存在，则称x0为f(x)的第二类间断点。

x x0

x x0

（三）闭区间上连续函数的性质

若f(x)在区间[a,b]内任一点都连续，又lim f(x) f( ),lim f(x) f(b)，则称

x

x b

函数f(x)在闭区间[a,b]上连续。

1．最值定理

设f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大值M和最小值m,即存在

x1,x2 [a,b]，使f(x1) M,f(x1) m,且m f(x) M,x [a,b]。

2．价值定理

设f(x)在[a,b]上连续，且m,M分别是f(x)在[a,b]上最小值与最大值,则对任意的

k [m,M]，总存在一点c [a,b],使f(c) k。

【推论1】 设f(x)在[a,b]上连续，m,M分别为最小值和最大值，且mM<0,则至少存在一点c [a,b],使f(c) 0。

【推论1】 设f(x)在[a,b]连续，且f(a) f(b) 0，则一定存在c [a,b],使

f(c) 0。

推论1，推论2又称为零值定理。

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第二章 导数及其应用

一、导数的概念

1．导数定义

【定义2.1】 设y=f(x)在x0的某邻域内有定义,在该邻域内给自变量一个改变量 x,函数值有一相应改变量 y f(x0 x) f(x0),若极限

yf(x0 x) f(x0)

lim

x 0 x x 0 xlim

存在,则称此极限值为函数y=f(x)在x0点的导数,此时称y=f(x)在x0点可导,用

f (x0) 或

y

x x0

,或

dy

,或

dyxx x0

df(x)

表示.

dxx x0

若y f(x)在集合D内处处可导（这时称f(x)在D内可导）,则对任意x0 D,相应的导数f (x0)将随x0的变化而变化,因此它是x的函数,称其为y=f(x)的导函数,记作

f (x) 或

y ,或

dy,或dx

df(x)

. dx

2．导数的几何意义

若函数f(x)在点x0处可导,则f (x0)就是曲线y=f(x)在点（x0,y0）处切线的斜率,此时切线方程为y y0 f (x0)(x x0).

当f (x0)=0,曲线y=f(x)在点（x0,y0）处的切线平行于x轴,切线方程为y y0 f(x0). 若f(x)在点x0处连续,又当x x0时f (x) ,此时曲线y=f(x)在点（x0,y0）处的切线垂直于x轴,切线方程为x=x0.

3．左、右导数

【定义2.2】 设f(x)在点x0点的左侧邻域内有定义,若极限

0

lim

f(x0 x) f(x0)

x

存在,则称此极限值为f(x)在点x0处的左导数,记为f (x0)

f (x0)=lim

0

f(x0 x) f(x0)

x

类似可以定义右导数.

f(x)在点x0点处可导的充要条件是f(x)在点x0点处的左、右导数都存在且相等,即

f (x0)存在

f (x0) f (x0)存在.

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若f(x)在（a,b）内可导,且f (a)及f (b)都存在,则称f(x)在[a,b]上可导. 4．可导与连续的关系

若函数y f(x)在x0点可导,则f(x)在点x0处一定连续. 此命题的逆命题不成立.

yf(x0 x) f(x0)

存在可知,f(x)在x0点可导, lim

x 0 x x 0 x

必有 y 0,故f(x)在x0点连续.但f(x)在x0点连续只说明当 x 0时,也有 y 0,而当 y的无穷小的阶低于 x时,极限即不存在,故f(x)在x0点不可导.只有 y与 x是同

邮导数定义,极限lim

阶无穷小,或 y是比 x高阶的无穷小时,f(x)在x0点才可导. 1

例如,y x3,y |x|在x 0点连续,但不可导.

二、导数的运算

1．几个基本初等函数的导数 （1）y c（2）y x,（3）y x,

xa

y 0. y axa 1.

y ax1na;y ex,y ex

11

（4）y logax,y ;y 1nx,y .

x1nax

2．导数的四则运算 （1）[c u(x)] c u (x)； （2）[u(x) v(x)] u (x) v (x)；

（3）[u(x) v(x)] u (x) v (x) u(x) v (x)；

u(x) u (x)v(x) u(x)v (x)（4） ； 2

v(x)v(x)

3．复合函数的导数

设函数u (x)在x处可导,而函数y f(u)在相应的点u (x)处可导,则复合函数

y f[u(x)]在点x处可导,且

dy

f [ (x)] (x)dx

4．高阶导数（二阶导数）

或

dydydu

.

dxdudx

若函数 区间（a,b）内可导,一般说来,其导数y f (x)仍然是x的函数,如果y f (x) 也是可导的,则对其继续求导数,所得的导函数称为f(x)的二阶导数,记为

d2yd2f(x)y ,f (x),2,. 2

dxdx

【注】 更高阶的导数MBA大纲不要求,二阶导数主要用来判定极值、函数凹凸区间及

拐点.导数的计算要求非常熟练、准确.

