2011全国中考数学真题解析120考点汇编 开放性试题

(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编☆开放

性试题

一、选择题

1. （2011湖北荆州，15，3分）请将含60°顶角的菱形分割成至少含一个等腰梯形且面积相等的六部分，用实线画出分割后的图形． 答案不唯一

．

考点：作图—应用与设计作图．

专题：作图题．

分析：整个图形含有36个小菱形，分为面积相等的六部分，则每一个部分含6个小菱形，由此设计分割方案．

解答：解：分割后的图形如图所示．

本题答案不唯一．

点评：本题考查了应用与设计作图．关键是理解题意，根据已知图形设计分割方案．

二、填空题

1. （2011江苏淮安，17，3分）在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可) 考点：矩形的判定。 专题：开放型。

分析：已知两组对边相等，如果其对角线相等可得到△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，进而得到，

∠A=∠B=∠C=∠D=90°，使四边形ABCD是矩形． 解答：解：若四边形ABCD的对角线相等，

则由AB=DC，AD=BC可得．

△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，

所以四边形ABCD的四个内角相等分别等于90°即直角， 所以四边形ABCD是矩形，

故答案为：对角线相等．

点评：此题属开放型题，考查的是矩形的判定，根据矩形的判定，关键是是要得到四个内角相等即直角．

2. （2011?泰州，17，3分）“一根弹簧原长10cm，在弹性限度内最多可挂质量为5kg的物体，挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，

，则弹簧的总长

度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式为y=10+0.5x（0≤x≤5）．”

用心 爱心 专心 1

王刚同学在阅读上面材料时发现部分内容被墨迹污染，被污染的部分是确定函数关系式的一个条件，你认为该条件可以是： 每增加1千克重物弹簧伸长0.5cm （只需写出1个）． 考点：根据实际问题列一次函数关系式。 专题：开放型。

分析：解题时可以将污染部分看做问题的结论，把问题的结论看作问题的条件，根据条件推

得结论即可．

解答：解：根据弹簧的总长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式为y=10+0.5x

（0≤x≤5）可以得到：

当x=1时，弹簧总长为10.5cm， 当x=2时，弹簧总长为11cm，?

∴每增加1千克重物弹簧伸长0.5cm，

故答案为：每增加1千克重物弹簧伸长0.5cm．

点评：本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，同时训练了学生的开放性思维，也考查了同学们逆向思考的能力．

3. （2011?南通）比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点和不同点．例如：它们

的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等．它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形． 请你再写出它们的两个相同点和不同点： 相同点：（1） ▲ （2） ▲

不同点：（1） ▲ （2） ▲

考点：正多边形和圆。

专题：计算题。 分析：此题要了解正多边形的有关性质：正多边形的各边相等，正多边形的各个角相等，所有的正多边形都是轴对称图形，偶数边的正多边形又是中心对称图形．根据正多边形的性质进行分析它们的相同和不同之处．

解答：解：相同点 不同点

①都有相等的边． ①边数不同；

②都有相等的内角． ②内角的度数不同； ③都有外接圆和内切圆． ③内角和不同；

④都是轴对称图形． ④对角线条数不同；

⑤对称轴都交于一点． ⑤对称轴条数不同．

点评：本题考查了正多边形和圆的知识，一个是奇数边的正多边形，一个是偶数边的正多边形．此题的答案不唯一，只要抓住正多边形的性质进行回答均可

4. （2011山东日照，14，4分）如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是 如：x2﹣5x+1=0 ．

用心 爱心 专心 2

考点：根与系数的关系；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。 专题：开放型；数形结合。

分析：连接AD，BD，OD，由AB为直径与四边形DCFE是正方形，即可证得△ACD∽△DCB，则可求得AC?BC=DC2=1，又由勾股定理求得AB的值，即可得AC+BC=AB，根据根与系数的关系即可求得答案．注意此题答案不唯一． 解答：解：连接AD，BD，OD，

