第30届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题汇编

第30届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题汇编

2013年物理竞赛复赛模拟试题-第一套

命题人 蔡子星

一、(20分)某人在设计房子的时候尽量节省空间，弄了一个立起来是储物架，放下来时床的家具。他设计得很精巧，使得在放下的过程中，架子是保持水平的，而且人不怎么费劲。下面我们给出一种设计。

AB、CD、AD是三根相互铰接的轻杆，AB CD 2.0m，AD 0.5m。这样就能保证架子上的东西不会掉下来。但是考虑到

负重分别加在D点和CD中点O点P1 10kg，P2 20kg，直接

把床推上放下会比较费力，而且容易砸到人，即使没有砸到人，砸到花花草草也不好。为了解决这个问题，我们在AB杆上距离A点 0.5m处的M点连一根原长可以忽略的弹簧到D点。这样就可以自

由的上下推动床而几乎不费力了。g 10N/kg

（1） 为了尽量省力，弹簧的经度系数k应当为多少？

（2） 当床与墙面夹角 30 时，请计算AD杆上的受力。

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第一题解答：

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二、(22分)天宫一号圆满完成了国内第一次太空授课。在课堂演示中我们看到了如下情景，一个水球悬浮在空中，我们可以通过水球构成的透镜看到宇航员倒立的像。假设水球半径为r，折射率为n。在计算中我们取傍轴近似（只计算小角度范围的光线成的像）

假设物体、水球、实像之间的相对位置如图所示，由于相机没有变焦，因而只能对物体前方距离为D处的物体能够清晰成像。

（1） 随着球心到物体之间距离l的变化，将发现两次能清晰成像的位置l1、求|l1 l2|，l2。以及两个实像大小的比值

（2） D应当满足什么条件才能观察到上述现象。 第二题解答

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三、(23分)如图所示，一个半径为r的匀质薄壁圆筒，质量为m，被轴承限制只能绕着其中心轴旋转。一根长为l 2r的不可伸长的细绳一端系在圆筒上，另一端连接一个质量m的质点，开始如图静止。沿垂直于绳子的方向给质点大小为J mv0的冲量。

试计算说明，求当绳子与接触点法线夹角是否能到达30 ，如果可以求出圆筒相对地面的角速度，如果不可以说明理由。

第三题解答：

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四、(25分)我们想做一个演示电磁感应定律的实验：造一个大电磁铁，正上面放一个细铁环，半径为R 10cm，横截面为一个半径为r 1mm的圆，电导率为 3.7 10 m，密度为 2.7 10kg m，真空介电常数已知。在铁环的位置磁场大小为B kI，

3

3

7 1 1

k 0.2 10 2N A 2 m 1，方向与竖直夹角 30 ，假磁铁在圆环内磁场的竖直分量不

变。在磁铁中通入如下的正弦交流电，频率均为f 10kHz（很高），振幅大小为I0

I(t

)

t

在这种情景下是否可以造成“悬浮”的现象，如果可以，估算出I0的大小，如果不可以说明理由。（圆环的自感约为6 10H，需要计算说明是否可以忽略） 第四题解答：

7

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五、(22分)理想的非门可以视为一个受控电压源：当输入端电压大于Uc 6V时，输出端相当于和地线之间短路；当输入端电压小于Uc时，输出端相当于和地线之间有一个理想电压源，电源电压U0 12V。等效电路图如图所示。不同非门中接地点可以视为是同一个点。我们利用非门、电容和电阻能够做成一个输出方波信号的多谐振荡器。画出下图电路中VO2随着时间的变换关系。

Vi

12V

VO 12V

t

RC

Vi

0V

2

VO

0V

提示：已知如左下图的RC电路，从刚接通电路开始电容上电压随时间变化规律为：

UC(t) U0(1 e

)

C

R

U0

t

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第五题解答

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六、(22分)在真空中有一个体积为V0的绝热硬箱子，内部有压强为P0温度为T0的理想气体。摩尔质量为 ，定容摩尔比热为CV

3

R。现在通过一个多孔塞让气体缓缓漏出。 2

（1）当气体漏出一半时候，箱子内温度为多少？

（2）假设漏出气体的过程中，压强差做的功全部转换为气体的动能，问气体全部漏出的过程中箱子一共可以获得多少动量？ 提示：理想气体绝热方程为pVCV RCV

b

常数， xndx

1

(bn 1 an 1) 第六题解答：a

n 1

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七、(26分)在诱导原子核衰变的时候，有会用到 （读作muon，中文缪子）代替原子中的一个电子。原子核核电荷数为Z 65。 除了质量比电子重207倍之外几乎没有别的区别。电子质量me 0.91 10

