2013年中考数学压轴题解题技巧及训练

中考数学压轴题解题技巧 1

2013年中考数学冲击波__考前纠错必备 23

中考数学压轴题解题技巧

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数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。

函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。

几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。

解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。

一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。

二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。

三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。

解中考压轴题技能技巧：

一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。

二是解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问题；如果第一小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多少写多少，但是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。

三是解数学压轴题一般可以分为三个步骤。认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。

中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。所以，解数学压轴题，一要树立必胜的信心，要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。

示例：（以2009年河南中考数学压轴题）

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx 过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.

①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?

②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.

解：(1)点A的坐标为（4，8）…………………1分

将A(4，8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx

得8=16a+4b

0=64a+8b 解得a=-1

2

,b=4

∴抛物线的解析式为：y=-1

2

x2+4x …………………3分

（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=PE

AP

=

BC

AB

,即

PE

AP

=

4

8

∴PE=1

2

AP=

1

2

t．PB=8-t．∴点Ｅ的坐标为（4+

1

2

t，8-t）.

∴点G的纵坐标为：-1

2

（4+

1

2

t）2+4(4+

1

2

t）=-

1

8

t2+8. …………………5分

∴EG=-1

8

t2+8-(8-t) =-

1

8

t2+t.

∵-1

8

＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2. …………………7分

②共有三个时刻. …………………8分

t 1=163， t 2=4013，t 3

． …………………11分 中考数学《三类押轴题》专题训练

第一类：选择题押轴题

1. （2012湖北襄阳3分）如果关于x

的一元二次方程2kx

10+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是【 】

A ．k ＜12

B ．k ＜12且k≠0 C．﹣12≤k＜12 D ．﹣12≤k＜12

且k≠0 【题型】方程类代数计算。

【考点】 ； 【方法】 。

2. （2008武汉市3分）下列命题：

①若0a b c ++=，则2

40b ac -≥；

②若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根；

③若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根；

④若240b ac ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.

其中正确的是（ ）．

Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ． 只有②③④．

【题型】方程、等式、不等式类代数变形或计算。

【考点】 ； 【方法】 。

3. （2012湖北宜昌3分）已知抛物线y=ax 2﹣2x+1与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是【 】

A ．第四象限

B ．第三象限

C ．第二象限

D ．第一象限

【题型】代数类函数计算。

【考点】 ； 【方

法】 。

4. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）已知二次函数y=ax 2+bx+c

O

A F

C

E B

的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；

③a﹣2b+4c ＜0；④8a+c＞0．其中正确的有【 】

A ．3个

B ．2个

C ．1个

D ．0个 【题型】函数类代数间接多选题。

【考点】 ； 【方法】 。

5. （2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上

运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的

最大距离为（ ）

A

1 B

C

D ．52 【题型】几何类动态问题计算。

【考点】 ； 【方法】 。

6. （2012年福建3分）如图，点O 是△ABC 的内心，过点O 作EF ∥AB ，与AC 、BC 分别交于点E 、F ，则（ ）

A . EF>AE+BF B. EF

7. （2012湖北武汉3分）在面积为15的平行四边形ABCD 中，过点A 作

AE 垂直于直线BC 于点E ，作AF 垂直于直线CD 于点F ，若AB ＝5，BC

＝6，则CE ＋CF 的值为【 】

A ．11

B ．11

C ．11

或11

D ．11

或1

【题型】几何类分类问题计算。

【考点】 ； 【方法】 。

8. （2012湖北恩施3分）如图，菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分

的面积是【 】

A

B ．2

C ．3 D

【题型】几何类面积问题计算。

【考点】 ； 【方法】 。

9. （2012湖北咸宁3分）中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为【 】．

A ．

B ． C

．

D ．

【题型】几何类识图问题判断。

【考点】 ； 【方法】 。 10. （2012湖北黄冈3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm ，点P 从点A 出发，沿AB

的速度向终点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1cm 的速度

向终点C 运动，将△PQC沿BC 翻折，点P 的对应点为点P′.设Q 点运动的时

间t 秒，若四边形QPCP′为菱形，则t 的值为【 】

【题型】几何类动态问题计算。

【考点】 ； 【方法】 。

11. （2012湖北十堰3分）如图，O 是正△ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点O 与O′的距离为4

