微积分复习题2解答

微积分复习题2（Bus, Eng）

一、填空题

?z1x?y?2z?z?1. z?arctan. 则 ，? 0. ? ?x?y?x1?x2?x1?xy2. 设u?f(x,y,z),z?x2siny,则

?u?u?f1??2xsinyf3? ,? f2??x2cosyf3?. ?x?y?z1?y?z1?x， ???xz?2?y2?z3. z?z(x,y)由方程x2?y2?z2?2x?2y?4z?10确定. 则

4. 空间曲线L:x?t,y??2t2,z??3t2在点M(1,?2,?3)处的切线为 ；法平面为 （

x?1y?2z?3，x?4y?6z?27?0） ??1?4?65. 曲面S:x2?2y2?3z2?21上点(1,2,2)处的单位法向量为 （?(146,,)） 5353536. D是由直线y?a,y?x,x?2a围成的区域，则??Dydxdy?7. 8.

23a 3?0dx?022x?x2xydy在极坐标中的二次积分为?02d??01y?2cos??3sin?cos?d?

?01dx?2x3sin(y3)dy=?dy?x0?10x3sin(y3)dx?11313ysin(y)dy?（1?cos1) ?04129. 设?n?1np1收敛，则正数p的取值范围是an?n?21np?12?p?11?1?p?; 22(?1)m?2m?1级数????????的和为sin??0 .

3!5!(2m?1)!10. 幂级数?(?1)n?0?n?3?52nnxn的收敛半径是

111，收敛域为(,]. 222二、计算题

?z?2zx1,11. z?esin，在点(2,)求. (答：?e?2;?2e?2.)

y??x?x?y?x解：（1）zx(2,1?)??e?xsinx?xx1?ecos?yyy(2,)1??e?2；或

?11z(x,)?e?xsin?x?zx(2,)?e?xsin?x???e?2；

?????xx1????e?xsin?e?xcos??yyy?1（2）zxy(2,)????y12. z?xln(xy),x?t,y?se,求?t1(2,)??2e?2

??z?zt1,. (答：;[1?ln(ste?t)]?t.) ?s?ts2t解：

?z?z?yxxt； ???x?e?t?e?t??s?y?sxyys?z?zdx?z?y?y?1x21????ln?xy??x?????se?t???1?lnste?t??t ??2t?t?xdt?y?t?xy?2txy

??13. 计算 解：I???(|x|?y)dxdy. 其中D是由x?1,x??1,y?1,y??1围成的区域. (答:2)

D对称性??Dxdxdy?4对称性0?x?10?y?1??xdxdy?4?dy?xdx?2

001114. 计算

122dxdy. 其中. (答:D?{(x,y)|x?y?1,x?0}?ln2) ??1?x2?y22D1解：用极坐标计算, 得

??1?x2?y2dxdy

D1???????22???11121d?d????1??2??2?2d??01??2d??2?ln(1??)0?2?ln2

??115. 计算

由平面x????yzdxdydz,?：?6?6x?3y23yz??1与三个坐标面围成.. (答:) 23101?y2解：I?yx??12??dxdy?0yzdz??ydy?00dx?6?6x?3y0zdz

16. 设S为锥面z?x2?y2含在柱体x2?y2?2x内的部分. 计算S的面积. (答:2?) 解：A?x2?y2?2x??21?zx?z2ydxdy??????2cos2dxdy?2??12?2?

?an17. 设a?0，分别就a的不同取值讨论级数?的收敛性. (答:0

n?2lnnun?1an?1lnn??n?a(n??),解：unln?n?1?a?当(0<)a?1时，收敛，a?1时发散.

a?1时，设?11111，由于发散. ?，而?发散，故?lnnnnlnnn?2lnn?因此当0?a?1时收敛，a?1时发散.（注：若a可?0时，如何？）

?18. 讨论级数?(?1)n?1ln(1?n?11)收敛性，若收敛是条件收敛还是绝对收敛？ (答:条件收敛) n1)单点减少趋向于零，根据莱布尼茨审敛准则推出级数收敛. n1ln(1?)?1?1n)与?因为lim具有相同的敛散性，从而发散. 于是原级?1.所以?ln(1?n??1nn?1nn?1n解：ln(1?数不是绝对收敛的，即条件收敛. 19. 求幂级数?(?1)n?1?n?1152nn(?,]) (x?1)的收敛域. (答:

n?3n?122解：limn??an?12(n?1)2315?lim?.所以收敛半径为R?，收敛区间为(?.). n??an3n3222?1?(?1)n?113当x??时，幂级数变为??，发散. 当x?时，幂级数变为?，收敛.

n22n?1nn?1于是幂级数收敛域为(?,].

20. 将函数f(x)?sinx展开成x的幂级数.

21522x3x5x2n?1n?1解: 由于sinx?x?????(?1)??, x?(??,??),

3!5!(2n?1)!将此式中的x换成x, 即得

2x6x10x4n?2n?1sinx?x?????(?1)??,x?(??,??)

3!5!(2n?1)!221. 求幂级数

?nxn?1?n?1的和函数.

解: 先求得幂级数的收敛域为(?1,1), 设s(x)???nxn?1?n?1,x?(?1,1),

x,x?(?1,1) 1?x两端积分并逐项积分得

?x0s(x)dx???nxdx??xn?n?1n?10n?1x?两端关于x求导, 即得

x1s(x)?()??,

1?x(1?x)2从而有

?1n?1 . )?nx,x?(?1,1?2(1?x)n?1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/e7yx.html