30

kg，电子电量e 1.6 10 19C，普朗克常数h 6.64 10 34Js

（1）我们利用玻尔模型和牛顿力学做一个简单估计， 的基态和第一激发态之间的能级差为多少？用电子伏特做单位表示。

（2）计算上一问中，基态 的速度为多少？如果考虑相对论效应，会使得基态轨道半径相对于牛顿力学情景相对变化多少？ （3）原子核的质量为mn 2.34 10

25

kg，如果考虑到原子核质量并非远大于 质量，

则玻尔量子化改为体系总角动量（不计自旋）量子化。考虑这个效应，基态能量变化百分比为多少？ 第七题解答：

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2013年物理竞赛复赛模拟试题—第一套参考解答

一、(20分)某人在设计房子的时候尽量节省空间，弄了一个立起来是储物架，放下来时床的家具。他设计得很精巧，使得在放下的过程中，架子是保持水平的，而且人不怎么费劲。下面我们给出一种设计。

，AB、CD、AD是三根相互铰接的轻杆，AB CD 2.0mAD 0.5m。这样就能保证架子上的东西不会掉下来。但是考虑到

负重分别加在D点和CD中点O点P1 10kg，P2 20kg，直接 把床推上放下会比较费力，而且容易砸到人，即使没有砸到人，砸

到花花草草也不好。为了解决这个问题，我们在AB杆上距离A点

0.5m处的M点连一根原长可以忽略的弹簧到D点。这样就可以自由的上下推动床而几乎不费力了。g 10N/kg

（1） 为了尽量省力，弹簧的经度系数k应当为多少？

（2） 当床与墙面夹角 30 时，请计算AD杆上的受力。 【解答】

（1）如果势能处处恒定则无需外力。令AB l 2.0m，AD AM a 0.5m

由余弦定理DM重力势能

2

a2 a2 2a2cos

（1分）

l coscos Ep1 PlP12

2

弹性势能

（2分）

112

（2分） Ep2 kDM k(2a2 2a2cos )

22

l2

要求总势能为常数，则有(PlPka)cos 为常数，于是 12

2

l PglPg12

1600Nm-1 （5分） k 2

a

注：其它方法只要结果正确，过程无明显错误均给分

（2）由于AD是轻杆，且只在两端受力，所以受力沿杆，设为N

对于AB杆，以B为支点，由合外力矩等于0

Nlsin kDM

3l

sin AMD 0 （4分） 4

AMD中由正弦定理

sin AMDsin

（2分）

ADDM

代入力矩方程有

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Nlsin ka

3l

sin 0 4

由此得到 N 600N （4分） 注：其它方法只要结果正确，过程无明显错误均给分

二、(22分)天宫一号圆满完成了国内第一次太空授课。在课堂演示中我们看到了如下情景，一个水球悬浮在空中，我们可以通过水球构成的透镜看到宇航员倒立的像。假设水球半径为r，折射率为n。在计算中我们取傍轴近似（只计算小角度范围的光线成的像）

假设物体、水球、实像之间的相对位置如图所示，由于相机没有变焦，因而只能对物体前方距离为D处的物体能够清晰成像。

（1） 随着球心到物体之间距离l的变化，将发现两次能清晰成像的位置l1、求|l1 l2|，l2。以及两个实像大小的比值

（2） D应当满足什么条件才能观察到上述现象。 【解答】 解法一:

（1） 设第一次成像物距为u，像距为v'，设第二次成像物距为u'，像距为v

（物在光心左为正，像在光心右为正） 由单球面成像公式

1nn 1

uv'rnn1 n

ru'v

（1） （3分） （2） （3分）

由平面几何

（3） （1分） u' v' 2r （4） （1分） u v D 2r 将（1）、（2）代入（3）消去u'和v'得到

2uv(n 1) (u v)r(n 2) 2r2

再将（4）代入得到

2r2 r(n 2)(D 2r)

uv

2(n 1)

于是

l1 l2 u v 按放大率定义

（6分）

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第一次成像放大率为

M1

v'vnvv'

（1分）

unu'uu'

由于光路可逆，第二成就和第一相比就是物象对调，因而第二次成像放大率为：

M2 M1 1

（1分）

代入u、v的解，得到两个实像大小比值为

2

M M （2分）

21

（2） 需要使得上式有意义，需要根号内大于0

于是有

D

2n

r n 1

（4分）

解法二:

如图假设小角度入射，如图假设各个角度

由傍轴近似

(x r) 'r； (y r) 'r；

（2分）

由平面几何，第一次折射角和第二次入射角相等，均为 '，因而第一次入射角和第二次折射角均为 。由三角形外角等于两内角和

'

n

x nr

xy； ' ； rr

（2分）

由折射定律及傍轴近似

'

（2分）

在中间的三角形中：

' ' 2 '

(2分)

