全国中考数学压轴题（一）

全国中考数学压轴题（一）

一、解答题（共60小题） 1．（2016?江西模拟）“你记得父母的生日吗？”这是我校在九年级学生中开展主题为“感恩”教育时设置的一个问题，有以下四个选项：A．父母生日都记得；B．只记得母亲生日；C．只记得父亲生日；D．父母生日都不记得．在随机调查了（1）班和（2）班各50名学生后，根据相关数据绘出如图所示的统计图．

（1）补全频数分布直方图；

（2）据此推算，九年级共900名学生中，“父母生日都不记得”的学生共多少名？

（3）若两个班中“只记得母亲生日”的学生占22%，则（2）班“只记得母亲生日”的学生所占百分比是多少？ 2．（2016?路北区三模）如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）． （1）求x为何值时，PQ⊥AC；

2

（2）设△PQD的面积为y（cm），当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式； （3）当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；

（4）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围（不要求写出过程）．

3．（2016?零陵区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E． （1）求证：DE为⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．

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4．（2016?贵阳模拟）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA=100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i=1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）

5．（2016?二道区模拟）如图，四边形ABCD为矩形，AC为对角线，AB=6，BC=8，点M是AD的中点，P、Q两点同时从点M出发，点P沿射线MA向右运动；点Q沿线段MD先向左运动至点D后，再向右运动到点M停止，点P随之停止运动．P、Q两点运动的速度均为每秒1个单位．以PQ为一边向上作正方形PRLQ．设点P的运动时间为t（秒），正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积为S． （1）当点R在线段AC上时，求出t的值．

（2）求出S与t之间的函数关系式，并直接写出取值范围．（求函数关系式时，只须写出重叠部分为三角形时的详细过程，其余情况直接写出函数关系式．）

（3）在点P、点Q运动的同时，有一点E以每秒1个单位的速度从C向B运动，当t为何值时，△LRE是等腰三角形．请直接写出t的值或取值范围．

6．（2016?丹东模拟）为了给某区初一新生订做校服，某服装加工厂随机选取部分新生，对其身高情况进行调查，图甲、图乙是由统计结果绘制成的不完整的统计图．根据图中信息解答下列问题：

（1）一共调查了______名学生；

（2）在被调查的学生中，身高在1.55～1.65m的有______人，在1.75m及以上的有______人；

（3）在被调查的学生中，身高在1.65～1.75m的学生占被调查人数的______%，在1.75m及以上的学生占被调查人数的______%；

（4）如果今年该区初一新生有3200人，请你估计身高在1.65～1.75m的学生有多少人．

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7．（2016?富顺县校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．

8．（2016?重庆模拟）如图1，△ABC中，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，连接

DE．

（1）若AB=BC，DE=1，BE=3，求△ABC的周长； （2）如图2，若AB=BC，AD=BD，∠ADB的角平分线DF交BE于点F，求证：BF=DE； （3）如图3，若AB≠BC，AD=BD，将△ADC沿着AC翻折得到△AGC，连接DG、EG，请猜想线段AE、BE、DG之间的数量关系，并证明你的结论． 9．（2016?邯山区一模）设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A、O间距离为d．

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（1）如图①，当r＜a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表： d、a、r之间关系 公共点的个数 d＞a+r d=a+r a﹣r＜d＜a+r d=a﹣r d＜a﹣r 所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有______个；

（2）如图②，当r=a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表： d、a、r之间关系 公共点的个数 d＞a+r d=a+r a≤d＜a+r d＜a 所以，当r=a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有______个； （3）如图③，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明r=a．

10．（2016?苏州一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）求线段AC的长度； （2）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l： ①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长； ②当l经过点B时，求t的值．

11．（2016?平度市一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒． （1）当t为何值时，PQ∥BC？

（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；

（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；

（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）

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12．（2016?启东市一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，D是BC边上一点，CD=3cm，点P为边AC上一动点（点P与A、C不重合），过点P作PE∥BC，交AD于点E．点P以1cm/s的速度从A到C匀速运动． （1）设点P的运动时间为t（s），DE的长为y（cm），求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（2）当t为何值时，以PE为半径的⊙E与以DB为半径的⊙D外切？并求此时∠DPE的正切值；

（3）将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，连接B′C．如果∠ACE=∠BCB′，求t的值．

13．（2016?黄石）已知双曲线y=（x＞0），直线l1：y﹣

=k（x﹣

）（k＜0）过定点F

．

且与双曲线交于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），直线l2：y=﹣x+（1）若k=﹣1，求△OAB的面积S； （2）若AB=

