【恒心】2015届山东省济宁市育才中学高三上学期期中考试数学(理科)试题及参考答案(含解析)【纯word版】

2015届山东省济宁市育才中学高三上学期期中考试数学(理科)试题及参考答案(含解析)【纯word版】

济宁市育才中学2014－2015学年度高三第一学期期中考试

数学试卷（理科）2014.11

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题.每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要

求的选项．） 1.设集合A {x 1 x 1}，B {xlog2x 0}，则A

B （ ）

A．x 1 x 1 B. x0 x 1 C. x 1 x 1 D. xx 1 【答案】C 【解析】

B {xlog2x 0} xx 1 ， A B x 1 x 1 xx 1 x 1 x 1 .

3 4i

（ ） z 1

2. 设复数z 1 i，则

A. 2 i B. 2 i C. 1 2i D. 1 2i 【答案】B 【解析】

3 4i3 4i 3 4i 2 i 2 i. 22

2 i2 iz 1

3. 下列命题中的假命题是（ ）

A. x R,2x 1 0 B. x R,lgx 1 C. x R,tanx 2 D. x R,x 0

【答案】D 【解析】

2

对于A，函数y 2对于B，当x

x 1

的值域为R，故A选项成立；

1

时，y 1 1，故B选项成立； 10

对于C，函数y tanx的值域为R，故C选项成立；

对于D，当x 0时，x 0，故D选项不成立.

4. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）

A．y e B.y x C.y x D.y sinx 【答案】C 【解析】

x

12

3

2

y e，y x是非奇非偶函数，y sinx在R上不是增函数，故选C.

5. 设等比数列 an 中，前n项和为Sn,已知S3 8，S6 7，则a7 a8 a9 ( )

115755 A. B. C. D.

8888

【答案】A

【解析】

法一：设等比数列 an 得公比为q q 1 ，则

x

12

a11 q3

8,

1 q

6

a11 q 7, 1 q

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1 q , 2 a 32,1 3

1 a7 a8 a9 a1q6 1 q q2 .

8

法二：由题设知S3，S6 S3,S9 S6成等比数列， a7 a8 a9 S9 S6

S6 S3 2

S3

2

7 8

8

1

. 8

6. 若不等式x2 2x 3 a 0成立的一个充分条件是0 x 4，则实数a的取值范围应为( ) A. a 11 B. a 11 【答案】A 【解析】

令f x x2 2x 3 a，则

C. a 9

D. a 9

f 0 3 a 0,

a 11.

f 4 11 a 0,

7. 将函数y sin2x的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的

4

解析式为( ) A.y sin(2x 【答案】C 【解析】

4

) 1 B.y 2cos2x C.y 2sin2x D.y cos2x

个单位，得y sin2 x sin 2x cos2x，再向上平移

4 2 4

2

1个单位，得y cos2x 1 2sinx.

8. 设函数f(x) xsinx cosx的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为k，则函数k g t 的部分图象为

将函数y sin2x的图象向右平移

【答案】B 【解析】

f(x) xsinx cosx，

f x sinx xcosx sinx xcosx， 由题设得k g t tcost，

根据y=cosx的图象可知g t 应该为奇函数且当x＞0时，g t 0，故选B．

x y 2，

9. 已知变量x,y满足约束条件 若目标函数 x y 2，

0 y 3，

z y ax仅在点 5,3 处取得最小值, 则实数a的取值范围

3 7

为 ( )

A. 1, B. , C. 0, D.

, 1 【答案】D

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【解析】

x y 2，

画出变量x,y满足约束条件 表示的可行域如图所示，要使直线y ax z过点 5,3 时，z最小， x y 2，

0 y 3，

必须 a 1, a 1.

10. 已知函数f x 对定义域R内的任意x都有f x f 4 x ，且当x 2时其导函数f x 满足

xf x 2f x ,若2 a 4，则

A．f(2a) f(3) f(log2a) C．f(log2a) f(3) f(2a)

B．f(3) f(log2a) f(2a) D．f(log2a) f(2a) f(3)

【答案】C 【解析】

函数f x 对定义域R内的任意x都有f x f 4 x ， 即函数图象的对称轴是x=2， ∵（x-2）f x ＞0，

∴x＞2时，f x ＞0，x＜2时，f x ＜0，

即 f（x）在（-∞，2）上递减，在（2，+∞）上递增， ∵2＜a＜4， ∴1＜log2a＜2＜3＜4＜2a， ∴f(log2a)＜f(3)＜f(2a)．

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分.不要求写出解题步骤，只要求将题目

的答案写在答题卷的相应位置上.)