代入以上各式，只用 和x、y表示，整理得到：

x ry rxx

2 ； rrynr

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2111 2； rxynr11x y2(n 1)

xyxynr

（4分）

又 x y D 所以

l l' x y （2分）

以下同解法一

三、(23分)如图所示，一个半径为r的匀质薄壁圆筒，质量为m，被轴承限制只能绕着其中心轴旋转。一根长为l 2r的不可伸长的细绳一端系在圆筒上，另一端连接一个质量m的质点，开始如图静止。沿垂直于绳子的方向给质点大小为J mv0的冲量。

试计算说明，求当绳子与接触点法线夹角是否能到达30 ，如果可以求出圆筒相对地面的角速度，如果不可以说明理由。

【解答】

如图，在任意时刻，令接触点B的方向与x轴夹角为 ，令绳子AB方向与OB夹角 B相对地面的速度为

vB r

（1分）

在以B为参照的平动系中（即B为原点，且坐标轴方向不变的参照系，想象一下在摩天轮车厢里面的人），A相对B的速度

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vAB ( )l

(4分)

(1分)

所以A对地面速度为vB和vAB的矢量和 由能量守恒，其中使用了余弦定理

111

mv02 m( r)2 m[( r)2 ( )2l2 2cos ( r)( )l] 222

(6分)

由角动量守恒，其中使用了矢量叉乘定义

mv0(r l) m r2 m[( r)r ( )l2 ( r)lcos ( )lrcos ]

(6分)

为了计算方便，做无量纲化：x

r

v0

，y

l

v0

得到

1 (6 4cos

)x2 (8 4cos )xy 4y2 3 (6 4cos )x (4 2cos )y

代入cos

x 0.13；y 0.31

（另一个解x 0.50，y 0.31代表相对运动反向时的情景，未给出不扣分）

得到圆筒角速度： 0.13

v r

（5分）

注1：这个参照系中绳子与x轴转角为 ，因而角速度为 。若将由结果误写为

vAB l，能量守恒和角动量守恒方程只要形式正确不重复扣分，但不给结果分。

注2：对于题设情景，可以计算绳子拉力，发现一直大于0，所以绳子不会软。

注3：保留cos 形式不变，可以得到 41 时，y只有一个解为0；即此时相对角速度反向，也就是说，相对转角最大为41 。 四、(25分)我们想做一个演示电磁感应定律的实验：造一个大电磁铁，正上面放一个细铁环，半径为R 10cm，横截面为一个半径为r 1mm的圆，电导率为 3.7 10 m，密度为 2.7 10kg m，真空介电常数已知。在铁环的位置磁场大小为B kI，

3

3

7 1 1

k 0.2 10 2N A 2 m 1，方向与竖直夹角 30 ，假磁铁在圆环内磁场的竖直分量不

变。在磁铁中通入如下的正弦交流电，频率均为f 10kHz（很高），振幅大小为I0

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I(t

)

t

在这种情景下是否可以造成“悬浮”的现象，如果可以，估算出I0的大小，如果不可以说明理由。（圆环的自感约为6 10H，需要计算说明是否可以忽略） 【解答】

假设电流为I I0cos t 则磁通量为

7

(t) kI0 R2cos cos t

电动势为

（2分）

d (t)

kI0 R2cos sin t kI0 R2cos cos( t ) （3分） dt2

（2分）

圆环电阻为

r0

2 R2R 3

5.410 22

r r

若忽略电感应，则感应电流为

i(t)

cos( t ) r02

安培力平均值向上为正

F(t) i(t)B(t)sin 2 R cos( t)cos( t ) 0

2

（3分）

因而忽略电感导致不可以悬浮，因而不可忽略 （2分） 利用感抗大小说明不扣分，不说明理由或者理由错误不给分。 保留电感，电路的方程可以写为

(t) r0i(t) L

令i(t) i0cos( t

di dt

（3分）

2

)，代入得到

0cos( t) i0[cos( t

2

)r0 Lsin( t )

2

)]

i t

2

（2分）

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其中利用辅助角公式sin 于是安培力平均值

， 82

F(t) i(t)B(t)sin 2 R

22 Rcos( t )cos( t ) （2分）

22

由于悬浮合外力平均值等于0（利用积化和差公式）

mg

222 R

sin 2

（2分）

代入数值得到

I0 1.37A

（4分）

（作为估算，认为 L r0， 近似为90 得到I0 1.35A，同样给全分）

五、(22分)理想的非门可以视为一个受控电压源：当输入端电压大于Uc 6V时，输出端相当于和地线之间短路；当输入端电压小于Uc时，输出端相当于和地线之间有一个理想电压源，电源电压U0 12V。等效电路图如图所示。不同非门中接地点可以视为是同一个点。我们利用非门、电容和电阻能够做成一个输出方波信号的多谐振荡器。画出下图电路中VO2随着时间的变换关系。