，求k的值；

（3）设N（0，2），P在双曲线上，M在直线l2上且PM∥x轴，求PM+PN最小值，并求PM+PN取得最小值时P的坐标．（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2）则A，B两点间的距离为AB=

）

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14．（2016?滨州）根据下列要求，解答相关问题

（1）请补全以下求不等式﹣2x﹣4x≥0的解集的过程

2

①构造函数，画出图象，根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x﹣4x；并在下面的坐标系中

2

（见图1）画出二次函数y=﹣2x﹣4x的图象（只画出图象即可）

2

②求得界点，标示所需；当y=0时，求得方程﹣2x﹣4x=0的解为______；并用锯齿线标

2

示出函数y=﹣2x﹣4x图象中y≥0的部分．

2

③借助图象，写出解集；由所标示图象，可得不等式﹣2x﹣4x≥0的解集为______．

2

（2）利用（1）中求不等式解集的步骤，求不等式x﹣2x+1＜4的解集

①构造函数，画出图象 ②求得界点，标示所需 ③借助图象，写出解集

（3）参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x

2

的不等式ax+bx+c＞0（a＞0）的解集．

2

15．（2016?宁波）如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与

2

射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA?OB=OP，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．

（1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角． （2）如图1，已知∠MON=α（0°＜α＜90°），OP=2．若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．

（3）如图3，C是函数y=（x＞0）图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．

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16．（2016?梅州）如图，过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y=的图象分别交于两点A，C和B，D，连接AB，BC，CD，DA． （1）四边形ABCD一定是______四边形；（直接填写结果）

（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1，k2之间的关系式；若不能，说明理由；

（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y=图象上的任意两点，a=b=

，试判断a，b的大小关系，并说明理由．

，

17．（2016?徐州）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y=（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．

（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k=______； （2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；

（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

18．（2016?沈阳）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B的坐标为（60，0），OA=AB，∠OAB=90°，OC=50．点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O、B重合），过点P与y轴平行的直线l交边OA

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或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R，设点P横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=40时，直线l恰好经过点C． （1）求点A和点C的坐标；

（2）当0＜t＜30时，求m关于t的函数关系式； （3）当m=35时，请直接写出t的值；

（4）直线l上有一点M，当∠PMB+∠POC=90°，且△PMB的周长为60时，请直接写出满足条件的点M的坐标．

19．（2016?济南）如图1，点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y=（x＞0）的图象上，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥y轴于D． （1）求m的值和直线AB的函数关系式；

（2）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线OD﹣DB向B点运动，同时动点Q从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线OC向C点运动，当动点P运动到D时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒．

①设△OPQ的面积为S，写出S与t的函数关系式；

②如图2，当的P在线段OD上运动时，如果作△OPQ关于直线PQ的对称图形△O′PQ，是否存在某时刻t，使得点O′恰好落在反比例函数的图象上？若存在，求O′的坐标和t的值；若不存在，请说明理由．

20．（2016?衢州）小明在课外学习时遇到这样一个问题：

22

定义：如果二次函数y=a1x+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．

2

求函数y=﹣x+3x﹣2的“旋转函数”．

2

小明是这样思考的：由函数y=﹣x+3x﹣2可知，a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请参考小明的方法解决下面问题：

（1）写出函数y=﹣x+3x﹣2的“旋转函数”；

2

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（2）若函数y=﹣x+mx﹣2与y=x﹣2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）

222016

的值；

（3）已知函数y=﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数．”

21．（2016?湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA

2

绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过点D． （1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣．

①求点D的坐标及该抛物线的解析式；

②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；

2

（2）如图2，若该抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．

22．（2016?黔南州）为了解都匀市交通拥堵情况，经统计分析，都匀彩虹桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度为20辆/千米时，车流速度为80千米/小时．研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数． （1）求彩虹桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；

（2）在交通高峰时段，为使彩虹桥上车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制彩虹桥上的车流密度在什么范围内？

（3）当车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．当20≤x≤220时，求彩虹桥上车流量y的最大值． 23．（2016?常德）如图，曲线y1抛物线的一部分，且表达式为：y1=

（x﹣2x﹣3）（x≤

2

3）曲线y2与曲线y1关于直线x=3对称．

（1）求A、B、C三点的坐标和曲线y2的表达式；

（2）过点D作CD∥x轴交曲线y1于点D，连接AD，在曲线y2上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标；

（3）设直线CM与x轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线y2上是否存在一点P，使△PMN的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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24．（2016?丽水）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上．在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据： 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 6 t（秒） 0 … 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 X（米） 0 … 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 y（米） 0.25 （1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？ （2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？