11. 由曲线y 3 x和直线y 2x所围成的封闭图形的面积为 【答案】

2

32

3

【解析】

y 3 x2,由 得x 3,或x 1, y 2x,

由曲线y 3 x2和直线y 2x所围成的封闭图形的面积为

132

S 3 x 2x 3x x3 x2 .

33 33

1

,x 0 1 x

12. 若函数f(x) 则不等式|f(x)| 的解集为____________.

3 (1)x,x 0

3

【答案】 3,1

1

2

1

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【解析】 当x 0时，

11

， x 3, 0 x 3； x3

x

1 1

当x 0时， ， x 1；

3 3

1

综上可知，不等式|f(x)| 的解集为 3,1 .

3

13. 若等边 ABC的边长为1，平面内一点M满足CM 【答案】 CM CB CA，

32

11 1 1

,

23 3 211 1 2

,

22 3 3

11 1 2

MA MB ,

32 2 3 22112

CA CB CA CB, 449112 449

2 .

9

1

14. 已知an ()n，把数列 an 的各项排列成如下的三角形状，记A（m,n)表示第m行的第n个数，则

3

= . A（10,12）193

【答案】 （）

3

11

CB CA，则MA MB 32

2

9

【解析】

由三角形状图可知，图中的第一行、第二行、第三行、…分别占了数列{an}的1项、3项、5项、…，每一

前9A

是数

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①存在x1，x2，当x1 x2 时，f x1 f x2 成立； ②f x 在区间

函数f x 的图象关于点 ,0 成中心对称； , 上是单调递增；③

63 12

5

个单位后将与y 2sin2x的图象重合； 12

④将函数f x 的图象向左平移

其中正确的命题序号为 . 【答案】①③

16.（本小题满分12分）

在△ABC中，4sin2

A B7

，且a b 5,c 7， cos2C

22

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求△ABC的面积. 【解析】 （Ⅰ）

A BC

cos 22

A B7C7

由4sin2 cos2C ，得4cos2 cos2C

2222

1 cosC7 4 2cos2C 1 整理得 4cos2C 4cosC 1 0

22

1

解得 cosC C 0, C ……………………….7分

23

222

（Ⅱ）由余弦定理得： c a b 2abcosC,

A B C 180

sin

即 7 a2 b2 ab a b 3ab 25 3ab 解得 ab 6

2

S ABC

11333

……………………………..12分 absinC 6

2222

17．（本小题满分12分）

某城市旅游资源丰富，经调查，在过去的一个月内(以30天计)，第t天的旅游人数f t (万人)近似地满足f t 4 ，而人均消费g t (元)近似地满足g t 125 t 25.

（Ⅰ）求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N＋)的函数关系式；

1

t

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（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值. 【解析】

(1)W t f t g t 4 125 t 25

1 t

1 100 4 100 t,1 t 25 401 4t ,1 t 25 t t

………………….5分

1501 599 4t,25 t 30 4 150 t ,25 t 30 t t

100

(2)①当t∈[1,25]时，W(t)=401＋4t＋≥401＋t

1004t＝441(当且仅当4t 时取等号)

tt

所以，当t 5时，W(t)取得最小值441. ………………….8分 ②当t∈(25,30]时，因为W(t)＝599

150

4t递减， t

所以t＝30时，W(t)有最小值W 30 484 441， ………………….11分 综上，t∈[1,30]时，旅游日收益W(t)的最小值为441万元. ………………….12分 18．（本小题满分12分）

设数列 an 为等差数列，且a3 5,a5 9；数列 bn 的前n项和为Sn，且Sn bn 2。

（I）求数列 an ， bn 的通项公式； （II）若cn 【解析】

an

n N ，Tn为数列 cn 的前n项和，求Tn. bn

1

a5 a3 1 9 5 2 22

an a3 n 3 d 5 2 n 3 2n 1 ………………………………….2分

（I）由已知，数列 an 的公差d 由Sn bn 2， 得 Sn 2 bn 当n 1时，S1 2 b1 b1,

b1 1

当n 2时，bn Sn Sn 1 2 bn 2 bn 1

bn

1

bn 1 ……………..4分 2

1

bn 是以1为首项，为公比的等比数列。

2

1 bn

2

n 1

………………………………………………….6分

（II）由（I）知，cn

an

2n 1 2n 1 ………………………………….7分 bn

3

n 1

Tn 1 20 3 21 5 22 ...... 2n 3 2n 2 2n 1 2n 12Tn 1 2 3 2 5 2 ...... 2n 3 2

1

2

2n 1 2

n

………………….9分

Tn 1 22 2 ...... 2 1 4 3 2n 2n

2n 1

21 2n 1

2n 1 2 1 2 2n 1 2n

….11分 1 2

n

Tn 3 2n 3 2n ………………….12分

19．（本小题满分12分）

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已知m (bsinx,acosx),n (cosx, cosx)，f(x) m n a，其中a,b,x R.且满

