高一数学必修一函数的表示法（完整）

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1.2函数及其表示

§1.2.2函数的表示法1

教学目的：

1．掌握函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法．

2．培养数形结合、分类讨论的数学思想方法，掌握分段函数的概念 教学重点：解析法、图象法． 教学难点：作函数图象 教学过程：

一、复习引入：

1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？ 2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？

3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？

二、讲解新课：函数的表示方法

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.

⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.

222例如，s=60t，A=?r，S=2?rl,y=ax+bx+c(a?0),y=x?2(x?2)等等都是用解析式表示函

数关系的.

优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.

⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.

例如，学生的身高 单位：厘米 学号 身高 1 125 2 135 3 140 4 156 5 138 6 172 7 167 8 158 9 169 数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表

D优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.

⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.

C例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人

口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数

B关系的.

优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这

A样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.

三、例题讲解

例1某种笔记本每个5元，买 x?{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像 解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为y=5x，x?{1,2,3,4}. 它的图象由4个孤立点A (1， 5) B (2， 10) C (3， 15) D (4， 20)组成，如图所示

1

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例2 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封x g(0

?320,x?(60,80],???400,x?(80,100].这个函数的图象是5条线段（不包括左端点），都平行于x轴，如图

所示.

这一种函数我们把它称为分段函数 4003202401608020406080100x?x例3 画出函数y=|x|=???xx?0,的图象. x?0.解：这个函数的图象是两条射线，分别是第一象限和第二象限的角平分线，如图所示. 说明：①再次说明函数图象的多样性；

y②从例4和例5看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量x

的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.注意

xx?0分段函数是一个函数，而不是几个函数. y=1x<0x③注意：并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷

{（Dirichlet）函数D(x)=??1，x是有理数，.?0，x是无理数,我们就作不出它的图象.

x例4作出分段函数y?x?1?x?2的图像 解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即：

yx??2??(2x?1)?3 y?x?1?x?2=? ?2?x?1 ?2x?1x?1?作出图像如下

例5作出函数y?x?列表描点：

K'L'M'N'G'O'P'Q'(-5.0， -5.2)(-4.0， -4.3)(-3.0， -3.3)(-2.0， -2.5)(-1.0， -2.0)(-0.4， -3.0)(-0.3， -4.0)(-0.2， -5.0)QPOGNMLK(0.2， 5.0)(0.3， 4.0)(0.4， 3.0)(1.0， 2.0)(2.0， 2.5)(3.0， 3.3)(4.0， 4.3)(5.0， 5.2)x1的图象 x

2

补充：

1．作函数y=|x-2|(x＋1)的图像

分析 显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．

解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，

1086Q4KLMGNPO2-10-5510-2N'M'L'K'G'O'-4P'Q'-619y?(x?2)(x?1)?x2?x?2?(x?)2?

24当x＜2时，即x-2＜0时，

-10-5864251019y??(x?2)(x?1)??x2?x?2??(x?)2?.

242??1?9x?2??x????2?4∴y??? 21?9???x?2x?????2?4??-2-4-665432这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出

-6-4-2124682． 作出函数y?|x?2x?3|的函数图像 解：y??2-1-2-3-4?x?2x?32??(x?2x?3)22x?2x?3?0 2x?2x?3?02步骤：（1）作出函数y=x?2x?3的图象

（2）将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得y=|x?2x?3|的图象 2

3

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四、课后练习

一、选择题

1.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则此一次函数的解析式为??? ( )

＝－x ＝x＋1

2

＝x－1 ＝－x＋1

2.已知函数f(x－1)＝x－3，则f(2)的值为?????????????( ) A.－2 B.6 C.1 D.0

1

3.已知f(x)＝2，g(x)＝x＋1，则f(g(x))的表达式是???????? ( )

x－1

1

2

x＋2x

x

2

x＋2x

?f(1)＝0

?f(n＋1)＝f(n)＋3，n∈N

2

x

2

x－11 x－1

2

2

4.已知函数y＝?

*

，则f(3)等于???????? ( )

D.

二、填空题

5.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是 ，值域是 .

6.已知f(x)与g(x)分别由下表给出

x f(x) 1 4 2 3 3 2 4 1 x g(x) 1 3 2 1 3 4 4 2 那么f(g(3))＝ .

4

三、解答题

7.解答下列问题：

2

(1)若f(x＋1)＝2x＋1，求f(x)；

x

(2)若函数f(x)＝，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，求f(x).

ax＋b

8.作下列各函数的图象：

(1)y＝2x2

－4x－3(0≤x＜3)；

9.已知函数

??2x， (x≤－1)f(x)＝?1， (－1＜x≤1)

??－2x，(x＞1)

(1)求f(x)的定义域、值域；.

＝|x－1|； 作出这个函数的图象.

5

(2)y (2) 课后作业参考答案 一、选择题

1.

11

2.B 3.A [ f(g(x))＝＝2. ] 4. f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋3＝0＋3＝3， 2

(x＋1)－1x＋2x

∴f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋3＝3＋3＝6. 选 二、 填空题

5. ［-3,3］［-2,2］ 6. 【答案】 1 由表可得g(3)＝4，∴f(g(3))＝f(4)＝1. 三、解答题

7. 【解析】 (1)令t＝x＋1，则x＝t－1，∴f(t)＝2(t－1)＋1＝2t－4t＋3.∴f(x)＝2x－4x＋3.

2

(2)由f(2)＝1得＝1，即2a＋b＝2；

2a＋b

x11－b

由f(x)＝x得＝x变形得x(－1)＝0，解此方程得：x＝0或x＝.又因为方程有唯

ax＋bax＋ba1－b1

一解，所以＝0，解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝，

a22x

所以所求解析式为f(x)＝. x＋2

8.【解析】 (1)∵0≤x＜3，∴这个函数的图象是抛物线

2

y＝2x－4x－3介于0≤x＜3之间的一段弧(如图(1)).

?x－1 x≥1

(2)所给函数可写成分段函数y＝?

?1－x x＜1

2

2

2

是端点

为(1,0)的两条射线(如图(2)).

9.【解析】 (1)f(x)的定义域为{x|x≤－1}∪{x|－1＜x≤1}∪{x|x＞1}＝{x|x≤－1或－1＜x≤1或x＞1}＝R，

f(x)的值域为{y|y≤－2}∪{1}∪{y|y＜－2}＝{y|y≤－2或y＝1}，

∴f(x)的定义域为R，值域为{y|y≤－2或y＝1}. (2)根据解析式分段作图如图

6

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