2

（3）乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y=a（x﹣3）+k． ①用含a的代数式表示k；

②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求a的值．

2

25．（2016?天津）已知二次函数y=x+bx+c（b，c为常数）． （Ⅰ）当b=2，c=﹣3时，求二次函数的最小值；

（Ⅱ）当c=5时，若在函数值y=l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；

2

（Ⅲ）当c=b时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．

26．（2016?十堰）已知抛物线C1：y=ax+bx+（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（3，0）． （1）求抛物线C1的解析式，并写出其顶点C的坐标；

（2）如图1，把抛物线C1沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2，此时点A，C分别平移到点D，E处．设点F在抛物线C1上且在x轴的下方，若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；

（3）如图2，在（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，EN⊥EM交直线BF于点N，点P为线段MN的中点，当点M从点B向点C运动时：①tan∠ENM的值如何变化？请说明理由；②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长．

2

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（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为______．

（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？

（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示） 55．（2016?浙江模拟）操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：

说明：

方案一：图形中的圆过点A、B、C； 方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点

纸片利用率=

×100%

发现：

（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．

（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%．请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程． 探究：

（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．

说明：方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点． 56．（2016?漳州）理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：

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思路一 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=﹣

．

．假设α=60°，

．tanD=tan15°=

=

=2

思路二 利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=

β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）===2﹣．

思路三 在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…

思路四 …

请解决下列问题（上述思路仅供参考）． （1）类比：求出tan75°的值；

（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度；

（3）拓展：如图3，直线y=x﹣1与双曲线y=交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由．

57．（2016?常州）如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方． （1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；

（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形； （3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．

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58．（2016?玉林）已知：一次函数y=﹣2x+10的图象与反比例函数y=（k＞0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．

（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；

（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．若

=，求△ABC的面积．

59．（2016?长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．

（1）求函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标；

（2）若函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；

（3）若二次函数y=（k﹣3k+2）x+（2k﹣4k+1）x+k﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？

60．（2016?潜江）已知抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0），C（2，）三点，其对称轴交x轴于点H，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点C，与抛物线交于另一点D（点D在点C的左边），与抛物线的对称轴交于点E． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，当S△EOC=S△EAB时，求一次函数的解析式；

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2

2

2

2

（3）如图2，设∠CEH=α，∠EAH=β，当α＞β时，直接写出k的取值范围．

第24页（共122页）

全国中考数学压轴题（一）

参考答案与试题解析

一、解答题 1．（2016?江西模拟）“你记得父母的生日吗？”这是我校在九年级学生中开展主题为“感恩”教育时设置的一个问题，有以下四个选项：A．父母生日都记得；B．只记得母亲生日；C．只记得父亲生日；D．父母生日都不记得．在随机调查了（1）班和（2）班各50名学生后，根据相关数据绘出如图所示的统计图．

（1）补全频数分布直方图；

（2）据此推算，九年级共900名学生中，“父母生日都不记得”的学生共多少名？

（3）若两个班中“只记得母亲生日”的学生占22%，则（2）班“只记得母亲生日”的学生所占百分比是多少？ 【解答】解：（1）一班中A类的人数是：50﹣9﹣3﹣20=18（人）． 如图所示．

（2）

（名）；

（3）设（2）班“只记得母亲生日”的学生有x名，依题意得：

，

解得x=13， ∴

，

即（2）班“只记得母亲生日”的学生所占百分比是26%．

第25页（共122页）

2．（2016?路北区三模）如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）． （1）求x为何值时，PQ⊥AC；

2

（2）设△PQD的面积为y（cm），当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式； （3）当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；

（4）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围（不要求写出过程）．

【解答】解：（1）当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC， 当Q在AC上时，由题意得，BP=x，CQ=2x，PC=4﹣x； ∵AB=BC=CA=4， ∴∠C=60°；

若PQ⊥AC，则有∠QPC=30°， ∴PC=2CQ， ∴4﹣x=2×2x， ∴x=；

（2）y=﹣

x+

2

x，

如图，当0＜x＜2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QN⊥BC于N； ∵∠C=60°，QC=2x， ∴QN=QC×sin60°=x； ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD=BC=2， ∴DP=2﹣x，

∴y=PD?QN=（2﹣x）?