∵AB为直径， ∴∠ADB=90°，

∵四边形DCFE是正方形， ∴DC⊥AB，

∴∠ACD=∠DCB=90°，

∴∠ADC+∠CDB=∠A+∠ADC=90°， ∴∠A=∠CDB， ∴△ACD∽△DCB， ∴

ACDC?DCBC，

又∵正方形CDEF的边长为1， ∵AC?BC=DC2=1， ∵AC+BC=AB，

在Rt△OCD中，OC2+CD2=OD2， ∴OD=

52，

∴AC+BC=AB=5，

2

以AC和BC的长为两根的一元二次方程是x﹣5x+1=0．

故答案为：此题答案不唯一，如：x2﹣5x+1=0．

点评：此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用．

5. （2011山西，14，3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件：___________ ．． _______________________，可使它成为矩形．

用心 爱心 专心 3

Ao D

B C （第14题）

考点：矩形的判定 专题：四边形

分析：由有一个角是直角的平行四边形是矩形．想到添加∠ABC＝90°； 由对角线相等的平行四边形是矩形．想到添加AC＝BD． 解答：∠ABC＝90°（或AC＝BD等）

点评：本题是一道开放题，只要掌握矩形的判定方法：“有一个角是直角的平行四边形是矩形”或“对角线相等的平行四边形是矩形”，就不难得到正确答案（共有五个即四个内角中任意一个角为直角、对角线相等）．

6.（2011天津，13，3分）已知一次函数的图象经过点（0，1），且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为 y=x+1（答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k＞0的一次函数） ．

考点：一次函数的性质。

专题：开放型。

分析：先设出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象经过点（0，1）可确定出b的值，再根据y随x的增大而增大确定出k的符号即可． 解答：解：设一次函数的解析式为：y=kx+b（k≠0）， ∵一次函数的图象经过点（0，1）， ∴b=1，

∵y随x的增大而增大， ∴k＞0，

故答案为y=x+1（答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k＞0的一次函数）．

点评：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，k＞0，y随x的增大而增大，与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上．

7. （2011?青海）如图，四边形ABCD是平行四边形，E是CD延长线上的任意一点，连接BE交AD于点O，如果△ABO≌△DEO，则需要添加的条件是 开放型题，答案不唯一（参考答案：O是AD的中点或OA=OD；AB=DE；D是CE的中点；O是BE的中点或OB=OE；或OD是△EBC的中位线） （只需一个即可，图中不能添加任何点或线）

考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质。

专题：开放型。

分析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DE，所以∠ADE=∠BAD，又对顶角∠AOB=∠DOE，若使△ABO≌△DEO则少一对边相等，所以可添加的条件为O是AD的中点或OA=OD；AB=DE；D是CE的中点；O是BE的中点或OB=OE；或OD是△EBC的中位线） 解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADE=∠BAD， ∵O是AD的中点，

用心 爱心 专心

4

∴OA=OD，

又∵∠AOB=∠DOE，

∴△ABO≌△DEO（ASA）．

故答案为：O是AD的中点或OA=OD．

点评：本题考查了全等三角形的判定，常见的判断方法有5中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．

8. （2011?贺州）写出一个正比例函数，使其图象经过第二、四象限： y=﹣x（答案不唯一） ．

考点：正比例函数的性质。 专题：开放型。

分析：先设出此正比例函数的解析式，再根据正比例函数的图象经过二、四象限确定出k的符号，再写出符合条件的正比例函数即可．

解答：解：设此正比例函数的解析式为y=kx（k≠0）， ∵此正比例函数的图象经过二、四象限，

∴k＜0，

∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=﹣x（答案不唯一）． 故答案为：y=﹣x（答案不唯一）．

点评：本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数y=kx（k≠0）中，当k＜0时函数的图象经过二、四象限．

9.（2011?安顺）已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为 （2，4）或（3，4）或（8，4） ．

考点：矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质。 专题：数形结合。

分析：分PD=OD（P在右边），PD=OD（P在左边），OP=OD三种情况，根据题意画出图形，作PQ垂直于x轴，找出直角三角形，根据勾股定理求出OQ，然后根据图形写出P的坐标即可．

