2011全国中考数学真题解析---压轴大题(三)

2011全国中考数学真题解析---压轴大题(三)

2011全国中考真题解析压轴题及详解（三）31.（2011湖北荆州，24，12分）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P 过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y= 14x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1．（1）求B点坐标；

（2）求证：ME是⊙P的切线；

（3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此轴称轴上不与N点重合的一动点，

①求△ACQ周长的最小值；

=S，直接写出S与t之间的函数②若FQ=t，S

△ACQ

关系式．

考点：二次函数综合题．

第2页

分析：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，由正方形CDEF的面积为1，可得CD=CF=1，根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，由PB=PE，根据勾股定理即可求得n的值，继而求得B的坐标；（2）由（1）知A（0，2），C（2，0），即可求得抛物线的解析式，然后求得FM的长，则可得△PEF∽△EMF，则可证得∠PEM=90°，即ME 是⊙P的切线；

（3）①如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q，连AQ，则有AQ=A′Q，△ACQ 周长的最小值为AC+A′C的长，利用勾股定理即可求得△ACQ周长的最小值；

②分别当Q点在F点上方时，当Q点在线段FN 上时，当Q点在N点下方时去分析即可求得答案．解答：解：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，∵正方形CDEF的面积为1，

∴CD=CF=1，

根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，

∴BC=2PC=2n，

∵而PB=PE，

第3页

第

4页 ∴PB 2=BC 2+PC 2=4n 2+n 2=5n 2，PE 2=PF 2+EF 2=（n+1）2

+1， ∴5n 2=（n+1）2+1，

解得：n=1或n=- 12（舍去），

∴BC=OC=2，

∴B 点坐标为（2，2）；

（2）如图甲，由（1）知A （0，2），C （2，0），

∵A ，C 在抛物线上，

∴ {c=214×4+2b+c=0，

解得： {c=2b=-32，

∴抛物线的解析式为：y= 14x 2- 32x+2= 14（x-3）2- 14，

∴抛物线的对称轴为x=3，即EF 所在直线， ∵C 与G 关于直线x=3对称，

∴CF=FG=1，

∴MF= 12FG= 12，

在Rt△PEF与Rt△EMF中，

∠EFM=∠EFP，

∵ FMEF=121=12， EFPF=12，

∴ FMEF=EFPF，

∴△PEF∽△EMF，

∴∴∠EPF=∠FEM，

∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°，

∴ME是⊙P的切线；

（3）①如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q，连AQ，

则有AQ=A′Q，

∴△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长，

∵A与A′关于直线x=3对称，

∴A（0，2），A′（6，2），

∴A′C=（6-2）2+22=2 5，而AC=22+22=2 2，

第5页

∴△ACQ周长的最小值为2 2+2 5；

②当Q点在F点上方时，S=t+1，

当Q点在线段FN上时，S=1-t，

当Q点在N点下方时，S=t-1．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，圆的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性很强，题目难度较大，解题的关键是方程思想、分类讨论与数形结合思想的应用．

32.（2011湖北潜江，24，12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴的两个交点分别为A（—3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．

（1）直接填写：a＝—1，b＝—2，顶点C的坐标为（—1，4）；

（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ

第6页

与△ACH相似时，求点P的坐标．

考点：二次函数综合题。

专题：代数几何综合题。

分析：（1）将A（—3，0）、B（1，0），代入y ＝ax2＋bx＋3求出即可，再利用平方法求出顶点坐标即可；

（2）首先证明△CED∽△DOA，得出y轴上存在点D（0，3）或（0，1），即可得出△ACD是以AC为斜边的直角三角形．

（3）首先求出直线CM的解析式为y＝k1x＋b1，再利用联立两函数解析式即可得出交点坐标，再利用若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ＝∠ACH得出答案即可．

第7页

第8页 解答：解：（1）a ＝—1，b ＝—2，顶点C 的坐标为（—1，4）；

（2）假设在y 轴上存在满足条件的点D ，过点C 作CE ⊥y 轴于点E ．

由∠CDA ＝90°得，∠1＋∠2＝90°．又∠2＋∠3＝90°，

∴∠3＝∠1．又∵∠CED ＝∠DOA ＝90°，

∴△CED ∽△DOA ，∴AO

DO CD CE =． 设D （0，c ），则3

41c c =-．变形得c 2—4c ＋3＝0，解之得c 1＝3，c 2＝1．

综合上述：在y 轴上存在点D （0，3）或（0，

1），

使△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形．

第9页 （3）①若点P 在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ ∽△CAH ，得∠QCP ＝∠CAH ．

延长CP 交x 轴于M ，∴AM ＝CM ，∴AM 2＝CM 2．

设M （m ，0），则（m ＋3）2＝42＋（m ＋1）2，∴m ＝2，即M （2，0）．

设直线CM 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，

则???=+=+-0241

11

1b k b k ，解之得k 1＝－34，b 1＝38． ∴直线CM 的解析式y ＝－34x ＋3

8． 联立?????+--=+-=3238342x x y x y ，解之得?????==92031y x 或?