V 12V

VO 12V

t

RC

V 0V

2

VO 0V

提示：已知如左下图的RC电路，从刚接通电路开始电容上电压随时间变化规律为：

UC(t) U0(1 e

)

C

R

U0

t

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【解答】

等效电路如图所示，可见电流只在VO1-R-C-VO2回路中流动。

Vi

VO1

VRC

假设系统存在稳态，则电容电量为常数，因而电阻上电流为0，则G1输入电压等于输出电压，这显然矛盾，因而系统不存在稳态。

不失一般性，电容初态电压为0，系统初态VO1 0V，因而VO1 12V

电路沿逆时针给电容充电（电阻I上电流从下向上为正，电容电量Q右边记为正） 当Q Q0 UcC时候，门反向，进入I

I 门反向，此时VO1 12V，VO2 0V，由于电容上电量不突变，所以

Vi 0V

Q0

6V C

因而电路沿顺时针给电容反向充电，新充入电量为 Q

12V 0V IR

QQ Q

；即18V IR CC

Vi不断上升，到达Uc 6V时，Q1 Q0 Q UcC时，门反向，进入II

类比题目中的RC电路有，此过程历时tI RCln3

II 门再次反向，此时VO1 0V，VO2 12V，由于电容上电量不突变，所以

Vi 12V

Q1

18V C

因而电路沿逆时针给电容正向充电，新冲入电量为 Q'

0V 12V= IR

Q1 Q' Q'

；即18V=IR CC

Vi不断上升，到达Uc 6V时，Q0 Q1 Q' UcC时，门反向，进入I

类比题目中的RC电路有，此过程历时tII RCln3，重复循环

因此得到方波信号周期等于T 2RCln3 （只需得到此结果，过程无明显错误即给全分） 六、(22分)在真空中有一个体积为V0的绝热硬箱子，内部有压强为P0温度为T0的理想气体。

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摩尔质量为 ，定容摩尔比热为CV

3

R。现在通过一个多孔塞让气体缓缓漏出。 2

（1）当气体漏出一半时候，箱子内温度为多少？

（2）假设漏出气体的过程中，压强差做的功全部转换为气体的动能，问气体全部漏出的过程中箱子一共可以获得多少动量？ 提示：理想气体绝热方程为pV【解答】

对于还没有喷出的气体而言，它经历了准静态绝热膨胀过程。

CV RCV

b

常数， xndx

a

1

(bn 1 an 1) n 1

CV R5

CV3

初态(P0,

V0

)，末态体积为V0，由绝热方程： 2V

（4分） P0() PV0

2

代入理想气体状态方程，末态温度

2 PV01

T T0 T02 T023

P02

（4分）

（2）假设经过一小段时间过程，有 dn摩尔的气体被推出。

这时内部的气体状态为(P,V,T) 对外做功

dW PdV P

dn RT

dnRT P

只需求出T T(n)，就能计算出做功了。 显然，我们知道绝热方程可以改写：

PV Const，代入理想气体状态方程： V 1T为常数

我们可以把这里面初始的V看成剩余的n的那部分最开始占有的体积

(

n

V0) 1T0 (V0) 1T n0

n 1) n0

（4分）

得到T(n) T0(

对外做功dW

RT0n0 1

d(n )

（4分）

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在箱子系中，喷气体动量守恒，因而箱子获得动量dp大小等于气体动量。由动能定理

(dp)2

dW

2dm

dp 代入积分得到

dn) （4分）

P （2分）

注1：如果最后系数计算的是0.64，且积分步骤是1积分到0.5，那么仅扣1分）.

注2：如果在地面系使用动能定理，将导致气体获得的动能在不同阶段不同，计算很难。

七、(26分)在诱导原子核衰变的时候，有会用到 （读作muon，中文缪子）代替原子中的一个电子。原子核核电荷数为Z 65。 除了质量比电子重207倍之外几乎没有别的区别。电子质量me 0.91 10

30

kg，电子电量e 1.6 10 19C，普朗克常数h 6.64 10 34Js

（1）我们利用玻尔模型和牛顿力学做一个简单估计， 的基态和第一激发态之间的能级差为多少？用电子伏特做单位表示。

（2）计算上一问中，基态 的速度为多少？如果考虑相对论效应，会使得基态轨道半径相对于牛顿力学情景相对变化多少？ （3）原子核的质量为mn 2.34 10

25

kg，如果考虑到原子核质量并非远大于 质量，

则玻尔量子化改为体系总角动量（不计自旋）量子化。考虑这个效应，基态能量变化百分比为多少？ 【解答】

（1）

联立得到 总能量

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