；③∠AOB=150°；④AOBO S 四形边

AOC AOB S

S +=【 】

A ．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③

【题型】几何类间接多选题。

【考点】 ； 【方法】 。

12. （2012湖北孝感3分）如图，在菱形ABCD 中，∠A＝60o，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，DE 、BF 相交于点G ，连接BD 、CG ．给出以下结论，其中正确的有【 】 ①∠BGD ＝120o；②BG ＋DG ＝CG ；③△BDF≌△CGB ；

④2ADE S ?． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

【题型】几何类间接多选题。

【【考点】 ； 【方法】 。 13. （2012湖南岳阳3分）如图，AB 为半圆O 的直径，AD 、BC 分别切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E ，AD 与CD 相交于D ，BC 与CD 相交于C ，连接OD 、OC ，对于下列结论：①OD 2

=DE?CD；②AD+BC=CD ；

③OD=OC ；④S 梯形ABCD =CD?OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（ ）

【题型】几何类间接多选题。

【考点】 ； 【方法】 。 14. （2012山东东营3分） 如图，一次函数3+=x y 的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反

比例函数x y 4

=

的图象相交于C ，

D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为

E ，

F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：

①△CEF 与△DEF 的面积相等； ②△AOB ∽△FOE ； ③△DCE ≌△CDF ； ④AC BD =．

其中正确的结论是( )

A ．①②

B ． ①②③

C ．①②③④

D ． ②③④

【题型】坐标几何类间接多选题。

【考点】 ； 【方法】 。

15. （2012湖北黄石3分）如图所示，已知A 11

(,y )2

，B 2(2,y )为

121y +++-=n x n n n S =

+??????+++2011321S S S S 反比例函数1y x

=图像上的两点，动点P (x,0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是【 】 A. 1(,0)2 B. (1,0) C. 3(,0)2 D. 5(,0)2

【题型】坐标几何类计算题。

【考点】 ； 【方

法】 。

16. （2012浙江湖州3分）如图，已

知点A （4，0），O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P 、O 两点的二次函数y 1和过P 、A 两点的二次函数y 2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B 、C ，射线OB 与AC 相

交于点D ．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于【 】

A

．3 D ．4 【题型】坐标几何类动态问题计算题。

【考点】 ； 【方法】 。

17. （2012山东省威海3分）已知：直线（n 为正整数）与两坐标轴围成的三角形面积为 , 则

【题型】坐标几何类规律探究计算题。

【考点】 ； 【方法】 。

18. （2012湖北鄂州3分）在平面坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的

坐标为（0，2），延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ，延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1,………

按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为【 】 A.2010)23

(5? B.2010)49

(5? B. C.2012)49

(5? D.4022)23

(5?

【题型】坐标几何类规律探究计算题。

【考点】 ； 【方法】 。

19（2012广西柳州3分）小兰画了一个函

数的图象如图，那么关于x 的分式方程

的解是（ ）A ．x=1 B ．x=2 C ．x=3 D ．x=4

【题型】坐标几何类图像信息题。

【考点】 ； 【方法】 。 20（2012浙江宁波3分）勾股定理是几何中的一个重要定理。在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载。如图1是由边长相等的小正方形和

直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理。图2

是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90O ，AB=3，AC=4，点D ，

E ，

F ，

G ，

H ，

I 都在矩形KLM

J 的边上，则矩形KLMJ 的面积

为 （ ）

A 、 90

B 、 100

C 、 110

D 、 121

【题型】几何图形信息题。

【考点】 ； 【方法】 。

21.（2010湖北十堰3分）如图，点C 、D 是以线段AB 为公共弦的两条圆弧的中点，AB =4，点E 、F 分别是线段CD ，AB 上的动点，设AF =x ，AE 2－FE 2=y ，则能表示y 与x 的函数关系的图象是（ ）

【题型】几何图形图像信息题。

【考点】 ； 【方法】 。 22（2011湖北十堰3分）.如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材料表面，流向

