电大《微积分初步》复习题及答案

微积分初步模拟试题

一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数f(x) ⒉若lim

sin4xkx

1ln(x 2)

4 x

的定义域是

x 0

2，则k ．

⒊曲线y ex在点(0,1)处的切线方程是⒋

dx

d

e1

ln(x 1)dx

2

．

⒌微分方程y y,y(0) 1的特解为 ．

二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数y xsinx，则该函数是（ ）．

A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数

x2 2,⒉当k （ ）时，函数f(x)

k,

x 0x 0

，在x 0处连续.

A．0 B．1 C．2 D．3 ⒊下列结论中（ ）正确．

A．f(x)在x x0处连续，则一定在x0处可微. B．函数的极值点一定发生在其驻点上.

C．f(x)在x x0处不连续，则一定在x0处不可导. D．函数的极值点一定发生在不可导点上. ⒋下列等式中正确的是（ ）．

A . sinxdx d(cosx) B. lnxdx d()

x1

C. axdx d(ax) D.

1x

dx d(2

x)

⒌微分方程(y )3 4xy y5sinx的阶数为（ ） A. 2； B. 3； C. 4； D. 5 三、计算题（本题共44分，每小题11分） ⒈计算极限lim

x 6x 8x 3x 2

22

．

x 2

⒉设y lnx cos3x，求dy. ⒊计算不定积分 (2x 1)10dx ⒋计算定积分

e1

2

lnxdx

四、应用题（本题16分）

欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

参考答案

一、填空题（每小题4分，本题共20分）

⒈( 2, 1) ( 1,4] ⒉2 ⒊y x 1 ⒋0 ⒌y ex 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈A ⒉ C ⒊C ⒋D ⒌B 三、（本题共44分，每小题11分） ⒈解：原式 lim⒉解：y

1x

(x 4)(x 2)(x 2)(x 1)

2

x 2

lim

x 4x 1

x 2

2

3cos1

x( sinx)

2

x)dx dy ( 3sinxcos

x

⒊解： (2x 1)10dx= ⒌解：

12

(2x 1)d(2x 1)

e

2

10

122

(2x 1)

11

c

e1

2

lnxdx xlnx1

e1

2

四、应用题（本题16分）

222

x 2e e 1 e 1 x

x

108x

2

解：设底边的边长为x，高为h，用材料为y，由已知x2h 108,h

y x 4xh x 4x

2

2

108x

2

x

2

432x

令y 2x 且y 2

432x

2

0，解得x 6是唯一驻点，

2 432x

3

x 6

0，

10836

3时用料最省。

说明x 6是函数的极小值点，所以当x 6，h

一、填空题（每小题4分，本题共20分）

⒈函数f(x 2) x2 4x 2，则f(x) ⒉当x 时，f(x) xsin

1x

为无穷小量.

．

⒊若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y (1) = ⒋ (5x3 3x 1)dx ．

11

⒌微分方程y y,y(0) 1的特解为 .

二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数f(x)

1ln(x 1)

的定义域是（ ）．

A．(1, ) B．(0,1) (1, ) C．(1,2) (2, ) D．(0,2) (2, )

⒉曲线y e2x 1在x 2处切线的斜率是（ ）． A．2 B．e2 C．e4 D．2e4 ⒊下列结论正确的有（ ）． A．若f (x0) = 0，则x0必是f (x)的极值点

B．x0是f (x)的极值点，且f (x0)存在，则必有f (x0) = 0 C．x0是f (x)的极值点，则x0必是f (x)的驻点 D．使f (x)不存在的点x0，一定是f (x)的极值点 ⒋下列无穷积分收敛的是（ ）． A． C．

0

e

2x

dx B．

1

1x

dx

1

1x

dx

D．

0

sinxdx

⒌微分方程(y )3 y(4)cosx y2lnx的阶数为（ ）． A. 1； B. 2； C. 3； D. 4

三、计算题（本题共44分，每小题11分） ⒈计算极限lim

x x 6x 43

x

3

22

．

x 2

⒉设y sin5x cos3x，求dy. ⒊计算不定积分 ⒋计算定积分

xsinxx

dx

x2

sinxdx

四、应用题（本题16分）

用钢板焊接一个容积为4m3的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？

试题答案

（供参考）

一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈x2 6 ⒉0 ⒊ 2 ⒋2 ⒌y ex 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈C ⒉ D ⒊B ⒋A ⒌ D 三、（本题共44分，每小题11分） ⒈解：lim

x x 6x 4

22

x 2

lim

(x 3)(x 2)(x 2)(x 2)

x 2

lim

x 3x 2

x 2

54

⒉解：y 5cos5x 3cos2x( sinx) 2

dy (5cos5x 3sinxcosx)dx

2

5cos5x 3sinxcosx

3

⒊解：

3

x2

x xsinxx

dx= 3lnx

23

3

x2 cosx c

4．解：

sinxdx

12

xcosx

1

2

cosxdx

2

12sinx

2

四、应用题（本题16分）

解：设水箱的底边长为x，高为h，表面积为S，且有h 所以S(x) x2 4xh x2

S (x) 2x

16x

2

4x

2

16x

,

令S (x) 0，得x 2，

因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当x 2,h 1时水箱的表面积最小.

