2014年北京中考数学压轴题集锦答案

2014年北京中考数学压轴题集锦答案

1．（北京模拟）已知抛物线y＝－x＋2x＋m－2与y轴交于点A（0，2m－7），与直线y＝2x交于点B、C（B在C的右侧）． （1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得∠BFE＝∠CFE，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由；

2

（3）动点P、Q同时从原点出发，分别以每秒5个单位长度、每秒25个单位长度的速度沿射线OC运动，以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ（直角边分别平行于

坐标轴），设运动时间为t秒．若△PMQ与抛物线y＝－x＋2x＋m－2有公共点，求t的取值

2

范围．

y A B O x M P C Q 解：（1）把点A（0，2m－7）代入y＝－x2

＋2x＋m－2，得m＝5

∴抛物线的解析式为y＝－x2

＋2x＋3

?

（2）由?

?y＝－x2

＋2x＋3?x1＝?

?y＝2x 解得?3?x2＝－3

?y ?

1＝23?y2＝－23

∴B（3，23），C（－3，－23）

∵y＝－x2

＋2x＋3＝－(

x－1)2

＋4 ∴抛物线的对称轴为x＝1 设F（1，y）

∵∠BFE＝∠CFE，∴tan∠BFE＝tan∠CFE

当点F在点B上方时，3－1 3＋

y－23 ＝1

y＋23

解得y＝6，∴F（1，6）

当点F在点B下方时，3－1 3＋1

23－y ＝

－y－23

解得y＝6（舍去）

∴满足条件的点F的坐标是F（1，6）

（3）由题意，OP＝5t，OQ＝25t，∴PQ＝5t ∵P、Q在直线直线y＝2x上 ∴设P（x，2x），则Q（2x，4x）（x

＜0）

∴x22

＋4x ＝5t，∴x＝－t

∴P（－t，－2t），Q（－2t，－4t） ∴M（－2t，－2t）

当M（－2t，－2t）在抛物线上时，有－2t＝－4t2

－4t＋3

解得t＝13－1

4

（舍去负值）

当P（－t，－2t）在抛物线上时，有－2t＝－t2

－2t＋3 解得t＝3（舍去负值）

∴t的取值范围是：13－1

≤t≤3

4

F y E A B O x C y A B O x M P C Q 2．（北京模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y1＝ax＋3x＋c经过原点及点A（1，2），与x轴相交于另一点B．

（1）求抛物线y1的解析式及B点坐标；

（2）若将抛物线y1以x＝3为对称轴向右翻折后，得到一条新的抛物线y2，已知抛物线y2与x轴交于两点，其中右边的交点为C点．动点P从O点出发，沿线段OC向C点运动，过P点作x轴的垂线，交直线OA于D点，以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF． ①当点E落在抛物线y1上时，求OP的长；

②若点P的运动速度为每秒1个单位长度，同时线段OC上另一点Q从C点出发向O点运动，速度为每秒2个单位长度，当Q点到达O点时P、Q两点停止运动．过Q点作x轴的垂线，与直线AC交于G点，以QG为边在QG的左侧作正方形QGMN．当这两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上时，求t的值．（正方形在x轴上的边除外） y A D E

M G

x OP F B N Q C

2

解：（1）∵抛物线y2

1＝ax

＋3x＋c经过原点及点A（1，2）

∴???c＝2??a＝y ?a＋3＋ 解得

?－1?c＝2??

c＝0 ∴抛物线y2

A 1的解析式为y1＝－x

＋3x

令y＝0，得－x2

1

＋3x＝0，解得x1＝0，x2＝3 ∴B（3，0）

D E （2）①由题意，可得C（6，0） 过A作AH⊥x轴于H，设OP＝a

OP H F B 可得△ODP∽△OAH，∴

DP

OP

＝AH

＝2 ∴DP＝2OP＝2a

OH

∵正方形PDEF，∴E（3a，2a） ∵E（3a，2a）在抛物线y2

1＝－x

＋3x上

∴2a＝－9a2

＋9a，解得aa71＝0（舍去），2＝

9

∴OP的长为7

9

②设直线AC的解析式为y＝kx＋b

??2＝ky ∴?＋b?