如图中箭头所示，每一次水流流经三

角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的五

个出口中的一个。下列判断：

①5个出口的出水量相同；

②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；

③1、2、3号出水口的出水量之比约为1：4：6；④若净化材料损耗的速度与流经表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材料约为更换最快的一个三角形材料使用时间的8倍；其中正确的判断有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4

个

【题型】生活中的数学问题。

【考点】 ； 【方法】 第二类：填空题押轴题

1. （2012湖北武汉3分）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC ＝2．设tan ∠BOC＝m ，则m 的取值范围是 ▲ ．

【题型】坐标几何类取值范围探究题。

【考点】 ； 【方

法】 。

2. （2012湖北黄石3分）如图所示，已知A 点从点（１，０）出发，以每秒１个单位长的速度沿着x 轴的正方向运动，经过t 秒后，以O 、A 为顶点作菱形OABC ，使B 、C 点都在第一象限内，且∠AOC=600

，又以P （０，４）为圆心，PC 为半径的圆恰好与OA 所在直线相切，则t= ▲ .

【题型】坐标几何类动态问题计算题。

【考点】 ； 【方法】 。 3. （2012湖北十堰3分）如图，直线y=6x ，y=23x 分别与双曲线k y x

在第一象限内交于点A ，B ，若S △OAB =8，则k= ．

【题型】坐标几何类综合问题计算题。

【考点】 ； 【方法】 。

4. （2011湖北十堰3分）.如图,平行四边形AOBC 中,对角线交于

点E,双曲线经过A 、E 两点，若平行四边形AOBC

的面积为18，则k ＝________.

【题型】坐标几何类综合问题计算题。

【考点】 ； 【方

法】 。

5. （2009湖北十堰3分）已知函数1+-=x y 的图象与x 轴、y 轴

分别交于点C 、B ，与双曲线x

k y =交于点A 、D , 若AB+CD= BC ，则k 的值为 ．

【题型】坐标几何类综合问题计算题。

【考点】 ； 【方法】

6. （2012甘肃兰州3分）(2012?兰州)如图，M 为双曲线y ＝上的一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线y ＝－x ＋m 于点D 、C 两点，若直线y

＝－x ＋m 与y 轴交于点A ，与x 轴相交于点

B ，则AD ?B

C 的值为 。

【题型】坐标几何类综合问题计算题。

【考点】 ； 【方

法】 。

7.（2011湖北武汉3分）如图，□ABCD 的顶点A ，B 的坐标分

别是A （-1，0），B （0，-2），顶点C ，D 在双曲线y=x

k 上，边AD 交y 轴于点E ，且四边形BCDE 的面积是△ABE 面积的

5倍，则k=_____.

【题型】坐标几何类综合问题计算题。

【考点】 ； 【方法】 。

8、(2012?河南省)如图，点A,B 在反比例函数的图像上，过点A,B 作轴的垂线，垂足分别为M,N ，延长线段AB 交轴于点C ，若OM=MN=NC,△AOC 的面积为6，则k 值为 4

【题型】坐标几何类综合问题计算题。

【考点】 ； 【方法】 。

9、（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）平面直角坐标系中，⊙M 的圆心坐标为（0，2），半径为1，点N 在x 轴的正半轴上，如果以点N 为圆心，半径为4的⊙N 与⊙M 相切，则圆心N 的坐标为 ▲ ．

【题型】坐标几何类综合问题计算题。

【考点】 ； 【方法】 。

10.（2012福建南平3分）如图，正方形

的边长是4，点在边上，以为边向外作正方形

，连结、、，则的面积是_____________

. 【题型】几何类综合问题计算题。

【考点】 ； 【方法】 。

11．（2012攀枝花）如图，以BC 为直径的⊙O 1与⊙O 2外切，⊙O 1与⊙O 2的外公切线交于点D ，且∠ADC=60°，过B 点的⊙O 1的切线交其中一条外公切线于点A ．若⊙O 2的面积为π，则四边形ABCD 的面积是 ．

【题型】几何类综合问题计算题。

【考

点】 ；

【方法】 。

12．（2012年安徽）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，

分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是

如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三

角形纸片的斜边长是（ ）

A.10

B.