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第三讲 微分、导数的应用（1）

重点：微分的概念及运算、求曲线切线方程的方法、函数单调区间、

极值、最值的求法

三、微分

1．微分的概念

【定义2.3】 设y f(x)在x0的某邻域内有定义,若在其中给x0一改变量 x,相应的函数值的改变量 y可以表示为

y f(x0 x) f(x0) A x 0( x)

( x 0).

其中A与 x无关,则称f(x)在x0点可微,且称A x为f(x)在x0点的微分,记为

dy

x x0

df

x x0

A x.

A x是函数改变量 y的线性主部.

y f(x)在x0可微的充要条件是f(x)在x0可导,且dyf(x) x时,可得dx x,因此

dy

f (x0)dx,dy f (x)dx.

x x0

f (x0 x).当

x x0

由此可以看出,微分的计算完全可以借助导数的计算来完成.

（2）微分的几何意义 当x由x0变到x0 x时,函数纵坐标的改变量为 y,此时过x0

点的切线的纵坐标的改变量为dy.如图2-1所示.

当dy< y时,切线在曲线下方,曲线为凹弧. 当dy> y时,切线在曲线上方,曲线为凸弧.

2．微分运算法则

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设u(x),v(x)可微,则

d(cu(x)) cdu(x),d(c) 0.

d[u(x) v(x)] du(x) du(x).d[u(x) v(x)] u(x)dv(x) v(x)du(x). d

u(x)v(x)du(x) u(x)dv(x)

v(x)v2(x)

一阶微分形式不变性：

设y f[ (x)]是由可微函数y f(u)和u (x)复合而成,则y f[ (x)]关于x可微,且

d(f[ (x)]) f [ (x)] (x)dx f [ (x)]d (x)即

df(u)du

dy f (u)du dx

dudx

由于dy f (u)du,不管u是自变量还是中间变量,都具有相同的形式,故称一阶微分形式不变.但导数就不同了：若u是自变量,y f (u).若u是中间变量,u u(x),则y fu u x.

四、利用导数的几何意义求曲线的切线方程

求切线方程大致有四种情况,最简单的一种是求过曲线y f(x)上一点(x0,f(x0))的切线方程,此时只需求出f (x0),切线方程为y f(x0) f (x0)(x x0).

第二种情况是过曲线y f(x)外一点（a,b）,求曲线的切线方程,此时b f(a). 设切点为(x0,f(x0)),切线方程为y f(x0) f (x0)(x x0),将点（a,b）代入方程中,有b f(x0) f (x0)(a x0)从中求出x0,化成第一种情况的切线方程,若得到x0惟一,则切 线也不惟一.

第三种情况是求两条曲线的公共切线,这两条曲线可能相离,也可能相交.设两曲线为

y f(x)与y g(x)

解题方法是设在两条曲线上的切点分别为(a,f(a)),(b,g(b))这两点的切线斜率相等,从而有方程

f (a) g (b). ①

另外过点（a,f(a)）的切线方程y f(a) f (a)(x a)也过点（b,g(b)）,故有

g(b) f(a) f (a)(b a) ②

由①、②求出a,b,有了切点,切线方程也就可以写出来了. 第四种情况是求两条曲线在某公共点处的公切线.

设曲线y f(ax)与y g(x)在某点处相切,求a的值与切线方程.则可设切点为

(x0,g(x)),从而有

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f(ax0) g(x0)

(f(ax) )

x x0

g (x0),

由两方程联和可得a的值及切点横坐标x0.即切点(x0,g(x0)),再由第一种情况,写出切线方程.

五、函数的增减性、极值、最值

1．函数的增减性的判定

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在（a,b）内可导,若f (x) 0或(f (x) 0),则f(x)在[a,b]上单调增加（或单调减少）.反之,若f(x)在（a,b）上单调增加（或单调减少）且可导,则f (x) 0(或f (x) 0).二者的差异在于有没有等号.

2．极值概念与判定

【定义2.4】 设f(x)在x0的某邻域内有定义,对该邻域内任意点x,都有

f(x)≥f(x0)（或f(x)≥f(x0)）,则称f(x0)为极大值（或极小值）x0为极大值点（或

极小值点）.

需要注意的是,极值点一定是内点,极值不可能在区间的端点取到.

