水力压裂二维模型综述

一、 PK模型

在PK模型垂直性裂缝如(图4.4）的扩展有如下假设：

（1） 裂缝有一个固定高度，与缝长无关。

（2） 与裂缝扩展方向垂直的横截面中的液体压力P为常数。

（3） 垂直平面存在有岩石的刚度，它抵抗在压力P作用下产生的形变。换句话

说，每一个垂直截面独立变形，不受邻近截面的妨碍。

（4） 由此，在这些横截面中，方程4.3将缝高hf，液体压力P和该点的裂缝宽

度联系起来。这些横截面为一个椭圆形，其中心最大宽度为，

w?x,t???1???hf?p??H?G （4.13）

（5） 用在一个狭窄的椭圆形流动通道中的流动阻力来确定裂缝扩展方向或x方

向的液体压力梯度，对于牛顿流情况

??p??H?64q? （4.14） ??3?x?whf （6） 在没有特殊理由时，缝内流体压力在趋向缝端视逐步下降，以至于在X=L

时P=?H.

最初始的理论忽略裂缝宽度增长对流量的影响，即，在没有液体滤失时有如

下假设

?q?0 ?x Nordgren修改了裂缝宽度增长对流量的影响，修改后的连续性方程如下：

?h?w?q??f （4.15） ?x4?t通过（4.15）从方程（4.13）消去?p??H?=?p一项，得到关于w?x,t?的非线性偏微分方程，

G?2w2?w ??0 （4.16）

64?1???hf??x2?t满足初始条件： 当t=0时，w?x,0?=0 边界条件：

x?L?t? w?x,t??0 对于单翼裂缝 q?0,t??q0 对于双翼裂缝 q?0,t??1q0 21/4裂缝形状为, w?x,t??w?0,t??1?x/L? 裂缝体积为，V??5Lhfw?0,t??q0t

二、GDK模型

对于一个垂直的矩形裂缝扩展模型，（图4.5）与PK理论有些相似

图4.5 根据Geertsma和de Klerk结果所作层流时裂缝线性扩展示意图

此模型有如下假设： （1）假设缝高依然是固定的。

（2）仅在水平面考虑岩石刚度。由于这个原因，裂缝宽度，裂缝宽度与缝高无关，除了井眼边界条件规定一个不变的总注入量q。当然，每单位缝高的流量比q/hf影响裂缝宽度，但在垂直方向上宽度不变，由于该理论是建立在平面应变条件的基础上，由此条件得到在各个水平面里力学上令人满意的模型。然而在实际中应用于整个生产层时，此模型得到相对来说较宽的裂缝，在许多现场例子中，这似乎比PK理论预测的较窄的裂缝更接近实际情况，关于此现象的道理还不能充分解释。 （3）通过计算垂直方向上各个宽度不同的细窄矩形裂缝内流动阻力来确定扩展方向的液体压力梯度。

12?q0p?0,t??p?x,t??pf?p?hf根据应用力学条件给出平衡条件

?x0dx （4.17）

w3?x,t??Lp?x,t?dxL2?x20??2?H?K （4.18） 2L方程（4.17）适用于一侧缝长，q0取为总排量，这与在初始的PK理论中所作的假设

?q?0很相像。Biot等人已引入x的修正项。 ?x根据Zheltov和Khristianovithde 建议，满足方程（4.18）的液体压力分布能由下式近似为

o???L0/L pf?p0 L0/L???1 pf?0

式中L0/L??接近1.

这里可提供开始计算所需的“湿缝长”，（为承压段缝长）

Kc? ?0?L0/L?sin?? （4.19）

?2?pfpfL?????H此种近似通常情况下精度足够，此外，在GDK公式中，Kc对L0/L的贡献没略去，

?0?sin???H?除了紧靠裂缝周边之外，水平面里的裂缝形状为椭圆形，井眼处有????2?pf?最大缝宽为：

w?0,t??取L?2?1???L?p??H? （4.20）

G1hf，上式与PK理论中的式（4.13）类似 2接下来的问题是确定pf的大小 ，它取决于锲形裂缝尖端附近的液体压力急剧下降，确定液体在裂缝中的流动阻力的一个很好的近似方程如下，

??00w3?0,t?7?1/2d?~1????? （4.21） 3w?x,t?4将此方程代入（4.17）之后，进一步得出单翼裂缝的体积等于， V?hfLw?0,t??最后我们得出，