C. 10或

D.10或

【题型】几何类综合问题计算题。

【考点】 ； 【方

法】 。

13、（2012江苏扬州3分）如图，线段AB 的长为2，C 为

AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等

腰直角三角形△ACD 和△BCE ，那么DE 长的最小值是 ▲ ．

【题型】几何、函数类综合问题计算题。

【考点】 ； 【方

法】 。

14. （2012湖北黄冈3分）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快

递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以

另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米

／时，两车之间的距离y(千米)与货车行驶时间x(小时)之间的函

数图象如图所示，现有以下4个结论：

①快递车从甲地到乙地的速度为100千米／时；

②甲、乙两地之间的距离为120千米；

③图中点B 的坐标为(334

，75)； ④快递车从乙地返回时的速度为90千米／时．

以上4个结论中正确的是 ▲ (填序号)

【题型】函数图像与实际问题类多选题。

【考点】 ； 【方法】 。

15. （2012湖北孝感3分）二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c(a≠0)的图象的对称轴是直线x ＝1，其图象的一部分如图所示．下列说法正确的是 ▲ (填正确结论的序号)．

①abc＜0 ；②a－b ＋c ＜0； ③3a＋c ＜0；

④当－1＜x ＜3时，y ＞0．

【题型】二次函数图像和性质多选题。

【考点】 ； 【方法】 。 16. （2012湖北咸宁3分）对于二次函数2y x 2mx 3=--，有下列说法：

①它的图象与x 轴有两个公共点；

②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则m 1=；

③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m 1=-；

④如果当x 4=时的函数值与x 2008=时的函数值相等，则当x 2012=时的函数值为3-．其中正确的说法是 ▲ ．（把你认为正确说法的序号都填上）

【题型】二次函数图像和性质多选题。

【考点】 ； 【方法】 。

17. （2012湖北随州4分）设242a 2a 10b 2b 10+-=--=，，且1－ab 2≠0，则522ab +b 3a+1a ??- ? ???= ▲ .

【题型】代数类综合创新问题计算题。

【考点】 ； 【方法】 。

18. （2012湖北鄂州3分）已知，如图，△OBC 中是直角三角形，OB 与x 轴正半轴重合，∠OBC=90°，且OB=1，BC=3，将△OBC 绕原点O 逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m 倍，使OB 1=OC ，得到△OB 1C 1，将△OB 1C 1绕原点O 逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m 倍，使OB 2=OC 1，得到△OB 2C 2，……，如此继续下去，得到△OB 2012C 2012，则m= ▲ 。点C 2012的坐标是 ▲ 。

【题型】坐标几何类规律探究计算题。

【考点】 ； 【方法】 。

19、（2009湖北仙桃）如图所示，直线y ＝x ＋1与y 轴相交于点A 1，以OA 1为边作正方形OA 1B 1C 1，记作第一个

正方形；然后延长C 1B 1与直线y ＝x ＋1相交于点A 2，再以C 1A 2为边作正方形C 1A 2B 2C 2，记作第二个正方形；同样延长C 2B 2与直线y ＝x ＋1相交于点A 3，再以C 2A 3为边作正方形C 2A 3B 3C 3，记作第三个正方形；…，依此类推，则第n 个正方形的边长为_________． 【题型】坐标几何类规律探究计算题。

【考点】 ； 【方法】 。

20、如图，P 1是反比例函数在第一象限图像上的一点，点A 1的坐标为(2，0)，若△P 1OA 1、△P 2A 1A 2、…、△P n A n-1A n 均为等边三角形，则A n 点的坐标是．

【题型】坐标几何类规律探究计算题。

【考点】 ； 【方法】 。

21、(2010湖北十堰3分)如图，n +1个上底、两腰长皆

为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P 1M 1N 1N 2面积为S 1，四边形P 2M 2N 2N 3的面积为S 2，……，四边形P n M n N n N n+1的面积记为S n ，通过逐一计算S 1，S 2，…，可得S n

= .