?0＝6k＋b

解得k＝－2

5，b＝12 5

A D E M G ∴直线AC的解析式为y＝－212

5 x＋

5

O P N F Q C x 由题意，OP＝t，PF＝2t，QC＝2t，GQ＝4

5

t

y 当EF与MN重合时，则OF＋CN＝6 D E ∴3t＋2t＋

4

5

t＝6，∴t＝30A

29

M G 当EF与GQ重合时，则OF＋QC＝6 O P N F Q C x ∴3t＋2t＝6，∴t＝6

5

当DP与MN重合时，则OP＋CN＝6 ∴t＋2t＋

45

t＝6，∴t＝30

19

当DP与GQ重合时，则OP＋CQ＝6

∴t＋2t＝6，∴t＝2

y y D E D E A A G M G M O F P N Q F C x O N P Q C x M G N Q C x 3．（北京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax＋bx＋4经过A（－3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD＝BC．动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动． （1）求该抛物线的解析式；

（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；

（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

y

C

Q x B A D P O

2

解：（1）∵抛物线y＝ax＋bx＋4经过A（－3，0）、B（4，0）两点

2

??9a－3b＋4＝011∴? 解得a＝－，b＝ 33?16a＋4b＋4＝0?

y C 121

∴所求抛物线的解析式为y＝－x＋x＋4

33

（2）连接DQ，依题意知AP＝t ∵抛物线y＝－

121

x＋x＋4与y轴交于点C 33

Q A D P OB x ∴C（0，4）

又A（－3，0，B（4，0）

可得AC＝5，BC＝42，AB＝7

∵BD＝BC，∴AD＝AB－BD＝7－42

∵CD垂直平分PQ，∴QD＝DP，∠CDQ＝∠CDP ∵BD＝BC，∴∠DCB＝∠CDB ∴∠CDQ＝∠DCB，∴DQ∥BC ADDQ

∴△ADQ∽△ABC，∴＝ ABBC

y C Q 1x＝ 2 7－42ADDPDP

∴＝，∴＝ ABBC742

M 解得DP＝42－

3217

，∴AP＝AD＋DP＝ 77

A OE B x ∴线段PQ被CD垂直平分时，t的值为（3）设抛物线y＝－

17

7

1211

x＋x＋4的对称轴x＝与x轴交于点E 332

由于点A、B关于对称轴x＝

1

对称，连接BQ交对称轴于点M 2

则MQ＋MA＝MQ＋MB，即MQ＋MA＝BQ

当BQ⊥AC时，BQ最小，此时∠EBM＝∠ACO 3

∴tan∠EBM＝tan∠ACO＝

4

∴

ME3ME321

＝，即 ＝，解得ME＝ BE4148

4－

2

121∴M（，）

28

121∴在抛物线的对称轴上存在一点M（，），使得MQ＋MA的值最小

28

4．（北京模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．动点P从点A出发，沿AC→CB→BA边运动，点P在AC、CB、BA边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位．直线l从与AC重合的位置开始，以每秒

4

个单位的速度沿CB方向移动，移动过程中保持3

l∥AC，且分别与CB、AB边交于点E、F．点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动．

（1）当t＝_________秒时，点P与点E重合；当t＝_________秒时，点P与点F重合； （2）当点P在AC边上运动时，将△PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点P′ 落在EF上，点F的对应点为F′ ，当EF′⊥AB时，求t的值；

（3）作点P关于直线EF的对称点Q，在运动过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，求t的值；