x=﹣

x+

2

x；

（3）当0＜x＜2时，在Rt△QNC中，QC=2x，∠C=60°； ∴NC=x， ∴BP=NC， ∵BD=CD， ∴DP=DN；

∵AD⊥BC，QN⊥BC， ∴AD∥QN，

第26页（共122页）

∴OP=OQ，

∴S△PDO=S△DQO，

∴AD平分△PQD的面积；

（4）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离， 由（1）可知，当x=时，以PQ为直径的圆与AC相切； 当点Q在AB上时，8﹣2x=，解得x=故当x=或

，

时，以PQ为直径的圆与AC相切，

或

＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交．

当0≤x＜或＜x＜

3．（2016?零陵区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E． （1）求证：DE为⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．

【解答】（1）证明：如图，连接OD． ∵OA=OB，CD=BD， ∴OD∥AC．

∴∠0DE=∠CED． 又∵DE⊥AC， ∴∠CED=90°．

∴∠ODE=90°，即OD⊥DE． ∴DE是⊙O的切线．

（2）解：∵OD∥AC，∠BAC=60°， ∴∠BOD=∠BAC=60°， ∠C=∠0DB． 又∵OB=OD，

第27页（共122页）

∴△BOD是等边三角形． ∴∠C=∠ODB=60°， CD=BD=5． ∵DE⊥AC，

∴DE=CD?sin∠C=5×sin60°=

．

4．（2016?贵阳模拟）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA=100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i=1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）

【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F， 在Rt△AOC中，AO=100，∠CAO=60°， ∴CO=AO?tan60°=100（米）． 设PE=x米， ∵tan∠PAB=

=，

∴AE=2x．

在Rt△PCF中，∠CPF=45°，CF=100∵PF=CF，

∴100+2x=100﹣x， 解得x=

（米）．

﹣x，PF=OA+AE=100+2x，

答：电视塔OC高为100米，点P的铅直高度为（米）．

第28页（共122页）

5．（2016?二道区模拟）如图，四边形ABCD为矩形，AC为对角线，AB=6，BC=8，点M是AD的中点，P、Q两点同时从点M出发，点P沿射线MA向右运动；点Q沿线段MD先向左运动至点D后，再向右运动到点M停止，点P随之停止运动．P、Q两点运动的速度均为每秒1个单位．以PQ为一边向上作正方形PRLQ．设点P的运动时间为t（秒），正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积为S． （1）当点R在线段AC上时，求出t的值．

（2）求出S与t之间的函数关系式，并直接写出取值范围．（求函数关系式时，只须写出重叠部分为三角形时的详细过程，其余情况直接写出函数关系式．）

（3）在点P、点Q运动的同时，有一点E以每秒1个单位的速度从C向B运动，当t为何值时，△LRE是等腰三角形．请直接写出t的值或取值范围．

【解答】解：（1）当点R在线段AC上时，应该满足：设MP为t，则PR=2t，AP=4﹣t， ∴可得：解得：t=（2）当当=

；

时，正方形PRLQ与△ABC没有重叠部分，所以重叠部分的面积为0； 时，正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积为直角三角形KRW的面积

，

，即

，

，

；

第29页（共122页）

当时，正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积=×（2t﹣3）2t=2t﹣3t．

2

2

当3＜t≤4时，正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积=×（12﹣2t）×2t=﹣2t+12t． 当4＜t≤8时，正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积为S=

；

综上所述S与t之间的函数关系式为：S=．

（3）在点P、点Q运动的同时，有一点E以每秒1个单位的速度从C向B运动，

①当点E是BC的中点时，点E在LR的中垂线线上时，EL=ER．此时t=4s，△LRE是等腰三角形；

当点E与点B重合时，点E在LR的中垂线线上时，EL=ER．此时t=8s，△LRE是等腰三角形；

综上所述，t的取值范围是4≤t≤8； ②当EL=LR时，如图所示：

LR=2t，CF=NL=4﹣t，则EF=2t﹣4．FL=CN=6﹣2t，

则在直角△EFL中，由勾股定理得到：EL=EF+FL=（2t﹣4）+（6﹣2t）．

2222

故由EL=LR得到：EL=LR，即4t=10t﹣40t+52， 整理，得 2

t﹣10t+13=0，

解得 t1=5+2（舍去），t2=5﹣2．

所以当t=5﹣2（s）时，△LRE是等腰三角形； 同理，当ER=LR时，

．

s

2

2

2

2

2

综上所述，t的取值范围是4≤t≤8时，△LRE是等腰三角形；当t=4s，或t=8s或或

s时，△LRE是等腰三角形．

第30页（共122页）

6．（2016?丹东模拟）为了给某区初一新生订做校服，某服装加工厂随机选取部分新生，对其身高情况进行调查，图甲、图乙是由统计结果绘制成的不完整的统计图．根据图中信息解答下列问题：