图 15

N 2(P 2)

N

N 1

N 2 N 3 N 4 N 5 P 4

P 1 P 2 P 3 M 2 M 3 M 4 N N n n+1

N 3(P 3)

4n 【题型】几何规律探究类计算题。

【考点】 ； 【方法】 。 解答题押轴题

一、对称翻折平移旋转类

1．（2010年南宁）如图12，把抛物线2

y x =-（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个

单位长度，得到抛物线1l ，抛物线与抛物线关于y 轴对称.点A 、O 、B 分别是抛物线1l 、与x 轴的交点，D 、C 分别是抛物线1l 、2l CD 交y 轴于点E . （1）分别写出抛物线1l 与2l 的解析式；

（2）设P 是抛物线1l 上与D 、O 两点不重合的任意一点P 、Q 、C 、D 为顶点的四边形 （3）在抛物线1l 上是否存在点M ，使得ABM AOED S S ??=四边形，如果存在，求出M 点的坐标，

如果不存在，请说明理由.

2009年宁德市）如图，已知抛物线C 1：()522

-+=x a y 的顶点为

P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1．

（1）求P 点坐标及a 的值；（4分）

（2）如图（1），抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向右平移，平移后的抛物线记为C 3，

C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求C 3的解析式；（4分）

（3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4

的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．（5分）

3．(2010年恩施) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2

的图象与x 轴交于A 、B

两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线 上一动点.

（1）求这个二次函数的表达式．

A

C

D

E B

l

O

2

l 1

l y x

（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP /C ， 那么是否存在点P ，使四边形POP /

C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在请说明理由．

（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.

二、动态：动点、动线类

4．(2010年辽宁省锦州)如图，抛物线与x 轴交于A (x 1，0)、B (x 2，0)两

点，且x 1＞x 2，与y 轴交于点

C (0，4)，其中x 1、x 2是方程x 2－2x －8＝0的两个根．

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)点P 是线段AB 上的动点，过点P 作PE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE 的面积最大时，求点P 的坐标；

(3)探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

5．（2008年山东省青岛市）已知：如图①，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜2） （1）当t 何值时，PQ ∥BC ？

（2）设△AQP 的面积为y （2

cm ），求y 与t （3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt △积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；

（4）如图②，连接PC ，并把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ′C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边

长；若不存在，说明理由．

6．（09年吉林省）如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，∠B ＝60°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时

从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A →C →B 的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A →B →C →D 的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 运动的时间为x 秒时，△APQ 与△ABC 重叠部．．．分．

的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为0的三角形），解答下列问题： （1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是__________秒； （2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当△APQ 是等边三角形时

x 的值是__________秒；

（3）求y 与x 之间的函数关系式．

7．(2009年浙江省嘉兴市)如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，

1=MA ，1>MB ．以A 为

中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重 合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =

．

图

图1

图2

（1）求x 的取值范围；

（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？

三、圆类

8．（2010青海） 如图10，已知点A （3，0），以A 为圆心作⊙A 与Y 轴切于原点，与x 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙A 的切线l.

（1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点C （0，9），求此抛物线的解析式； （2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙A 的切线DE ，E 为切点，求此切线长；

（3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△BFD 与EAD △相似时，求出BF 的长 ．

9．(2009年中考天水)如图1，在平面直角坐标系xOy ，二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ＞0)的图象顶点为D

与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B ，点A 在原点的左侧，点B 的坐标为(3，0)，OB ＝OC ，OA:OC=1:3

(1)求这个二次函数的解析式； (2)若平行于x 轴的直线与该抛物线交于点M 、N ，且以MN

为直径的圆与x 轴相切，求该圆的半径长度；

(3)如图2，若点G (2，y )是该抛物线上一点，点P 是直线AG

下方的抛物线上的一动点，当点P 运动到什么位置时，△AGP 的点P 的坐标和△AGP 的最大面积．

D 点C ．（2

11、（2010山东济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线

A 点，交x 轴于

B ，

C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ?的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ?12、如图，抛物线m ：k h x y ++-=2

)(4

1与x 轴的交点为B A 、，与y 点为C ，顶点为4

25

,3(M ,将抛物线m 绕点B 旋转 180，得到新的抛物线n ,它的顶点为D .