（1）极值存在的必要条件：若f(x)在x0点可导,且x0为极值点,则f (x0)=0.因此,极值点只需在f (x)=0的点（驻点）或f (x)不存在的点中去找,也就是说,极值点必定是f (x)=0或f (x)不存在的点,但这种点并不一定都是极值点,故应加以判别.

（2）极值存在的充分条件,即极值的判别法,分为第一判别法和第二判别法.

第一判别法用一阶导数判定.高f(x)在x0点连续,且f (x0)=0（或f (x0)不存在）.若存在 0,使得当x (x0 ,x0)时,有f(x)>0（或f(x)不存在）,当x (x0,x0 )时,有

f (x)<0（或f (x)>0）,此时x0为极大（极小）值点.f(x0)为极大（极小）值.若f (x)在x0

的左右不变号,则x0不是极值点.

第二判别法需用二阶导数判定,只适用于二阶导数存在且不为零的点,因此有局限性. 当f (x0)=0,若f (x0) 0,则x0为极小值点,若f (x0) 0,x0为极大值点,f (x0) 0判别法失效,仍需用第一判别法.

3．函数在闭区间[a,b]上的最大值与最小值.

极值是函数的局部性质.最值是函数的整体性质.求最大值与最小值只需找出极值的可疑点（驻点和不可导点）,把这些点的函数值与区间的端点函数值比较,找出最大的与最小的即为最大值和最小值,相应的点为最大值点和最小值点.

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第四讲 函数图形的凹凸性、拐点、不定积分

重点：函数图形凹凸区间及拐点求法、找原函数的换元积分法和分部

积分法

六、函数图形的凹凸性、拐点及其判定

1．概念

【定义2.5】 若在某区间内,曲线弧上任一点处的切线位于曲线的下方,则称曲线在此区间内是上凹的,或称为凹弧（简记为 ）；反之,切线位于曲线上方,则称曲线是上凸的,亦称凸弧（简记为 ）,曲线凹、凸的分界点称为拐点.

2．凹凸的判定

设函数y f(x)在区间（a,b）内二阶可导,若在（a,b） 内恒有f (x)>0（或f (x)<0）,则曲线y f(x)在（a,b）内是凹弧（或凸弧）.

3．拐点的求法与判定

拐点存在的必要条件是f (x0)=0或f (x0)不存在（请与极值比较其共性）.

设f(x)在（a,b）内二阶可导,x0 (a,b),f (x0) 0或f (x0)不存在,若f (x)在x0点的左右变号,则点(x0,f(x0))是曲线y f(x)的拐点,否则就不是拐点.

由以上可以看出,要求函数的单调区间和极值点,只要找出其一阶导数等于零和一阶导不存在的点,设这种点一共有k个,则这个k个点把整个区间分成k+1个子区间,在每一个子区间内f (x)不变号,由f (x)>0（或f (x) 0）判定f（x）在该子区间内单调递增（或递减）,同时也可以将极大值点和极小值点求出.

求函数曲线的凹凸区间与拐点.只需求二阶导数等于零或二阶导数不存在的点,然后用上面的方法加以判定.

第三章 定积分及其应用

一、不定积分

1．不定积分概念

【定义3.1】(原函数) 若对区间I上的每一点x,都有

F (x) f(x)或dF(x) f(x)dx,

则称F（x）是函数f(x)在该区间上的一个原函数.

原函数的特性 若函数f(x)有一个原函数F(x),则它就有无穷多个原函数,且这无穷多个原函数可表示为F（x）+C的形式,其中C是任意常数.

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【定义3.2】(不定积分) 函数f(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分,记作若F(x)是f(x)的一个原函数,则

f(x)dx.

f(x)dx F(x) C

原函数在该区间上也必连续.

2．不定积分的性质

（1）积分运算与微分运算互为逆运算.

(C是任意常数)

【定义3.3】(原函数的存在性) 在区间I上连续的函数在该区间上存在原函数；且

d

dx

f(x)dx f(x)或d f(x)dx f(x)dx,

(常数k 0)

F (x)dx F(x) C或 dF(x) F(x) C.

（2）kf(x)dx kf(x)dx（3）[f(x) g(x)]dx 3．基本积分公式

f(x)dx g(x)dx.

1

xdx 1n|x| C;

xxedx e C;

1a 1

x C(a 1);a 1axx

adx 1na C;111 x

dx 1n C; 1 x2

21 x122

dx 1nx x a C. x2 a2

a

x dx

11a x

dx C; a2 x2

2aa x

4．求不定积分的基本方法和重要公式 （1）直接积分法

所谓直接积分法就是用基本积分公式和不定积分的运算性质,或先将被积函数通过代数或三角恒等变形,再用基本积分公式和不定积分的运算性质可求出不定积分的结果.