（1）一共调查了 160 名学生； （2）在被调查的学生中，身高在1.55～1.65m的有 56 人，在1.75m及以上的有 16 人； （3）在被调查的学生中，身高在1.65～1.75m的学生占被调查人数的 40 %，在1.75m及以上的学生占被调查人数的 10 %；

（4）如果今年该区初一新生有3200人，请你估计身高在1.65～1.75m的学生有多少人．

【解答】解：（1）24÷15%=160；

（2）160×35%=56，160﹣24﹣56﹣64=16；

（3）64÷160=40%，16÷160=10%；

（4）3200×40%=1280人．

答：估计身高在1.65～1.75m的学生有1280人． 7．（2016?富顺县校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．

【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4， ∴AB=

=5．

第31页（共122页）

∵AD=5t，CE=3t，

∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；

∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6﹣5=1．

（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点， ∴GE=2．

当AD＜AE（即t＜）时，DE=AE﹣AD=3+3t﹣5t=3﹣2t， 若△DEG与△ACB相似，则∴

或

，

或

，

∴t=或t=；

当AD＞AE（即t＞）时，DE=AD﹣AE=5t﹣（3+3t）=2t﹣3， 若△DEG与△ACB相似，则∴

或

；

时，△DEG与△ACB相似． ，

或

，

解得t=或t=

综上所述，当t=或或或

8．（2016?重庆模拟）如图1，△ABC中，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，连接

DE．

（1）若AB=BC，DE=1，BE=3，求△ABC的周长； （2）如图2，若AB=BC，AD=BD，∠ADB的角平分线DF交BE于点F，求证：BF=DE； （3）如图3，若AB≠BC，AD=BD，将△ADC沿着AC翻折得到△AGC，连接DG、EG，请猜想线段AE、BE、DG之间的数量关系，并证明你的结论． 【解答】（1）解：如图1所示： ∵AB=BC，BE⊥AC， ∴AE=CE，∠AEB=90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∴DE=AC=AE，

第32页（共122页）

∴AC=2DE=2，AE=1， ∴AB=

=

，

∴BC=，

∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2+2； （2）证明：连接AF，如图2所示： ∵AB=BC，BE⊥AC， ∴∠3=∠4，

∵∠ADC=90°，AD=BD， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴∠DAB=∠DBA=45°， ∴∠3=22.5°，

∵∠1+∠C=∠3+∠C=90°， ∴∠1=∠3=22.5°， ∵DF平分∠ABD， ∴∠ADF=∠BDF， 在△ADF和△BDF中，

，

∴△ADF≌△BDF（SAS）， ∴AF=BF，∠2=∠3=22.5°， ∴∠EAF=∠1+∠2=45°，

∴△AEF是等腰直角三角形， ∴AF=AE， ∵DE=AE， ∴BF=DE；

（3）解：BE=DG+AE；理由如下： 作DH⊥DE交BE于H，如图3所示： ∵BE⊥AC，AD⊥BC，

∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD=90°， ∴∠1=∠2，

∴∠ADE=90°﹣∠ADH=∠BDH， 在△ADE和△BDH中，

，

∴△ADE≌△BDH（ASA）， ∴DH=DE，AE=BH，

∴△DHE是等腰直角三角形， ∴∠DEH=45°，

∴∠3=90°﹣∠DEH=45°， ∵△ACD翻折至△ACG， ∴DE=GE，∠3=∠4=45°，

第33页（共122页）

∴∠DEG=∠EDH=90°，DH=GE， ∴DH∥GE，

∴四边形DHEG是平行四边形， ∴DG=EH，

∴BE=EH+BH=DG+AE．

9．（2016?邯山区一模）设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A、O间距离为d．

（1）如图①，当r＜a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表： d、a、r之间关系 公共点的个数 d＞a+r d=a+r a﹣r＜d＜a+r d=a﹣r d＜a﹣r 所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有 0、1、2 个；

第34页（共122页）

（2）如图②，当r=a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表： d、a、r之间关系 公共点的个数 d＞a+r d=a+r a≤d＜a+r d＜a 所以，当r=a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有 0、1、2、4 个； （3）如图③，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明r=a．

【解答】

解：（1）如图① d、a、r之间关系 公共点的个数 0 d＞a+r 1 d=a+r 2 a﹣r＜d＜a+r 1 d=a﹣r 0 d＜a﹣r 所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有0、1、2个；