（1）求抛物线n 的解析式；

（2）设抛物线m 的对称轴与x 轴的交点为G ，以G 为圆心，B A 、两点间的距离为直径作⊙G ，试判断直线CM 与⊙G 的位置关系，并说明理由.

13．（2010年怀化）图9是二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐

标为M(1,-4).

（1）求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标；

（2）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保

当直线

14． (湖南省长沙市2010年)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，

OA = cm ， OC=8cm ，现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA cm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1 cm 的速度

匀速运动．设运动时间为t 秒．

（1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；

（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个

定值；

（3）当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时，抛物线

214

y x bx c =++经过B 、P 两点，过线段BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值

时，求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比．

15．（北京市2011年）如图，在平面直角坐标系xOy 中，我把由两条射线AE ，BF 和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形C （注：不含AB 线段）。已知A （1-，0），B （1，0），AE ∥BF ，且半圆与y 轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上。

（1）求两条射线AE ，BF 所在直线的距离；

（2）当一次函数y x b =+的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，写出b

的取值范围；

当一次函数y x b =+的图象与图形C 恰好只有两个公共点时，写出b 的取

值范围；

16．（河南2012年） 如图，在平面直角坐标系中，直线y=2

1x+1 与抛物线y= ax 2 + bx-3 交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3. 点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D 。

(1)求a 、b 的值； (2)设点P 的横坐标为m.

①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段

PD 长的最大值；

②连接PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m

值，使这

两

图9 第26题图

个三角形的面积之比为9:10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，说明理由。

五、探究型类

17．（内江市2010）如图，抛物线()2230y mx mx m m =-->与x 轴交于A B 、两

点，与y 轴交于C 点.

（1）请求出抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A B 、两点 的坐标；

（2）经探究可知，BCM △与ABC △的面积比不变，试求出这个比值； （3）是否存在使BCM △为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如 果不存在，请说明理由.

18．（09年广西钦州）如图，已知抛物线y ＝34

x 2

＋bx ＋c 与坐标轴交于A 、B 、C 三点， A 点的 坐标为（－1，0），过点C 的直线y ＝

3

4t

x －3与x 轴交于点Q ，点P 是线

段BC 上的一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ，且0＜t ＜1． （1）填空：点C 的坐标是 ，b ＝ ，c ＝ ；

（2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；

（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．

19．（09年湖南省长沙市）如图，抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A (－3，0)、B 两点，与y 轴相交于点C (0，3)．当x ＝－4和x ＝2时，二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)的函数值y 相等，连结AC 、BC ． （1）求实数a ，b ，c 的值； （2）若点M 、N 同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA 、BC 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将△BMN 沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得以

B ，N ，Q 为顶点的三角形与△AB

C 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；

若不存在，请说明理由．

20、（四川成都2011年）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的A 、B 两个顶点在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上．已知:1:5OA OB =，

OB OC =，△ABC 的面积15ABC S ?=，抛物线2(0)y a x b x c a

=++≠ 经过A 、B 、C 三点。

(1)求此抛物线的函数表达式；

六、最值类

21．【2012?黔东南州】如图，已知抛物线经过点A （﹣1，0）、B （3，0）、

C （0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点M 是线段BC 上的点（不与B ，C 重合），过M 作MN ∥y 轴交抛物线

于N ，若点M 的横坐标为m ，请用m 的代数式表示MN 的长，并求MN 长的最大

值．

（3）在（2）的条件下，连接NB 、NC ，是否存在m ，使△BNC 的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．

22．【2012?恩施州】如图，已知抛物线y=﹣x 2

+bx+c 与一直线相交于A

（﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ． （1）抛物线及直线AC 的函数关系式；

（2）设点M （3，m ），求使MN+MD 的值最小时m 的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，

过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；

（4）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．

23．【2012?湘潭】如图，抛物线的图象与

x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知B 点坐标为（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）试探究△ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标． 七、三角形、四边形类

24．【2012菏泽】如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，

其顶点为A （0，1），B （2，0），O （0，0），将此三角板绕原点O 逆时针

旋转90°，得到△A ′B ′O ．

（1）一抛物线经过点A ′、B ′、B ，求该抛物线的解析式；

（2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P ，使四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积4倍？若存在，请求出P 的坐

标；若不存在，请说明理由． （3）在（2）的条件下，试指出四边形PB ′A ′B 是哪种形状的四边形？并写出四边形PB ′A ′B 的两条性质．

25．【2012铜仁】如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点

B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、

C （1，0）三点.