3?Gq0?2/3 L?t??0.6?8t （4.23） 3??1??h?f?????3??1????q0?和 w?0,t??1.8?7?3Gh??f??1/61/31/610????121/2d???4hfLw?0t?,?q0t （4.22）

t （4.24）

三、两个模型的比较

表4.1和4.2对于PK，PKN和GDK模型给出了裂缝长度，最大缝宽和泵入压力。

PKN模型 L?t? 3?Gq0?4/5C1?t 3????1????hf??1/5w?0,t? 2??1???q0??1/5C2??t ???Ghf?1/5p?0,t???H 3C3?Gq0?L? ?3?Hf???1?v???1/4GDK模型 3?Gq0?2/3C4?t 3?????1???hf??1/6 3??1????q0?1/3C5??t 3Gh??f??1/6 3C6?Gq0?hf? ?32?2Hf???1???L??1/4 表4.1 在常排量，裂缝长度，最大裂缝宽度和泵入压力的方程 PK 单翼 0.60 2.64 3.00 双翼 0.395 2.00 2.52 C1 C2 C3 PKN C1 C2 C3 GDK 0.68 2.50 2.75 0.45 1.89 2.31 C4 C5 C6 0.68 1.87 2.77 0.48 1.32 1.19 四、带有滤失时的裂缝尺寸的计算——Nordgren扩展的PK理论

PK不考虑液体进入地层，Nordgren修补了这个不足。某点连续性方程成为（与方程4.15相比较），

?q?hf?w??ql?0 （4.42） ?x4?t该点ql被定义为单位缝长的滤失， ql?2hfKlt???x? （4.43）

因为PK模型似乎对长时间作业最为适用，在这种情况下选用近似式，式中?随 效果较好，由此导出， L?1?q?ql?0 ?xd?t???x?0?q0 2hfkl式中?随??x/L，于是此解相似于Carter的解，

L?1q0t

?hfKlq???2和 ?1?arcs?i nq0?由此导出

2?2????1???q0?1/8 w?0??4?3???t （4.45）

?GhK????fl??1/42?2???Gq0?1/8和 ?p?0??4?3???t （4.46）

?GhK????fl??1/41/41/4由此推出缝宽沿缝长X的分布：

???21/2?w?x,t??w?0,t???sin?1???1????? ??2??1/4五、带有滤失的GDK模型

与PK模型相反，初始的GDK模型是以小?值为最适合现成模拟条件（??2Kl?t），即适用于低的滤失系数和短的施工时间。 w 由此可得出

2aLq0?2aL??? L??w0,t?V8???1eerfca?p?sp??L? （4.49） 2?16?hfKl???其中， aL?8Kl?t ?w?0,tp??V8sp我们用下式作为L和w之间的第二个关系来求解两个未知数

??1?v??q0L2?w?0,tp??2.27??

Ghf????对于大的液体滤失（?>4）情况，有方程

3??1?v??q0F1?3/10 w?0??1.58??t （4.51） 3??GhfKl??1/51/4L与w?0?之间有下列关系，

4??1?v??KF?l?1 w?0??3.1?3?G??1/5L3/ 5 （4.52）

由此可解的，

4?G4h2??1/5Kfl?F1p0?0.79??2t 4???q0?1?v???1/5六 、裂缝尺寸的简单计算

泵入期间的裂缝尺寸可以使用计算器或简单的计算机做近似计算。对于PKN或GDK裂缝模型，为了获得近似的裂缝尺寸，下列等式必须进行编程计算。在此介绍一种简单计算最终支撑裂缝尺寸的方法，所有表达式中的裂缝长度和裂缝体积都是指总缝长的一翼；更进一步说，所有等式都包含有量纲化得常数，以便在符号说明表中，独立变量和非独立变量有相同的单位。

1.模型的选择

可以依据岩石力学或实际效果，考虑使用PKN或GDK模型区估算裂缝尺寸，如果严格按照岩石力学考虑，GDK模型仅能用于缝高大于缝长的浅井；PKN模型则可以用于其它所有情况。这与邻近裂缝的边界层是否产生滑移有关系。因此，只有PKN模型能够关于浅井， 因为在巨大上覆岩层压力下不可能发生滑移。

实际上，对于任何裂缝，两种模型都只是近似估算裂缝的尺寸，当裂缝高达几百英尺，通常会遇到各种各样的岩石特性和应力，在这种情况下，裂缝的形状在宽度上相当不规则，在低应力区的软地层，缝宽较大，而在高应力区的硬地层，则缝

宽较小，只要选定了合适的滤失系数，两种模型都可以估算（平均）这种不规则剖面的宽度。这样做意味着忽略岩石力学因素。忽略岩石力学因素的一个合理解释是实际压裂施工中不能详细的知道裂缝流体滤失情况，而流体滤失对预测裂缝尺寸影响较大，而模型选择对裂缝尺寸的影响较小，我们可以选择一种模型，然后用现场的合理 去校准所选模型。由此，最简单的可选模型是GDK,因为在这个模型中的支撑剂输送模型较简单。但是如果选择PKN模型，其支撑剂输送模型使用了椭圆剖面但其是用等宽的平行盘近似。下面详细介绍两种模型的计算方法。