（2）如图② d、a、r之间关系 公共点的个数 0 d＞a+r 1 d=a+r 2 a≤d＜a+r 4 d＜a 所以，当r=a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4个；

（3）如图③所示，连接OC．

则OE=OC=r，OF=EF﹣OE=2a﹣r． 在Rt△OCF中，由勾股定理得： OF+FC=OC

222

即（2a﹣r）+a=r， 22224a﹣4ar+r+a=r， 2

5a=4ar， 5a=4r；

（4）①当a＜r＜

2

2

2

时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、8个；

第35页（共122页）

②当r=a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、5、8个； ③当④当

时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个；

时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个；

⑤当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个． 10．（2016?苏州一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）求线段AC的长度； （2）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l： ①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长； ②当l经过点B时，求t的值．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：

（2）如图1，

；

过点P作PH⊥AB于点H，AP=t，AQ=3﹣t， 则∠AHP=∠ABC=90°， ∵∠PAH=∠CAB， ∴△AHP∽△ABC， ∴

=

，

∵AP=t，AC=5，BC=4，

第36页（共122页）

∴PH=，

∴S=?（3﹣t）?t，

即S=﹣t+t，t的取值范围是：0＜t＜3．

（3）①如图2，

2

∵线段PQ的垂直平分线为l经过点A， ∴AP=AQ， ∴3﹣t=t， ∴t=1.5，

∴AP=AQ=1.5，

延长QP交AD于点E，过点Q作QO∥AD交AC于点O， ∴△AQO∽△ABC， ∴∴

， ，

，

∴PO=AO﹣AP=1， ∵OQ∥BC∥AD， ∴△APE∽△OPQ， ∴∴

，

．

②如图③，

（i）当点Q从B向A运动时l经过点B， BQ=BP=AP=t，∠QBP=∠QAP，

∵∠QBP+∠PBC=90°，∠QAP+∠PCB=90° ∴∠PBC=∠PCB， ∴CP=BP=AP=t

第37页（共122页）

∴CP=AP=AC=×5=2.5，

∴t=2.5；

（ⅱ）如图4，当点Q从A向B运动时l经过点B，

BP=BQ=3﹣（t﹣3）=6﹣t，AP=t，PC=5﹣t， 过点P作PG⊥CB于点G， 则PG∥AB，

∴△PGC∽△ABC， ∴∴PG=

，

?AB=（5﹣t），CG=

=

2

2

?BC=（5﹣t），

∴BG=4﹣

2

由勾股定理得BP=BG+PG，即解得

．

，

11．（2016?平度市一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒． （1）当t为何值时，PQ∥BC？

（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；

（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；

（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）

【解答】解：（1）Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，

第38页（共122页）

∴AB=10cm． ∵BP=t，AQ=2t，

∴AP=AB﹣BP=10﹣t． ∵PQ∥BC， ∴∴解得t=

（2）∵S四边形PQCB=S△ACB﹣S△APQ=AC?BC﹣AP?AQ?sinA ∴y=×6×8﹣×（10﹣t）?2t?=24﹣t（10﹣t） =t﹣8t+24，

即y关于t的函数关系式为y=t﹣8t+24；

（3）四边形PQCB面积能是△ABC面积的，理由如下： 由题意，得t﹣8t+24=×24， 整理，得t﹣10t+12=0， 解得t1=5﹣，t2=5+

2

2

2

2

=， =；

，

（不合题意舍去）．

；

故四边形PQCB面积能是△ABC面积的，此时t的值为5﹣

（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论： ①如果AE=AQ，那么10﹣2t=2t，解得t=； ②如果EA=EQ，那么（10﹣2t）×③如果QA=QE，那么2t×故当t为秒

秒

=t，解得t=

．

；

=5﹣t，解得t=

秒时，△AEQ为等腰三角形．

第39页（共122页）

12．（2016?启东市一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，D是BC边上一点，CD=3cm，点P为边AC上一动点（点P与A、C不重合），过点P作PE∥BC，交AD于点E．点P以1cm/s的速度从A到C匀速运动． （1）设点P的运动时间为t（s），DE的长为y（cm），求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（2）当t为何值时，以PE为半径的⊙E与以DB为半径的⊙D外切？并求此时∠DPE的正切值；

（3）将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，连接B′C．如果∠ACE=∠BCB′，求t的值．