（1）求抛物线的解析式;

（2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与

ΔADP 相似，求出点P 的坐标；

（3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由．

26．【2012贵州安顺】如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边长OA 、OC 分别为12cm 、6cm ，点A 、C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A 、

B ，且18a+c=0．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如果点P 由点A 开始沿AB 边以1cm/s 的速度向终点B 移动，同时点Q 由点

B 开始沿B

C 边以2cm/s 的速度向终点C 移动．

①移动开始后第t 秒时，设△PBQ 的面积为S ，试写出S 与t 之间的函数关系式，

并写出t 的取值范围．

②当S 取得最大值时，在抛物线上是否存在点R ，使得以P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R 点的坐标；如果不存在，请说明理由．

27．【2012?扬州】已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)、B (3，0)、C (0，

3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；

(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；

(3)在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

28．【2012山西】：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2+2x+3与x 轴

交于A ．B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．

（1）求直线AC 的解析式及B ．D 两点的坐标；

（2）点P 是x 轴上一个动点，过P 作直线l ∥AC 交抛物线于点Q ，试探究：

随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以点A ．P 、Q 、C 为顶点的四边形

是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明

理由．

（3）请在直线AC 上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出M 点的坐标．

29．【2012宜宾】如图，抛物线y=x 2﹣2x+c 的顶点A 在直线l ：y=x ﹣5上 ．

（1）求抛物线顶点A 的坐标；

（2）设抛物线与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C

．D

（C 点在D 点的左侧），试判

断△ABD 的形状；

第

（3）在直线l 上是否存在一点P ，使以点P 、A ．B ．D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由

八、实际应用类

30. 【 2012安徽】如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2

+h.已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m 。

（1）当h=2.6时，求y 与x 的关系式

（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；

（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围。

w W w .x K b 1.c o M 九、图像与图形信心类

31．【2012无锡】如图1，A ．D 分别在x 轴和y 轴

上，CD ∥x 轴，BC ∥y 轴．点P 从D 点出发，以1cm/s

的速度，沿五边形OABCD 的边匀速运动一周．记顺次连

接P 、O 、D 三点所围成图形的面积为Scm 2

，点P 运动的

时间为ts ．已知S 与t 之间的函数关系如图2中折线段

OEFGHI 所示．

（1）求A ．B 两点的坐标；

（2）若直线PD 将五边形OABCD 分成面积相等的两部分，求

直线PD 的函数关系式．

32、（2010江苏徐州）如图①，梯形ABCD 中，∠C=90°．动

点E 、F 同时从点B 出发，点E 沿折线 BA —AD —DC 运动到

点C 时停止运动，点F 沿BC 运动到点C 时停止运动，它们运

动时的速度都是1 cm/s ．设E 、F 出发t s 时，△EBF 的面积为y cm 2．已知y 与t 的函数图象如图②所示，其中曲线OM 为抛物线的一部分，MN 、NP 为线段．请根据图中的信息，解答下列问题：

(1)梯形上底的长AD=_____cm ，梯形ABCD 的面积_____cm 2；

(2)当点E 在BA 、DC 上运动时，分别求出y 与t 的函数关系式(注明自变量的取值范围)；

(3)当t 为何值时，△EBF 与梯形ABCD 的面积之比为1 ：2.

十、方程函数类

33．【 2012娄底】已知二次函数y=x 2﹣（m 2﹣2）x ﹣2m 的图象与x 轴交于点A （x 1，0）和点B （x 2，0），x 1＜x 2，与y 轴交于点C ，且满足

． （1）求这个二次函数的解析式；

（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P ，使四边形PACB 为平行四边形？如果有，求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由．

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