复变函数疑难问题分析

复变函数疑难问题分析

1. 设f(z)?z2sin1，D??z|z?1?1?。 z1）函数f(z)在区域D中是否有无限个零点？2） 若上小题的答案是肯定的，是否与解析函数零点的孤立性相矛盾？为什么？

答： 有无限个零点。可以具体写出其所以零点； 不矛盾。因为这无限多个零点均为孤立零点；不可以展开为洛朗级数。因为z?0为非孤立的奇点。 2. “函数sinz在z平面上是有界的”是否正确？

sinz在z平面上无界。

eiz?e?izeiz?e?iz|??(y???) 这是因为sinz?，令z?iy(y?0)，则|sinz|?|2i2i3. “函数ez为周期函数” 是否正确？

ez是以2k?i为周期的函数。因为?z?C，ez?2k?i?eze2k?i?ez?1?ez，k为整数

4. “f(z)?z是解析函数” 是否正确？

f(z)?z在z平面上不解析。因为f(z)?z?x?iy，所以u(x,y)?x，v(x,y)??y

所以

?v?u?u?v?0，?0 ?1，??1，

?y?y?x?x?u?v?1??1?，所以u(x,y)，v(x,y)在z平面上处处不满足C.?R.条件 ?x?y但是

所以f(z)?z在z平面上不解析。 5.根据教材中建立起球面上的点（不包括北极点N）复平面上的点间的一一对应，试求解下列问题。

1

（1）复球面上与点(22,,1)对应的复数； 22（2）复数1+i与复球面上的那个点； （3）简要说明如何定义扩充复平面。

解：（1）建立空间直角坐标系（以O点为原点，SON为z轴正半轴），则过点P(22xyz?2,,1)与点N(0,0,2的。当z?0时，)直线方程为2?2?22?12222,,1)与复数2?2i对应。 22x?y?2，所以( （2）复数1?i的空间坐标为(1,1,0)。则直线方程

xyz?2与球面??11?2222x2?y2?(z?1)2?1相交，其交点为(,,)，N(0,0,2)

333（3）z平面上以个模为无穷大的假想点一北极N相对应，复平面上加上?后称为扩充复平面。

6．说明复变函数可微性与解析性的关系。

复变函数w?f(z)在点z0处可导，又称为可微，而f(z)在z0处的某个邻域内任一点处均可导（可微），则称f(z)在z0处是解析的。

所以（1）w?f(z)在点z0处可导(可微)，但不一定在z0处是解析的， （2）f(z)在z0处解析是指在z0处的某个邻域内任一点处均可导， （3）f(z)在区域D内可微与在区域D内解析是等价的。

17．f?z??sin在区域D：0?z?1上解析且有无穷多个零点，但在区域D上

zf?z?不恒等于零，这与解析函数零点孤立性定理相矛盾吗？为什么？ 11f(z)?sin在区域D，0?z?1内有无穷多个零点zk?，但limzk?0，

k??zk?但0?D，而区域D是去心邻域，f(z)在z?0点无意义，所以f(z)在z?0处是

2

1不解析的，也即f(z)?sin在D内解析也有无穷多个零点，但也不恒等于0，与

z零点孤立性定理不矛盾。

8.复级数?an与?bn都发散,则级数?(an?bn)和?anbn发散.这个命题是否成

n?1n?1n?1n?1????立?为什么?

?11?11答.不一定．反例: ?an???i2,?bn????i2发散

nn?1nnn?1n?1nn?1??22但?(an?bn)??i?2收敛；?(an?bn)??发散；

nn?1n?1n?1n?1n?????anbn??[?(n?1n?1??11?)]收敛. 24nn9.下列说法是否正确?为什么?

(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.

(2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.

答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散.

(2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.

10. 为什么区域|z|?R内解析且在区间(?R,R)取实数值的函数f(z)展开成z的

幂级数时，展开式的系数都是实数？

因为当z取实数值时，f(z)与f(x)的泰勒级数展开式是完全一致的，

而在|x|?R内，f(x)的展开式的系数都是实数。所以，在区域|z|?R内，f(z)展开成z的幂级数时，它的系数都是实数。

zz1123?z?z?z?...?1??2?... 11.由 1?zz?1zz

zz11123??0...????1?1?z?z?z?...?0 32因为1?zz?1,所以有结果zzz 3

请解释错误的原因。

z23?z?z?z?...要求z?1 答:因为1?zz11?1???...要求z?1 而1?zzz2zz11123??...????1?1?z?z?z?...?0 62所以,在不同区域内1?zz?1zzz12.z?0是函数f(z)?1的孤立奇点吗？为什么？

cos(1/z)1f(z)?z?0 解: 因为的奇点有1cos(z)1π1?kπ??z?(k?0,?1,?2,...)

πz2kπ?2所以在z?0的任意去心邻域，总包括奇点z?1cos(1z)的孤立奇点.

1在z?1处有一个二级极点，但根据下面罗朗展开式： 2z(z?1)?111??, z?1?1.

(z?1)5(z?1)4(z?1)3k??时，z=0。 π，当kπ?21从而z?0不是

13. 函数f(z)?

1?z(z?1)2我们得到“z?1又是f(z)的本性奇点”，这两个结果哪一个是正确的？为什么? 解: 不对, z=1是f(z)的二级极点,不是本性奇点.所给罗朗展开式不是在

0?z?1?1内得到的

在0?z?1?1内的罗朗展开式为

1111112??????1?(z?1)?(z?1)?... 222z(z?1)zz?1(z?1)(z?1)z?114. 如何证明当y??时，|sin(x?iy)|和|cos(x?iy)|都趋于无穷大？

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证明：sinz?

12?e?y21?iz?iz?1??y?xie?e??e?ey?xi? 2i2i∴sinz??e?y?xi?ey?xi

e?y?xiey?xi?ey211而sinz≥?e?y?xi?ey?xi???e?y?ey?

当y???时，e?y?0，ey???有|sin(x?iy)|??． 当y???时，e?y???，ey?0有|sin(x?iy)|??．

同理得cos?x?iy??e?y?xi?ey?xi12≥1??ye?ey? 2所以当y??时有|cos(x?iy)|??．

15. 设函数f(z)在0?|z|?1内解析，且沿任何圆周C：|z|?r，0?r?1的积分为零，问f(z)是否需在z?0处解析？试举例说明之。 解： 不一定。如令f(z)?1，则其在0?|z|?1内解析，且沿任何圆周C：|z|?r，z20?r?1的积分

?Cf(z)dz??|z|?r1dz?0 2z但显然f(z)?1在z?0处不解析。 2z16.设f(z)在 单连通区域D内解析，且不为零，C为D内任何一条简单光滑闭曲线，问积分?f?(z)dz是否为零？为什么？ f(z)C解： 等于零。因f(z)在D内解析，故f(z)具有各阶导数且仍为解析函数，从而

f?(z)在D内也解析，又因在D内f(z)?0，故

f?(z)在D内解析，从而在C上f(z)及C的内部也解析，于是由Cauchy-Gourssat定理，有

?Cf?(z)dz?0 f(z) 5

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