【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=4，CD=3， ∴AD=5，

∵PE∥BC，AP=t， ∴∴=

=

， ，

∴AE=t， ∴DE=5﹣t，

∴y=5﹣t，（0＜t＜4）；

（2）连接PD，

当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时，有DE=PE+BD，即5﹣t=t+2，

第40页（共122页）

解得：t= 则PC=， ∵PE∥BC，

∴∠DPE=∠PDC， 在Rt△PCD中， tan∠PDC=

=

=；

则tan∠DPE=；

（3）延长AD交BB′于F，则AF⊥BB′， 则∠ACD=∠BFD， ∵∠ADC=∠FDB， ∴∠CAD=∠FBD， ∴△ACD∽△BFD， ∴BF=， ∴BB′=

，

∵∠ACE=∠BCB′，∠CAE=∠CBB′， ∴△ACE∽△BCB′， ∴AE=∴t=AP=

， ．

13．（2016?黄石）已知双曲线y=（x＞0），直线l1：y﹣

=k（x﹣

）（k＜0）过定点F

．

且与双曲线交于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），直线l2：y=﹣x+（1）若k=﹣1，求△OAB的面积S；

第41页（共122页）

（2）若AB=，求k的值；

（3）设N（0，2），P在双曲线上，M在直线l2上且PM∥x轴，求PM+PN最小值，并求PM+PN取得最小值时P的坐标．（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2）则A，B两点间的距离为AB=

）

【解答】解：（1）当k=﹣1时，l1：y=﹣x+2联立得，

，化简得x﹣2

2

，

x+1=0，

解得：x1=﹣1，x2=+1，

设直线l1与y轴交于点C，则C（0，2S△OAB=S△AOC﹣S△BOC=?2

）．

；

2

?（x2﹣x1）=2

（2）根据题意得：

2

整理得：kx+

2

（1﹣k）x﹣1=0（k＜0），

∵△=[（1﹣k）]﹣4×k×（﹣1）=2（1+k）＞0，

∴x1、x2 是方程的两根，

∴，

∴AB=（x1﹣x2）+（

2

22

+）2

=（x1﹣x2）+（=（x1﹣x2）[1+（

2

） ）]

2

2

=，

第42页（共122页）

∴AB=﹣=，即=，

整理得，2k2+5k+2=0，即（2k+1）（k+1）=0，解得k=﹣1或k=﹣．

（3）F（

，），如图：

，），

设P（x，），则M（﹣+

则PM=x+﹣==，

∵PF==，

∴PM=PF．

∴PM+PN=PF+PN≥NF=2，

当点P在NF上时等号成立，此时NF的方程为y=﹣x+2由（1）知P（﹣1，+1），

∴当P（﹣1，+1）时，PM+PN最小值是2．

，

14．（2016?滨州）根据下列要求，解答相关问题

2

（1）请补全以下求不等式﹣2x﹣4x≥0的解集的过程

2

①构造函数，画出图象，根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x﹣4x；并在下面的坐标系中

2

（见图1）画出二次函数y=﹣2x﹣4x的图象（只画出图象即可）

2

②求得界点，标示所需；当y=0时，求得方程﹣2x﹣4x=0的解为 x1=0，x2=﹣2 ；并用2

锯齿线标示出函数y=﹣2x﹣4x图象中y≥0的部分．

2

③借助图象，写出解集；由所标示图象，可得不等式﹣2x﹣4x≥0的解集为 ﹣2≤x≤0 ．

2

（2）利用（1）中求不等式解集的步骤，求不等式x﹣2x+1＜4的解集

①构造函数，画出图象 ②求得界点，标示所需 ③借助图象，写出解集

（3）参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x

2

的不等式ax+bx+c＞0（a＞0）的解集．

第43页（共122页）

2

【解答】解：（1）y=﹣2x﹣4x=﹣2x（x+2），则该抛物线与x轴交点的坐标分别是（0，0），（﹣2，0），且抛物线开口方向向下，所以其大致图象如图（1）所示：

根据图示知，不等式﹣2x﹣4x≥0的解集为﹣2≤x≤0． 故答案是：x1=0，x2=﹣2；﹣2≤x≤0；

（2）①构造函数y=x﹣2x+1，画出图象，如图（2）所示；

2

②当y=4时，方程x﹣2x+1=4的解为x1=﹣1，x2=3；

2

③由图（2）知，不等式x﹣2x+1＜4的解集是﹣1＜x＜3；

（3）①当b﹣4ac＞0时，关于x的不等式ax+bx+c＞0（a＞0）的解集是x＞

2

2

2

2

或x＜．

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当b﹣4ac=0时，关于x的不等式ax+bx+c＞0（a＞0）的解集是x≠﹣

2

2

22

；

当b﹣4ac＜0时，关于x的不等式ax+bx+c＞0（a＞0）的解集是全体实数． 15．（2016?宁波）如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与