（4）在整个运动过程中，设△PEF的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式及S的最大值．

C C l

E

P

A B A B F

备用图

解：（1）3；4.5

提示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8 ∴AB＝

6＋8＝10，∴sinB＝

22

AC3BC4AC3

＝，cosB＝＝，tanB＝＝ AB5AB5BC4

C

(P) E l

当点P与点E重合时，点P在CB边上，CP＝CE

∵AC＝6，点P在AC、CB边上运动的速度分别为每秒3、4个单位 ∴点P在AC边上运动的时间为2秒，CP＝4(t－2)

∵CE＝

44

t，∴4(t－2)＝t，解得t＝3 33

当点P与点F重合时，点P在BA边上，BP＝BF

∵AC＝6，BC＝8，点P在AC、CB、BA边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位 ∴点P在AC、CB边上运动的时间共为4秒，BF＝BP＝5(t－4)

A F B

∵CE＝

44t，∴BE＝8－t 33

C

在Rt△BEF中，8－

BE

＝cosB BF

4t34

∴＝，解得t＝4.5

55(t－4)

l

E A

(P) F B

（2）由题意，∠PEF＝∠MEN ∵EF∥AC，∠C＝90°，∴∠BEF＝90°，∠CPE＝∠PEF ∵EN⊥AB，∴∠B＝∠MEN

∴∠CPE＝∠B，∴tan∠CPE＝tanB CEAC3

∵tan∠CPE＝，tanB＝＝

CPBC4

C P M A

F N E l

∴

CE34

＝，∴CP＝CE CP43

B

∵AP＝3t（0＜t＜2），CE＝

4

t，∴CP＝6－3t 3

4454

∴6－3t＝×t，解得t＝

3343

C P O （3）连接PQ交EF于O

∵P、Q关于直线EF对称，∴EF垂直平分PQ 若四边形PEQF为菱形，则OE＝OF＝①当点P在AC边上运动时

易知四边形POEC为矩形，∴OE＝PC ∴PC＝∵CE＝

l E

1EF 2

Q

A

F B

1EF 2

4434

t，∴BE＝8－t，EF＝BE2tanB＝(8－t)＝6－t 3343

16

∴6－3t＝(6－t)，解得t＝

25

②当点P在CB边上运动时，P、E、Q三点共线，不存在四边形PEQF

③当点P在BA边上运动时，则点P在点B、F之间 ∵BE＝8－

4BE545t，∴BF＝ ＝(8－t)＝10－t 3cosB433

∵BP＝5(t－4)，∴PF＝BF－BP＝10－

520

t－5(t－4)＝30－t

3 ∵∠POF＝∠BEF＝90°，∴PO∥BE，∴∠OPF＝∠B 在Rt△POF中，

OF

PF

＝sinB

1

∴ 2(6－t)

＝3 ，解得t＝30

30－20 5 7

3

t

∴当t＝

6

5

或t＝30

7

时，四边形PEQF为菱形

?

－

2

?3

t2

＋4t（0≤t

≤2）

?42

3 t

－12t＋

24（2＜t

≤3）

（4）S＝?4

2

－

3 t

＋12t－

24（3＜t

≤4）

?82

?3 t

－28t＋

72（4＜t

≤4.5）

?－

82

3

t

＋28t－

72（4.5＜t

≤6）

S的最大值为16

3

3

C l

Q E O A

F P

B 5．（北京模拟）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝10，CD＝6，AD＝BC＝4．点P从点B出发，沿线段BA向点A匀速运动，速度为每秒2个单位，过点P作直线BC的垂线PE，垂足为E．设点P的运动时间为t（秒）． （1）∠A＝___________°；

（2）将△PBE沿直线PE翻折，得到△PB′E，记△PB′E与梯形ABCD重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；