足

f() 2,f (0) 6(Ⅰ)求a,b的值；

(Ⅱ)若关于x的方程f(x) log1k 0在区间[0,

3

2

]上总有实数解，求实数k的取值范围. 3

【解析】 (Ⅰ)由题意知，

f(x) m n a bsinxcosx acos2x a (1 cos2x) sin2x

由f()

2得，a 8， ……………………………………3分

6

a2b2

∵f (x) asin2x

bcos2x，又f (0)

，∴b ，∴a 2 ……… 6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)

得f(x) 1 cos2x 2x 2sin(2x ) 1 ……………… 7分

6

7 2

x 0 2x ∵， 3 ，666

1 2sin(2x ) 2，f(x) 0，3 . ………… 9分 ∴

6

又∵f(x) log1

3

k 0有解，即f(x) log3k有解，

11

k 1，所以实数k的取值范围为[,1]. …12分 2727

∴ 3 log3k 0，解得20. (本小题满分13分)

各项均为正数的数列{an},其前n项和为Sn，满足（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）证明：7(an 1)2 3n 1(n N*)；

an 12an

，且S5 2 a6. 1（n N*）

anan 1

2

（Ⅲ）若n N*，令bn an，设数列{bn}的前n项和为Tn，试比较

Tn 1 124n 6

与的大小. 4Tn4n 1

【解析】 （Ⅰ）由

an 12an22

1得，an 1 2an anan 1 0,即(an 1 an)(an 1 2an) 0 anan 1

又an 0, 所以2an an 1 0, 即

an 1

2 an

所以数列{an}是公比为2的等比数列. …………………………2分

a1(1 25)

2 a125, 解得a1 2. 由S5 2 a6 得

1 2

故数列{an}的通项公式为an 2n(n N*)……………………………4分 （Ⅱ）由题意即证 7 4n 1 3n 1

①当n 1时，7 40 7 3 1 1 4,不等式显然成立；………………………5分

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②假设当n k时，不等式成立， 即7 4k 1 3k 1成立………6分

k

k 1

7 4 4 7 4 4(3k 1) 12k 4 3k 4 3(k 1) 1 当n k 1时，

21．（本小题满分14分）

已知函数f(x) ax2 (a 2)x lnx.

（Ⅰ）当a 1时，求曲线y f(x)在点（1,f(1))处的切线方程；

（Ⅱ）当a 0时，若f(x)在区间[1,e]上的最小值为 2，求a的取值范围；

（Ⅲ）若对任意x1,x2 (0, ),x1 x2时，f(x1) 2x1 f(x2) 2x2恒成立，求实数a的取值范围.

【解析】

（Ⅰ）当a 1时，f(x) x2 3x lnx,f(x) 2x 3

1

.………………2分 x

因为f'(1) 0,f(1) 2. 所以切线方程是y 2. ………………4分

（0， ）（Ⅱ）函数f(x) 2ax (a 2)x lnx的定义域是. ………………5分

12ax2 (a 2)x 1

当a 0时，f'(x) 2ax (a 2) (x 0)

xx

2ax2 (a 2)x 1(2x 1)(ax 1)

令f'(x) 0，即f'(x) 0，

xx

11

所以x 或x . ……………………7分

2a1

当0 1，即a 1时，f(x)在［1，e]上单调递增，

a

所以f(x)在［1，e]上的最小值是f(1) 2；

11

当1 e时，f(x)在［1，e]上的最小值是f() f(1) 2，不合题意；

aa1

当 e时，f(x)在（1，e）上单调递减， a

所以f(x)在［1，e]上的最小值是f(e) f(1) 2，不合题意………………9分

（Ⅲ）设g(x) f(x) 2x，则g(x) ax2 ax lnx，

（0， ）依题意， 只要g(x)在上单调递增即可。…………………………10分

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12ax2 ax 1

而g'(x) 2ax a

xx1

（0， ）当a 0时，g'(x) 0，此时g(x)在上单调递增；……………………11分

x

（0， ）当a 0时，只需g'(x) 0在上恒成立，

因为x (0, )，只要2ax ax 1 0，则需要a 0，………………………………12分 对于函数y 2ax2 ax 1，过定点（0，1），对称轴x

2

1

0，只需 a2 8a 0， 4

即0 a 8. 综上0 a 8. ……………………………14分

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