解答：解：当OD=PD（P在右边）时，根据题意画出图形，如图所示：

用心 爱心 专心 5

=

x?1x?122?(x?1)，

2=x2?1

取x=0代入上式得， =0+1，

=2． 点评：本题主要考查了分式的化简求值，在解题时要注意分式的运算顺序和法则是解题的关键．

3. （2011?青海）请你先化简分式

，再取恰当x的值代入求值．

2

考点：分式的化简求值；分式的基本性质；约分；通分；最简分式；最简公分母；分式的乘除法；分式的加减法。 专题：计算题；开放型。

分析：把分式的分子与分母分解因式后进行约分，再根据分式的加法法则进行加法运算，最后化成最简分式即可． 解答：解：

=

=

=

=

=，

∵x2﹣1≠0，x+3≠0，x﹣1≠0，x+1≠0， ∴取x=2， 代入得：原式=

=．

点评：本题主要考查对分式的基本性质，约分、通分，最简分式，最简公分母，分式的加减、乘除运算，分式的化简求值等知识点的理解和掌握，能熟练的进行有关分式的运算是解此题的关键．

用心 爱心 专心 11

4. （2011?青海）学校在艺术周上，要求学生制作一个精美的轴对称图形，请你用所给出的几何图形：○○△△﹣﹣（两个圆，两个等边三角形，两条线段）为构件，构思一个独特，有意义的轴对称图形，并写上一句简要的解说词． 考点：利用轴对称设计图案。 专题：开放型。

分析：解答本例需要利用给定的6个元素，充分展开想象的翅膀，组合成各种有意义的图形．此外，还要有一定的生活经验和一定的文学修养． 解答：解：所设计图形如下所示（答案不唯一，可供参考）：

；．

点评：本题考查了轴对称设计图案的知识，属于开放型，解答时注意三点：①所做的图是轴对称图形，②六个元素必须要用到，而且每个元素只用一次，③解说词要和所做的图形匹配，同学们要充分发挥想象力及语言表达能力．

5.（2011广西百色，23，分）已知矩形ABCD的对角线相交于点O，M、N分别是OD、OC上异于O、C、D的点．

（1）请你在下列条件①DM=CN，②OM=ON，③MN是△OCD的中位线，④MN∥AB中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM为等腰梯形，你添加的条件是 ．

（2）添加条件后，请证明四边形ABNM是等腰梯形．

考点：等腰梯形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；平行线分线段成比例． 分析：（1）从4个条件中任选一个即可，可以添加的条件为①．

（2）先根据SAS证明△AND≌△BCN，所以可得AM=BN，有矩形的对角线相等且平分，可得

OMONOD=OC即OM=ON，从而知，根据平行线分线段成比例，所以MN∥CD∥AB，且MN≠AB，?ODOC即四边形ABNM是等腰梯形． 解答：解：（1）选择①DM=CN；

（2）证明：∵AD=BC，∠ADM=∠BCN，DM=CN ∴△AND≌△BCN，

∴AM=BN，由OD=OC知OM=ON， OMON∴ ?ODOC∴MN∥CD∥AB，且MN≠AB ∴四边形ABNM是等腰梯形．

用心 爱心 专心 12

点评：本题主要考查了等腰梯形的判定，难度中等，注意灵活运用全等三角形的判定与性质．矩形的性质和平行线分线段成比例的关系．

6.（2011?湖南张家界，19，8）先化简，再把x取一个你最喜欢的数代入求值：(x?4x?4x?422?2?xx?2)?xx?2．

考点：分式的化简求值。

专题：开放型。

分析：将括号里通分，除法化为乘法，约分化简，再代值计算，代值时，x的取值不能使原式的分母、除式为0． 解答：解：原式= [(x?2)(x?2)(x?2)?22?2?xx?2]?x?2x

=(x?2x?2x?2x?2)?x?2x2

=

(x?2)?(x?2)(x?2)(x?2)?x?2x

=

8x(x?2)(x?2)?(x?2)x

x?2当x=6时，原式=1．

=

8

点评：本题考查了分式的化简求值．解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算． 7. （2011四川雅安，19,6分）先化简下列式子，再从2，﹣2，1，0，﹣1中选择一个合适?x24?x?2?的数进行计算．?． ??x?22?x2x??考点：分式的化简求值。