（3）在整个运动过程中，是否存在以点D、P、B′为顶点的三角形为直角三角形或等腰三

角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． D

C

B′

E

A P B D C A B

备用图

解：（1）60°

（2）∵∠A＝∠B＝60°，PB＝PB′ ∴△PB′B是等边三角形

∴PB＝PB′＝BB′＝2t，BE＝B′E＝t，PE＝3t 当0＜t≤2时

S＝S△PB′E＝

1132B′E2PE＝t23t＝t 222

D C B′ E

当2＜t≤4时

323322

S＝S△PB′E－S△FB′C＝t－(2t－4)＝－t＋43t－43

242

A P B 当4＜t≤5时

设PB′、PE分别交DC于点G、H，作GK⊥PH于K ∵△PB′B是等边三角形，∴∠B′PB＝60°＝∠A ∴PG∥AD，又DG∥AP

∴四边形APGD是平行四边形 ∴PG＝AD＝4

∵AB∥CD，∴∠GHP＝∠BPH

B′ D F C E 1

∵∠GPH＝∠BPH＝∠B′PB＝30°

2

A P B ∴∠GHP＝∠GPH＝30°，∴PG＝GH＝4 ∴GK＝

1

PG＝2，PK＝KH＝PG2cos30°＝23 2

B′ ∴PH＝2PK＝43 ∴S＝S△PGH＝

11

PH2GK＝×43×2＝43 22

综上得，S与t之间的函数关系式为： 32

t（0＜t≤2）2

D G K A P H E C ?S＝??4

32 －t＋43t－43（2＜t≤4）2

B 3（4＜t≤5）

（3）①若∠DPB′＝90° ∵∠B′PB＝60°，∴∠DPA＝30° 又∠A＝60°，∴∠ADP＝90°

∴AP＝2AD，∴10－2t＝8，∴t＝1 若∠PDB′＝90°

作DM⊥AB于M，DN⊥B′B于N

D C B′ E

则AM＝2，DM＝23，NC＝3，DN＝33 PM＝|10－2－2t|＝|8－2t| NB′＝|3＋4－2t|＝|7－2t|

DP ＝DM ＋PM ＝(23)＋(8－2t)＝(8－2t)＋12

22222

DB′ ＝DN ＋NB′＝(33)＋(7－2t)＝(7－2t)＋27

222

∵DP ＋DB′ ＝B′P

222

∴(8－2t)＋12＋(7－2t)＋27＝(2t)

A P B

222222

N B′

D C E

A M P B

解得t1＝

15＋7315－73

＞5（舍去），t2＝ 22

若∠DB′P＝90°，则DB′ ＋B′P ＝DP 222

∴(7－2t)＋27＋(2t)＝(8－2t)＋12 解得t1＝－1（舍去），t2＝0（舍去）

222

∴存在以点D、P、B′为顶点的三角形为直角三角形，此时t＝1或t＝

15－73

2

②若DP＝B′P，则(8－2t)＋12＝(2t)

22

解得t＝

19 8

若B′D＝B′P，则(7－2t)＋27＝(2t)

22

解得t＝

19 7

若DP＝DB′，则(8－2t)＋12＝(7－2t)＋27 解得t＝0（舍去）

22

∴存在以点D、P、B′为顶点的三角形为等腰三角形，此时t＝

1919或t＝ 87

A

D B′ C E

D B′ C E

P B

A

P

B

6．（北京模拟）已知二次函数y＝－

32

mx＋3mx－2的图象与x轴交于点A（23，0）、点B，3

与y轴交于点C． （1）求点B坐标；

（2）点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿线段CO向O点运动，到达点O后停止运动，过点P作PQ∥AC交OA于点Q，将四边形PQAC沿PQ翻折，得到四边形PQA′C′，设点P的运动时间为t．