此时的费用为 S(2) 10 40 160（元）

一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数f(x 1) x2 2x，则f(x) ⒉limxsin

x

．

1x

x

在点(1,1)处的切线方程是

．

⒊曲线y

⒋若 f(x)dx sin2x c，则f (x) ． ⒌微分方程(y )3 4xy(5) y7cosx的阶数为

二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数y x2sinx，则该函数是（ ）．

A．非奇非偶函数 B．既奇又偶函数 C．偶函数 D．奇函数 ⒉当x 0时，下列变量中为无穷小量的是（ ）. A．

1x

B．

sinxx

C．ln(1 x) D．

xx

2

⒊下列函数在指定区间( , )上单调减少的是（ ）． A．cosx B．5 x C．x2 D． 2x ⒋ 设 f(x)dx

lnxx

c，则f(x) lnxx

（ ）．

x

2

A. lnlnx B. C.

1 lnx

D. ln2x

⒌下列微分方程中，（ ）是线性微分方程．

A．y sinx y ex ylnx B．y y xy2 ex C．y xy ey

D． yx2 lny y

三、计算题（本题共44分，每小题11分） ⒈计算极限lim ⒉设y cos

x 3x 2x x 6

x

2

x 2

2

．

x 2

，求dy.

⒊计算不定积分 (2x 1)10dx

⒋计算定积分 2xsinxdx

四、应用题（本题16分）

欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

参考答案

（供参考）

一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈x2 1 ⒉1 ⒊y

12x

12

⒋ 4sin2x ⒌5

二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈D ⒉C ⒊B ⒋C ⒌A 三、（本题共44分，每小题11分） ⒈解：原式 lim⒉解：y sin

(x 1)(x 2)(x 2)(x 3)x

12x

x

x 2

lim

x 1x 3

x 2

15

2ln2

)dx

dy (2xln2

six2x12

10

⒊解： (2x 1)10dx=

(2x 1)d(2x 1)

122

(2x 1)

11

c

1

4．解： 2xsinxdx xcosx02 四、应用题（本题16分）

20

cosxdx sinx

20

108x

2

解：设长方体底边的边长为x，高为h，用材料为y，由已知x2h 108,h

y x 4xh x 4x

2

2

108x

2

x

2

432x

令y 2x

432x

2

0，解得x 6是唯一驻点，

因为问题存在最小值，且驻点唯一，所以x 6是函数的极小值点，即当x 6，

h

10836

3时用料最省.

一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数f(x 2) x2 4x 7，则f(x) x2 2,

⒉若函数f(x)

k,

x 0x 0

,在x 0处连续，则k

⒊函数y 2(x 1)2的单调增加区间是． ⒋ e2xdx 0

．

⒌微分方程(y )3 4xy(4) y5sinx的阶数为． 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数y xsinx，则该函数是（ ）．

A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 ⒉当x 时，下列变量为无穷小量的是（ ）.

A．

sinxx

B．ln(1 x) C．xsin

1x

D．

x1 x

⒊若函数f (x)在点x0处可导，则( )是错误的．

A．函数f (x)在点x0处有定义 B．函数f (x)在点x0处连续 C．函数f (x)在点x0处可微 D．limf(x) A，但A f(x0)

x x0

⒋若f(x) x A. x C. x

2

x(x 0)，则 f (x)dx （

3

）.

32

x2 c

B. x2 x c

12x

2

x c

D.

23

3

x2 c

⒌下列微分方程中为可分离变量方程的是（ ） A. C.

dydxdydx

ln(x y)； e e

x

y

B.

dydxdydx

e

y x

；

； D. ln(x y)

三、计算题（本题共44分，每小题11分） ⒈计算极限lim

x 4x 3x 2

2

2

．

x 2

⒉设y 2x cosx，求dy. ⒊计算不定积分 xe xdx ⒋计算定积分

e1

3

1x lnx

x

四、应用题（本题16分）

某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？

参考答案

一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈x2 3 ⒉2 ⒊[ 1. ) ⒋

12

⒌4

二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈B ⒉A ⒊D ⒋C ⒌B 三、计算题（本题共44分，每小题11分） ⒈解：原式 lim

(x 2)(x 2)(x 2)(x 1)

x

12x

x 2

lim

x 2x 1

x 2

4

⒉解：y 2xln2 sin

dy (2ln2

x

six2

x

)dx

⒊解： xe xdx= xe x e xdx xe x e x c4．解：

e1

3

1x lnx

x

e1

3

e

d(1 lnx) 2 lnx 2

1

lnx

1

3

四、应用题（本题16分）

解：设容器的底半径为r，高为h，则其表面积为S，由已知V r2h，于是

h

V

r

2

，则其表面积为

S 2πr

2

2πrh 2πr2Vr

2

2

2Vr

S 4πr

，由实际问题可知，当r

V2π

3

令S 0，解得唯一驻点r 省，此时h

4Vπ

3

V2π

V2π

时可使用料最

3

，即当容器的底半径与高分别为与3

4Vπ

时，用料最省．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hi34.html