2、PKN动态裂缝尺寸

下列公式要用计算器或简单计算机反复迭代计算。结果是近似值，以便在其结果中考虑非牛顿流体和支撑缝高的影响。如果是牛顿流体的计算，就不需要反复迭代计算。

等式G-1到G-10假设井眼处为最大缝宽，开始进行反复迭代计算，计算所得到的最大缝宽值进行下次迭代，直到计算收敛为止。

D （G-1） L?aL web?ewD （G-2）

?80.84i2?9?? （G-3） K0 ?e?47.882?hw??g?n?1 tD?t （G-4） B0.629 LD?0.58t0D9 （G-5）

和

（G-6） wD?0.780.1465D 这里

???w???wwb （G-7）

?4?2??1?v??q?hg??B?1.7737?10????532Ch?g?hn?????42ei52/3 （G-8）

?16?q2?hg?2?e?5.0872?10?2?2ei??? （G-9）

ChgG?hn???????1?v??q5?hg?8?eia?7.4768?10?2???? （G-10） 84256ChG?g?hn????1/31/3对于某一给定的泵入时间，使用公式G-1和G-10的计算步骤如下： （1）假设一个初始的井眼处最大缝宽，通常0.1in（0.25cm）已足够大。 （2）用公式G-7计算平均缝宽。 （3）用公式G-3计算有效粘度。

（4）用公式G-8计算B，使用公式G-4计算tD。 （5）使用tD,用公式G-6计算wD。

（6）用公式G-9计算e，用公式G-2计算最大井眼处缝宽，并与初始假设宽度相比较，反复计算第一步到第六步，直到计算的宽度值没有明显变化。使用第n次和第n-1次的最大井眼处裂缝宽度的平均值；进行第n+1次迭代计算。

（7）一旦确定了井眼处裂缝宽度，使用公式G-10计算a，用公式G-1计算缝长。

公式G-3是在总缝高和半缝注入速率时的平均缝宽所确定的壁面剪切速率下估算非牛顿流体的粘度。这是有效粘度的最好估算，对于高滤失速率，较小的注入排量可能更具有代表性。

将公式G-8和G-10进行改进也可计算净地层厚度小于总缝高的情形，通过把

hg/hn代回到原等式和把全缝高插入到裂缝项及包含滤失的净地层厚度中，即可获得hg/hn之

值。

裂缝体积公式G-11可做近似计算，这假设裂缝在垂直和水平方向上都是标准的椭圆。

V?whgL (G-11)

3、GDK动态裂缝尺寸

根据Geertsma和Klerk的结论，垂直缝的垂直剖面是矩形剖面，水平剖面是椭圆形。下列公式需要反复迭代计算，则可求出裂缝尺寸。经过修改的公式包含了小于总缝高的支撑高度的影响。

假设一个施工结束时的井眼处的缝宽，反复迭代计算，直到收敛，即可求出压裂过程中的缝长和缝宽。

公式G-12是一个复杂的计算缝长的表达式，它取决于施工结束时井眼处的裂缝宽度Wwe：

?hg???wwehn??9.308?10L?qi????8Vsp??2aL/??1?eaL2erfc?aL?? （G-12） 2???hgChg??hn??12??32??这里

?h?8C?t?n??h??g?aL??hn?wwe?8Vsp??h12?g公式G-13是一个简化的缝宽表达式：

????

84?1?v??qiL2wwb?0.1295 （G-13）

?Ghg公式G-14表达了在计算近似的支撑剂铺设的那一时刻的裂缝一翼的体积。

V??hLwwb48 （G-14）

为了考虑非牛顿流体的特性，公式G-13可用于计算流体粘度，此处平均缝宽是：

w?公式G-12~G-15用于下列计算：

（1）对于最后的施工时刻，假设一个初始的井眼处最大缝宽，并且用公式G-12计算缝长。

（2）用公式G-3计算有效粘度，用公式G-15计算平均缝宽。

?4wwb （G-15）

（3）用公式G-13计算井眼处最大缝宽，并且与初始假设值比较。把第n次和第n-1次的平均值 第n+1次的假设值，反复计算，直到收敛。

（4）在直到施工结束时井眼缝宽后，带入公式G-12去计算施工结束不久后的缝长。同样，用公式G-13计算施工期间的井眼处裂缝宽度值。

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