①当t为何值时，点A′恰好落在二次函数y＝－

32

mx＋3mx－2图象的对称轴上； 3

②设四边形PQA′C′落在第一象限内的图形面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值．

解：（1）将A（23，0）代入y＝－

32

mx＋3mx－2 3

得0＝－

33122

m×(23)＋3m×23－2，解得m＝∴y＝－x＋3x－2 333

令y＝0，得－

12

x＋3x－2＝0，解得：x1＝3，x2＝23∴B（3，0） 3

（2）①由y＝－∴C（0，－2） ∵y＝－

12

x＋3x－2，令x＝0，得y＝－2 3

1213x＋3x－2＝－(x－332

12

3)＋

4

y A′ A C′ P C O (Q) H B x

∴二次函数图象的对称轴为直线x＝过A′作A′H⊥OA于H

3

2

3

在Rt△AOC中，∵OC＝2，OA＝23 ∴∠OAC＝30°，∠OCA＝60° ∴∠PQA＝150°，∠A′QH＝60°，AQ＝A′Q＝2QH ∵点A′在二次函数图象的对称轴上

3??OQ＋QH＝233∴? 解得QH＝ 2

??OQ＋2QH＝23

∴AQ＝3，CP＝1∴t＝1 ②分两种情况：

ⅰ）当0＜t≤1时，四边形PQA′C′ 落在第一象限内的图形为等腰三角形QA′D

y DQ＝A′Q＝3t

A′H＝AQ2sin60°＝3t2

33

＝t 22

A′

D O C′ P C B Q H A x S＝S△A′DQ＝

1333223t2t＝t 224

∵当0＜t≤1时，S随t的增大而增大 ∴当t＝1时，S有最大值

33 4

ⅱ）当1＜t＜2时，四边形PQA′C′ 落在第一象限内的图形为四边形EOQA′ S四边形EOQA′＝S梯形PQA′C′－S△OPQ－S△PC′E

y 3332 22

＝[23－(2－t)]－(2－t)－t

224

A′

＝－∵－

532

t＋43t－23 4

E

532538263

t＋43t－23＝－(t－)＋ 4455

C′ O P C Q B H A x

且1＜∵

8863＜2，∴当t＝ 时，S有最大值 555

633363＞，∴S的最大值是 545

7．（北京模拟）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝120°，E是AB的中点，过E点作射线EF∥BC，交CD于点G，AB、AD的长恰好是方程x－4x＋a＋2a＋5＝0的两个相等实数根，动点P、Q分别从点A、E出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿AB由A向B运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿EF由E向F运动，设点P、Q运

A 动的时间为t（秒）．

22

D G F

（1）求线段AB、AD的长；

（2）当t＞1时，求△DPQ的面积S与时间t之间的函数关系式；

E ）是否存在△DPQ是直角三角形的情况，如果存在，求出时P ；如果不存在，请说明理由． B

Q C

（3间t

解：（1）由题意，△＝4－4(a＋2a＋5)＝－4(a＋1)＝0 ∴a＝－1

222

原方程可化为x－4＋4＝0，解得∴x1＝x2＝2∴AB＝AD＝2

（2）作AH⊥BC于H，交EG于O，DK⊥EF于K，PM⊥DA交DA的延长线于M

2

∵AD∥BC，∠A＝120°，AB＝AD＝2∴∠B＝60°，AH＝3 ∵E是AB中点，且EF∥BC，∴AO＝DK＝3∵AP＝t，∴PM＝t

2

3 2

M A D K G F

Q

C

∵t＞1，∴点P在点E下方

延长FE交PM于S，设DP与EF交于点N

S P B

E ON 则PS＝

33t－ 22

H

∵AD∥BC，EF∥BC，∴EF∥AD ∴

t－1ENPEEN＝，∴＝ ADPA2t

∴EN＝

2(t－1)2(t－1)

，∴QN＝2t－ tt

2(t－1)1333

∴S＝(2t－)(t－＋)