（2）换元积分法 （I）第一换元积分法 【公式3.1】 若

f(u)du F(u) C,则

f( (x)) (x)dx f( (x))d (x) f(u)du

=F(u) C F( (x)) C. 【说明】 1°运算较熟练后,可不设中间变量u (x),上式可写作

f( (x))d (x) F( (x)) C.

2°第一换元积分法的实质正是复合函数求导公式的逆用.它相当于将基本积分公式中

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的积分变量x用x的可微函数 (x)替换后公式仍然成立.

用第一换元积分法的思路 不定积分

f(x)dx可用第一换元积分法,并用变量替换u (x),其关键是被积函数g(x)

g(x) f( (x)) (x),

可视为两个因子的乘积

且一个因子f( (x))是 (x)的函数（是积分变量x的复合函数）,另一个因子 (x)是 (x)的导数（可以相差常数因子）.

有些不定积分,初看起来,被积函数不具有上述第一换元积分法所要求的特征,在熟记基本积分公式的前提下,注意观察被积函数的特点,将其略加恒等变形：代数或三角变形,便可用第一换元积分法.

（II）第二换元积分法 【公式3.2】

f( (t)) (t)dtF(t) C f(x)dxx x (t)(t)

变量替换令变量还原

变量替换令

1F( (x)) C

1

t (x)

【说明】 第二换元积分法与第一换元积分法实际上正是一个公式从两个不同的方向

第一换元法

运用

令 (x) u令u (x)

f(u)du. f( (x)) (x)dx 第一换元法

用第二换元积分法的思路

f(x)dx不易积出时，将原积分变量x用新变量t的某一函数 (t)来替

换，化成以t为积分变量的不定积分 f( (t)) (t)dt，若该积分易于积出，便达到目的。

若所给的积分

被积函数是下述情况，一般要用第二换元积分法：

1°被积函数含根式nax b(a 0,b可以是0)时,令nax b t，求其反函数。作替换x

1n

(t b)，可消去根式，化为代数有理式的积分。 a

2

2°被积函数含根式e a时，令e a t，求其反函数，作替换x 1n(t a)可

x

x

消去根式。被积函数含指数函数a(或e)，有时也要作变量替换：令a t(或e t)，设

xxxx

x

1

1nt(或x 1nt)，以消去ax(或ex)。 1na

（3）分部积分法 【公式3.3】

u(x)v (x)dx u(x)v(x) v(x)u (x)dx或 u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x)

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【说明】 分部积分法是两个函数乘积求导数公式的逆用。 用分部积分法的思路 (I)公式的意义 欲求uv dx

求vu dx.

(II)关于选取u和v

用分部积分法的关键是,当被积函数看作是两个函数乘积时,选取哪一个因子为

u u(x),哪一个因子为v v (x).一般来说,选取u和v 应遵循如下原则:

1°选取作v 的函数,应易于计算它的原函数;

2°所选取的u和v ,要使积分vu dx较积分uv dx易于计算;

3°有的不定积分需要连续两次(或多于两次)运用分部积分法,第一次选作v (或u)的函数,第二次不能选由v (或u)所得到的v(或v ).否则,经第二次运用,被积函数又将复原.

(Ⅲ)分部积分法所适用的情况

由于分部积分法公式是微分法中两个函数乘积的求导数公式的逆用,因此,被积函数是两个函数乘积时,往往用分部积分法易见效.

5.求不定积分需要注意的问题

(1)由于初等函数在其有定义的区间上是连续的,所以每个初等函数在其有定义的区间上都有原函数,但初等函数的原函数并不都是初等函数.例如e法用初等函数表示.

(2)对同一个不定积分,采用不同的计算方法,往往得到形式不同的结果.这些结果至多相差一个常数,这是由于不定积分的表达式中含有一个任意常数所致.

x2

,e,e,

x2

1x

1

等的原函数就无1nx

第五讲

重点：定积分的概念、性质、变限求导、牛顿-菜布尼兹公式、定积

分的换元积方法和分部积分法

二、定积分

1．定积分的定义

【定义3.1】(定积分) 函数f(x)在区间[a,b]上的定积分定义为

I f(x)dx lim f( i) xi，

a

x 0

i 1

b

n

其中 x max| xi|.

1 i n

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由定积分的定义,可推出以下结论:

(1)定积分只与被积函数和积分区间有关; (2)定积分的值与积分变量无关,即(3)

b

a

f(x)dx f(t)dt;

a

b

b

a

f(x)dx f(x)dx,特别地,

b

a

a

a

f(x)dx 0.