??=-=41y x （舍去）． ∴P （31，9

20）． ②若点P 在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ ∽△ACH ，得∠PCQ ＝∠ACH ．

过A 作CA 的垂线交PC 于点F ，作FN ⊥x 轴于点N ．

由△CFA ∽△CAH 得2==AH

CH AF CA

， 由△FNA ∽△AHC 得2

1===CA AF HC NA AH FN ．

第10页 ∴AN ＝2，FN ＝1，点F 坐标为（—5，1）． 设直线CF 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2，则

???=+-=+-1542222b k b k ，

解之得k 2＝43，b 2＝4

19． ∴直线CF 的解析式y ＝43x ＋419． 联立?????+--=+=32419432x x y x y ，解之得?????=-=165547y x 或?

??=-=41y x （舍去）． ∴P （－47，16

55）． ∴满足条件的点P 坐标为（31，920）或（－47，16

55）． 点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部

（如

（如

分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．33.如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b

与抛物线y=14x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＞0）

．

（1）求b的值．

（2）求x1?x2的值．

（3）分别过M，N作直线l：y=-1的垂线，垂足分别是 M1和N1．判断△M1FN1的形

状，并证明你的结论．

（4）对于过点F的任意直线MN，是否存

在一条定直线 m，使m与以MN为直径的

圆相切．如果有，请求出这条直线m的解

析式；如果没有，请说明理由．

考点：二次函数综合题．

专题：代数几何综合题．

第11页

分析：（1）把点F的坐标代入直线可以确定b的值．

（2）联立直线与抛物线，代入（1）中求出的b值，利用根与系数的关系可以求出x1?x2的值．

（3）确定M1，N1的坐标，利用两点间的距离公式，分别求出M1F2，N1F2，M1N12，然后用勾股定理判断三角形的形状．

（4）根据题意可知y=-1总与该圆相切．．解答：解：（1）∵直线y=kx+b过点F（0，1），∴b=1；（3分）

（2）∵直线y=kx+b与抛物线y=14x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点，

∴可以得出：kx+b= 14x2，

整理得：14x2-kx-1=0，

x1?x2= ca=-4；（6分）

（3）△M1FN1是直角三角形（F点是直角顶点）．

理由如下：设直线l与y轴的交点是F1

第12页

FM12=FF12+M1F12=x12+4

FN12=FF12+F1N12=x22+4

M1N12=（x1-x2）2=x12+x22-2x1x2=x12+x22+8 ∴FM12+FN12=M1N12

∴△M1FN1是以F点为直角顶点的直角三角形．（10分）

（4）符合条件的定直线m即为直线l：y=-1．过M作MH⊥NN1于H，MN2=MH2+NH2=（x1-x2）2+（y1-y2）2

=（x1-x2）2+[（kx1+1）-（kx2+1）]2

=（x1-x2）2+k2（x1-x2）2

=（k2+1）（x1-x2）2

=（k2+1）（4 ）2

=16（k2+1）2

∴MN=4（k2+1）

分别取MN和M1N1的中点P，P1，

PP1=（MM1+NN1）=（y1+1+y2+1）=（y1+y2）+1=k（x1+x1）+2=2k2+2=2（k2+1）

∴PP1=MN

即线段MN的中点到直线l的距离等于MN

第13页

第14页 长度的一半．

∴以MN 为直径的圆与l 相切．（15分）

点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）由点F 的坐标求出b 的值．

（2）结合直线与抛物线的解析式，利用根与系数的关系求出代数式的值．

（3）用两点间的距离公式，判断三角形的形状．

（4）根据点与圆的位置判断直线与圆的位置．

34. （2011湖北咸宁，24，12分）如图，在平

面直角坐标系中，直线43

4+=x y 分别交x 轴，y 轴于A ，B 两点，点C 为OB 的中点，点

D 在第二象限，且四边形AOCD 为矩形．

（1）直接写出点A ，B 的坐标，并求直线AB 与CD 交点的坐标；

（2）动点P 从点C 出发，沿线段CD 以每秒

1个单位长度的速度向终点D 运动；同时，动点M 从点A 出发，沿线段AB 以每秒个

单位长度的速度向终点B 运动，过点P 作

PH ⊥OA ，垂足为H ，连接MP ，MH ．设点

P的运动时间为t秒．

①若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，求t的值；

②点Q是点B关于点A 的对称点，问

BP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出

相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．

考点：一次函数综合题。

专题：数形结合。

分析：（1）让y=0求得x的值可得A的坐标，（0，b）为B的坐标，让y=可得交点的纵坐标，代入直线解析式可得交点的横坐标；（2）由△AMN∽△ABO，得出△MPH的面积，再利用由△HPE∽△HFM，表示出△PEH的面积，即可得出答案．