2t222

＝

3233t－t＋ 222

即S＝

3233

t－t＋（t＞1） 222

（3）由题意，AM＝

2

2

2

11

t，∴DM＝2＋t 22

∴DP ＝DM ＋PM ＝(2＋

12322

t)＋(t)＝t＋2t＋4 22

又DQ ＝DK ＋KQ ＝(PQ ＝PS ＋SQ ＝(

2

2

2

222

32122

)＋(2t－－2)＝4t－10t＋7 22

t－123322t－)＋(2t＋)＝7t－4t＋1 222

①若∠PDQ＝90°，则DP ＋DQ ＝PQ

222

∴t＋2t＋4＋4t－10t＋7＝7t－4t＋1 解得t＝6－1（舍去负值）

222

②若∠DPQ＝90°，则PD ＋PQ ＝DQ 222

∴t＋2t＋4＋7t－4t＋1＝4t－10t＋7

222

解得t＝

6

－1（舍去负值） 2

③若∠DQP＝90°，则DQ ＋PQ ＝PD ∴4t－10t＋7＋7t－4t＋1＝t＋2t＋4解得t＝

222

222

4±6

5

综上所述，存在△DPQ是直角三角形的情况，此时t＝6－1，t＝

4±66

－1，t＝ 25

8．（北京模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，在Rt△DEF中，∠DFE＝90°，EF＝6，DF＝8，E、F两点在BC边上，DE、DF两边分别与AB边交于点G、H．固定△ABC不动，△DEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC边以每秒1个单位的速度向点C运动；同时点P从点F出发，在折线FD－DE上以每秒2个单位的速度向点E运动．当点E到达点C时，△DEF和点P同时停止运动．设运动时间为t（秒）． （1）当t＝2时，PH＝_________，DG＝_________； （2）当t为何值时，△PDE为等腰三角形？请说明理由； （3）当t为何值时，点P与点G重合？写出计算过程； （4）求tan∠PBF的值（用含t的代数式表示）．

A D

G P H C E F B

A C

B

备用图

526

解：（1）

25

提示：当t＝2时，BF＝2，PF＝4

335313

由△HBF∽△ABC，得HF＝，∴PH＝4－＝，DH＝8－＝

22222

由△DHG∽△BAC，得DG＝

26 5

（2）只有点P在DF边上运动时，△PDE才能成为等腰三角形，且PD＝PE ∵BF＝t，PF＝2t，DF＝8，∴PD＝8－2t 在Rt△PEF中，PE ＝PF ＋EF ＝4t＋36

2222

722

得(8－2t)＝4t＋36，解得t＝

8

7

∴当t＝时，△PDE为等腰三角形

8

（3）当点P与点G重合时，点P一定在DE边上，DP＝DG ∵tanB＝

AC93EF63＝＝，tanD＝＝＝，∴∠B＝∠D BC124DF84

∴∠DGH＝∠BFH＝90°

33

∴HF＝BF2tanB＝t，DH＝DF－HF＝8－t

44

A D 34332

DG＝DH2cosD＝(8－t)×＝－t＋ 4555

33272

由DP＝DG得2t－8＝－t＋，解得t＝ 5513

G

P H F B ∵4＜

72

＜6，∴此时点P在DE边上 13

C E ∴当t＝

72

时，点P与点G重合 13

（4）当0＜t≤4时，点P在DF边上运动，tan∠PBF＝

EF

＝2 DF

当4＜t≤6时，点P在DE边上运动，作PM⊥BC于M，则tan∠PBF＝

PM

BM

可得PE＝DE－DP＝10－(2t－8)＝18－2t

4872

PM＝PE2cos∠EPM＝PE2cosD＝(18－2t)＝－t＋

555

A P G D 3654

EM＝PE2sin∠EPM＝PE2sinD＝(18－2t)＝－t＋

555

6541124

BM＝BF＋EF－EM＝t＋6－(－t＋)＝t－ 5555

H C E M F B ∴tan∠PBF＝

72－8tPM

＝ BM11t－24

2（0＜t≤4）??

综上所述，tan∠PBF＝?72－8t

（4＜t≤6）??11t－24

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