定积分的几何意义 设f(x)在[a,b]上边续,

b

a

f(x)dx在几何上表示介于i轴、曲线y=f(x)及直线

x a,x b之间各部分面积的代数和,在x轴上方取正号,在x轴下方取负号.

利用定积分的几何意义,可以计算平面图形的面积,也是考纲中要求的定义应用内容. 【定理3.2】(可积的必要条件) 若函数f(x)在区间[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界.

【定理3.2】(可积的充分条件) 若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积.

【定理3.4】(可积的充分条件) 在区间[a,b]上只有有限个间断点的有界函数f(x)在该区间上可积.

2.定积分的性质

设f(x),g(x)在[a,b]上可积 (1)

b

ab

kf(x)dx k f(x)dx,k为常数;

a

b

(2)[f(x) g(x)]dx

a

b

a

f(x)dx g(x)dx;

a

b

(3)对积分区间的可加性 对任意三个数a,b,c,总有

b

a

f(x)dx f(x)dx f(x)dx

a

c

cb

(4)比较性质 设f(x) g(x),x [a,b],则

特别地

1°若f(x) 0,x [a,b],则2°(5)

b

a

f(x)dx g(x)dx.

a

b

b

a

f(x)dx 0;

ba

b

a

f(x)dx |f(x)|dx

a

b

dx b a.

m(b a) f(x)dx M(b a).

ab

【定理3.5】(估值定理) 若f(x)在[a,b]上的最大值与最小值分别为M与m,则

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【定理3.6】(积分中值定理) 若f(x)在[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点ξ,使

上式若写成f( ) 3.微积分学基本定理

b

a

f(x)dx f( )(b a).

1b

f(x)dx,该式右端称为函数f(x)在区间[a,b]上的平均值. ab a

【定理3.7】(原函数存在性定理) 若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数

(x) f(t)dt,x [1,b]

a

x

是f(x)在[a,b]上的一个原函数,即

(x)

设 (x), (x)可导 【推论1】 设 (x) 【推论2】 设 (x)

d x

af(t)dt f(x).

dx

a

f(t)dt,则 (x) f( (x)) (x). f(t)dt,则

(x)

(x)

(x) f( (x)) (x) f( (x)) (x).

【推论3】 (x)

(x)

a

f(t)g(x)dt,则

(x) (x)

(x) g(x) f(t)dt g(x) f(t)dt g(x)f( (x)) (x). aa

【定理3.8】(牛顿-莱布尼茨公式) 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则

b

a

f(x)dx F(x) F(b) F(a).

a

上述公式也称为微积分基本定理,是计算定积分的基本公式. 4.计算定积分的方法和重要公式 (1)直接用牛顿-莱布尼茨公式

这时要注意被积函数f(x)在积分区间[a,b]上必须连续. (2)换元积分法

【公式3.4】 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,而函数x (t)满足下列条件: 1° (t)在区间[ , ]上是单调连续函数;

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2° ( ) a, ( ) b; 3° (t)在[ , ]上连续, 则

b

a

f(x)dx f( (t)) (t)dt.

该公式从右端到左端相当于不定积分的第一换元积分法;从左端到右端相当于不定积分的第二换元积分法,即用定积分的换元积分法与不定积分的换元积分法思路是一致的.作变量替换是,要相应地变换积分上下限.

(3)分部积分法

【公式3.5】 设函数u(x),v(x)在区间[a,b]上有连续的导数,则

bb

au(x)v(x)dx u(x)v(x)a av(x)u (x)dx.

b

用该公式时,其思路与不定积分法的分部积分法是相同的.除此此外,当被积函数为变上限的定积分时,一般要用分部积分法.例如,设f(x)

(t)dt,求

c

xb

a

f(x)dx,这时,应设

u f(x),dv dx.

(4)计算定积分常用的公式 1°

a

1

a2 x2dx a2.

4

2°奇偶函数积分 设f(x)在[ a,a]上连续,则

3°

a

a

a 2f(x)dx,f(x)为偶函数时,

f(x)dx 0

f(x)为奇函数时. 0,

a

a

a1a

f(x)dx [f(x) f( x)]dx [f(x) f( x)]dx.

02 a

计算定积分,当积分区间为[-a,a]时,应考虑两种情况:其一是函数的奇偶性;其二是作变量

替换x u,用上述公式3°,当公式右端的积分易于计算时,便达目的.

4°周期函数积分 设f(x)是以T为周期的周期函数,则

a T

a

f(x)dx f(x)dx.

T

5°若f(x)以T为周期且是奇函数,则

T

f(x)dx

T2T 2

f(x)dx 0

第六讲

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