2

射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA?OB=OP，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．

（1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角． （2）如图1，已知∠MON=α（0°＜α＜90°），OP=2．若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．

（3）如图3，C是函数y=（x＞0）图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．

【解答】（1）证明：∵∠MON=90°，P为∠MON的平分线上一点， ∴∠AOP=∠BOP=∠MON=45°， ∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°， ∴∠OAP+∠APO=135°， ∵∠APB=135°，

∴∠APO+∠OPB=135°， ∴∠OAP=∠OPB， ∴△AOP∽△POB， ∴

2

，

∴OP=OA?OB，

∴∠APB是∠MON的智慧角；

（2）解：∵∠APB是∠MON的智慧角， ∴OA?OB=OP， ∴

，

2

∵P为∠MON的平分线上一点， ∴∠AOP=∠BOP=α， ∴△AOP∽△POB， ∴∠OAP=∠OPB，

第45页（共122页）

∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°﹣α， 即∠APB=180°﹣α；

过点A作AH⊥OB于H，连接AB；如图1所示： 则S△AOB=OB?AH=OB?OAsinα=OP?sinα，

∵OP=2，

∴S△AOB=2sinα； （3）设点C（a，b），则ab=3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况： ①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，如图2所示： BC=2CA不可能；

当点A在x轴的正半轴上时，如图3所示： ∵BC=2CA， ∴

，

2

∵CH∥OB，

∴△ACH∽△ABO， ∴

∴OB=3b，OA=∴OA?OB=

=， ，

=

，

?3b=

∵∠APB是∠AOB的智慧角， ∴OP=

=

=

，

∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB， ∴点P的坐标为：（

，

）；

②当点B在y轴的负半轴上时，如图4所示： ∵BC=2CA， ∴AB=CA，

在△ACH和△ABO中，

，

∴△ACH≌△ABO（AAS）， ∴OB=CH=b，OA=AH=a， ∴OA?OB=a?b=， ∵∠APB是∠AOB的智慧角，

第46页（共122页）

∴OP===，

∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB， ∴点P的坐标为：（

，﹣

）； ，

），或（

，﹣

）．

综上所述：点P的坐标为：（

16．（2016?梅州）如图，过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y=的图象分别交于两点A，C和B，D，连接AB，BC，CD，DA． （1）四边形ABCD一定是 平行 四边形；（直接填写结果）

（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1，k2之间的关系式；若不能，说明理由；

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（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y=图象上的任意两点，a=b=

，试判断a，b的大小关系，并说明理由．

，

【解答】解：（1）∵直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y=的图象关于原点对称， ∴OA=OC，OB=OD，

∴四边形ABCD 是平行四边形； 故答案为：平行；

（2）解：∵正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y=的图象在第一象限相交于A， ∴k1x=，解得x=

（因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根）

将x=

带入y=k1x得y=

，

故A点的坐标为（又∵OA=OB， ∴

=

，）同理则B点坐标为（，），

，两边平方得：

+k1=+k2，

整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，

∵k1≠k2，

所以k1k2﹣1=0，即k1k2=1；

（3）∵P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y=图象上的任意两点， ∴y1=

，y2=

，

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∴a===，

∴a﹣b=∵x2＞x1＞0， ∴

﹣==，

＞0，x1x2＞0，（x1+x2）＞0，

∴＞0，

∴a﹣b＞0，

∴a＞b． 17．（2016?徐州）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y=（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．

（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k= 4 ； （2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；

（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）连接OE，如，图1， ∵Rt△AOE的面积为2， ∴k=2×2=4．

（2）连接AC，如图1，设D（x，5），E（3，

=，

），则BD=3﹣x，BE=5﹣

，

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∴

∴DE∥AC．

（3）假设存在点D满足条件．设D（x，5），E（3，BD=3﹣x，BE=5﹣

，AE=

．

），则CD=x，

作EF⊥OC，垂足为F，如图2， 易证△B′CD∽△EFB′， ∴∴B′F=

，

+，

，CD=x，B′D=BD=3﹣x，

2

，即=，

∴OB′=B′F+OF=B′F+AE=∴CB′=OC﹣OB′=5﹣在Rt△B′CD中，CB′=5﹣

2

2

=，

由勾股定理得，CB′+CD=B′D， （5﹣

）+x=（3﹣x），

2

2

2

解这个方程得，x1=1.5（舍去），x2=0.96，

∴满足条件的点D存在，D的坐标为D（0.96，5）．

第50页（共122页）

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