（3）当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ

第15页

第16页 的值最小，利用平行四边形的性质得出即可． 解答：解：（1）)0,3(-A ，)4,0(B ．

当2=y 时，2434=+x ，2

3-=x ． 所以直线AB 与CD 交点的坐标为)2,2

3(-． （2）当0＜t ＜2

3时，△MPH 与矩形AOCD

MPH 的面积． 过点M 作

MN ． 由△AMN ∽△AB

AO

∴

5353t AN =．∴t AN =．

∴△MPH 的面

积为t t t 23)3(22

1-=--?． 当123=-t 时，1=t ．

当2

3＜t ≤3时，设MH 与CD 相交于点E ，△MPH 与矩形AOCD 重合部分的面积即

△PEH 的面过点M 作HP 交HP 的延长线于点F ．

)

(cos HO AO BAO AM AH AG FM --∠?=-= （第24题）

第17页 32)3(5335-=--?=t t t ．

t t BAO AM GM HF 3

45435sin =?=∠?==．

由△HPE ∽△

HFM ，得HF

HP FM PE =． ∴

t t PE 34232=-．∴t t PE 29

6-=．

∴△PEH 的面积为t

t t t 296296221-=-??． 当1296=-t t 时，4

9=t ． 综上所述，若△MPH 与矩形AOCD 重合部分的面积为1，t 为1或4

9． （3）HQ PH BP ++有最小值．

连接PB ，CH ，则四边形PHCB 是平行四边形．

∴CH BP =． ∴2++=++HQ CH HQ PH BP ．

当点C ，H ，Q 在同一直线上时，HQ CH +的值最小．

∵点C ，Q 的坐标分别为)2,0(，)4,6(--，

∴直线CQ 的解析式为2+=x y ，

∴点H 的坐标为)0,2(-． 因此点P 的坐标为)2,2(-．

点评：此题主要考查了相似三角形的应用以及平

行四边形的性质，利用数形结合进行分类讨论是解决问题的关键，分析时注意不要漏解．

35.（2011?广东汕头）如图，抛物线y=﹣x2+x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）

（1）求直线AB的函数关系式；

（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P 移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．

第18页

考点：二次函数综合题。

分析：（1）由题意易求得A与B的坐标，然后有待定系数法，即可求得直线AB的函数关系式；

（2）由s=MN=NP ﹣MP，即可得s=﹣t2+t+1﹣（t+1），化简即可求得答案；

（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC ，即可得方程：﹣t2+t=，解方程即可求得t的值，再分别分析t取何值时四边形BCMN为菱形即可．

解答：解：（1）∵当x=0时，y=1，

第19页

∴A（0，1），

当x=3时，y=﹣×32+×3+1=2.5，

∴B（3，2.5），

设直线AB的解析式为y=kx+b，

则：，

解得：，

∴直线AB的解析式为y=x+1；

（2）根据题意得：s=MN=NP ﹣MP=﹣t2+t+1﹣（t+1）=﹣t2+t（0≤t≤3）；

（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有﹣t2+t=，

解得t1=1，t2=2，

∴当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形．①当t=1时，MP=，NP=4，故MN=NP﹣MP=，

第20页

又在Rt△MPC中，MC=，故

MN=MC，此时四边形BCMN为菱形，

②当t=2时，MP=2，NP=，故MN=NP ﹣MP=，又在Rt△MPC中，MC=，故

MN≠MC，此时四边形BCMN不是菱形．

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，线段的长与函数关系式之间的关系，平行四边形以及菱形的性质与判定等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是数形结合思想的应用．

36.（2011?贵港）如图，已知直线y=﹣x+2与抛物线y=a （x+2）2相交于A、B两点，点A 在y轴上，M为抛物线的顶点．

（1）请直接写出点A的坐标及该抛物线的解析式；

（2）若P为线段AB上一个动点（A、B两端点除外），连接PM，设线段PM的长为l，点P 的横坐标为x，请求出l2与x之间的函数关系，

第21页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/n6tl.html