专题：开放型。

分析：本题涉及分式的化简求值，先将括号里的分式加减，然后乘除，将x=1，﹣1，﹣2任意一个代入化简后的分式，计算即可．

?x24?2x2x??解答：解：原式=?=（x+2）×=2x； ?x?22?xx?2x?2??观察分式可知x≠2且x≠0，

将x=1代入原式=2×1=2．，

点评：本题主要考查了分式的化简求值，先乘除约去公分母，再加减，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算，属于基础题．

8. （2011福建省漳州市，19,8分）如图，∠B=∠D，请在不增加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE，并证明． （1）添加的条件是 ； （2）证明：

用心 爱心 专心 13

考点：全等三角形的判定。

专题：开放型。

分析：三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，由此可添加的条件有：①AB=AD，②BC=DE，③AC=AE． 解答：解：（1）添加的条件是：AB=AD，答案不唯一； （2）证明：在△ABC和△ADE中， ∠B=∠D， AB=AD，

∠A=∠A，

∴△ABC≌△ADE．

点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，难度适中． 9.（2011天水，19，9）Ⅰ．先化简(x2x?1?x?1)?xx?12，再从﹣2、﹣1、0、1、2中

选一个你认为适合的数作为x的值代入求值．

Ⅱ．已知l1：直线y=﹣x+3和l2：直线y=2x，l1与x轴交点为A．求： （1）l1与l2的交点坐标．

（2）经过点A且平行于l2的直线的解析式．

考点：两条直线相交或平行问题；分式的化简求值。 专题：开放型。

分析：Ⅰ．先通分，然后约分化简，再取值代入即可；

Ⅱ．（1）联立直线y= –x+3和直线y=2x，然后解方程组即可；

（2）可设经过点A且且平行于l2的直线的解析式为y=2x+b，用待定系数法即可得出答案． x?(x?1)(x?1)x?1?解答：解：Ⅰ．原式=

x?1x22用心 爱心 专心 14

=

(x?1)(x?1)x?1=， ?x?1xx121当x=2时，原式=．

Ⅱ．（1）设l1与l2的交点为M，则

?y??x?3?x?1由?解得?，

y?2xy?2??∴M （1，2）；

（2）设经过点A且且平行于l2的直线的解析式为y=2x+b． ∵l1与x轴交点为A （3，0）， ∴6+b=0，

∴b=﹣6．

则：所求直线的解析式为y=2x﹣6．

点评：本题考查了两条直线相交或平行问题，属于基础题，关键是注意细心运算． 10. （2011?恩施州17，）先化简分式：（a﹣

3a?4a?3)?a?2a?3?a?3a?2，再从﹣3、5﹣3、

2、﹣2中选一个你喜欢的数作为a的值代入求值． 考点：分式的化简求值。 专题：开放型。

分析：将括号里通分，除法化为乘法，约分，代值时，a的取值不能使原式的分母、除式为0．

解答：解：原式=（a﹣=a+3，

当a=5﹣3时，原式=5﹣3+3=5．

点评：本题考查了分式的化简求值．关键是根据分式混合运算的顺序解题，代值时，字母的取值不能使分母、除式为0．

11. （2011?宜昌，16，7分）先将代数式（x+x）×取一个适当的数作为x的值代入求值． 考点：分式的化简求值。

专题：开放型。

分析：根据本题须先对要求的式子进行化简，再选取一个数代入即可求出结果． 解答：解：原式=x×（x+1）×

1x+12a?3a?3a?4a?32?a?2a?3?a?3a?2??

1x+1化简，再从﹣1，1两数中选

=x ，

当x=﹣1时，分母为0，分式无意义，故不满足， 当x=1时，成立，代数式的值为1． 故答案为：1．

点评：本题主要考查了分式的化简求值，解题时要注意先对括号里边进行化简，再约分，注

意分母不能为0，难度适中．

用心 爱心 专心 15

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